第五章三角函数同步单元卷-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第五章三角函数同步练习卷-高一数学上学期人教A版2019必修第一册 一、单选题 1．下列选项中，与角终边相同的角是（   ） A． B． C．310° D．330° 2．用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（    ） A．0，，π，，2π B．0，，，，π C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，， 3．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 5．函数的图像大致为（    ） A．   B．   C．   D．   6．设角、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．下列命题正确的是（    ） A．在第二象限是减函数 B．在上是减函数 C．奇函数 D．在第一、四象限内是增函数 8．“函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意，都有”．若函数的图象关于点对称，且，则函数与在内的交点个数为（    ） A．196 B．198 C．199 D．200 二、多选题 9．已知某扇形的周长和面积均为18，则扇形的圆心角的弧度数可能为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 10．已知函数，则下列命题正确的是（   ）. A．函数是奇函数 B．函数在区间上存在零点 C．当时， D．若，则 11．下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．如图，在平面直角坐标系中，从原点O引一条射线，设这条射线与x轴的正半轴的夹角为，若，则这条射线是 . 13．若，则 . 14．把中的换成，换成后，可化简为 . 四、解答题 15．证明下列等式： (1) (2). 16．已知，，，，求，的值. 17．若函数对任意都有. (1)求的值 (2)求的最小正值； (3)函数的图象可由函数的图象经过怎样的变换得到？ 18．已知角的始边为x轴非负半轴，终边过点. (1)求的值； (2)已知角的始边为x轴非负半轴，角和的终边关于y轴对称，求的值. 19．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置有48个座舱，开启时按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要30． (1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为m，已知H关于t的函数解析式满足（其中），求摩天轮转动一周的函数解析式； (2)若甲、乙两人分别坐1号和9号座舱（即甲乙中间间隔7个座舱），在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：m）关于的函数解析式，并求高度差的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A 【分析】首先表示出与终边相同的角，再判断即可. 【详解】与角终边相同的角的集合表示为， 当时，，故与角终边相同． 故选：A． 2．A 【分析】结合“五点法”作图特征，直接求出结论即可. 【详解】函数的最小正周期为， 用“五点法”作的图象，即作函数在上的图象， 所以五个关键点的横坐标为0，，π，，2π. 故选：A 3．C 【分析】根据正切函数特征，得到不等式，求出定义域. 【详解】由正切函数的定义域，令，即， 所以函数的定义域为. 故选：C. 4．A 【分析】利用换元法结合诱导公式、倍角公式即可求解. 【详解】令，则， 所以， 故选：A. 5．D 【分析】可得函数为奇函数，判断B；赋值法可判断A，C，可得结论. 【详解】因为的定义域为，且， 所以为奇函数，所以图像关于原点对称，故B不正确； 当时，，故A错误； 当时，则，可知，故C错误；. 故选：D. 6．A 【分析】根据三角函数的有界性得到，，又，从而，，求出，，，，则，从而得到最值. 【详解】因为，， 所以，， 所以，. 又， 则， 即，， 即，， 所以，，，， 则， 当，时，取最小值. 故选：A 7．C 【分析】根据余弦函数的单调性可判断A；根据正弦函数的单调性可判断B；根据奇偶性的定义可判断C；根据正弦函数的单调性可判断D. 【详解】对于A，在每一个区间上都是减函数， 在第二象限是减函数，故A错误； 对于B，在上是增函数，故B错误； 对于C，， 所以的定义域为，关于原点对称， ， 所以是奇函数，故C正确； 对于D，在的每一个区间上是增函数， 不能说在第一、四象限内是增函数，故D错误. 故选：C. 8．B 【分析】由题意首先得，进一步，通过数形结合找规律即可得解. 【详解】由题意， 在中，不妨令，得， 所以，经检验满足题意， 所以 所以， 如图所示： 由于与都是奇函数，先考虑时的交点个数， 由图可知时，与的交点分布在这49个区间内， 且每个区间内都有2个交点， 同理时，与的交点分布在这50个区间内， 且每个区间内都有2个交点， 综上所述，函数与在内的交点个数为. 故选：B. 【点睛】关键点睛：在由求参数时，可先通过令特殊的值代入表达式得到关于的方程组，进一步解之并检验，由此即可顺利得解. 9．AD 【分析】设扇形的半径为，弧长为，圆心角为，根据扇形的周长和面积均为列方程式，求解即可. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，圆心角为， 根据扇形的周长和面积均为，则 ，解得或， 则或. 故选：. 10．BC 【分析】利用奇函数的意义判断A；利用零点存在性定理判断B；利用单调性，结合不等式性质判断C；举例说明判断D. 【详解】对于A，函数的定义域为R，而，则函数不是奇函数，A错误； 对于B，，，函数的图象连续不断， 函数在上都为增函数， 由零点存在性定理，得函数在区间上存在零点，B正确； 对于C，当时，在上都单调递增，则在上单调递增， ，当时，，而，则， 因此当时，，C正确； 对于D，，则，D错误. 故选：BC 11．AB 【分析】由题意利用诱导公式化简所给的式子，可得结果． 【详解】解：∵，故A正确； ,故B正确； ，故C不正确； ，故D不正确， 故选：AB． 12． 【分析】根据题意，可得点，进而可得答案. 【详解】由题意，得点，，，，则. 故答案为： 13．/ 【分析】利用对表达式化简为并代入，即可得到结果， 【详解】. 故答案为：. 14． 【分析】利用两角差的正弦公式，将换成，换成后，再用诱导公式化简即可. 【详解】由已知,， . 故答案为：. 15．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）（2）利用三角函数恒等变换的应用化简等式左边等于右边即可得证. 【详解】（1）左边右边，得证； （2）左边 右边，得证. 16．，. 【分析】根据题意，由同角三角函数的平方关系可得，再由正弦函数的和差角公式代入计算，即可求解. 【详解】∵，，∴. ∵，，∴， ∴， . 17．(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）根据三角函数的性质可得为函数的对称轴，进而可得函数值； （2）根据三角函数的对称轴可列方程，即可得解； （3）根据三角函数的伸缩平移变换可得解（答案不唯一）. 【详解】（1）由，得是的对称轴， 又函数在对称轴处有最大或最小值， 所以； （2）由（1），得， 所以， 所以， 所以（）， 取，得的最小正值为； （3）（答案不唯一） 由（2），得，把函数的图象向左平移个单位，得， 再将横坐标缩短到原来的倍，得， 最后把纵坐标伸长到原来的倍即得函数的图象. 18．(1) (2). 【分析】（1）根据题意，由三角函数的定义可得，再由诱导公式化简，得到正切的齐次式，代入计算，即可求解； （2）根据题意，由三角函数的定义可得，再由诱导公式化简，即可得到结果. 【详解】（1）由题可知，则，，， 所以. （2）因为角角和的终边关于y轴对称， 所以，， 所以. 19．(1)，（） (2)，，甲、乙两人距离地面的高度差的最大值为55米 【分析】（1）根据周期以及即可求解， （2）根据和差角公式以及三角恒等变换，结合三角函数的性质即可求解. 【详解】（1）如图，设座舱距离地面最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系. 设时，游客甲位于，得到以为终边的角为，   根据摩天轮转一周需要30，可知座舱转动的速度约为，   由题意可得，，（）， （2）甲、乙两人的位置分别用点、表示，则， 经过后，甲距离地面的高度为， 点相对于始终落后， 此时乙距离地面的高度，     则甲、乙高度差为      ，，     所以当（或）时，的最大值为55，    所以甲、乙两人距离地面的高度差的最大值为55米 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$