专题03 有理数的乘方重难点题型专训（13大题型+21道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教版2024）

专题03 有理数的乘方重难点题型专训（13大题型+21道拓展培优） 题型一 有理数幂的概念理解 题型二 有理数的乘方运算 题型三 有理数乘方逆运算 题型四 乘方运算的符号规律 题型五 乘方的应用 题型六 用科学记数法表示绝对值大于1的数 题型七 将用科学记数法表示的数变回原数 题型八 有理数四则混合运算 题型九 有理数四则混合运算的实际应用 题型十 程序流程图与有理数计算 题型十一 算24点 题型十二 含乘方的有理数混合运算 题型十三 有理数乘方的新定义运算 知识点01：有理数的乘方 1.乘方的概念：一般地，n个相同的因数a相乘，记作，读作a的n次方。 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。 2.乘方的结果叫做幂（power）；在中，a叫做底数（base number），n叫做指数（exponent）。 知识点02：有理数的混合运算 1.有理数混合运算法则：①先算乘方,再算乘除,最后算加减。 ②如果有括号,先算括号里面的。 2.混合运算顺序：· 先算乘方，再乘除，后加减； · 同级运算，从左到右进行； · 如有括号，先算括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 【经典例题一 有理数幂的概念理解】 【例1】（23-24七年级上·河北邢台·期中）若是的倍，则的值是（　　） A．2 B．8 C． D． 1．（23-24七年级上·河北承德·期末）表示（    ） A．与4的积 B．4个的积 C．4个的和 D．3个的积 2．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）已知，，且，则的值为 ． 3．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）概念学习 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作，读作“a的圈n次方”． 初步探究 （1）直接写出计算结果： = ，= ； （2）关于除方，下列说法错误的是 A．任何非零数的圈2次方都等于1；    B．对于任何正整数n，1的圈n次方都等于1；    C．       D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 深入思考： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． 的圈4次方＝　 　；5的圈5次方＝　 　；的圈6次方＝　 　． （2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于________； （3）算一算：． 【经典例题二 有理数的乘方运算】 【例2】（2024·河北廊坊·二模）已知：，则（    ） A． B． C． D． 1．（2024七年级·全国·竞赛）若，下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·重庆九龙坡·开学考试）对于两个自然数定义新运算“※”和“＃”如果，例如：，那么( )． 3．（24-25七年级上·全国·随堂练习）已知，解答下列问题： (1)由，可得_____， _____． (2)若，求的值． 【经典例题三 有理数乘方逆运算】 【例3】（2023七年级上·江苏·专题练习）计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 1．（23-24七年级上·重庆·期中）已知，，，则的值为（    ） A．8或 B．或2 C．或 D．2或8 2．（23-24七年级上·安徽合肥·期中）若∣a|＝7、b＝4，且∣a－b∣＝∣a∣＋∣b|，则a＋b的值为 3．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）阅读下列各式：，，，…解答下列问题： (1)猜想：_____． (2)计算：． 【经典例题四 乘方运算的符号规律】 【例4】（23-24七年级上·福建厦门·期末）观察下列三组数的运算：，；，；，．联系这些具体数的乘方，可以发现规律．下列用字母表示的式子：①当时，；②当时，．其中表示的规律正确的是（    ） A．① B．② C．①、②都正确 D．①、②都不正确 1．（23-24七年级上·福建漳州·阶段练习）若|a |+b2 =0，则a与b的关系应满足（    ） A．a、b同号 B．a、b同号或至少有一个为零 C．a、b都为零 D．a、b异号或至少有一个为零 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）【问题解决】 例如：观察下面式子，根据规律填空： （1），，，，…， ， ． （2），，，，…， ． 3、（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）探究规律： （1）计算： ① 2－1＝ ； ② 22－2－1＝ ； ③23－22－2－1＝ ； ④24－23－22－2－1＝ ； （2）根据上面结果猜想： ① 22020－22019－22018－…－23－22－2－1＝ ； ②2n－2n－1－2n－2－…－23－22－2－1＝ ； ③212－211－210－29－28－27－26＝ ； 【经典例题五 乘方的应用】 【例5】（23-24七年级上·广东广州·开学考试）池塘里睡莲面积每天长一倍，经过天长满整个池塘，则这些睡莲长满半个池塘要（　　）天． A．6 B．7 C．9 D．11 1．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）有一种细菌，经过1分钟分裂成2个，再过1分钟，又发生了分裂，变成4个．把这样一个细菌放在瓶子里繁殖，直至瓶子被细菌充满为止，用了1小时，如果开始时，就在瓶子里放入这样的细菌16个，那么细菌充满瓶子所需要的时间为（   ） A．44分钟 B．56分钟 C．半小时 D．1小时 2．（23-24六年级上·山东淄博·期中）在日常生活中，我们用十进制来表示数，如．计算机中采用的二进制，即只需要0和1两个数字就可以表示数，如二进制中的，可以表示十进制中的10，那么二进制中的表示十进制中的 ． 3．（24-25七年级上·全国·随堂练习）拉面是把一根较粗的面条先对折成2根再拉开，然后将两端捏紧，再对折成4根再拉开，…，一直重复这个流程，面条的数量会不断增多，也会不断变细． (1)将这个流程重复7次后，面条的数量会变成多少根？ (2)若刚开始时的面条的横截面积为，则将这个流程重复8次后，平均每一根面条横截面积是多少？（每一次拉开的长度都与第一根面条的长度相同且粗细均匀） 【经典例题六 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 【例6】（2024·内蒙古鄂尔多斯·三模）物理是上帝的游戏，而数学是上帝的游戏规则．不管多大或多小的数，都得靠数学来表示呢！来自2024年综合运输春运工作专班的数据显示，2月10日～17日（农历正月初一至初八），全社会跨区域人员流动量累计亿人次．客流量大已成为2024年春运的最显著特征，铁路、公路、民航等客运频频刷新纪录．用科学记数法表示亿，正确的是（    ）． A． B． C． D． 1．（23-24九年级下·云南昆明·阶段练习）高考人数是每位高考考生关注的一个重要数据，每年的考试人数从比例上来说与高考难度成正比，与高考录取率成反比，预计云南2024年参加高考人数为406000人左右．406000用科学记数法可以表示为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏徐州·模拟预测）2024年4月25日，搭载神州十八号载人飞船的长征二号F摇十八运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．神舟十八号载人飞船与长征二号F遥十八运载火箭组合体的总重量达4000多千克．将40000用科学记数法表示为 ． 3．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）太阳是炽热巨大的气体星球，正以每秒400万吨的速度失去重量．太阳的直径约为140万千米，而地球的半径约为6378千米．计算： (1)用科学记数法表示6378千米= 　千米，140万千米= 　千米； (2)在太阳的直径上能摆放多少个地球？ 【经典例题七 将用科学记数法表示的数变回原数】 【例7】（23-24七年级上·河南商丘·期末）截至2020年10月末，全国核酸日检测能力是人份，实现了“应检尽检”、“愿检尽检”．数据原来的数是（  ） A．576000 B．576万 C．57600000 D．57.6万 1．（2020·山东滨州·二模）截止到月日时，美国新冠病毒确诊感染人数累计约万人，死亡人数累计约为人．下列用科学记数法表示感染人数和用原数表示死亡人数正确的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．（23-24七年级上·广西玉林·期末）一个数用科学记数法表示为，则这个数是 ． 3．（23-24六年级下·全国·课后作业）下列是用科学记数法表示的数，写出原来各是什么数． （1）．        （2）． （3）．        （4）． 【经典例题八 有理数四则混合运算】 【例8】（23-24七年级上·河北秦皇岛·开学考试）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·广东江门·阶段练习）规定一种运算：，如，则的值等于（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）计算∶ ． 3．（24-25七年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2) (3)． 【经典例题九 有理数四则混合运算的实际应用】 【例9】（23-24七年级上·福建厦门·期末）周六，小巧和同学一行共10人相约一起去看电影，电影院的价目表显示，电影票45元/张，也可以购买套餐，套餐价格如下表所示．不论是单买或购买套餐，购买一定金额还可参加“满减”的优惠活动． 套餐 内容 价格（元） 优惠活动 套餐A 1张电影票＋1桶爆米花 60 消费满300元，减25元 消费满600元，减60元 套餐B 1张电影票＋1桶爆米花＋1个主题纪念币 70 若全部同学都要进场看电影，其中有5位同学每人需要一个主题纪念币，还需要一些爆米花一起共享，则最少需要支付（    ） A．530元 B．540元 C．545元 D．550元 1．（23-24七年级上·广东·开学考试）某品牌的饮料促销方式如下：甲店打七五折，乙店“买三送一”，丙店“每满元减元”．李老师要买瓶标价9元的这种品牌的饮料，在（    ）店购买更省钱 A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 2．（23-24七年级上·陕西榆林·期末）《行程问题》老李和老王两人沿铁路线相向而行，速度相同，一列火车从老李身边开过用了秒，分钟后火车又从老王身边开过，用了秒，那么从火车遇到老王开始，再过 秒，老李、老王两人相遇． 3．（23-24七年级上·福建宁德·阶段练习）自行车厂计划一周生产自行车1400辆，平均每天生产200辆，但由于种种原因，实际每天生产量与平均计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产量 (1)根据记录的数据可知该厂星期四生产自行车_______辆； (2)根据记录的数据可知该厂本周实际生产自行车_______辆； (3)该厂实行每日计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖励15元；少生产一辆另扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【经典例题十 程序流程图与有理数计算】 【例10】（23-24七年级上·浙江温州·期末）按如图所示的流程图操作，若输入的值是，则输出的结果是（   ） A．0 B．7 C．14 D．49 1．（23-24七年级上·河南郑州·期中）下图是一个“数值转换机”的示意图，按如图所示的运算程序，能使输出值为的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2、（24-25七年级上·全国·随堂练习）根据如图所示的程序计算，若输入x的值为6和，则输出的值分别为 ． 3．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图是一个数值转换机的示意图． (1)若输入x的值为，输入y的值为2，求输出的结果； (2)用含x，y的代数式表示输出的结果为：______； (3)若输入x的值为2，输出的结果为8，求输入y的值； (4)若y是x的3倍（为常数），且不论取任意负数时，输出的结果都是0，求的值． 【经典例题十一 算24点】 【例11】（23-24七年级上·广东佛山·开学考试）“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 1．（23-24七年级上·湖北鄂州·期末）“24点”游戏规则是：从一副牌中（去掉大、小王）任意抽取4张牌，用上面的数字进行混合运算，使结果为24或—24.其中红色代表负数，黑色代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，例如张毅同学抽取的4张牌分别为红桃4、红桃3、梅花6、黑桃2，于是张毅同学列出的算式为（－4）×（－3－6÷2）＝24，现在张毅同学想挑战“36点”，将这四张牌中的任意一张换成其它牌，使结果为36或—36，下列方法可行的有几种：①将红桃4换成黑桃6；②将红桃3换成红桃6；③将梅花6换成黑桃Q；④将黑桃2换成黑桃A（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）嘉嘉和琪琪在玩24点游戏，游戏规则是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张，任意抽取4张牌，把牌面上的数运用你所学过的运算（可以使用括号）得出24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用．嘉嘉抽到的四张牌如下，请帮他写出一个计算结果为24的算式 ． 3．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ 答：我抽取的2张卡片是 、 ，乘积的最大值为 ． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？ 答：我抽取的2张卡片是 、 ，商的最小值为 ． (3)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字组成一个最大的数，如何抽取？最大的数是多少； 答：我抽取的2张卡片是 、 ，组成一个最大的数为 ． (4)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．如何抽取？写出运算式子．（写出一种即可）． 答：我抽取的4张卡片算24的式子为 ． 【经典例题十二 含乘方的有理数混合运算】 【例12】（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)（用简便方法计算） (4)． 1．（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）计算 (1) (2) (3) (4)． (5) (6) (7) (8)． 2．（23-24六年级下·全国·假期作业）计算下列各题： (1) (2) (3) (4) 3．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）为了求的值，可令，则，因此，，所以即，依照以上推理计算：的值． 【经典例题十三 有理数乘方的新定义运算】 【例13】（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： ；； ；； ；． (1)归纳*运算的法则： 两数进行*运算时，________．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，________ (2)计算：． (3)是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 1．（23-24七年级上·福建泉州·期末）设a，b是有理数，定义新运算， 例如，． (1)计算：； (2)设，，求的值． 2．（23-24七年级上·湖南益阳·期中）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如:，． 若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是 （请填序号） ①，；②，；③，． (2)计算：． (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”． 计算：． 3．（23-24七年级上·河北沧州·期中）【知识迁移】我们已经知道：求若干个相同的有理数（均不等于0）的乘法运算叫做乘方．类比乘方的定义，我们规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方． 如：，等，我们把记作，读作“2的3次商”， 记作，读作“的次商”．一般地，我们把个相除记作，读作“的次商”．根据以上信息，完成下列问题． (1)直接写出结果：______，______． (2)关于除方，下列说法错误的是（      ） A．任何非零数的次商都等于 B．对于任何正整数， C．除零外的互为相反数的两个数的偶数次商都相等，奇数次商互为相反数 D．负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数 (3)深入思考：除法运算能转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 试一试，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式：______；______； (4)综合应用：算一算：． 1．（23-24七年级上·河南周口·期末）当时，下列各式不成立的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024·山东潍坊·中考真题）2024年3月份，低空经济首次被写入《政府工作投告》．截止2023年底，全国注册通航企业690家、无人机万架，运营无人机的企业达万家．将万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24六年级下·全国·假期作业）若a，b（，）互为相反数，n是正整数，则（    ） A．和互为相反数 B．和互为相反数 C．和互为相反数 D．和互为相反数 4．（2024八年级·全国·竞赛）设，则的个位数字与十位数字之和为（    ）． A．8 B．11 C．13 D．14 5．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）如图，将面积为1的长方形纸片分割成8个部分，部分①的面积是原长方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依次类推，阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·四川达州·三模）在我国古书《易经》中有“上古结绳而治”的记载，它指“结绳记事”或“结绳记数”．如图，一远古牧人在从右到左依次排列的绳子上打结，满6进1，用来记录他所放牧的羊的只数，由图可知，他所放牧的羊的只数是（   ） A．1234 B．310 C．60 D．10 7．（2024七年级·全国·竞赛）如图，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形空容器，底面的面积之比为，甲容器高度处有一根管子与乙容器相连通（连通管的影响忽略不计），乙容器高度处有一根管子与丙容器相连通，且两根连通管相同．现在向甲容器匀速注水，记注水时间为分钟，若时，甲容器里的水开始流向乙容器．当乙容器里的水比丙容器里的水高时，的值为（    ）      A．5.5 B．5.5或7.5 C．5.5或7 D．7或7.5 8．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： ， ， ． 9．（23-24七年级下·四川巴中·期末）今年政府工作报告提出，从今年开始拟连续几年发行超长期特别国债，今年先发行1万亿元．5月17日，首批发行400亿元30年期国债，年利率为2.57％．某大型企业购买了5000万元国债，该企业一年的国债利息收益为 元（用合适的记数法表示）． 10．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）设，其中整数满足（n为整数），则当，时， ；当，时，m的最大值为 ． 11．（23-24七年级上·广东云浮·期末）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，数轴上表示m的点与表示的点距离5个单位长度，则 ． 12．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）已知在数轴上A、B两点分别表示的数是a和b，，，，点Р在数轴上且，则点Р表示的数是 ． 13．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）星期天，妈妈从超市买了4支A冰淇淋和3支B冰淇淋，用去元钱．妈妈对小丽说“上星期天我买了3支A冰淇淋和5支B冰淇淋用去元钱”，你算一算，A冰淇淋每支 元，B冰淇淋每支 元． 14．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）的值的整数部分为 ． 15．（23-24六年级下·全国·单元测试）． 16．（23-24七年级上·山东济南·期中）计算： (1)； (2)． 17．（24-25七年级上·全国·单元测试）计算： (1) (2) (3) (4) 18．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知：与互为倒数，与互为相反数，的绝对值为，求：的值． 19．（23-24六年级下·全国·假期作业）阅读下面的材料，然后按照材料中提供的方法计算． 计算：． 解：设， 则， 所以 ， 即． 按照上面的方法，计算：． 20．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）涵涵是一个聪明又富有想象力的学生，学习了“有理数的运算”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”的概念．规定：若干个相同有理数（均不为0）的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方，把记作，记作，请你根据涵涵的规定解决下列问题： (1)______；______； (2)关于“有理数的除方”，下列说法正确的是______；（填序号） ①对于任何正整数，都有；②；③；④对于任何正整数，都有． (3)计算 21．（23-24七年级上·浙江宁波·开学考试）（概念学习） 规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”， 记作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作，读作“a的圈n次方”． 除方 乘方幂的形式 （初步探究）（1）关于除方，下列说法错误的是 ． A．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数． B．对于任何正整数n，． C．． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． （深入思考）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘法运算呢？ （2）算一算：. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 有理数的乘方重难点题型专训（13大题型+21道拓展培优） 题型一 有理数幂的概念理解 题型二 有理数的乘方运算 题型三 有理数乘方逆运算 题型四 乘方运算的符号规律 题型五 乘方的应用 题型六 用科学记数法表示绝对值大于1的数 题型七 将用科学记数法表示的数变回原数 题型八 有理数四则混合运算 题型九 有理数四则混合运算的实际应用 题型十 程序流程图与有理数计算 题型十一 算24点 题型十二 含乘方的有理数混合运算 题型十三 有理数乘方的新定义运算 知识点01：有理数的乘方 1.乘方的概念：一般地，n个相同的因数a相乘，记作，读作a的n次方。 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。 2.乘方的结果叫做幂（power）；在中，a叫做底数（base number），n叫做指数（exponent）。 知识点02：有理数的混合运算 1.有理数混合运算法则：①先算乘方,再算乘除,最后算加减。 ②如果有括号,先算括号里面的。 2.混合运算顺序：· 先算乘方，再乘除，后加减； · 同级运算，从左到右进行； · 如有括号，先算括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 【经典例题一 有理数幂的概念理解】 【例1】（23-24七年级上·河北邢台·期中）若是的倍，则的值是（　　） A．2 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】根据乘方的意义，可知：，即可得出答案． 【详解】解：∵， 又∵是的倍， ∴． 故选：D． 【点睛】此题考查了乘方的意义，掌握乘方的意义是解题的关键． 1．（23-24七年级上·河北承德·期末）表示（    ） A．与4的积 B．4个的积 C．4个的和 D．3个的积 【答案】B 【分析】根据有理数幂的概念理解逐项判断即可． 【详解】解：根据有理数幂的概念可得， 表示4个的积． 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数幂的概念理解，解决此题的关键是熟悉有理数幂的概念． 2．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）已知，，且，则的值为 ． 【答案】3或-3/-3或3 【分析】根据绝对值与平方的性质求出a、b，故可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴或， ∴当时，， 当时，． 故答案为：3或-3． 【点睛】此题主要考查乘方与绝对值的求解及有理数乘法，解题的关键是熟知乘方与绝对值的性质． 3．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）概念学习 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作，读作“a的圈n次方”． 初步探究 （1）直接写出计算结果： = ，= ； （2）关于除方，下列说法错误的是 A．任何非零数的圈2次方都等于1；    B．对于任何正整数n，1的圈n次方都等于1；    C．       D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 深入思考： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． 的圈4次方＝　 　；5的圈5次方＝　 　；的圈6次方＝　 　． （2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于________； （3）算一算：． 【答案】初步探究（1）；；（2）C；深入思考（1），，；（2）；（3）． 【分析】理解除方运算，利用除方运算的法则和意义解决初步探究，通过除方的法则，把深入思考的除方写成幂的形式解决（1），总结（1）得到通项（2）．根据法则计算出（3）的结果． 【详解】初步探究 解：初步探究 （1）， 故答案为：，； （2）A、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1； 所以选项A正确； B、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数，都等于1； 所以选项B正确； C、，，则； 所以选项C错误； D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D正确； 本题选择说法错误的，故选C； 深入思考 （1）； ； ； 故答案为：，，． （2）． 故答案为：． （3） ． 【点睛】本题考查了新运算，幂的运算．解决问题的关键是掌握新运算的法则，理解新运算的意义． 【经典例题二 有理数的乘方运算】 【例2】（2024·河北廊坊·二模）已知：，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了乘方的意义，相同因数和的意义，根据乘方的定义，加法的意义计算即可求解，掌握乘方的意义及相同因数和的意义是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 1．（2024七年级·全国·竞赛）若，下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了乘方运算，正确理解乘方的意义是解答本题的关键．由，可知a与b互为相反数，由此即可判断答案． 【详解】解：， ， ， ， A正确； ，且不一定等于0， B不正确； ，且不一定等于0， C不正确； ，且不一定等于0， D不正确． 故选：A． 2．（23-24七年级上·重庆九龙坡·开学考试）对于两个自然数定义新运算“※”和“＃”如果，例如：，那么( )． 【答案】2 【分析】此题考查了新定义运算，根据定义的运算顺序和运算法则计算即可． 【详解】∵， ∴， 故答案为：2 3．（24-25七年级上·全国·随堂练习）已知，解答下列问题： (1)由，可得_____， _____． (2)若，求的值． 【答案】(1)， (2)2 【分析】本题考查了有理数的乘方，绝对值的定义，有理数的乘法和加法，解题的关键是掌握有理数的乘方，绝对值的定义，有理数的乘法和加法． （1）根据绝对值的定义和有理数的乘方的定义即可得出答案； （2）由得出，或，，代入计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，； （2）解：由（1）得，， 又∵， 异号， ∴，或，； 或， 综上所述，． 【经典例题三 有理数乘方逆运算】 【例3】（2023七年级上·江苏·专题练习）计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 【答案】B 【分析】根据有理数乘方的逆运算法则计算即可得． 【详解】解：原式 ． 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数乘方的逆运算，熟练掌握有理数乘方的逆运算法则是解题关键． 1．（23-24七年级上·重庆·期中）已知，，，则的值为（    ） A．8或 B．或2 C．或 D．2或8 【答案】D 【分析】根据绝对值和乘方的性质，求得，，即可求解． 【详解】解：由可得，解得或 由可得或， 由可得 所以，或， ∴或 故选：D． 【点睛】此题考查了绝对值，乘方的性质，解题的关键是根据题意，正确求得，． 2．（23-24七年级上·安徽合肥·期中）若∣a|＝7、b＝4，且∣a－b∣＝∣a∣＋∣b|，则a＋b的值为 【答案】 【分析】根据绝对值的性质求出a与b的值，然后代入原式即可求出答案． 【详解】解：∵|a|＝7，b2＝4， ∴a＝±7，b＝±2， 当a＝7，b＝2时， ∴|a−b|＝5，|a|＋|b|＝9，不符合题意，舍去． 当a＝7，b＝−2时， ∴|a−b|＝9，|a|＋|b|＝9，符合题意， ∴a＋b＝5． 当a＝−7，b＝2时， ∴|a−b|＝9，|a|＋|b|＝9，符合题意． ∴a＋b＝−5, 当a＝−7，b＝−2时， ∴|a−b|＝5，|a|＋|b|＝9，不符合题意，舍去． 故答案为：±5． 【点睛】本题考查有理数的运算，解题的关键是求出a与b的值后，分类讨论各种情况，本题属于基础题型． 3．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）阅读下列各式：，，，…解答下列问题： (1)猜想：_____． (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题干阅读部分信息，再总结可得答案； （2）利用（1）中规律结合乘方的含义把原式化为，再计算即可． 【详解】（1）解：∵，，，… 归纳可得：； （2） ； 【点睛】本题考查的是新定义运算的含义，乘方的含义，理解题意，总结规律再运用规律解题是关键． 【经典例题四 乘方运算的符号规律】 【例4】（23-24七年级上·福建厦门·期末）观察下列三组数的运算：，；，；，．联系这些具体数的乘方，可以发现规律．下列用字母表示的式子：①当时，；②当时，．其中表示的规律正确的是（    ） A．① B．② C．①、②都正确 D．①、②都不正确 【答案】B 【分析】根据三组数的运算的规律逐个判断即可得． 【详解】解：由三组数的运算得：， ， ， 归纳类推得：当时，，式子①错误； 由三组数的运算得：， ， ， 归纳类推得：当时，，式子②正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 1．（23-24七年级上·福建漳州·阶段练习）若|a |+b2 =0，则a与b的关系应满足（    ） A．a、b同号 B．a、b同号或至少有一个为零 C．a、b都为零 D．a、b异号或至少有一个为零 【答案】C 【分析】直接利用绝对值以及偶次方的性质化简得出a，b的值，进而得出答案． 【详解】解：∵|a|+b2＝0， ∴a＝0，b2＝0， 解得：a＝0，b＝0， ∴a、b都为零． 故答案选：C． 【点睛】此题主要考查了非负数的性质，正确得出a，b的值是解题关键． 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）【问题解决】 例如：观察下面式子，根据规律填空： （1），，，，…， ， ． （2），，，，…， ． 【答案】 444444888889 【分析】（1）计算末位是5的两位整数的平方，将十位上的数乘比它大1的数，所得结果后面添上25即可； （2）结果中4的个数比底数中6的个数多1，8的个数等于底数中的6的个数﹐最末位数字都是9． 【详解】（1）计算末位是5的两位整数的平方，将十位上的数乘比它大1的数，所得结果后面添上25， 如：，即； ：，即； ：，即； （2）结果中4的个数比底数中6的个数多1，8的个数等于底数中的6的个数﹐最末位数字都是9． ∴． 故答案为：；；． 【点睛】本题主要考查有理数乘方规律应用，找到题中数字规律是解题的关键． 3、（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）探究规律： （1）计算： ① 2－1＝ ； ② 22－2－1＝ ； ③23－22－2－1＝ ； ④24－23－22－2－1＝ ； （2）根据上面结果猜想： ① 22020－22019－22018－…－23－22－2－1＝ ； ②2n－2n－1－2n－2－…－23－22－2－1＝ ； ③212－211－210－29－28－27－26＝ ； 【答案】（1）①1； ②1；③1；④1 （2）①1；②1；③64 【分析】（1）①简单计算即可得到结果； ②，代入计算即可； ③，代入计算即可； ④，代入计算即可． （2）①根据（1）中，四个式子的计算结果，进行猜想即可； ②根据（1）中，四个式子的计算结果，进行猜想即可； ③对比规律可发现，需要将式子变形为： 计算即可． 【详解】解：（1）计算：① ②； ③ ； ④； （2）①； ②； ③ = = = 【点睛】本题考查幂的运算，根据规律进行猜想，并对比分析将式子变形计算是解题关键． 【经典例题五 乘方的应用】 【例5】（23-24七年级上·广东广州·开学考试）池塘里睡莲面积每天长一倍，经过天长满整个池塘，则这些睡莲长满半个池塘要（　　）天． A．6 B．7 C．9 D．11 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘方，睡莲的面积后一天是前一天的2倍，从而得到12天后的面积与初始面积的关系，将睡莲长满半个池塘的天数设为未知数，根据题意列方程并求解即可，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解：设睡莲原来的面积为，则12天后的面积为，设这些睡莲长满半个池塘要天，根据题意得： ， 整理得， 解得， 故选： ． 1．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）有一种细菌，经过1分钟分裂成2个，再过1分钟，又发生了分裂，变成4个．把这样一个细菌放在瓶子里繁殖，直至瓶子被细菌充满为止，用了1小时，如果开始时，就在瓶子里放入这样的细菌16个，那么细菌充满瓶子所需要的时间为（   ） A．44分钟 B．56分钟 C．半小时 D．1小时 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的应用，列出等式是解此题的关键．先计算出装满一瓶的细菌，个，设将16个这种细菌放入同样的培养瓶中经过分钟就能分裂至满一瓶，则，再根据1小时分，求解即可． 【详解】解：一个细菌1分钟分裂成2个，2分钟分裂成4个，分钟分裂成个，一个细菌经过1小时的繁殖能使瓶子充满， 设将16个这种细菌放入同样的培养瓶中经过分钟就能分裂至满一瓶． ， ， 小时分， ， 故选：B 2．（23-24六年级上·山东淄博·期中）在日常生活中，我们用十进制来表示数，如．计算机中采用的二进制，即只需要0和1两个数字就可以表示数，如二进制中的，可以表示十进制中的10，那么二进制中的表示十进制中的 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据十进制中的数与二进制中的数的相互转化的方法进行计算，即可解答． 【详解】解： ； 故答案为：． 3．（24-25七年级上·全国·随堂练习）拉面是把一根较粗的面条先对折成2根再拉开，然后将两端捏紧，再对折成4根再拉开，…，一直重复这个流程，面条的数量会不断增多，也会不断变细． (1)将这个流程重复7次后，面条的数量会变成多少根？ (2)若刚开始时的面条的横截面积为，则将这个流程重复8次后，平均每一根面条横截面积是多少？（每一次拉开的长度都与第一根面条的长度相同且粗细均匀） 【答案】(1)128 (2) 【分析】本题考查有理数的乘方，能够从题中归纳发现规律是解题的关键． （1）根据题意列式计算即可得出答案； （2）根据题意列式计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：（根） ∴这个流程重复7次后，面条的数量会变成128根． （2）解：将这个流程重复8次后，面条的数量是． ∵每一次拉开的长度都与第一根面条的长度相同且粗细均匀， ∴8次后，平均每一根面条横截面积． 【经典例题六 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 【例6】（2024·内蒙古鄂尔多斯·三模）物理是上帝的游戏，而数学是上帝的游戏规则．不管多大或多小的数，都得靠数学来表示呢！来自2024年综合运输春运工作专班的数据显示，2月10日～17日（农历正月初一至初八），全社会跨区域人员流动量累计亿人次．客流量大已成为2024年春运的最显著特征，铁路、公路、民航等客运频频刷新纪录．用科学记数法表示亿，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将亿写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：亿． 故选B． 1．（23-24九年级下·云南昆明·阶段练习）高考人数是每位高考考生关注的一个重要数据，每年的考试人数从比例上来说与高考难度成正比，与高考录取率成反比，预计云南2024年参加高考人数为406000人左右．406000用科学记数法可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可．本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键． 【详解】∵， 故选C． 2．（2024·江苏徐州·模拟预测）2024年4月25日，搭载神州十八号载人飞船的长征二号F摇十八运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．神舟十八号载人飞船与长征二号F遥十八运载火箭组合体的总重量达4000多千克．将40000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将40000写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）太阳是炽热巨大的气体星球，正以每秒400万吨的速度失去重量．太阳的直径约为140万千米，而地球的半径约为6378千米．计算： (1)用科学记数法表示6378千米= 　千米，140万千米= 　千米； (2)在太阳的直径上能摆放多少个地球？ 【答案】(1)， (2)109个 【分析】（1）把一个大于10的数写成科学记数法的形式时，将小数点放到左边第一个不为0的数位后作为，把整数位数减1作为，从而确定它的科学记数法形式． （2）太阳的直径上能摆放地球的个数太阳的直径地球的直径． 【详解】（1）解：千米， 140万千米． 故答案为：， （2）（个）． 答：在太阳的直径上能摆放109个地球． 【点睛】将一个绝对值较大的数写成科学记数法的形式时，其中，为比整数位数少1的数．在进行运算时，部分和的部分分别运算，然后再把结果整理成的形式． 【经典例题七 将用科学记数法表示的数变回原数】 【例7】（23-24七年级上·河南商丘·期末）截至2020年10月末，全国核酸日检测能力是人份，实现了“应检尽检”、“愿检尽检”．数据原来的数是（  ） A．576000 B．576万 C．57600000 D．57.6万 【答案】B 【分析】将科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数． 【详解】解：=5760000=576万． 故选：B． 【点睛】本题考查写出用科学记数法表示的原数．把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 1．（2020·山东滨州·二模）截止到月日时，美国新冠病毒确诊感染人数累计约万人，死亡人数累计约为人．下列用科学记数法表示感染人数和用原数表示死亡人数正确的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】①用科学记数法表示较大的数：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同;②表示出科学记数法的原数：直接利用科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数，进而得出答案． 【详解】万==; ==． 故选：B． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，以及科学记数法-原数，能正确理解科学记数法的方法是解答此题的关键． 2．（23-24七年级上·广西玉林·期末）一个数用科学记数法表示为，则这个数是 ． 【答案】5280 【分析】科学记数法的标准形式为a×10n（1≤|a|＜10，n为整数），本题数据“”中的a=5.28，指数n等于3，所以，需要把5.28的小数点向右移动3位，就得到原数了． 【详解】=， 故答案为：5280． 【点睛】本题考查写出用科学记数法表示的原数．将科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 3．（23-24六年级下·全国·课后作业）下列是用科学记数法表示的数，写出原来各是什么数． （1）．        （2）． （3）．        （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】（1）根据科学记数法的定义即可得； （2）根据科学记数法的定义即可得； （3）根据科学记数法的定义即可得； （4）根据科学记数法的定义即可得． 【详解】科学记数法：将一个数表示成的形式，其中，n为整数，这种记数的方法叫做科学记数法， 则（1）； （2）； （3）； （4）． 【点睛】本题考查了科学记数法的定义，熟记定义是解题关键． 【经典例题八 有理数四则混合运算】 【例8】（23-24七年级上·河北秦皇岛·开学考试）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，熟知有理数的四则混合运算法则和运算律并据此逐项计算即可求解． 【详解】解：A. ，故原选项计算错误，不合题意； B. ，故原选项计算错误，不合题意； C. ，故原选项计算错误，不合题意； D. ，故原选项计算正确，符合题意． 故选：D 1．（23-24七年级上·广东江门·阶段练习）规定一种运算：，如，则的值等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目所给的运算顺序和运算法则进行计算即可． 【详解】解：根据题意可得： ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了新定义，解题的关键是正确理解题目所给的运算顺序和运算法则． 2．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）计算∶ ． 【答案】3 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据有理数的运算法则计算即可，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【详解】解： ． 3．（24-25七年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2) (3)． 【答案】(1)5； (2)3； (3) 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算： （1）（2）（3）按照先计算乘除法，再计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：原式 ． 【经典例题九 有理数四则混合运算的实际应用】 【例9】（23-24七年级上·福建厦门·期末）周六，小巧和同学一行共10人相约一起去看电影，电影院的价目表显示，电影票45元/张，也可以购买套餐，套餐价格如下表所示．不论是单买或购买套餐，购买一定金额还可参加“满减”的优惠活动． 套餐 内容 价格（元） 优惠活动 套餐A 1张电影票＋1桶爆米花 60 消费满300元，减25元 消费满600元，减60元 套餐B 1张电影票＋1桶爆米花＋1个主题纪念币 70 若全部同学都要进场看电影，其中有5位同学每人需要一个主题纪念币，还需要一些爆米花一起共享，则最少需要支付（    ） A．530元 B．540元 C．545元 D．550元 【答案】B 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，根据题意，得到至少要购买5份套餐，再结合优惠活动进行求解即可．读懂题意，正确的列出算式，是解题的关键． 【详解】解：∵全部同学都要进场看电影，其中有5位同学每人需要一个主题纪念币， ∴至少要购买5份套餐， ①当购买5份套餐，其余全部购买电影票时： （元）， ∵消费满300元，减25元， ∴共消费：元， ②当购买6份套餐，其余全部购买电影票时： 元， ∵消费满600元，减60元， ∴共消费：元， 此时最优惠， 故选B． 1．（23-24七年级上·广东·开学考试）某品牌的饮料促销方式如下：甲店打七五折，乙店“买三送一”，丙店“每满元减元”．李老师要买瓶标价9元的这种品牌的饮料，在（    ）店购买更省钱 A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 【答案】A 【分析】解决本题关键是理解三家商店不同的优惠政策，分别找出求现价的方法，求出现价，再比较．甲店打七五折：是指现价是原价的，把原价看成单位“1”，用原价9元乘求出每瓶的现价，再乘瓶，即可求出在甲店需要的钱数； 乙店“满三送一”：是指买4瓶饮料只需要付3瓶的钱，先用瓶除以4，求出里面最多有几个4瓶，还余几瓶，从而求出需要付钱的瓶数，再乘9元，即可求出在乙店需要的钱数； 丙店“每满元减元”：是指每元可以减免元，先用瓶乘9元，求出原价一共是多少钱，再除以，求出总钱数里面有多少个元，就是可以减免多少个元，再用乘法求出可以减免的钱数，然后用原总价减去可以减免的钱数，从而求出丙店需要的钱数，再比较即可求解． 【详解】解：甲店： （元） 乙店： （元） 丙店： （元） （元） 答：在甲店购买更省钱． 故选：A． 2．（23-24七年级上·陕西榆林·期末）《行程问题》老李和老王两人沿铁路线相向而行，速度相同，一列火车从老李身边开过用了秒，分钟后火车又从老王身边开过，用了秒，那么从火车遇到老王开始，再过 秒，老李、老王两人相遇． 【答案】 【分析】本题考查相遇问题，路程、速度、时间三者之间的关系．利用已知信息先求出火车速度是人步行速度的倍数，相遇问题，利用路程速度、时间关系即可解答． 【详解】解：解：根据题意可知 ①火车速度是人步行速度的： ， ②相遇时间： （分钟）， （秒）． 故答案为：720． 3．（23-24七年级上·福建宁德·阶段练习）自行车厂计划一周生产自行车1400辆，平均每天生产200辆，但由于种种原因，实际每天生产量与平均计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产量 (1)根据记录的数据可知该厂星期四生产自行车_______辆； (2)根据记录的数据可知该厂本周实际生产自行车_______辆； (3)该厂实行每日计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖励15元；少生产一辆另扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【答案】(1)313 (2)2109 (3)126550 【分析】本题主要考查了有理数加法和有理数四则混合计算的实际应用： （1）根据有理数的加法，可得答案； （2）先把所有数相加，再加上，即可求解； （3）根据基本工资加奖金以及扣费，可得答案． 【详解】（1）解：辆， ∴该厂星期四生产自行车313辆； 故答案为：313； （2）解：辆 ∴该厂本周实际生产自行车2109辆； 故答案为：2109； （3）解：元， ∴该厂工人这一周的工资总额是126550元． 【经典例题十 程序流程图与有理数计算】 【例10】（23-24七年级上·浙江温州·期末）按如图所示的流程图操作，若输入的值是，则输出的结果是（   ） A．0 B．7 C．14 D．49 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的运算，解题的关键是根据流程图的意思列出算式． 【详解】解：输入的的值是， 则，返回继续运算， ，输出结果， 故选：D． 1．（23-24七年级上·河南郑州·期中）下图是一个“数值转换机”的示意图，按如图所示的运算程序，能使输出值为的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本体考查了代数式求值，将各项代入运算程序中，逐一计算即可，读懂运算程序是解题的关键． 【详解】、输入，，即，输出，不符合题意； 、输入，，即，输出，不符合题意； 、输入，，即，输出，不符合题意； 、输入，，即，输出，符合题意； 故选：． 2、（24-25七年级上·全国·随堂练习）根据如图所示的程序计算，若输入x的值为6和，则输出的值分别为 ． 【答案】4和5 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，绝对值的求解，根据程序顺序代入求值即可，解题的关键是读懂程序框图，并掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． 【详解】解：输入x的值为6时，， 输出的值为； 输入x的值为时，， 输出的值为； 所以输出的值分别为4和5， 故答案为：4和5． 3．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图是一个数值转换机的示意图． (1)若输入x的值为，输入y的值为2，求输出的结果； (2)用含x，y的代数式表示输出的结果为：______； (3)若输入x的值为2，输出的结果为8，求输入y的值； (4)若y是x的3倍（为常数），且不论取任意负数时，输出的结果都是0，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或． 【分析】本题考查了整式的加减中的程序计算，正确理解程序是解题的关键． (1)根据程序，得，计算即可． (2)根据程序，列出代数式，计算即可． (3)根据程序，列出等式，计算即可． (4)根据程序，列出等式，计算即可． 【详解】（1）根据程序，得． （2）根据程序，得， 故答案为：． （3）根据程序，得， ∴， 解得或． （4）根据程序，得， ∴， ∴， 解得或． 【经典例题十一 算24点】 【例11】（23-24七年级上·广东佛山·开学考试）“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【答案】A 【分析】根据题意，逐项组合计算，即可作答． 【详解】A项，1，6，8，7，不能算出结果为24，故符合题意； B项，，能算出结果为24，故不符合题意； C项，，能算出结果为24，故不符合题意； D项，，能算出结果为24，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了数之间的混合运算，根据已有的数据灵活组合举例，是解答本题的关键． 1．（23-24七年级上·湖北鄂州·期末）“24点”游戏规则是：从一副牌中（去掉大、小王）任意抽取4张牌，用上面的数字进行混合运算，使结果为24或—24.其中红色代表负数，黑色代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，例如张毅同学抽取的4张牌分别为红桃4、红桃3、梅花6、黑桃2，于是张毅同学列出的算式为（－4）×（－3－6÷2）＝24，现在张毅同学想挑战“36点”，将这四张牌中的任意一张换成其它牌，使结果为36或—36，下列方法可行的有几种：①将红桃4换成黑桃6；②将红桃3换成红桃6；③将梅花6换成黑桃Q；④将黑桃2换成黑桃A（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】D 【分析】根据有理数的四则混合计算法则求解即可． 【详解】解：①这四个数分别为6、-3、6、2， ∵， ∴①符合题意； ②这四个数分别为-4、-6、6、2， ∵， ∴②符合题意； ③这四个数分别为-4、-3、12、2， ∵， ∴③符合题意； ④这四个数分别为-4、-3、6、1， ∵， ∴④符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）嘉嘉和琪琪在玩24点游戏，游戏规则是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张，任意抽取4张牌，把牌面上的数运用你所学过的运算（可以使用括号）得出24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用．嘉嘉抽到的四张牌如下，请帮他写出一个计算结果为24的算式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 【详解】解： 本题中设计的数字有：8，4，2，12． 根据题目规则，可得满足条件的算式如下： （1）． （2）． （3）． （4）等． 故答案为：（答案不唯一）． 3．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ 答：我抽取的2张卡片是 、 ，乘积的最大值为 ． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？ 答：我抽取的2张卡片是 、 ，商的最小值为 ． (3)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字组成一个最大的数，如何抽取？最大的数是多少； 答：我抽取的2张卡片是 、 ，组成一个最大的数为 ． (4)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．如何抽取？写出运算式子．（写出一种即可）． 答：我抽取的4张卡片算24的式子为 ． 【答案】(1)、；15； (2)、； (3)、4； (4) 【分析】本题考查有理数的运算．熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据有理数的乘法法则即可确定； （2）根据有理数的除法法则即可确定； （3）根据有理数的乘方运算即可确定； （4）根据有理数的混合运算法则即可确定． 【详解】（1）解：∵，，， ∴抽取、两张卡片的乘积最大，最大值为15． 故答案为：、；15； （2）∵， ∴抽取、两张卡片相除的商最小，最小值为． 故答案为：、；． （3）∵，， ∴抽取、4两张卡片，组成的最大值为． 故答案为：、4；． （4）抽取、、0、3，则． 故答案为：． 【经典例题十二 含乘方的有理数混合运算】 【例12】（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)（用简便方法计算） (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （2）根据有理数混合计算法则进行计算即可； （3）根据简便运算进行计算； （4）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 1．（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）计算 (1) (2) (3) (4)． (5) (6) (7) (8)． 【答案】(1)8 (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)9 【分析】（1）应用加法交换律和加法结合律，求出算式的值是多少即可； （2）应用加法交换律和加法结合律，求出算式的值是多少即可； （3）先运算乘除，然后加减解题即可； （4）先运算乘方，然后乘法，最后加减解题； （5）应用乘法分配律，求出每个算式的值各是多少即可． （6）先运算括号内的加减，然后运算除法解题即可； （7）先运算乘方，然后乘法，最后加减解题； （8）先运算乘方，然后乘法，最后加减解题． 此题主要考查了有理数的混合运算，明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 【详解】（1） ； （2） （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） ； （8） 2．（23-24六年级下·全国·假期作业）计算下列各题： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，以及绝对值化简，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）先算乘方，然后再进行有理数的混合运算即可； （2）先算乘方和括号，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题； （3）先算乘方和括号，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题； （4）先算乘方、括号、以及绝对值化简，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ， ， ； （4）解：， ， ， ． 3．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）为了求的值，可令，则，因此，，所以即，依照以上推理计算：的值． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，利用类比的数学思想解决问题是解题关键．仿照题干，令，进而得到，然后作差，整理即可得到所求式子的值． 【详解】解：令，则， ， ， 即的值为． 【经典例题十三 有理数乘方的新定义运算】 【例13】（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： ；； ；； ；． (1)归纳*运算的法则： 两数进行*运算时，________．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，________ (2)计算：． (3)是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)17 (3) 【分析】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算． （1）首先根据*运算的运算法则进行运算的算式，归纳出*运算的运算法则即可；然后根据∶ ；，可得∶0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，等于这个数的平方； （2）根据（1）中总结出的*运算的运算法则，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可； （3）加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的*运算中还适用，并举例验证加法交换律适用即可． 【详解】（1）解：归纳*运算的法则∶ 两数进行*运算时，同号得正，异号得负，并把两数的平方相加．特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，等于这个数的平方． （2）解：， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ∴， 解得：， 1．（23-24七年级上·福建泉州·期末）设a，b是有理数，定义新运算， 例如，． (1)计算：； (2)设，，求的值． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题考查新定义下的运算，有理数的乘方．理解题意掌握新定义下的实数运算法则是解题关键． （1）根据新定义下的运算法则计算即可； （2）根据新定义下的运算法则计算出M、N，再相加整理即可． 【详解】（1）解：； （2） 解： ． 2．（23-24七年级上·湖南益阳·期中）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如:，． 若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是 （请填序号） ①，；②，；③，． (2)计算：． (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”． 计算：． 【答案】(1)①② (2) (3) 【分析】本题考查有理数的定义新运算，仔细审题，理解题干中的新定义，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题关键． （1）按照题干定义进行计算，判断是否满足条件即可； （2）直接根据题目定义分别计算各项，然后再合并求解即可； （3）根据定义进行变形和拆项，然后根据规律求解即可． 【详解】（1）解：①； ∵，， ∴，则①是“隔一数对”； ②； ∵，， ∴，则②是“隔一数对”； ③； ∵，， ∴，则③不是“隔一数对”； 故答案为：①②； （2）解：根据定义， ； （3）解：根据定义， ． 3．（23-24七年级上·河北沧州·期中）【知识迁移】我们已经知道：求若干个相同的有理数（均不等于0）的乘法运算叫做乘方．类比乘方的定义，我们规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方． 如：，等，我们把记作，读作“2的3次商”， 记作，读作“的次商”．一般地，我们把个相除记作，读作“的次商”．根据以上信息，完成下列问题． (1)直接写出结果：______，______． (2)关于除方，下列说法错误的是（      ） A．任何非零数的次商都等于 B．对于任何正整数， C．除零外的互为相反数的两个数的偶数次商都相等，奇数次商互为相反数 D．负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数 (3)深入思考：除法运算能转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 试一试，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式：______；______； (4)综合应用：算一算：． 【答案】(1)， (2)B (3)； (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，新定义的理解与运用； （1）利用题中的新定义计算即可求出值； （2）根据题意确定出所求即可； （3）利用题中的新定义计算即可求出值； （4）原式变形后，计算即可求出值． 【详解】（1）， ， 故答案为：；； （2）A．任何非零数的次商都等于，说法正确，不符合题意； B．对于任何正整数，当为奇数时，；当为偶数时，，原说法错误，符合题意； C．除零外的互为相反数的两个数的偶数次商都相等，奇数次商互为相反数，说法正确，不符合题意； D．负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数，说法正确，不符合题意． 故选：B； （3）解： 故答案为：；． （4） 1．（23-24七年级上·河南周口·期末）当时，下列各式不成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘方、偶次方的非负性、绝对值，根据有理数的乘方、偶次方的非负性、绝对值的性质进行逐一判断即可． 【详解】解：只要，恒有，故A选项成立； ∵，故B选项不成立，C成立； ∵， ∴， ∴，故D选项成立， 故选：B． 2．（2024·山东潍坊·中考真题）2024年3月份，低空经济首次被写入《政府工作投告》．截止2023年底，全国注册通航企业690家、无人机万架，运营无人机的企业达万家．将万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的定义是解题的关键．将一个数写成，（其中，为整数），即可得到答案． 【详解】解：万， 故选B． 3．（23-24六年级下·全国·假期作业）若a，b（，）互为相反数，n是正整数，则（    ） A．和互为相反数 B．和互为相反数 C．和互为相反数 D．和互为相反数 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方，以及相反数概念，掌握有理数的乘方法则是解题关键； 有理数的乘方法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0； 然后根据相反数的定义结合有理数的乘方法则分别对每一项进行分析，即可得出正确答案． 【详解】解：A、，， 和不是相反数，选项结论错误，不符合题意； B、 a，b（，）互为相反数，为奇数， 和互为相反数，选项结论正确，符合题意； C、，， 和不是相反数，选项结论错误，不符合题意； D、 a，b（，）互为相反数， 当为偶数时，和不是相反数，选项结论错误，不符合题意； 故选：B． 4．（2024八年级·全国·竞赛）设，则的个位数字与十位数字之和为（    ）． A．8 B．11 C．13 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了数的平方，计算出每个平方数的后两位，再相加即可得到答案． 【详解】解：的后两位为49， 的后两位为64， 的后两位为81， ， 个位上的数字为4，十位上的数字为9，， 故选：C． 5．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）如图，将面积为1的长方形纸片分割成8个部分，部分①的面积是原长方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依次类推，阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和图形，可以得到阴影部分的面积． 【详解】解：由图可得，阴影部分的面积是， 故选：C． 6．（2024·四川达州·三模）在我国古书《易经》中有“上古结绳而治”的记载，它指“结绳记事”或“结绳记数”．如图，一远古牧人在从右到左依次排列的绳子上打结，满6进1，用来记录他所放牧的羊的只数，由图可知，他所放牧的羊的只数是（   ） A．1234 B．310 C．60 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的运算，根据计数规则可知，从右边第1位的计数单位为，右边第2位的计数单位为，右边第3位的计数单位为，右边第4位的计数单位为，……，依此类推，可求出结果． 【详解】解：根据题意得： （只）， 答：他所放牧的羊的只数是310只． 故选：B． 7．（2024七年级·全国·竞赛）如图，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形空容器，底面的面积之比为，甲容器高度处有一根管子与乙容器相连通（连通管的影响忽略不计），乙容器高度处有一根管子与丙容器相连通，且两根连通管相同．现在向甲容器匀速注水，记注水时间为分钟，若时，甲容器里的水开始流向乙容器．当乙容器里的水比丙容器里的水高时，的值为（    ）      A．5.5 B．5.5或7.5 C．5.5或7 D．7或7.5 【答案】C 【分析】本题考查有理数的应用，分类讨论是解决问题的关键．根据题意，分两种情况，乙容器水高，丙容器无水时；丙中进水，乙中水到达与丙连接的管子处时，丙到达时，计算求解即可． 【详解】解：时，甲容器里的水开始流向乙容器，即甲中水上升了，甲中注水速度为， 甲、乙、丙的底面的面积之比为，则注水的速度之比为， 乙的注水速度为，丙的注水速度为， 当乙容器里的水比丙容器里的水高时， 乙容器水高，丙容器无水，； 丙中进水，乙中水到达与丙连接的管子处时，用时，假设在此之后注水分钟，乙比丙高，则丙要到达， ， ， 综上所述，的值为或． 故选：． 8．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： ， ， ． 【答案】 4 / 【分析】本题主要考查了去括号法则、有理数的乘方运算等知识点，熟记相关运算法则是解题的关键． 根据去括号法则、有理数的乘方运算进行计算即可． 【详解】解：；；． 故答案为：，4，． 9．（23-24七年级下·四川巴中·期末）今年政府工作报告提出，从今年开始拟连续几年发行超长期特别国债，今年先发行1万亿元．5月17日，首批发行400亿元30年期国债，年利率为2.57％．某大型企业购买了5000万元国债，该企业一年的国债利息收益为 元（用合适的记数法表示）． 【答案】 【分析】本题考查了，有理数的乘法运算，科学记数法，正确理解题意是解题的关键．根据题意列式，利用有理数的乘法运算及科学记数法，即得答案． 【详解】解：(元)， 所以该企业一年的国债利息收益为元． 故答案为：． 10．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）设，其中整数满足（n为整数），则当，时， ；当，时，m的最大值为 ． 【答案】 3 196 【分析】本题考查有理数的乘方，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据有理数的乘方法则，计算即可． 【详解】解：当，时，则， ， ∴， 当，时，则， ∵，， ∴，，中，最大为7， ∵整数满足， ∴当，，时，， 当，，时，， ∴的最大值为． 故答案为：196． 11．（23-24七年级上·广东云浮·期末）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，数轴上表示m的点与表示的点距离5个单位长度，则 ． 【答案】2或/或2 【分析】本题主要考查了相反数的定义，倒数的定义，数轴上两点之间的距离，解题的关键是掌握相反数相加得0，乘积为1的两个数互为倒数，以及数轴上两点之间距离的表示方法．根据题意得出，，或，将其代入求解即可． 【详解】解：∵a、b互为相反数， ∴， ∵c、d互为倒数， ∴， ∵数轴上表示m的点与表示的点距离5个单位长度， ∴或， ∴， 或， 故答案为：2或． 12．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）已知在数轴上A、B两点分别表示的数是a和b，，，，点Р在数轴上且，则点Р表示的数是 ． 【答案】或 【分析】根据题意先求出，，设点Р表示的数是x，由得到，解方程即可得到答案，此题考查了绝对值、乘方、绝对值方程，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴或，， ∵， ∴，， 设点Р表示的数是x， ∵， ∴， ∴或， 解得或， 即点Р表示的数是或 故答案为：或0 13．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）星期天，妈妈从超市买了4支A冰淇淋和3支B冰淇淋，用去元钱．妈妈对小丽说“上星期天我买了3支A冰淇淋和5支B冰淇淋用去元钱”，你算一算，A冰淇淋每支 元，B冰淇淋每支 元． 【答案】 3 4 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用．熟练掌握有理数混合运算的应用是解题的关键． 由题意可得，买支A冰淇淋和9支B冰淇淋，用去元；买支A冰淇淋和支B冰淇淋，用去元；则买支B冰淇淋，用元，进而可得1支B冰淇淋，元，1支A冰淇淋，元，计算求解即可． 【详解】解：由题意可得，买支A冰淇淋和9支B冰淇淋，用去（元）； 买支A冰淇淋和支B冰淇淋，用去（元）； ∴买支B冰淇淋，用（元）， ∴1支B冰淇淋，（元）， ∴1支A冰淇淋，（元）， 故答案为：3，4． 14．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）的值的整数部分为 ． 【答案】1 【分析】观察发现原式的每一个因式都有相同的结构，都可以写成的形式，因此先将原式写成 ，再根据分式的乘法法则进行计算，再将结果化成带分数的形式，即可得出其结果的整数部分． 本题主要考查了分数的乘法运算，找到规律是解题的关键． 【详解】解： ， ∴整数部分为1， 故答案为：1． 15．（23-24六年级下·全国·单元测试）． 【答案】2． 【分析】先计算有理数的乘方和乘方逆运算，再计算有理数的乘法即可得． 【详解】原式， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了有理数的乘方和乘方逆运算、有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解题关键． 16．（23-24七年级上·山东济南·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查含乘方的有理数混合运算，以及绝对值，熟练掌握其运算法则是解题的关键． （1）利用含乘方的有理数混合运算法则正确计算，即可解题； （2）利用含乘方的有理数混合运算法则，以及绝对值正确计算，即可解题； 【详解】（1）解：原式 ；． （2）解： ． 17．（24-25七年级上·全国·单元测试）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)74 (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． （1）先算乘方，绝对值，再算除法，最后算加减可以解答本题； （2）先算括号里面的，再算除法，最后算加减可以解答本题； （3）先算乘方，括号里面的，再算除法，最后算加减可以解答本题； （4）先算乘方，括号里面的，再算除法，最后算加减可以解答本题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解：原式 ． 18．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知：与互为倒数，与互为相反数，的绝对值为，求：的值． 【答案】或 【分析】根据倒数的定义，相反数的性质，绝对值的意义得出，再根据绝对值的意义得出的值为或，然后分别代入代数式即可求解． 【详解】解：∵与互为倒数，与互为相反数，的绝对值为 ∴，，， ∴， ∵的绝对值为， ∴的值为或， ∴的值为或， ∴的值为或． 【点睛】本题考查了倒数的定义，相反数的性质，绝对值的意义，有理数的乘方运算，代数式求值，掌握以上知识是解题的关键． 19．（23-24六年级下·全国·假期作业）阅读下面的材料，然后按照材料中提供的方法计算． 计算：． 解：设， 则， 所以 ， 即． 按照上面的方法，计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘方运算，解题的关键是理解题中所给运算方法．设，然后两边同乘以3，进而按照题中所给方法进行求解即可． 【详解】解：设 则 所以， 即． 20．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）涵涵是一个聪明又富有想象力的学生，学习了“有理数的运算”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”的概念．规定：若干个相同有理数（均不为0）的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方，把记作，记作，请你根据涵涵的规定解决下列问题： (1)______；______； (2)关于“有理数的除方”，下列说法正确的是______；（填序号） ①对于任何正整数，都有；②；③；④对于任何正整数，都有． (3)计算 【答案】(1)； (2)③ (3) 【分析】本题主要考查了定义新运算，有理数的除法．熟练掌握新定义，有理数的除法法则是解决本题的关键． （1）根据新定义和有理数的除法计算即可； （2）①分n为奇数和偶数的两种情况，计算判断；②等式两端分别计算，比较结果即可；③按新定义计算，可判断正确；④为偶数，偶数个负数相除，结果应为正． （3）先按照新定义计算，再按有理数的乘除法计算即可． 【详解】（1）， ； 故答案为：，； （2）①对于任何正整数n，当n为偶数时， 有, n为奇数时， ， 故①错误； ②∵，， ∴， 故②错误； ③∵， 故③正确； ④对于任何正整数n， 都有， 而不是， 故④错误； 故答案为：③； （3） ． 21．（23-24七年级上·浙江宁波·开学考试）（概念学习） 规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”， 记作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作，读作“a的圈n次方”． 除方 乘方幂的形式 （初步探究）（1）关于除方，下列说法错误的是 ． A．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数． B．对于任何正整数n，． C．． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． （深入思考）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘法运算呢？ （2）算一算：. 【答案】（1）C；（2） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解除方的定义，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据除方的定义逐一判断即可； （2）根据除方的定义，结合有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】解（1）A、设，则，说法正确，不符合题意； B、代表个1相除，结果仍为，说法正确，不符合题意； C、，，即，说法错误，符合题意； D、负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，说法正确，不符合题意， 故答案为：C； （2） 学科网（北京）股份有限公司 $$