精品解析：山东省威海市城里中学2022-2023学年八年级上学期期中数学试题

第一学期期中质量检测 一、选择题 1. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 分式，，的最简公分母是（ ） A. B. C. D. 3. 若、的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果分式 的值为负数,则x的取值范围是( ) A. B. C. D. 5. 下列关于分式方程增根的说法正确的是（ ） A. 使所有的分母的值都为零的解是增根 B. 分式方程的解为零就是增根 C. 使分子的值为零的解就是增根 D. 使最简公分母的值为零的解是增根 6. 已知是有理数，则多项式的值是（ ） A. 一定为负数 B. 不可能为正数 C. 一定为正数 D. 可能为正数、负数、0 7. 对于下列说法，错误的个数是（ ） ①是分式；②分解因式为；③当时，分式的值是零；④；⑤；⑥ A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 8. 用换元法解分式方程时，如果设，将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是　　 A. B. C. D. 9. 样本数据3，，6，4，2的平均数是4，则这个样本的中位数和方差分别为（ ） A. 4，2 B. 6， C. 6，2 D. 5， 10. 若，则的值为（ ） A. 1 B. C. 4或 D. 或1 11. 若关于的分式方程无解，则的值为（ ） A. B. －1 C. 或0 D. 0或－1 12. 某工程需要在规定时间内完成，如果甲工程队单独做，恰好如期完成； 如果乙工程队单独做，则多用天，现在甲、乙两队合做天，剩下的由乙队单独做，恰好如期完成，求规定时间．如果设规定日期为天，下面所列方程中错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 13. 若，则的值是__________． 14. 把分解因式正确的结果是_____________． 15. 设、、是三角形的三边长，且满足，则此三角形的形状为__________． 16. 关于x的分式方程有解，则满足______． 17. 某人生产一种零件，计划在30天内完成，若每天多生产6个，则25天完成且还多生产10个，问原计划每天生产多少个零件？设原计划每天生产个零件，则根据题意列方程得__________． 18. 如图是某同学6次数学测验成绩统计表，则该同学6次成绩的中位数是__________． 三、解答题． 19. 将下列各式分解因式： （1）； （2）； （3） 20. 计算： （1）； （2） 21. 解分式方程： （1） （2） 22. （1）先化简，再求值：，其中． （2）化简，并求值，其中与2，3构成的三边且为整数． 23. 为了推动体育运动的广泛开展，引导学生走向操场，走进大自然，走到阳光下，积极参加体育锻炼，学校准备购买一批运动鞋供学生借用．现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受随机抽样调查的学生人数为______，图①中的值为______； （2）求本次调查获取的样本数据的众数和中位数； （3）根据样本数据，若学校计划购买200双运动鞋，建议购买35号运动鞋多少双？ 24. 班级组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有90公里，队伍8：00从学校出发．苏老师因有事情，8：30从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地．问： （1）大巴与小车的平均速度各是多少？ （2）苏老师追上大巴的地点到基地的路程有多远？ 25. 阅读下列材料： 关于的分式方程的解是，；，即的解是，；的解是，；的解是，； （1）请观察上述方程与解的特征，比较关于的方程与它的关系，猜想它的解是什么，并利用方程解的概念进行验证； （2）由上述的观察，解关于的方程：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一学期期中质量检测 一、选择题 1. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了最简分式的定义，最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 【详解】解：A、不是最简分式，不符合题意； B、不是最简分式，不符合题意； C、是最简分式，符合题意； D、不是最简分式，不符合题意； 故选：C． 2. 分式，，的最简公分母是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了最简公分母．先把分母分解因式，再根据最简公分母定义即可求出． 【详解】解：∵，，， ∴最简公分母是． 故选：C 3. 若、的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把对应分式中的、分别用、替换后约分化简即可得到答案． 【详解】解：A、，分式的值保持不变，符合题意； B、，分式的值发生了变化，不符合题意； C、，分式的值发生了变化，不符合题意； D、，分式的值发生了变化，不符合题意； 故选：A． 4. 如果分式 的值为负数,则x的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由于分式 的值为负数，而分子为正数，则分母小于0，然后解不等式即可； 【详解】解：当1-2x＜0时,分式的值为负数,即 ， 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的值，解题的关键是分析得到关于x的不等式 5. 下列关于分式方程增根的说法正确的是（ ） A. 使所有的分母的值都为零的解是增根 B. 分式方程的解为零就是增根 C. 使分子的值为零的解就是增根 D. 使最简公分母的值为零的解是增根 【答案】D 【解析】 【分析】分式方程的增根是最简公分母为零时，未知数的值． 【详解】解：分式方程的增根是使最简公分母的值为零的解． 故选D． 【点睛】本题考查分式方程的增根．熟练掌握分式方程增根的定义是解题的关键. 6. 已知是有理数，则多项式的值是（ ） A. 一定为负数 B. 不可能为正数 C. 一定为正数 D. 可能为正数、负数、0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式．先利用完全平方公式将多项式变形为，再根据平方数非负数进行判断即可． 【详解】解： ， 即多项式的值是不可能为正数． 故选：B 7. 对于下列说法，错误的个数是（ ） ①是分式；②分解因式为；③当时，分式的值是零；④；⑤；⑥ A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的定义，性质，分式的代入求值，化简，因式分解的方法，即可求解． 【详解】解：分母中的是常数，不是字母，不是分式，故①错误； 分解因式为，故②错误； 当时，分式有意义，且值是零，故③正确； ，故④错误； ，分子、分母同时乘以，值不变，故⑤正确； ，故⑥错误． 综上所述，错误的有①②④⑥， 故选：． 【点睛】本题主要考查分式的定义，性质，代入求值，化简，因式分解的方法，掌握分式的性质，因式分解是解题的关键． 8. 用换元法解分式方程时，如果设，将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是　　 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】换元法即是整体思想的考查，解题的关键是找到这个整体，此题的整体是，设，换元后整理即可求得． 【详解】解：把代入方程， 得：． 方程两边同乘以y得：． 故选：A． 【点睛】用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧． 9. 样本数据3，，6，4，2的平均数是4，则这个样本的中位数和方差分别为（ ） A. 4，2 B. 6， C. 6，2 D. 5， 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求方差，求中位数，根据平均数求未知数据，先根据平均数求出a的值，再根据中位数和方差的定义求解即可． 【详解】解：∵样本数据3，，6，4，2的平均数是4， ∴， ∴， ∴把这组数据从小到大排列为2，3，4，5，6， ∴中位数为4，方差为， 故选：A． 10. 若，则的值为（ ） A. 1 B. C. 4或 D. 或1 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，利用十字相乘法得到，则或，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴或 ∴或， 故选：C． 11. 若关于的分式方程无解，则的值为（ ） A. B. －1 C. 或0 D. 0或－1 【答案】C 【解析】 【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．本题考查了分式方程无解的条件，是需要熟记的内容． 【详解】解：方程去分母得，， ． 如果原分式方程无解，那么分两种情况： ①当时，方程无解，所以分式方程无解； ②，解方程，得， 当分母即时原分式方程无解． 由，得． 经检验，符合题意， 故当或时，分式方程无解． 故选：C 12. 某工程需要在规定时间内完成，如果甲工程队单独做，恰好如期完成； 如果乙工程队单独做，则多用天，现在甲、乙两队合做天，剩下的由乙队单独做，恰好如期完成，求规定时间．如果设规定日期为天，下面所列方程中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设总工程量为，因为甲工程队单独去做，恰好能如期完成，所以甲的工作效率为；因为乙工程队单独去做，要超过规定日期天，所以乙的工作效率为，根据甲、乙两队合做天，剩下的由乙队独做，恰好在规定日期完成，列方程即可． 【详解】解：设规定日期为天， 由题意可得，， 整理得，或或． 则选项均正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程． 二、填空题 13. 若，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的求值，根据已知条件式推出，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 把分解因式正确的结果是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】由于后三项符合完全平方公式，应考虑三一分组，然后再用平方差公式进行二次分解． 【详解】解： ． 故答案为． 【点睛】本题考查分组分解法后再用公式因式分解的方法，掌握因式分解的方法，特别是超过三项以上要进行分组考虑是解题关键． 15. 设、、是三角形的三边长，且满足，则此三角形的形状为__________． 【答案】等腰三角形 【解析】 【分析】本题考查了完全公式公式、平方差公式的应用，等式的性质，先整理，得出，结合、、是三角形的三边长，得出，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 则 ∵、、是三角形的三边长， ∴ ∴ ∴此三角形的形状为等腰三角形， 故答案为：等腰三角形 16. 关于x的分式方程有解，则满足______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的含参问题，解题的关键重在结合题干的限定，同时不要忘记分母不能为0，故先去分母得到，再通过去括号、移项、合并同类项得到，再根据分式方程有意义的条件即可得到答案． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：， ∵该方程有解， ∴且， ∴且， ∴且， 故答案为：且． 17. 某人生产一种零件，计划在30天内完成，若每天多生产6个，则25天完成且还多生产10个，问原计划每天生产多少个零件？设原计划每天生产个零件，则根据题意列方程得__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设原计划每天生产个零件，根据计划在30天内完成可知零件数为个，根据每天多生产6个，则25天完成且还多生产10个可知零件数为个，据此列出方程即可． 【详解】解：设原计划每天生产个零件， 由题意得，， 故答案为：． 18. 如图是某同学6次数学测验成绩统计表，则该同学6次成绩的中位数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求中位数，把一组数据按照一定的顺序排列，处在最中间的数据或最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可． 【详解】解：把这6次成绩按照从低到高排列为60，65，70，80，80，85， ∴中位数为， 故答案为：． 三、解答题． 19. 将下列各式分解因式： （1）； （2）； （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解： （1）先分组得到，再利用平方差公式和提公因式法分解因式即可； （2）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （3）先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 20. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． （1）先把括号内的分式进行通分，再算括号里面的，再算除法即可； （2）先把括号内的分式进行通分，再算括号里面的，再算除法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 21. 解分式方程： （1） （2） 【答案】（1）无解；（2）x=0 【解析】 【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． （2）将原式进行通分，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】(1)去分母得：x(x+2)−x2+4=8， 去括号得：x2+2x−x2+4=8， 移项合并得：2x=4， 解得：x=2， 经检验x=2是增根，分式方程无解； （2）去分母得： 去括号得： 移项合并得： 解得： x=0. 经检验x=0，是方程的解． 【点睛】此题考查解分式方程，解题关键在于检验分式方程的解． 22. （1）先化简，再求值：，其中． （2）化简，并求值，其中与2，3构成的三边且为整数． 【答案】（1），；（2），当时，原式 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，二次根式的混合计算，构成三角形的条件： （1）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可； （2）先计算分式乘法，再计算分式减法化简，接着根据构成三角形的条件和分式有意义的条件确定符合题意的a的值，最后代值计算即可． 【详解】解：（1） ， 当时，原式； （2） ， ∵与2，3构成的三边且为整数． ∴，即且为整数， ∵分式要有意义， ∴， ∴且， ∴当时，原式． 23. 为了推动体育运动的广泛开展，引导学生走向操场，走进大自然，走到阳光下，积极参加体育锻炼，学校准备购买一批运动鞋供学生借用．现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受随机抽样调查的学生人数为______，图①中的值为______； （2）求本次调查获取的样本数据的众数和中位数； （3）根据样本数据，若学校计划购买200双运动鞋，建议购买35号运动鞋多少双？ 【答案】（1）40人，15 （2）35；36 （3）60双 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，中位数和众数： （1）根据条形统计图可得调查的学生人数；利用34号鞋的学生人数除以总人数可得的值； （2）根据众数和中位数的定义即可得； （3）利用200乘以35号鞋的学生所占百分比即可得． 【小问1详解】 解：本次接受随机抽样调查的学生人数为（人）， ， 则， 故答案为：40人，15； 【小问2详解】 解：∵在这组样本数据中，35出现了12次，出现的次数最多， ∴这组样本数据的众数为35； ∵将这组样本数据按从小到大进行排列后，第20个数和第21个数都是36， ∴这组样本数据的中位数为； 【小问3详解】 （双）， 答：建议购买35号运动鞋60双． 24. 班级组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有90公里，队伍8：00从学校出发．苏老师因有事情，8：30从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地．问： （1）大巴与小车的平均速度各是多少？ （2）苏老师追上大巴的地点到基地的路程有多远？ 【答案】（1）大巴的平均速度为40公里/时，则小车的平均速度为60公里/时；（2）苏老师追上大巴的地点到基地的路程有30公里 【解析】 【分析】（1）根据“大巴车行驶全程所需时间=小车行驶全程所需时间+小车晚出发的时间+小车早到的时间”列分式方程求解可得； （2）根据“从学校到相遇点小车行驶所用时间+小车晚出发时间=大巴车从学校到相遇点所用时间”列方程求解可得． 【详解】（1）设大巴的平均速度为x公里/时，则小车的平均速度为1.5x公里/时，根据题意，得： =++ 解得：x=40． 经检验：x=40是原方程的解，∴1.5x=60公里/时． 答：大巴的平均速度为40公里/时，则小车的平均速度为60公里/时； （2）设苏老师赶上大巴的地点到基地的路程有y公里，根据题意，得： += 解得：y=30． 答：苏老师追上大巴的地点到基地的路程有30公里． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目中蕴含的相等关系，并依据相等关系列出方程． 25. 阅读下列材料： 关于的分式方程的解是，；，即的解是，；的解是，；的解是，； （1）请观察上述方程与解的特征，比较关于的方程与它的关系，猜想它的解是什么，并利用方程解的概念进行验证； （2）由上述的观察，解关于的方程：． 【答案】（1） 解：由题意可猜想方程的解为， 验证：当时，方程的左边方程的右边， ∴是方程的解； 当时，方程的左边方程的右边， ∴是方程的解； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程： （1）根据材料即可判断方程的解，然后代入到方程的左右两边检验即可； （2）将方程左右两边同时减去1，变为题干中的形式，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得． 经检验，都是原方程的解，且符合题意． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $