第8讲 函数奇偶性与周期性课件-2025届高三数学一轮复习

第8讲　函数奇偶性与周期性 第二章　 基本初等函数 1 激 活 思 维 BC 2．若一个奇函数的定义域为{－1，2，a，b}，则a＋b＝ (　　) A．－1 B．1 C．0 D．2 A 3．已知奇函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，且有最大值m，那么下列说法正确的是 (　　) A．函数y＝f(x)在区间[－b，－a]上单调递减，且f(－b)＝－m B．函数y＝f(x)在区间[－b，－a]上单调递减，且f(－a)＝－m C．函数y＝f(x)在区间[－b，－a]上单调递增，且f(－b)＝－m D．函数y＝f(x)在区间[－b，－a]上单调递增，且f(－a)＝－m B 【解析】 奇函数在对称区间上的单调性相同，最值互为相反数． 4．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－2)的值是_______． －6 【解析】 由题知f(2)＝6，因为f(x)为奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝－6. 【解析】 1 1．奇偶性与周期性 奇偶性 定义 若________________，则f(x)为偶函数；若__________________，则f(x)为奇函数． 这两个式子有意义的前提条件是：定义域关于原点对称． 性质 ①奇函数的图象关于________对称，偶函数的图象关于_______对称； ②若奇函数的定义域包含0，则必有f(0)＝_____； ③在关于y 轴对称的两个区间内，奇函数单调性________，偶函数单调性________． ④一般地：奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；奇×奇＝偶；偶×偶＝偶；奇×偶＝奇，除法相同． f(－x)＝f(x) 聚 焦 知 识 f(－x)＝－f(x) 原点 y轴 0 相同 相反 f(x＋T)＝f(x) 判断下列函数的奇偶性． 函数奇偶性的判定 举 题 说 法 1 【解答】 【解答】 f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称．又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数． 【解析】 判断下列函数的奇偶性． 1 【解答】 【解答】 判断下列函数的奇偶性． 1 【解答】 判断下列函数的奇偶性． 1 【解析】 B 【解析】 由已知得，当x＞0时，－x＜0，即f(x)＝x3＋1，f(－x)＝－ax3＋b. B 函数奇偶性的应用 【解析】 2 由f(x)为R上的奇函数，得f(－x)＝－f(x)且f(0)＝0，又f(－2 024)＋f(0)＝2，所以1＋m＋0＝2，得m＝1. (2) 已知函数f(x)＝log2(|x|＋1)，若f(log2x)＜f(2)，则实数x的取值范围是______． 【解析】 1 【解析】 2 3 1．若函数f(x)＝x(aex－e－x)是偶函数，则a＝_____． 1 【解析】 【解析】 设g(x)＝aex－e－x，x∈R，因为f(x)是偶函数，所以g(x)是奇函数，所以g(0)＝0，解得a＝1.经检验满足题意. 2．已知函数f(x)＝ax3－bx－tan x＋2，若f(m)＝1，则f(－m)＝_____． 由题得f(m)＝am3－bm－tan m＋2＝1，所以am3－bm－tan m＝－1，所以f(－m)＝－am3＋bm＋tan m＋2＝－(am3－bm－tan m)＋2＝1＋2＝3. 3 【解析】 【解析】 当x＞0时，－x＜0，f(x)＝g(x)＋1＝－f(－x)＝－[(－x)2－3－(－x)]＝－x2＋3x，则g(x)＝－x2＋3x－1. －x2＋3x－1 (1) 若f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且f(1)＝－5，则f(f(5))＝_____． 函数的周期性 3 【解析】 5 【解析】 因为f(x＋2)＝－f(x)，所以T＝4，所以f(5)＝f(1)＝－5，所以f(f(5))＝f(－5)＝f(－1).令x＝－1，则f(1)＝－f(－1)＝－5，所以f(f(5))＝f(－1)＝5. (2) 若定义在R上的函数f(x)满足f(x＋3)＋f(x＋1)＝f(2)，则f(2 024)＝_____． 因为f(x＋3)＋f(x＋1)＝f(2)，代入x－2得，f(x＋1)＋f(x－1)＝f(2).两式相减得，f(x＋3)＝f(x－1)，即f(x＋4)＝f(x)，所以4为函数f(x)的周期． 因此f(2 024)＝f(4×506)＝f(0)，在f(x＋3)＋f(x＋1)＝f(2)中，令x＝－1，则f(2)＋f(0)＝f(2)，所以f(0)＝0，即f(2 024)＝0. 0 【解析】 B 【解析】 抽象函数的性质 新视角 4 因为f(x＋2)为偶函数，则f(2＋x)＝f(2－x).因为函数f(2x＋1)为奇函数，则f(1－2x)＝－f(2x＋1)，把2x＋1用x代替，所以f(2－x)＝－f(x)，所以f(2＋x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，即f(x)＝f(x＋4)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数． 因为函数F(x)＝f(2x＋1)为奇函数，则F(0)＝f(1)＝0，故f(－1)＝－f(2－1)＝－f(1)＝0，其它三个选项未知． B 变式　(1) 已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　　) A．－50 B．0 C．2 D．50 C 【解析】 f(x＋4)＝f(－2－x)＝－f(x＋2)＝－f(－x)＝f(x)，所以函数周期为4.因为f(1)＝2，f(2)＝0，f(3)＝－2，f(4)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2. D 【解析】 因为f(x＋1)为奇函数，所以有f(x＋1)＝－f(－x＋1)，因为f(x＋2)为偶函数，所以有f(x＋2)＝f(－x＋2)，f(x＋1)＝－f(－x＋1)⇒f(x＋2)＝－f(－x)＝f(－x＋2)⇒－f(x)＝f(x＋2)⇒－f(x＋2)＝f(x＋4)⇒f(x)＝f(x＋4)，所以函数f(x)的周期为4， 随 堂 练习 1．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是 (　　) A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|·g(x)是奇函数 C．f(x)·|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数 C 【解析】 依题意得对任意x∈R，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－[f(x)g(x)]，f(x)g(x)是奇函数，A错误； |f(－x)|·g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|·g(x)，|f(x)|·g(x)是偶函数，B错误； f(－x)·|g(－x)|＝－f(x)·|g(x)|，f(x)·|g(x)|是奇函数，C正确； |f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，|f(x)g(x)|是偶函数，D错误． 2．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，则f(2 024)＝ (　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 B 【解析】 因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，f(x＋2)＝f(x＋1＋1)＝－f(x＋1)＝f(x)，所以f(x)是周期为2的周期函数，所以f(2 024)＝f(0)＝0. C 【解析】 4．已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x3＋2x－1，则f(－2)＝________． －19 【解析】 因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝－(2×23＋22－1)＝－19. 【解析】 由题知当x＝－1时，f(－1)＝1，因为函数周期T＝2且为偶函数，所以f(x＋2)＝f(x)，所以f(3)＝f(1)＝f(－1)＝1. 1 配套精练 29 练习1 A组　夯基精练 一、 单项选择题 1．已知f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，若f(a)＝3，则a＝ (　　) A．±1 B．±3 C．－1或3 D．±1或±3 B 【解析】 当a≥0时，由f(a)＝3，得a2－2a＝3，解得a＝－1(舍去)或a＝3.根据偶函数的图象关于y轴对称，可知当a＜0时，由f(a)＝3，得a＝－3.综上，a＝±3. 【解析】 C 【解析】 由于f(x)＝x3g(x)为定义在R上的偶函数，所以f(－x)＝－x3g(－x)＝x3g(x)，所以g(－x)＝－g(x)，所以g(x)是奇函数. A 【解析】 A 【解析】 对于B，函数f(x)＝x3的定义域为R，f(x)是奇函数，故B正确； 【答案】BCD 6．已知f(x)是定义在R上不恒为0的偶函数，g(x)是定义在R上不恒为0的奇函数，则 (　　　) A．f(f(x))为奇函数 B．g(g(x))为奇函数 C．f(g(x))为偶函数 D．g(f(x))为偶函数 BCD 【解析】 由题意可知，f(－x)＝f(x)，所以f(f(－x))＝f(f(x))，所以f(f(x))为偶函数，故A错误； 由g(－x)＝－g(x)，得g(g(－x))＝g(－g(x))＝－g(g(x))，所以g(g(x))为奇函数，故B正确； 因为f(g(－x))＝f(－g(x))＝f(g(x))，所以f(g(x))为偶函数，故C正确；因为g(f(－x))＝g(f(x))，所以g(f(x))为偶函数，故D正确． 【解析】 【答案】[－2，0)∪(0，2] 8．已知f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，且f(－1)＝2f(10)＋3，则f(2 024)＝_____． 1 【解析】 由题意知f(2 024)＝f(3×675－1)＝f(－1)，而f(－1)＝2f(10)＋3，所以f(－1)＝2f(3×3＋1)＋3＝2f(1)＋3＝－2f(－1)＋3，即3f(－1)＝3，所以f(－1)＝1，故f(2 024)＝1. 【解析】 2 【解答】 方法一：因为当x≤0时，f(x)＝－x2－4x，所以f(－2)＝4.又因为f(x)为奇函数，所以f(2)＝－f(－2)＝－4，即4＋2a＝－4，所以a＝－4. 综上所述，实数a的值为－4. 方法二：设任意x＞0，则－x＜0，所以f(－x)＝－(－x)2－4(－x)＝－x2＋4x.又因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝－x2＋4x，所以f(x)＝x2－4x，所以f(2)＝－4.因为当x＞0时，x2＋ax＝x2－4x恒成立，所以a＝－4. 【解答】 【解答】 【解答】 B组　滚动小练 12．已知a∈R，若集合M＝{1，a}，N＝{－1，0，1}，则“a＝0”是“M⊆N”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 A 【解析】 当a＝0时，集合M＝{1，0}，N＝{－1，0，1}，可得M⊆N，满足充分性； 若M⊆N，则a＝0或a＝－1，不满足必要性. 所以“a＝0”是“M⊆N”的充分不必要条件． 【解析】 由P＝{a，b，c}⊆M得a≠b，故a＝－2b，c＝4b，所以P＝{－2b，b，4b}⊆M，且b≠0. 【答案】1 012 14．设k为实数，已知关于x的函数f(x)＝kx2＋kx－1. (1) 若∀x∈R，都有f(x)≤0恒成立，求k的取值范围； 【解答】 当k＝0时，f(x)＝－1≤0恒成立，符合题意； 综上所述，k的取值范围为[－4，0]. 14．设k为实数，已知关于x的函数f(x)＝kx2＋kx－1. (2) 若∀m≥1，∃x∈[1，4]，满足f(x)≤m成立，求k的取值范围． 【解答】 方法一：当k＝0时，f(x)＝－1，显然∀m≥1，∃x∈[1，4]，满足f(x)≤m成立，符合题意； 综上所述，k的取值范围为(－∞，1]. 练习2 【解析】 【答案】C 对于C，易知y＝|x|－1是偶函数，当x＞0时，y＝x－1是增函数，故正确； 【解析】 2．已知f(x)为奇函数，且当x＜0时，f(x)＝ex，则f(e)＝ (　　) A．ee B．－ee C．e－e D．－e－e 因为f(x)为奇函数，且当x＜0时，f(x)＝ex，所以f(e)＝－f(－e)＝－e－e. D A B C D 【解析】 【答案】D 当x＞0时，ex＞e－x，即ex－e－x＞0，当x＞1时，|x|－1＞0，因此当x＞1时，f(x)＞0，排除B，C. 【解析】 【答案】B 由f(x＋1)＋f(x)＝f(1)，有f(x＋2)＋f(x＋1)＝f(1)，可得f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)的周期为2. 【答案】ACD 【解析】 因为f(x＋1)为奇函数，所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)，即f(－x)＋f(x＋2)＝0，故f(x)的图象关于点(1，0)中心对称，故A正确； 由f(－x)＝f(x)，f(－x)＋f(x＋2)＝0得f(x)＝－f(2＋x)，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)是周期为4的函数，故B错误； 由f(－x＋1)＝－f(x＋1)，令x＝0，得f(1)＝－f(1)，所以f(1)＝0，故f(－1)＝f(1)＝0，故C正确； 【答案】ABD 【解析】 －12 【解析】 三、 填空题 7．已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c sin x－2，且f(－2)＝8，则f(2)＝________． 因为f(x)＝ax3＋bx＋c sin x－2，所以f(－x)＋f(x)＝－ax3－bx－c sin x－2＋ax3＋bx＋c sin x－2＝－4.因为f(－2)＝8，所以f(2)＝－12. 【解析】 9已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x＜－1时，f(x)＝－(x＋2)2，当－1≤x＜3时，f(x)＝x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 024)＝_______． 340 【解析】 因为f(x＋6)＝f(x)，所以f(x)的周期T＝6，于是f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－(－3＋2)2＝－1，f(4)＝f(－2)＝－(－2＋2)2＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝1，而2 024＝6×337＋2，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 024)＝337×1＋1＋2＝340. 【解答】 【解答】 11．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)＝ln (e－x)－x－3. (1) 求函数f(x)的解析式； 【解答】 11．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)＝ln (e－x)－x－3. (2) 判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性(无需证明)，并在R上解不等式f(2x－3)＞f(3x＋1). 【解答】 由(1)知，当x＞0时，f(x)＝ln (e＋x)＋x－3.因为y＝ln (e＋x)与y＝x－3在(0，＋∞)上都是增函数，所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数，又f(x)是偶函数，故f(x)在(－∞，0)上为减函数． B组　滚动小练 12．如图，某学校为庆祝70周年校庆，准备建造一个八边形的中心广场，广场的主要造型是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为100 m2的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为2 800元/m2；在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺花岗岩地面，造价为250元/m2；再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪，造价为80元/m2.设总造价为W(单位：元)，AD长为x(单位：m)． (1) 当x＝4m时，求草坪的面积； 【解答】 12．如图，某学校为庆祝70周年校庆，准备建造一个八边形的中心广场，广场的主要造型是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为100 m2的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为2 800元/m2；在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺花岗岩地面，造价为250元/m2；再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪，造价为80元/m2.设总造价为W(单位：元)，AD长为x(单位：m)． (2) 当x为何值时，W最小？并求出这个最小值． 【解答】 谢谢观赏 周期性 定义 对定义域内任意x，存在非零常数T，使_________________成立，则T为f(x)的周期． 结论 对于f(x)定义域内任一自变量的值x： ①若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0). ②若f(x＋a)＝，则T＝2a(a＞0). ③若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a＞0). (2) f(x)＝＋； (4) f(x)＝loga(mx＋)(m≠0)； (6) f(x)＝(a＞0且a≠1). (1) 已知奇函数f(x)的定义域为R，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－－m，若f(－2 024)＋f(0)＝2，则实数m＝_____． (3) 已知定义域为R的函数f(x)＝a＋(a，b∈R)有最大值和最小值，且最大值与最小值的和为6，则a＝_____． 已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋2)为偶函数，f(2x＋1)为奇函数，则(　　) A．f＝0 B．f(－1)＝0 C．f(2)＝0 D．f(4)＝0 变式　(2) 设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b，若f(0)＋f(3)＝6，则f＝(　　) A．－ B．－ C． D． 在f(x)＋f(－x)＝f(0)中，令x＝0，可得f(0)＝0，所以f(x)＋f(－x)＝0，故函数f(x)为奇函数，所以f＝f(－log218)＝－f(log218)＝－f(log218－4)＝－f. 6．已知函数f(x)的定义域为R，且f≠0，若f(x＋y)＋f(x)f(y)＝4xy，则 (　　) A．f＝0 B．f＝－2 C．函数f是偶函数 D．函数f是减函数 四、 解答题 10．已知定义域为R的单调函数f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)＝－2x. (1) 求f(x)的解析式； 当x＜0时，－x＞0，所以f(－x)＝－2－x.又函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝＋2－x. 又f(0)＝0，综上所述，f(x)＝ 10．已知定义域为R的单调函数f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)＝－2x. (2) 若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，求实数k的取值范围． 由题意得花岗岩地面的面积为100－42＝84(m2)，所以S四边形AMQD＝×84＝21(m2)，则AM＝(m)，所以草坪的面积S草坪＝4××＝(m2). $$