精品解析：2024年河南省中考数学模拟试题

2024年中考数学模拟试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 计算的最后结果是（ ） A. 1 B. C. 5 D. 2. 第19届亚运会女子排球决赛中，中国队战胜日本队，获得了冠军．领奖台的示意图如图所示，则此领奖台的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 华为手机使用了自主研发的海思麒麟芯片，目前最新的型号是麒麟，芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求是体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的电力功耗，而麒麟的晶体管栅极的宽度达到了毫米，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，，则的度数为（ ） A 10° B. 15° C. 20° D. 30° 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B. C. D. 7. 下列判断正确的是（ ） A. “四边形对角互补”必然事件 B. 一组数据6，5，8，7，9的中位数是8 C. 神舟十三号卫星发射前的零件检查，应选择抽样调查 D. 甲、乙两组学生身高的方差分别为，，则乙组学生的身高较整齐 8. 如图所示，在方格纸中经过变换得到，正确的变换是（ ） A. 把 向右平移格 B. 把 向右平移格，再向上平移格 C. 把 绕着点 顺时针旋转，再向右平移格 D. 把 绕着点 逆时针旋转，再向右平移格 9. 如图，在边长为4的正方形中，点是上的一点，且，于点，，且交于点，则的值为（　　） A B. C. D. 10. 如图，为矩形的边上一点，点从点出发沿折线运动到点停止，点从点出发沿运动到点停止，它们的运动速度都是，现，两点同时出发，设运动时间为，的面积为，若与的对应关系如图所示，则矩形的面积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 比较大小：______4（填“>”，“<”或“=”）． 12. “四书五经”中的四书是指：《论语》、《孟子》、《大学》、《中庸》，若从这四部著作中随机抽取两本作为课外兴趣研读，则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是______． 13. 如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为cm，侧面积为，则这个扇形的圆心角的度数是__________度． 14. 如图，菱形ABCD的边BC在x轴上，顶点A，D分别在函数，的图像上．若，则A的坐标为______． 15. 在矩形中，，点P是直线一动点，若将沿折叠，使点B落在点E处，连接，若P、E、D三点在同一条直线上，则_______． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 某学校调查九年级学生对“二十大”知识的了解情况，进行了“二十大”知识竞赛测试，从两班各随机抽取了名学生的成绩，整理如下：（成绩得分用表示，共分成四组：，，，） 九年级（1）班名学生的成绩是，，，，，，，，，． 九年级（2）班名学生的成绩在组中的数据是，，． 通过数据分析，列表如下： 平均数 中位数 众数 方差 九年级（1）班 九年级（2）班 九年级（2）班学生成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述、、的值：          ，          ，          ． （2）学校欲选派成绩更稳定的班级参加下一阶段的活动，根据表格中的数据，学校会选派哪一个班级？说明理由． （3）九年级两个班共人参加了此次调查活动，估计两个班参加此次调查活动成绩优秀的学生总人数是多少． 18. 如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，交于点，连接，，． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）当时，若四边形的面积为，求的值． 19. 神舟十七号飞船即将荣耀归来，为激发同学们对航天事业的兴趣，学校组织了一场以“飞天”为主题的文艺晚会，打算购买一些“飞天”装饰挂件与专属航天印章送给学生留作纪念．已知每盒挂件有30个，每盒印章有20个，且都只能整盒购买，每盒挂件的价钱比每盒印章的价钱多10元；用100元购买挂件的盒数与用75元购买印章的盒数相同． （1）求每盒挂件和每盒印章的价格分别为多少元? （2）如果给每位学生分发2个挂件与2个印章．设购买挂件a盒，购买印章b盒恰好能配套分发，则______（用含a代数式表示）； （3）累计购买超过850元后，超出850元的部分有6折的优惠．学校以（2）中的配套方式购买，共需要花费w元，求w关于a的函数关系式．若该校某年级有750名学生，则需要购买挂件与印章各多少盒?共需要多少费用? 20. 某停车场入口“曲臂直杆道闸”在工作时，一曲臂杆绕点匀速旋转，另一曲臂杆始终保持与地面平行．如图，是曲臂直杆道闸关闭时的示意图，此时、、在一条直线上．已知闸机高度为，，，入口宽度为． （1）如图，因机器故障，曲臂杆最多可旋转，求此时点到地面的距离； （2）在（1）的条件下，一辆宽为、高为的货车可否顺利通过入口？请说明理由．（参考数据：，，，结果精确到） 21. 问题提出：在△ABC中，线段AB＝a，在线段AB上作两点E、F（不包括A、B），使△CEF的周长为a．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 自主探究：已知△ABC是等边三角形，线段AB＝a，请在△ABC的外接圆上找一点P，在线段AB上作两点E、F（不包括A、B），使△PEF周长为a，且∠EPF＝60°．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 能力提升：如图，已知△ABC中，∠A＝60°，BC＝6，则△ABC周长的最大值为______． 22. 在平面直角坐标系xOy中，点（m – 2, y1），（m, y2），（2- m, y3）在抛物线y = x2－2ax + 1上，其中m≠1且m≠2． （1）直接写出该抛物线的对称轴的表达式（用含a的式子表示）； （2）当m = 0时，若y1= y3，比较y1与y2的大小关系，并说明理由； （3）若存在大于1的实数m，使y1＞y2＞y3，求a的取值范围． 23. 在等腰中，，，是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转，得到，连接． （1）如图1，当点落在边的延长线上时，连接，，求； （2）如图2，取的中点，连接，，求证：； （3）如图3，当时，点是直线上一动点，连接，将沿着翻折得到，连接、，若，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年中考数学模拟试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 计算的最后结果是（ ） A. 1 B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先计算绝对值，再将减法转化为加法运算即可得到最后结果． 【详解】解：原式， 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值化简和有理数的加减法运算，解决本题的关键是牢记绝对值定义与有理数运算法则，本题较基础，考查了学生对概念的理解与应用． 2. 第19届亚运会女子排球决赛中，中国队战胜日本队，获得了冠军．领奖台的示意图如图所示，则此领奖台的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图可得答案． 【详解】解：该领奖台从正面看是三个长方形，且中间长方形高，两边长方形低， ∴领奖台的主视图是 故选：B． 3. 华为手机使用了自主研发的海思麒麟芯片，目前最新的型号是麒麟，芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求是体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的电力功耗，而麒麟的晶体管栅极的宽度达到了毫米，将数据用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，为由原数左起第一个不为的数字前面的的个数所决定；解题时只要明确用科学记数法可以表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，为由原数左起第一个不为的数字前面的的个数所决定即可． 【详解】解：对于来说前面有个， ； 故选：B 4. 下列计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘除法以及幂的乘方，掌握运算法则是解题的关键．根据合并同类项、同底数幂的乘除法以及幂的乘方进行计算即可． 【详解】解：A、，不能合并，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，故D正确； 故选：D． 5. 如图，，，则的度数为（ ） A. 10° B. 15° C. 20° D. 30° 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查平行线的性质，过点B作，根据平行线的性质计算出角度即可． 【详解】解：如图，过点B作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 数轴表示如下所示： ， 故选：C． 7. 下列判断正确的是（ ） A. “四边形对角互补”是必然事件 B. 一组数据6，5，8，7，9的中位数是8 C. 神舟十三号卫星发射前的零件检查，应选择抽样调查 D. 甲、乙两组学生身高方差分别为，，则乙组学生的身高较整齐 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了必然事件，方差的意义，抽样调查与普查，中位数，根据必然事件，中位数，方差的意义，抽样调查与普查逐项分析判断即可． 【详解】A、“四边形对角不一定互补”，故四边形对角一定互补是随机事件，故该选项不正确，不符合题意； B、一组数据6，5，8，7，9，重新排列为5，6，7，8，9，则中位数是7，故该选项不正确，不符合题意； C、神舟十三号卫星发射前的零件检查，这个调查很重要不可漏掉任何零件，应选择全面调查，故该选项不正确，不符合题意； D、甲、乙两组学生身高的方差分别为s甲2＝1.6，s乙2＝0.8，则乙组学生的身高较整齐，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 8. 如图所示，在方格纸中的经过变换得到，正确的变换是（ ） A. 把 向右平移格 B. 把 向右平移格，再向上平移格 C. 把 绕着点 顺时针旋转，再向右平移格 D. 把 绕着点 逆时针旋转，再向右平移格 【答案】D 【解析】 【分析】本题用到了旋转变换与平移变换，观察图象可知，先把绕着点逆时针方向旋转，然后再向右平移即可得到． 【详解】解：根据图象，绕着点逆时针方向旋转与形状相同，向右平移格就可以与重合． 故选D． 9. 如图，在边长为4的正方形中，点是上的一点，且，于点，，且交于点，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正方形的边长为4及，可求出的长，进而求出的长，证，利用相似三角形对应边成比例可求得、的长，证，得，根据线段的和差求得的长即可． 【详解】解：四边形是正方形，， ，，， ， ， ， 在中，，则由勾股定理可得， ， ， ， ，即， ，， 又， ， 又，， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正切的定义等知识，灵活运用相似三角形的判定与性质求出线段的长是解答本题的关键． 10. 如图，为矩形的边上一点，点从点出发沿折线运动到点停止，点从点出发沿运动到点停止，它们的运动速度都是，现，两点同时出发，设运动时间为，的面积为，若与的对应关系如图所示，则矩形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，三角形的面积等知识，熟练掌握数形结合思想方法是解题的关键． 过点作，由三角形面积公式求出，由图可知当时，点与点重合，则，可得出答案． 【详解】解：从函数的图象和运动的过程可以得出：当点运动到点时，，，此时， 过点作于， 由三角形面积公式得：， 解得， ， 由图可知当时，点与点重合， ， 矩形的面积为 故选B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 比较大小：______4（填“>”，“<”或“=”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，无理数的估算，根据题意得到，进而得到，解题的关键是根据无理数的估算方法得到． 【详解】解：∵ ∴ ∴． 故答案为：． 12. “四书五经”中的四书是指：《论语》、《孟子》、《大学》、《中庸》，若从这四部著作中随机抽取两本作为课外兴趣研读，则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将《论语》，《孟子》，《大学》，《中庸》分别记为，，，， 列表如下： 共有12种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的结果有：，，共2种， 抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率为， 故答案为：． 13. 如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为cm，侧面积为，则这个扇形的圆心角的度数是__________度． 【答案】150 【解析】 【分析】根据圆锥底面周长与展开后所得的扇形的弧长相等，圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等，利用扇形面积公式与弧长公式计算即可． 【详解】设圆锥的母线长为l cm，扇形的圆心角为n°， ∵圆锥的底面圆周长为20πcm， ∴圆锥的侧面展开图扇形的弧长为20πcm， 由题意得：×20π×l=240π， 解得：l=24， 则=20π. 解得n=150，即扇形的圆心角为150°， 故答案为:150． 【点睛】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与圆锥之间的关系是解决本题的关键. 14. 如图，菱形ABCD的边BC在x轴上，顶点A，D分别在函数，的图像上．若，则A的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点D作DE⊥x轴于点E，设DE=n，则，，即可得出，然后根据菱形的性质及含30°直角三角形的性质可求出n的值，进而问题可求解． 【详解】解：过点D作DE⊥x轴于点E，如图所示： 设DE=n，由四边形ABCD菱形可知：， ∴点A、D的纵坐标为n， ∵顶点A，D分别在函数，的图像上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴点； 故答案为． 【点睛】本题主要考查反比例函数与几何的综合、含30度直角三角形的性质及菱形的性质，熟练掌握反比例函数与几何的综合、含30度直角三角形的性质及菱形的性质是解题的关键． 15. 在矩形中，，点P是直线一动点，若将沿折叠，使点B落在点E处，连接，若P、E、D三点在同一条直线上，则_______． 【答案】1或9 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，矩形性质中折叠问题，全等三角形性质及判定．解题的关键是根据题意分情况讨论． 由勾股定理可以求出的长，设，在直角三角形中，有勾股定理列方程即可，另一种情况先证明，再利用勾股定理即可． 【详解】解：根据题意得：， 分情况讨论： 当点在线段上时， 根据折叠性质：， 在中，， 设，则， 在中，， 解得：， 当点在线段的延长线上时， 根据折叠性质：， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， 综上：的长为1或9， 故答案为：1或9． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）原式第一项利用绝对值的代数意义进行化简，第二项利用负指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果； （2）分别运用完全平方公式和平方差公式将括号展开，再合并即可得到结果． 【详解】（1） ； （2） . ． 【点睛】此题考查了实数的运算以及整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 17. 某学校调查九年级学生对“二十大”知识的了解情况，进行了“二十大”知识竞赛测试，从两班各随机抽取了名学生的成绩，整理如下：（成绩得分用表示，共分成四组：，，，） 九年级（1）班名学生的成绩是，，，，，，，，，． 九年级（2）班名学生的成绩在组中的数据是，，． 通过数据分析，列表如下： 平均数 中位数 众数 方差 九年级（1）班 九年级（2）班 九年级（2）班学生成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述、、的值：          ，          ，          ． （2）学校欲选派成绩更稳定的班级参加下一阶段的活动，根据表格中的数据，学校会选派哪一个班级？说明理由． （3）九年级两个班共人参加了此次调查活动，估计两个班参加此次调查活动成绩优秀的学生总人数是多少． 【答案】（1），， （2）这次比赛中，学校会选派九年级（1）班，理由见解析 （3）估计两个班参加此次调查活动成绩优秀的学生总人数是 【解析】 【分析】（1）将九年级（1）班10名学生的成绩按由小到大的顺序排列，再结合中位数和众数的定义即可求出b和c的值；由题意可知九年级（2）班C组有3人，即可求出其所占百分比，最后用其它各组所占百分比即可求出a的值； （2）直接比较两个班级的方差即可； （3）求出样本中两个班级成绩优秀的人数，再利用样本的百分率估计总体即可得到答案． 【小问1详解】 解：九年级（2）班组占的百分比为， ， ， 九年级（1）班名学生的成绩从低到高排列后，第和第位的数是和， ． 九年级（1）班名学生的成绩中，出现的次数最多， 众数． 【小问2详解】 解：这次比赛中，学校会选派九年级（1）班． 理由：九年级（1）班成绩的方差小于九年级（2）班的方差， 九年级（1）班成绩更稳定， 学校会选派九年级（1）班． 【小问3详解】 解：九年级（1）班10名学生的成绩为优秀的有6人 九年级（2）班D组的人数为(人)， ∴九年级（2）班10名学生的成绩为优秀的有(人)． ∴估计参加此次调查活动成绩优秀的九年级学生人数是∶ (人)． 答：估计两班参加此次调查活动成绩优秀的学生总人数是78人． 【点睛】本题考查的是扇形统计图，统计表，众数，中位数，方差的含义及应用，同时考查了利用样本估计总体，熟练掌握以上知识是解题的关键． 18. 如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，交于点，连接，，． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）当时，若四边形面积为，求的值． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】将点，代入一次函数中求出，，然后再将点代入反比例函数中求出即可； 由，得出，再结合四边形的面积为进行解答； 本题考查了一次函数与反比例函数的综合，待定系数法求一次函数与反比例函数解析式有关知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 ∵直线经过点，与轴交于点， ∴，解得， ∴一次函数的解析式为， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 由题意得点，， ∴， ∴， ∴， 整理，得， ∴， 解得或， ∵， ∴． 19. 神舟十七号飞船即将荣耀归来，为激发同学们对航天事业的兴趣，学校组织了一场以“飞天”为主题的文艺晚会，打算购买一些“飞天”装饰挂件与专属航天印章送给学生留作纪念．已知每盒挂件有30个，每盒印章有20个，且都只能整盒购买，每盒挂件的价钱比每盒印章的价钱多10元；用100元购买挂件的盒数与用75元购买印章的盒数相同． （1）求每盒挂件和每盒印章的价格分别为多少元? （2）如果给每位学生分发2个挂件与2个印章．设购买挂件a盒，购买印章b盒恰好能配套分发，则______（用含a代数式表示）； （3）累计购买超过850元后，超出850元的部分有6折的优惠．学校以（2）中的配套方式购买，共需要花费w元，求w关于a的函数关系式．若该校某年级有750名学生，则需要购买挂件与印章各多少盒?共需要多少费用? 【答案】（1）每盒挂件为40元，每盒印章为30元 （2） （3）需要购买50盒挂件与75盒印章，共需要2890元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，分段函数及一次函数的应用，能够根据题意列出准确的分式方程，求费用的最大值转化为求一次函数的最大值是解题的关键． （1）设每盒挂件的价格为x元，则每盒印章为元，根据题意即可列出分式方程，解分式方程即可求得． （2）根据配套问题，a盒挂件与b盒印章恰好分发配套，列出用含a的代数式表示b即可． （3）根据累计购买炒超过850元后，超出850元的部分有6折的优惠，分段可求得解析式，据此即可解答． 【小问1详解】 解：设每盒挂件的价格为x元，则每盒印章为元， 根据题意，得， 解得， 检验：当时，， ∴是分式方程的解，且符合题意， ∴（元）． 答：每盒挂件为40元，每盒印章为30元． 【小问2详解】 ∵a盒挂件与b盒印章恰好能配套分发， ∴， ∴． 【小问3详解】 当，即时，， 当，即时，， ∴， ∵挂件需要（个），印章需要（个）， ∴需要购买挂件（盒），印章（盒）， ∴总费用（元）． 答：需要购买50盒挂件与75盒印章，共需要2890元． 20. 某停车场入口“曲臂直杆道闸”在工作时，一曲臂杆绕点匀速旋转，另一曲臂杆始终保持与地面平行．如图，是曲臂直杆道闸关闭时的示意图，此时、、在一条直线上．已知闸机高度为，，，入口宽度为． （1）如图，因机器故障，曲臂杆最多可旋转，求此时点到地面的距离； （2）在（1）的条件下，一辆宽为、高为的货车可否顺利通过入口？请说明理由．（参考数据：，，，结果精确到） 【答案】（1）点到地面的距离约为 （2）一辆宽为、高为的货车可利通过门口，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质，解直角三角形的应用，添加恰当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点作于点，过点作于点，易得四边形为矩形，得到，利用三角函数解答即可； 当货车靠右侧行驶，则车身到用机的距离，作，交于，作，证四边形为矩形，解直角三角形即可． 【小问1详解】 解：过点作于点，过点作于点，如图， 由题意得：，，， ，，， 四边形为矩形， ， 在中， ， ， 即点到地面的距离约为； 【小问2详解】 一辆宽为、高为的货车可利通过门口． 理由： 当货车靠右侧行驶，则车身到闸机的距离，作，交于，作， 又， 四边形为矩形， 在中，，， ， 货车高度 综上，一辆宽为、高为的货车可利通过门口． 21. 问题提出：在△ABC中，线段AB＝a，在线段AB上作两点E、F（不包括A、B），使△CEF的周长为a．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 自主探究：已知△ABC是等边三角形，线段AB＝a，请在△ABC的外接圆上找一点P，在线段AB上作两点E、F（不包括A、B），使△PEF周长为a，且∠EPF＝60°．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 能力提升：如图，已知△ABC中，∠A＝60°，BC＝6，则△ABC周长的最大值为______． 【答案】问题提出：见解析；自主探究：见解析；能力提升：18 【解析】 【分析】问题提出：作线段AC的垂直平分线，交AB于E，再作BC的垂直平分线交AB于F；连接CE，CF，则△CDE为所求的三角形 自主探究：在劣弧AB上任意取一点P，连接PA，PB，作线段PA，PB的垂直平分线分别交AB于点E，F，连接PE，PF，△PEF即为所求； 能力提升：当△ABC是等边三角形时，周长最大，由此可得结论． 【详解】问题提出：如图1中，△DEF即为所求； 自主探究：如图2中，△PEF即为所求． 能力提升：∵∠A=60°，BC=6， ∴当AB=AC时，△ABC是等边三角形，此时周长最大，最大值为18． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 22. 在平面直角坐标系xOy中，点（m – 2, y1），（m, y2），（2- m, y3）在抛物线y = x2－2ax + 1上，其中m≠1且m≠2． （1）直接写出该抛物线的对称轴的表达式（用含a的式子表示）； （2）当m = 0时，若y1= y3，比较y1与y2的大小关系，并说明理由； （3）若存在大于1的实数m，使y1＞y2＞y3，求a的取值范围． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3）a的取值范围是 【解析】 【分析】（1）直接根据对称轴公式求即可； （2）当时，这三个点分别为（，），（0，），（2，），再结合y1= y3，即可求出函数解析式，判断即可； （3）将（m – 2, y1），（m, y2），（2- m, y3）代入y = x2－2ax + 1中，再解不等式即可； 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 当时， 这三个点分别为（，），（0，），（2，）， ∵ ， ∴ （，）与（2，）关于对称轴对称， ∴ 抛物线的对称轴为， 即． ∴函数解析式为 ∴ （0，）为抛物线的顶点． ∵ 抛物线的开口向上， ∴ 当时，为函数的最小值． ∴ ． 【小问3详解】 将，和分别代入，得： ， ， ． 则有：， ， 于是成立，即为和同时成立， 也即为和同时成立． ① 当时，， 故，不存在大于1的实数m； ② 当时，， 要使，则，也不存在大于1的实数m； ③ 当时，，不符合题意； ④ 时， 只需取满足的m即可满足前述两个不等式同时成立， 即成立． 综上所述，a的取值范围是． 【点睛】本题考查二次函数的性质，熟悉二次函数的性质是解题的关键，（3）需要注意分类讨论． 23. 在等腰中，，，是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转，得到，连接． （1）如图1，当点落在边的延长线上时，连接，，求； （2）如图2，取的中点，连接，，求证：； （3）如图3，当时，点是直线上一动点，连接，将沿着翻折得到，连接、，若，请直接写出的最小值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先证，由等腰直角三角形的性质可求，由三角形的面积公式可求解； （2）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，由等腰三角形的性质可得结论； （3）通过证明，可得，可得，则，即当点，点，点三点共线时，有最小值为的长，由勾股定理可求解． 【小问1详解】 解：延长交于，如图1所示： ，， ， ，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 证明：延长到，使，连接，，如图2所示： 点是的中点， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ， 又， ； 【小问3详解】 解：，， ， ，， ， ， ， ， ，， 在上取一点，使，连接，如图3所示： 将沿着翻折得到， ， ， ， 又， ， ， ， ， 当点，点，点三点共线时，有最小值为的长， ， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，锐角三角函数等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$