精品解析：2024年辽宁省初中学业水平考试数学模拟试题（一)

2024年辽宁省初中学业水平考试数学模拟卷（一） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 无理数绝对值是（ ） A. B. C. D. 2 2. 据中国日报网报道，2024年春节假期前五日，滨城大连共接待游客约4551400人，数据4551400用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知菱形的周长为8，若，则对角线的长为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 6. 在辽宁教育电视台组织一次汉字听写大赛中，10名参赛选手的得分情况如下表： 人数 2 3 4 1 分数 80 85 90 95 那么这10名选手所得分数的中位数和众数分别是（ ） A. 85 和90 B. 87.5 和 90 C. 85 和 4 D. 87.5 和4 7. 装卸机往一艘轮船上装载货物，装完货物所需时间(单位：与装载速度(单位：之间的函数关系如图所示．若要求在内(包括装完这批货物，则x 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直线 ，点A，B，C 分别在直线，，上，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 《九章算术》中有一个问题大意为：五只雀、六只燕，共重1斤(等于 16两)，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的质量各为多少．若设每只雀重x两，每只燕重y两，根据题意，可列方程组为( ) A. B. C. D. 10. 如图，在矩形 中，，．若E 是边上的一个动点，过点E 作，交对角线于点O，交直线 于点 F，在点 E 移动的过程中，的最小值为（ ） A 8 B. C. 10 D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：__________． 12. 点关于y轴对称的点的坐标为_________． 13. 若关于x 的一元二次方程无实数根，则整数k 的最小值为_______． 14. 如图，在中，，点 D 在上，，分别以点B，D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点 P，再分别以点 A，C 为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点M，N，连接，，分别交，于点E，F，连接，若，则的长为_______． 15. 如图，抛物线与轴交于点 ，（点在点左边），与 轴交于点，抛物线的顶点为，点在线段（不与点，M重合）上，连接，将线段绕点旋转后得到线段 ，若点恰好落在抛物线上，则点的坐标为_____________． 三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）解不等式组 并把解集在数轴上表示出来； （2）先化简然后从，0中选择一个合适的数作为x的值代入求值． 17. 某商场将进货单价为20元的日用商品以销售单价35元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种商品的销售单价每上涨1元，其销售量就将减少10个，为了实现平均每月14 000元的销售利润，商场决定采取调控价格的措施，扩大销售量，减少库存，这种商品的销售单价应定为多少元？ 18. 大连市非常重视学生的身体素质，把学生的体育成绩计于学生中考成绩之内．中考体育必测项目为男子，女子，选测（5选2）：、立定跳远、实心球、一分钟跳绳、引体向上（男）+仰卧起坐（女）；运动技能（6选1）：篮球、足球、排球、轮滑、乒乓球、羽毛球． 临近考试前，某校体育组为了便于对学生进行针对性的指导，把学生分为四组，其中A组为男子、女子、，B组为立定跳远、实心球，C组为一分钟跳绳、引体向上（男）+仰卧起坐（女），D组为运动技能．每名学生根据自己的实际情况只能报一组，为此抽取初三部分同学进行了调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查共抽取了 人，补全条形统计图； （2）求扇形统计图中D组对应扇形的圆心角度数； （3）若初三共有学生320人，估计本校初三学生选择A 组的人数； （4）已知小樱和晓霞准备报名进行训练，求她们选择同一组概率． 19. 辽宁省是中国著名的水果产区之一，很多地区的水果还被列为地标性水果，如大连樱桃、小凉山西瓜、鞍山南果梨、绥中白梨、东港草莓、盖州苹果、庄河歇马杏、朝阳大枣、熊岳葡萄等．某果园今年种植的樱桃喜获丰收，采摘上市20天全部售完，该果园果农对销售情况进行统计后发现，在该樱桃上市第x天时，日销售量P(单位：与x 之间的函数关系为，樱桃单价y(单位：元)与x之间的函数关系如图所示． （1）当时，求y关于x 的函数解析式； （2）设日销售额为W元，当时，求W 的最大值． 20. 物业维修员李师傅需要在距离地面的墙面上安装一块安全标语警示牌，现有一把折叠梯子可以利用，该梯子展开时与折叠后的规格尺寸如下表： 如图5，已知李师傅站在地面上并在托起警示牌的状态下，利用身体前倾和手臂上举的方式，所能达到的最高高度，最远前伸距离．如图6，当梯脚点K 与地面和墙面夹角的顶点重合时（地面和墙面垂直，即），请判断李师傅站在踏板上是否可以顺利安装安全标语警示牌？若可以，请写出计算过程；若不可以，请说明理由．（结果精确到．参考数据：，，） 21. 如图，是直径，点D 在上，C 为的中点，连接，，，过点C 的线段与的延长线交于点E， （1）求证：是的切线； （2）若 ， 求的值． 22. 【问题初探】 在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，，，，求的长． ①如图2，小刚同学构造等腰，得到，通过勾股定理进行求解； ②如图3，小淼同学构造等腰，得到，通过勾股定理进行求解． （1）请你选择一名同学的解题思路，写出求解过程； 【类比分析】 李老师发现之前两名同学都采用了构造法，将要求的边，转化到新构造的三角形当中．李老师将图1进行变换并提出了下面的问题，请你解答． （2）如图4，在中，，点D，E，F分别在边，，上，，．求证：； 【学以致用】 （3）如图5，在等边中，点D在的延长线上，点E在上，且，，交于点F，若，，求的长． 23. 定义：A 是函数y 的图象上一点，过点 A 作一条直线 l，如果函数 y 的图象沿直线l 翻折，直线l两旁的函数图象能够完全重合，那么点 A 叫做这个函数的“和谐点”，直线 l 叫做这个函数的“和谐线”，一个函数可以有多个“和谐点”和多条“和谐线”． （1）①若一次函数 的一个“和谐点”是，则过点 A 的“和谐线”是直线 ； ②反比例函数的“和谐点”是点 ，“和谐线”是直线 ； ③二次函数 的“和谐点”是点 ． （2）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点B，C 均在坐标轴上，，对角线 ， 相交于点D．已知函数的图象经过点A，函数 的“和谐点”在矩形的边上． ①若函数)的图象与直线的另一个交点为点E，且函数 的“和谐点”在 边上，求a 的取值范围； ②已知函数 的图象在矩形内的部分y 随x 的增大而增大，当时，y的最大值与最小值的差是，直接写出 的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年辽宁省初中学业水平考试数学模拟卷（一） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 无理数的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据绝对值的定义来求解即可． 【详解】解：无理数的绝对值是． 故选：． 【点睛】本题考查了算术平方根，无理数，实数的性质，正确理解负数的绝对值是正数是解答关键． 2. 据中国日报网报道，2024年春节假期前五日，滨城大连共接待游客约4551400人，数据4551400用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法．，运用科学记数法进行解答，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：依题意， 故选：C 3. 如图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查几何体的三视图，从不同的方向抽象出几何体的形状是解决问题的关键．俯视图是指从上往下看得到的图形．注意：看的见的线画实线，看不见的线画虚线． 【详解】解：从上往下看得到的图形如图所示： 故选∶D． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项，负整数指数幂公式，单项式的乘除法等计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、， 原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 5. 如图，已知菱形的周长为8，若，则对角线的长为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定，证得是等边三角形是解题关键．利用菱形的性质以及等边三角形的判定证得是等边三角形，在中求出，即可求出的长． 【详解】解：∵菱形的周长为8， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ， ， ． 故选：A． 6. 在辽宁教育电视台组织的一次汉字听写大赛中，10名参赛选手的得分情况如下表： 人数 2 3 4 1 分数 80 85 90 95 那么这10名选手所得分数的中位数和众数分别是（ ） A. 85 和90 B. 87.5 和 90 C. 85 和 4 D. 87.5 和4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数和众数的定义，熟练掌握中位数是把一组数据按从大到小(或从小到大)排列后，位于正中间的一个数或两个数的平均数是解题的关键． 根据中位数的和众数的定义，即可求解． 【详解】解：根据题意可得：从小到大排序后成绩位于第5位为分，成绩位于第6位为90分， ∴这些成绩的中位数是分， 根据题意可得：考90分的有4人，是各分数中人数最多的， ∴这些成绩的众数是90分， 故选：B． 7. 装卸机往一艘轮船上装载货物，装完货物所需时间(单位：与装载速度(单位：之间的函数关系如图所示．若要求在内(包括装完这批货物，则x 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，理解题意，根据题意求得函数解析式是关键．由题意知，装完货物所需时间y(分钟)与装载速度x(吨/分钟)之间的函数关系是反比例函数关系，且可求得此关系式，求出当时x的值，即装载速度即可确定答案． 【详解】解：由题意，设函数解析式为：， 由图象知，函数过点，把此点坐标代入上式中得：， ∴， 即， 当时，有，解得：； 即当时，在100分钟内(包括100分钟)装完这批货物； 故选：A． 8. 如图，直线 ，点A，B，C 分别在直线，，上，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了根据平行线的性质求角的度数， 由，可得出，，根据角的和差关系可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：C． 9. 《九章算术》中有一个问题大意为：五只雀、六只燕，共重1斤(等于 16两)，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的质量各为多少．若设每只雀重x两，每只燕重y两，根据题意，可列方程组为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列二元一次方程，找出两个等量关系并列出方程组即可． 【详解】解：∵五只雀、六只燕，共重1斤(等于 16两)， ∴， 又∵互换其中一只，恰好一样重，即四只雀一只燕和五只燕一只雀的重量相等， ∴， ∴可列方程组为， 故选：A． 10. 如图，在矩形 中，，．若E 是边上的一个动点，过点E 作，交对角线于点O，交直线 于点 F，在点 E 移动的过程中，的最小值为（ ） A. 8 B. C. 10 D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点D作交于M，过点A作，使，连接，可得是平行四边形，则：，当N、E、C三点共线时，的值最小，即为的长度，求出的长度即可得解． 【详解】 过点D作交于M，过点A作，使，连接， 四边形是平行四边形， ， ∴ 当N、E、C三点共线时，最小， 四边形是矩形，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 即：的最小值为； 故选：B． 【点睛】本题考查了利用轴对称求最短距离问题，勾股定理，矩形的性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，熟练掌握知识点，准确作出辅助线是解题的关键． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查提取公因式和公式法进行因式分解，掌握基本的因式分解方法是解题关键． 先提取公因式，然后利用平方差公式进行分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 点关于y轴对称的点的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标．根据关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：关于轴的对称点的坐标是， 故答案为：． 13. 若关于x 的一元二次方程无实数根，则整数k 的最小值为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了根的判别式、一元二次方程的构成条件、解一元一次不等式等知识，解题的关键是掌握根的判别式．要使一元二次方程没有实根，只需二次项系数不等于0且根的判别式小于0，由此可求出k的范围，再找出最小值即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根， ∴且， 解得，， ∴， ∴整数k的最小值是3， 故答案为：3． 14. 如图，在中，，点 D 在上，，分别以点B，D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点 P，再分别以点 A，C 为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点M，N，连接，，分别交，于点E，F，连接，若，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，解直角三角形的相关计算，由作图可知，垂直平分线段，直平分线段，由线段垂直平分线的性质可得出，F为的中点，解求出，由含直角三角形的性质可得出，在由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出答案． 【详解】解：由作图可知，垂直平分线段，直平分线段， ∴，F为的中点， 在中， ∵，， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵F为的中点， ∴， 故答案为：． 15. 如图，抛物线与轴交于点 ，（点在点左边），与 轴交于点，抛物线的顶点为，点在线段（不与点，M重合）上，连接，将线段绕点旋转后得到线段 ，若点恰好落在抛物线上，则点的坐标为_____________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合题，掌握数形结合，构造全等三角形将点的坐标进行转换是解题的关键．根据二次函数解析式求出点，的坐标，从而求出直线的解析式；由全等三角形得到，点代入，得从而求得点的坐标，第二种情况是过点作轴于点，过点作轴于点，由全等三角形得到，，点代入，得，求出的值，从而求出点的坐标． 【详解】解：， ， 令，得， ， 设直线的解析式为， 将点代入，得，解得， 直线的解析式为， 设， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ， ， ，， 线段绕点旋转后得到线段， ，， ， ，， ， ，， ， 将点代入，得， 解得（不合题意，舍去），， ， 如下图，过点作轴于点，过点作轴于点， ， ， ，， 同理，得， ，， ， 将点代入，得， 解得（不合题意，舍去），， ， 综上所述，点的坐标为或， 故答案为：或． 三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）解不等式组 并把解集在数轴上表示出来； （2）先化简然后从，0中选择一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】（1），数轴见解析（2），当时，值为3或当时，值为1 【解析】 【分析】本题考查不等式组的解法、分式的化简求值，关键在于熟练掌握基础的运算方法． （1）根据不等式组的解法解出并表示在数轴上即可； （2）先将分式化简，在代入合适的值即可． 【详解】解：（1）， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为：； 不等式组解集在数轴上表示出来： （2） ， ， 当时，，或当时，． 17. 某商场将进货单价为20元的日用商品以销售单价35元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种商品的销售单价每上涨1元，其销售量就将减少10个，为了实现平均每月14 000元的销售利润，商场决定采取调控价格的措施，扩大销售量，减少库存，这种商品的销售单价应定为多少元？ 【答案】这种商品的销售单价应定为55元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程在营销问题上的应用，解题的关键在于列出售价与利润之间的关系式，但是要注意，题意中的要求，为了扩大销售量，减少库存，所以在相同利润的情况下，应选取售价较低，销售量较高的方案．设售价为x元，列出售价与利润之间的一元二次关系式，并解得的值，但是为了满足题中要求的扩大销售量，减少库存，要选取售价较低，销售量较高的方案． 【详解】解：设这种商品的售价为x元，依题意得 ， 解得：，， 因需扩大销售量，减少库存，所以应舍去， ∴． 答：这种商品的销售单价应定为55元． 18. 大连市非常重视学生的身体素质，把学生的体育成绩计于学生中考成绩之内．中考体育必测项目为男子，女子，选测（5选2）：、立定跳远、实心球、一分钟跳绳、引体向上（男）+仰卧起坐（女）；运动技能（6选1）：篮球、足球、排球、轮滑、乒乓球、羽毛球． 临近考试前，某校体育组为了便于对学生进行针对性的指导，把学生分为四组，其中A组为男子、女子、，B组为立定跳远、实心球，C组为一分钟跳绳、引体向上（男）+仰卧起坐（女），D组为运动技能．每名学生根据自己的实际情况只能报一组，为此抽取初三部分同学进行了调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查共抽取了 人，补全条形统计图； （2）求扇形统计图中D组对应扇形的圆心角度数； （3）若初三共有学生320人，估计本校初三学生选择A 组的人数； （4）已知小樱和晓霞准备报名进行训练，求她们选择同一组的概率． 【答案】（1）50，图见解析 （2） （3）128 （4） 【解析】 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的关联问题，求圆心角，样本估计总体，树状图求概率等知识，能看到两图的关联之处是解题的关键． （1）根据B组的人数和占比可以求出抽取人数，再用减法可以算出C组人数，从而补全条形统计图； （2）根据乘以D组的占比可以求出D组对应扇形的圆心角度数； （3）用初三总人数乘以样本中A组的占比即可得解； （4）运用画树状图求概率的方法求解即可． 【小问1详解】 解：依题意得，抽取人数为：（人）， ∴C组人数为：（人）， 补全条形统计图为： 故所答案为：50； 小问2详解】 ， 答：扇形统计图中D组对应扇形的圆心角度数为； 【小问3详解】 （人）， 答：估计本校初三学生选择A 组的人数为128人； 【小问4详解】 画树状图如下： 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中她们选择同一组的结果有4种， ∴她们选择同一组的概率为 19. 辽宁省是中国著名的水果产区之一，很多地区的水果还被列为地标性水果，如大连樱桃、小凉山西瓜、鞍山南果梨、绥中白梨、东港草莓、盖州苹果、庄河歇马杏、朝阳大枣、熊岳葡萄等．某果园今年种植的樱桃喜获丰收，采摘上市20天全部售完，该果园果农对销售情况进行统计后发现，在该樱桃上市第x天时，日销售量P(单位：与x 之间的函数关系为，樱桃单价y(单位：元)与x之间的函数关系如图所示． （1）当时，求y关于x 的函数解析式； （2）设日销售额为W元，当时，求W 的最大值． 【答案】（1） （2）2340 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握待定系数法． （1）分当时和当时两种情况，前一种情况直接由图可知，后一种情况用待定系数法求出与之间的函数关系式即可； （2）分两种情况：当时，当时，分别求出的最大值，然后进行判断即可． 【小问1详解】 解：当时，由图可知：， 当时，设与之间的函数关系式为， 将点，代入，得， 解得， ∴与之间的函数关系式为． 综上所述：与之间的函数关系式为 【小问2详解】 解：当时，， ∵，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为． 当时， ， ∵， ∴当时，随增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为： ． ∵， ∴当时，的最大值为2340． 20. 物业维修员李师傅需要在距离地面的墙面上安装一块安全标语警示牌，现有一把折叠梯子可以利用，该梯子展开时与折叠后的规格尺寸如下表： 如图5，已知李师傅站在地面上并在托起警示牌的状态下，利用身体前倾和手臂上举的方式，所能达到的最高高度，最远前伸距离．如图6，当梯脚点K 与地面和墙面夹角的顶点重合时（地面和墙面垂直，即），请判断李师傅站在踏板上是否可以顺利安装安全标语警示牌？若可以，请写出计算过程；若不可以，请说明理由．（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】李师傅站在踏板上可以顺利安装安全标．计算过程见详解． 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定以及性质，等角对等边的性质，熟悉三角形函数的定义是解题的关键．分别过点A，D作直线m的垂线，垂足分别为L．M，延长交直线n于点P．可得，结合已知条件可判定出四边形是矩形，由矩形的性质可得出，，解，求出，，进一步求出，，，再解，得出，，进一步再求出，通过比较可得出，再求出，得出，即可得出结论． 【详解】解∶李师傅站在踏板上可以顺利安装安全标语警示牌．理由如下∶ 如图，分别过点A，D作直线m的垂线，垂足分别为L．M，延长交直线n于点P． ∴ ∵，， ∴， ∴ ∴四边形是矩形， ∴， 在中， ∵，， ∴， ， ∵， ∴ 又 ∴ ∵，， ∴ ∴．， 在中， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ ∵ ∴ ∴李师傅站在踏板上可以顺利安装安全标． 21. 如图，是的直径，点D 在上，C 为的中点，连接，，，过点C 的线段与的延长线交于点E， （1）求证：是的切线； （2）若 ， 求的值． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点M，由已知条件可得出，进而可得出，，由等边对等角得出，等量代换可得出，进而得出，由平行线的性质可得出，进一步即可证明是的切线． （2）连接，由直径所对的圆周角等于可得出，由已知条件可得出，设，，由勾股定理求出，由同弧所对的圆周角相等得出，等量代换可得出，进一步证明，由相似三角形的性质即可得出答案． 【小问1详解】 证明∶连接交于点M， ∵C为的中点 ∴， ∴，， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴ 即 ∵是的半径， ∴是的切线． 【小问2详解】 连接， ∵是的直径 ∴， ∵ ∴， 设， 在中 ∵ ∴， ∵ ∴， 又 ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理的应用等知识，掌握圆的相关知识是解题的关键． 22. 【问题初探】 在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，，，，求的长． ①如图2，小刚同学构造等腰，得到，通过勾股定理进行求解； ②如图3，小淼同学构造等腰，得到，通过勾股定理进行求解． （1）请你选择一名同学的解题思路，写出求解过程； 【类比分析】 李老师发现之前两名同学都采用了构造法，将要求的边，转化到新构造的三角形当中．李老师将图1进行变换并提出了下面的问题，请你解答． （2）如图4，在中，，点D，E，F分别在边，，上，，．求证：； 【学以致用】 （3）如图5，在等边中，点D在的延长线上，点E在上，且，，交于点F，若，，求的长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）3 【解析】 【分析】（1）小刚同学思路：证明，，设，则，得到，在和中，使用勾股定理即可得解；小淼同学思路：证明，，设，则，得到，在和中，使用勾股定理即可得解； （2）构造等腰，使得，得到一线三直角模型，证明得到，从而得到，即可得证； （3）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，即可求解． 【详解】解：选择小刚同学思路： ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 设，则， ∴， 在中，，即， 解得：， 在中，，即， 解得：， ∴， 选择小淼同学思路： ∵， ∴， ∴， ∴； ∴， 又∵， ∴， 设，则， ∴， 在，，即， 解得：， 在，，即， 解得：， ∴； （2）如下图，构造等腰，使得， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即：； （3）如图，连接，作平分，交于，交于，连接，并延长交于， 设， ， 平分， ， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的性质，角平分线的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 23. 定义：A 是函数y 的图象上一点，过点 A 作一条直线 l，如果函数 y 的图象沿直线l 翻折，直线l两旁的函数图象能够完全重合，那么点 A 叫做这个函数的“和谐点”，直线 l 叫做这个函数的“和谐线”，一个函数可以有多个“和谐点”和多条“和谐线”． （1）①若一次函数 的一个“和谐点”是，则过点 A 的“和谐线”是直线 ； ②反比例函数的“和谐点”是点 ，“和谐线”是直线 ； ③二次函数 的“和谐点”是点 ． （2）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点B，C 均在坐标轴上，，对角线 ， 相交于点D．已知函数的图象经过点A，函数 的“和谐点”在矩形的边上． ①若函数)的图象与直线的另一个交点为点E，且函数 的“和谐点”在 边上，求a 的取值范围； ②已知函数 图象在矩形内的部分y 随x 的增大而增大，当时，y的最大值与最小值的差是，直接写出 的值． 【答案】（1）①；②和，；③ （2）①且；②或 【解析】 【分析】（1）①求出“和谐线”与x轴的交点，再用待定系数法求解即可； ②根据题意可知：反比例函数的“和谐点”是其图象与对称轴的交点，“和谐线”是与其图象有交点对称轴，可知“和谐线”是直线，再联立方程组求交点即可； ③根据题意可知：二次函数 的“和谐点”是其图象的顶点，再将解析式化为顶点式即可得解； （2）①根据图象过点A和“和谐点”在 边上，推导，再求出临界情况当，且点E与点D重合时和当，且点E不与点D重合时，两种情况下的a值，再根据点A、E不重合得到，从而利用“a的绝对值越小，二次函数图象的开口越大”得解； ②分当，即时，当，即时，当，即时，三种情况讨论，分别求出它们的最值，再根据y的最大值与最小值的差是列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：①画出直线及其“和谐线”， 设直线交x轴于点， 令，解得：， ∴， 设 “和谐线”与x轴交于点， 又∵， ∴，， ， 由题意可知：，即， ∴，即， 解得：， ∴， 设过点 A 的“和谐线”是直线， 将点A、C代入得：， 解得：， ∴过点 A 的“和谐线”是直线， 故答案为：； ②根据题意可知：反比例函数的“和谐点”是其图象与对称轴的交点，“和谐线”是与其图象有交点对称轴， ∴“和谐线”是直线， 令， 解得：，， ∴反比例函数的“和谐点”是点和， 故答案为：和，； ③根据题意可知：二次函数 的“和谐点”是其图象的顶点， ∵， 二次函数 的“和谐点”是点， 故答案为：； 【小问2详解】 ①∵矩形对角线 ， 相交于点D， ∴，，，， ∴， ∵， ∴，， 如图，过点D作于点G， ∴， 又， ∴是的中位线， ∴， ∴． ∵函数的图象经过点A， ∴， 由（1）③可知二次函数的“和谐点”是其顶点， ∵函数 的“和谐点”在 边上， ∴函数 的图象的顶点在上， ∴， ∴，， ∴， 如下图，当，且点E与点D重合时， 将点代入得：， 解得：， 如下图，当，且点E不与点D重合时， 过点D作于点H，延长到点F，使得，连接， ∵，， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 将点代入得：， 解得：， 设直线的解析式是， 将点代入解得：， ∴设直线的解析式是， 当二次函数的图象与直线只有一个交点A时，， 整理得：， ∴， 解得：， ∵函数)的图象与直线的交点为点A、E， ∴， ∵a的绝对值越小，二次函数图象的开口越大， ∴a的取值范围是且； ②a值为或，理由如下， ∵函数的图象经过点A，在矩形内的部分y 随x 的增大而增大，函数 的“和谐点”在矩形的边上， ∴函数 的“和谐点”在 边上， ∴，对称轴是y轴， 当时，， 当时，， 当时，， (I)当，即时，如下图所示： 在的范围内，函数随着x的增大而增大， ∴当时，，当时，， ∵y的最大值与最小值的差是， ∴， 解得：(不合题意，舍去) 当，且，即时， 在的范围内，函数在顶点处取得最小值， (II)当，即时， 如下图，在的范围内，函数在处取最大值 又∵y的最大值与最小值的差是， ∴， 解得：(舍去)，(舍去)，， (III)当，即时， 如下图，在的范围内，函数在处取最大值 又∵y最大值与最小值的差是， ∴， 解得：(舍去)，(舍去)，， 综上所述：a的值为：或． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，待定系数法，阅读与理解能力，化顶点式，求两函数的交点，二次函数与x轴的交点与一元二次方程的关系，勾股定理等知识，运算量较大，理解题意中的概念将 “和谐点”是其图象与对称轴的交点与其图象有交点对称轴是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$