2.2 基本不等式（第二课时）课时作业——2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

2.2 基本不等式（第二课时） 课时作业 限时：120分钟 满分：150分 一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知，，，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 2．已知，且，则的最小值为（    ） A．3 B． C．2 D． 3．已知正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．已知正实数x，y满足，则的最小值为（   ） A．24 B．25 C．26 D．27 5．已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．6 7．若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 8．已知实数x，y满足，，不等式恒成立，则实数m的最大值为（    ） A． B． C．8 D．16 二、选择题:本题共3小题,每题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9．已知正数满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为4 C．的最小值为9 D．的最小值为 10．已知正实数满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为24 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为18 11．已知均为实数，则的可能值为（    ） A． B． C．1 D．2 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 把答案填在答题卡中的横线上. 12．函数的最大值为 13．已知，，且，则的最小值是 14．已知正实数a，b满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是 ． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知，，且. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的最大值. 16．(15分)已知，求证: (1); (2). 17．(15分)已知正数，，满足，证明： (1)． (2)． 18．(17分)若方程有两个不相等的实数根，且． (1)求证：； (2)若，求的最小值． 19．(17分)因新冠疫情零星散发，某实验中学为了保障师生安全，同时考虑到节省费用，拟借助校门口一侧原有墙体建造一间高为4米、底面积为24平方米、背面靠墙体的长方体形状的隔离室．隔离室的正面需开一扇安全门，此门高为2米，且此门高为此门底的．因此室的后背面靠墙，故无需建墙费用，但需粉饰．现学校面向社会公开招标，甲工程队给出的报价：正面为每平方米360元，左右两侧面为每平方米300元，已有墙体粉饰为每平方米100元，屋顶和地面以及安全门报价共计12000元．设隔离室的左右两侧面的底边长度均为米． (1)记为甲工程队整体报价，求关于的关系式； (2)现有乙工程队也要参与此隔离室建造的竞标，其给出的整体报价为元，问是否存在实数，使得无论左右两侧底边长为多少，乙工程队都能竞标成功（注：整体报价小者竞标成功），若存在，求出满足的条件；若不存在，请说明理由． 参考解析 1．A 【解析】因为，，，则，， 可得，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值是.故选：A. 2．B 【解析】，，又， ， 当且仅当即，时等号成立.故选：B． 3．D 【解析】因为，所以，则， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为.故选：D. 4．B 【解析】因为正实数x，y满足，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为25.故选：B 5．B 【解析】由，得， 所以， 当且仅当时取等号，最小值为.故选：B. 6．B 【解析】由，，，得， 因此，则， 当且仅当，即时取等号，由，解得， 所以当时，取得最小值.故选：B 7．D 【解析】不等式有解，， ，， 当且仅当，等号成立， ，，， 实数的取值范围是．故选：D． 8．C 【解析】设，则， ， 当且仅当即时等号成立，所以不等式恒成立， 由即，解得， 所以m的最大值为8.故选：C. 9．ABD 【解析】由正数满足，可得，解得，即，当且仅当，即时等号成立，故A正确； 由正数满足，可得， 解得或（舍去），当且仅当，即时等号成立，故B正确； ，由A知， 由二次函数的单调性知，即时，的最小值为8，故C错误； 由可得，即，所以， 所以，当且仅当，即，时等号成立，故D正确. 故选：ABD 10．AB 【解析】选项A，D：因为，所以， 所以，所以，即， 当且仅当且，即时取等号， 故即的最小值为24，故A正确，D错误. 选项B，C：由，得， 故， 当且仅当且，即时取等号， 故的最小值为，故B正确，C错误. 故选：AB. 11．ABC 【解析】由题意得当同号时，有， 则， 当且仅当时等号成立，当有一个为0时，， 当异号时，有，则，     结合选项可知，的可能值为，，1，故选：ABC 12． 【解析】． 因为，所以，， 当且仅当，即 时，等号成立．所以． 13．7 【解析】方法一：因为，故，解得， 故， 当且仅当 ，即，时等号成立． 方法二：因为，则，且，故， 故， 当且仅当 ，即，时等号成立．故答案为：． 14． 【解析】因为正实数a，b满足，， 所以， 因为， 当且仅当，即时取等号，所以， 所以不等式恒成立，只需即可. 15．【解析】（1）由，得，又，， 所以， 当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为8； （2）由恒成立，得恒成立， 又，所以， 由（1）可知，所以， 当且仅当，即，时等号成立，即，故的最大值是4. 16．【解析】（1）， ， 当且仅当，即时等号成立. （2）， . 当且仅当时，即时等号成立. 17．【解析】本题考查利用基本不等式证明不等式，体现了逻辑推理、数学运算等核心素养． （1）由，得， 当且仅当时，取得等号． （2）由基本不等式可知，，，， 所以， 当且仅当时，取得等号． 18．【解析】（1）证明：根据韦达定理得，，， 所以，所以. （2） ， 因为，所以，所以， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最小值为8. 19．【解析】（1）由题意，隔离室的左右两侧的长度均为x米()，则底面长为米，正面费用为 , 故 ，. （2）由题意知, ，对任意都成立, 即对任意恒成立， 令 ,则， 则， 而，当且仅当取等号， 故 ， 即存在实数，无论左右两侧长为多少，乙工程队都能竞标成功. 学科网（北京）股份有限公司 $$