拓展1-3 空间向量与立体几何高频题型专攻-2024-2025学年高二第一学期数学重难点突破及易错点分析（人教A版）

拓展1-3空间向量与立体几何高频题型专攻 一、空间向量的线性运算 六、计算空间角 二、空间向量的共面问题 七、已知夹角求其他量 三、空间向量的数量积问题（不含坐标） 八、计算空间距离 四、空间向量的数量积问题（坐标） 九、探究动点存在问题 五、证明平行与垂直 十、求空间角、距离的最值范围 一、空间向量的线性运算 【例1】在平行六面体中，设，，，，分别是，的中点，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（多选）若三棱锥的体积是三棱锥体积的，且，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在三棱锥中，为的中点，设，则用表示为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，设为所在平面外任意一点，为的中点，若，则 . 【变式1-3】已知A，B，C，D四点共面且任意三点不共线，平面ABCD外一点P，满足，则 . 二、空间向量的共面问题 【例3】在空间四面体中，对空间内任意一点，满足，则下列条件中可以确定点与，，共面的为（    ） A． B． C． D． 【例4】在四面体中，在面内，在面内，且满足，若，则线段与的数量关系是（    ） A．与所在直线是异面直线 B．与所在的直线平行 C．线段与必相交 D．线段与延长后相交 【变式2-1】若向量，，共面，则 ． 【变式2-2】设，且是空间的一个基底，给出下列向量组：①，②，③，④．其中可以作为空间一个基底的向量组有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-3】已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，若正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 三、空间向量的数量积问题（不含坐标） 【例5】平行六面体中，底面ABCD为正方形，，，E为的中点，则异面直线BE和DC所成角的余弦值为（    ） A．0 B． C． D． 【例6】已知平行六面体的底面为矩形，，，，则（   ） A．3 B． C． D． 【变式3-1】如图，平面与平面夹角为，四边形，都是边长为1的正方形，则，两点间的距离是 ． 【变式3-2】棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则（    ）    A．1 B．－1 C． D． 【变式3-3】如图所示，平行六面体中，． (1)用向量表示向量，并求； (2)求． 四、空间向量的数量积问题（坐标） 【例7】（多选）已知向量，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．的最小值为 D．的最大值为4 【例8】已知空间中三点，，，设，． (1)若，且，求向量； (2)已知向量与互相垂直，求的值； (3)若点在平面上，求的值． 【变式4-1】已知空间四点，，，，满足. (1)求实数的值； (2)求以，为邻边的平行四边形的面积. 【变式4-2】已知，向量，且满足 (1)求点的坐标； (2)若点在直线（为坐标原点）上运动，当取最小值时，求点的坐标． 【变式4-3】已知向量，，其中，现有以下命题： ①向量与z轴正方向的夹角恒为定值(即与c，d无关)； ②的最大值为； ③ (的夹角)的最大值为； ④若定义，则的最大值为． 其中正确的命题有 ．(写出所有正确命题的序号) 五、证明平行与垂直 【例9】（多选）正方体中，分别为面对角线与上的点，，则下面结论正确的是（    ） A．平面 B．直线与直线所成角的正切值为 C． D．直线平面 【例10】如图，在直三棱柱中，，，，点E在线段上，且，分别为、、的中点.求证：    (1)平面平面； (2)平面平面. 【变式5-1】（多选）已知正方体中，是的中点，点是线段上的动点，则下列结论正确的是（   ） A．三棱锥的体积为定值 B．存在点，使得平面 C．不存在点，使得∥平面 D．不存在点，使得平面平面 【变式5-2】如图，在长方体中，，，. (1)求证：平面平面. (2)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 【变式5-3】已知正方体的棱长为1，在棱上运动，在线段上运动，直线与平面交于点．    (1)当为中点时，证明：平面； (2)若平面，求的最大值及此时的长． 六、计算空间角 【例11】（多选）如图所示，四边形ABCD为正方形，平面平面ABF，E为AB的中点，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．直线BC到平面ADF的距离为 C．异面直线AB与FC所成角的余弦值为 D．直线AC与平面CEF所成角的正弦值为 【例12】在等腰梯形ABCD中，，，，，M为AB中点，将，沿MD，MC翻折，使A，B重合于点E，得到三棱锥．    (1)求ME与平面CDE所成角的大小； (2)求二面角的余弦值． 【变式6-1】（多选）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点，则下列说法正确的是（    ）    A． B．平面 C．与平面所成夹角的正弦值为 D．平面与平面所成夹角的正弦值为 【变式6-2】如图，在四棱锥中，底面为正方形，，为线段的中点，平面底面． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【变式6-3】如图，为圆柱的轴截面，是圆柱异于的母线．    (1)证明：平面； (2)若，，求二面角的余弦值． 七、已知夹角求其他量 【例13】如图，在四棱锥中，底面是矩形，为棱的中点，且为棱上的一点，若与平面所成角的正弦值为，则 .    【例14】如图所示，是的直径，点是上异于，平面ABC，、分别为，的中点， (1)求证：EF⊥平面PBC； (2)若，，二面角的正弦值为，求BC． 【变式7-1】已知正方体的棱长为1，，，分别在棱，，上，且满足，是的重心，若直线与平面所成角为，则的值为 ． 【变式7-2】如图，在棱长为1的正方体中，分别是棱上的动点，且，则当平面与平面所成角的余弦值为时，三棱锥的体积为 .    【变式7-3】如图，直四棱柱的棱长均为2，底面是菱形，，为的中点，且上一点满足（）． (1)若，证明：； (2)若，且与平面所成角的正弦值为，求． 八、计算空间距离 【例15】在棱长为4的正方体中，分别为棱的中点，点在棱上，且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【例16】如图，已知正三棱柱的所有棱长均为1，动点在线段上，则面积的最小值为 . 【变式8-1】在正三棱柱中，，D，E分别为棱的中点，F是线段上的一点，且，则点C到平面DEF的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（多选）已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段.两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离.如图，在棱长为1的正方体中，点在上，且；点在上，且.则下列结论正确的是（    ） A．线段是异面直线与的公垂线段 B．异面直线与的距离为 C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为 【变式8-3】如图，已知三棱柱，底面，，，为的中点. (1)证明：面； (2)若，求点到平面的距离. 九、探究动点存在问题 【例17】如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形，，，平面，，.    (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)在线段（含端点）上，是否存在一点P，使得平面.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【例18】如图所示，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，，点是的中点，    (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式9-1】如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，. (1)求证：平面平面； (2)在线段上是否存在一点，使二面角的大小为？若存在，请指出点的位置，若不存在，请说明理由. 【变式9-2】已知底面是正方形，平面，，，点、分别为线段、的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在，说明理由． 【变式9-3】如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为的等边三角形，且． (1)证明：； (2)在棱上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，并求出的值． 十、求空间角、距离的最值范围 【例19】如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AC为底面直径，为底面圆O的内接正三角形，且边长为，点E在母线PC上，且，． (1)求证：直线平面BDE； (2)求证：平面平面ABD； (3)若点M为线段PO上的动点，求直线DM与平面ABE所成角的正弦值的最大值． 【例20】如图，在四棱锥中，平面，，底面为直角梯形，，，，是的中点，点，分别在线段与上，且，. (1)若平面平面，求、的值； (2)若平面，求的最小值. 【变式10-1】如图，在直四棱柱中，底面是边长为2的正方形，侧棱，点分别在侧棱上，且，点为线段上的任意一点.    (1)求二面角的余弦值： (2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【变式10-2】如图，在直三棱柱中，，． (1)当时，求证：平面； (2)设二面角的大小为，求的取值范围． 【变式10-3】棱长均为2的斜三棱柱中，在平面ABC内的射影O在棱AC的中点处，P为棱（包含端点）上的动点． (1)求点P到平面的距离； (2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 拓展1-3空间向量与立体几何高频题型专攻 一、空间向量的线性运算 六、计算空间角 二、空间向量的共面问题 七、已知夹角求其他量 三、空间向量的数量积问题（不含坐标） 八、计算空间距离 四、空间向量的数量积问题（坐标） 九、探究动点存在问题 五、证明平行与垂直 十、求空间角、距离的最值范围 一、空间向量的线性运算 【例1】在平行六面体中，设，，，，分别是，的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，分别是，的中点， 所以，， 所以 . 故选：C 【例2】（多选）若三棱锥的体积是三棱锥体积的，且，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为三棱锥的体积是三棱锥体积的， 所以在平面内存在一点，使得或，如图①②所示， 当时，则，得． 因为点在平面内，所以根据空间向量基本定理可得，解得． 当时，则，得． 因为点在平面内，所以根据空间向量基本定理可得，解得． 故选：AC. 【变式1-1】如图，在三棱锥中，为的中点，设，则用表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在三棱锥中，点N为棱的中点，点M在棱PC上，且满足， 设， 故， 所以， 点N为棱的中点， 所以， 故. 故选：B． 【变式1-2】如图，设为所在平面外任意一点，为的中点，若，则 . 【答案】 【详解】依题意， ， 又，所以，则. 故答案为：. 【变式1-3】已知A，B，C，D四点共面且任意三点不共线，平面ABCD外一点P，满足，则 . 【答案】 【详解】由， 故， 由A，B，C，D四点共面且任意三点不共线， 故可设，，， 则有， 整理可得， 则有，解得，故. 故答案为：. 二、空间向量的共面问题 【例3】在空间四面体中，对空间内任意一点，满足，则下列条件中可以确定点与，，共面的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以点与，，共面等价于，即. 故选：A. 【例4】在四面体中，在面内，在面内，且满足，若，则线段与的数量关系是（    ） A．与所在直线是异面直线 B．与所在的直线平行 C．线段与必相交 D．线段与延长后相交 【答案】C 【详解】若，则， ，所以四点共面. 又与不平行； ∴线段与线段相交. 若且，；∴, 不妨设，则, ∴, 即,四点共面, 又与不平行；∴线段与线段相交. 故选：C. 【变式2-1】若向量，，共面，则 ． 【答案】2 【详解】由，，得不共线， 由共面，得，即， 则，解得， 所以. 故答案为：2 【变式2-2】设，且是空间的一个基底，给出下列向量组：①，②，③，④．其中可以作为空间一个基底的向量组有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】如图所示，令，，， 则，，，， 由于四点不共面，可知向量也不共面， 同理四点不共面，可知向量不共面， 又四点不共面，可知向量也不共面， 而四点共面，所以向量共面， 又三个不共面的向量可作为空间向量的一组基底，故有3个向量组可以作为空间的一个基底. 故选：C. 【变式2-3】已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，若正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【详解】由四点共面，可知，即， 由， ，当且仅当，即时等号成立， 故选：B 三、空间向量的数量积问题（不含坐标） 【例5】平行六面体中，底面ABCD为正方形，，，E为的中点，则异面直线BE和DC所成角的余弦值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意，，， 又，， 所以，即有， 故选：A． 【例6】已知平行六面体的底面为矩形，，，，则（   ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，， 而，则，又， 所以. 故选：A 【变式3-1】如图，平面与平面夹角为，四边形，都是边长为1的正方形，则，两点间的距离是 ． 【答案】 【详解】因为四边形、都是边长为的正方形，则，， 又平面与平面夹角为，即，则， 因为，由图易知，， 所以 ， 即，两点间的距离是. 故答案为：. 【变式3-2】棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则（    ）    A．1 B．－1 C． D． 【答案】A 【详解】，所以． 故选：A． 【变式3-3】如图所示，平行六面体中，． (1)用向量表示向量，并求； (2)求． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）， 则 ， 所以. （2）由空间向量的运算法则，可得， 因为且， 所以 ， ， 则. 四、空间向量的数量积问题（坐标） 【例7】（多选）已知向量，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．的最小值为 D．的最大值为4 【答案】AC 【详解】对于A，若，且， 则存在唯一实数使得，即， 则，解得，故A正确； 对于B，若，则，即， 化简得，因为，所以无实数解，故B错误； 对于CD，，故当时，取得最小值为，无最大值，故C正确，D错误. 故选：AC. 【例8】已知空间中三点，，，设，． (1)若，且，求向量； (2)已知向量与互相垂直，求的值； (3)若点在平面上，求的值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【详解】（1），设， 因为，而，所以； 故或 （2），，， 由与互相垂直得：， 解得. （3）点在平面上，， ， ， 解得：. 【变式4-1】已知空间四点，，，，满足. (1)求实数的值； (2)求以，为邻边的平行四边形的面积. 【答案】(1) (2)12 【详解】（1）由题意得，. ∵，则，解得 （2）由，得， ∵，，， ∴，. ∴. ∴以，为邻边的平行四边形的面积为12. 【变式4-2】已知，向量，且满足 (1)求点的坐标； (2)若点在直线（为坐标原点）上运动，当取最小值时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，则， 因为． 所以，解得． 所以； （2）因为点在直线为坐标原点）上运动， 所以． 所以， ． 所以 ． 当时，取得最小值． ． 【变式4-3】已知向量，，其中，现有以下命题： ①向量与z轴正方向的夹角恒为定值(即与c，d无关)； ②的最大值为； ③ (的夹角)的最大值为； ④若定义，则的最大值为． 其中正确的命题有 ．(写出所有正确命题的序号) 【答案】①③④ 【详解】①取z轴的正方向单位向量， 则，∴向量与z轴正方向的夹角恒为定值，命题正确； ②， 当且仅当a=c，b=d时取等号，因此的最大值为1，命题错误； ③由②可得，∴， ∴， ∴的最大值为，命题正确； ④由③可知：， ∴，，∴，命题正确． 综上可知，正确的命题序号是①③④． 故答案为：①③④. 五、证明平行与垂直 【例9】（多选）正方体中，分别为面对角线与上的点，，则下面结论正确的是（    ） A．平面 B．直线与直线所成角的正切值为 C． D．直线平面 【答案】BCD 【详解】    如图：因为为正方体， 以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 设棱长为.则， ， 设，则， 设，则， ， ，所以， 解得：， 则，， 对于A，平面的一个法向量为， 由，所以不平行平面，所以选项A错误； 对于B，由，设直线与直线所成角为， 则，则，， 所以选项B正确； 对于C，，由， 所以，所以选项C正确； 对于D，因为，，所以， ，， 所以直线平面，所以选项D正确. 故选：BCD. 【例10】如图，在直三棱柱中，，，，点E在线段上，且，分别为、、的中点.求证：    (1)平面平面； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明：以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系.    则，，，，，. 设，则，，. 因为，，， 所以，. 所以，，即，. 又平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. （2）因为，，， 所以，. 所以，. 因为平面，所以平面. 又由（1）知平面，所以平面平面. 【变式5-1】（多选）已知正方体中，是的中点，点是线段上的动点，则下列结论正确的是（   ） A．三棱锥的体积为定值 B．存在点，使得平面 C．不存在点，使得∥平面 D．不存在点，使得平面平面 【答案】AB 【详解】如图所示，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 不妨设，则， 设 设， 则， 对于选项A：因为， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 因为，且平面，则∥平面， 可知点到平面的距离为定值，即三棱锥的高为定值， 又因为的面积为定值， 所以三棱锥的体积为定值，故A正确； 对于选项B：因为，平面的法向量， 若∥，则，解得， 即当时，平面，故B正确； 对于选项C：因为， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 令，解得， 即当时，∥平面，故C错误； 对于选项D：令，解得， 即当时，平面平面，故D错误； 故选：AB. 【点睛】方法点睛：利用空间向量求解探索性问题的策略 （1）假设题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分结论． （2）在这个前提下进行逻辑推理，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标(或参数)是否有解，是否有规定范围内的解”等．若由此推导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论． 【变式5-2】如图，在长方体中，，，. (1)求证：平面平面. (2)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，P为线段的中点 【详解】（1）证明：以D为原点，DA，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 则，，，. 设平面的法向量为， 则. 取，则，，所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则. 取，则，，所以平面的一个法向量为. 因为，即，所以平面平面. （2）设线段上存在点P使得平面，. 由（1）得，，平面的一个法向量为， 所以. 所以，解得. 所以当P为线段的中点时，平面. 【变式5-3】已知正方体的棱长为1，在棱上运动，在线段上运动，直线与平面交于点．    (1)当为中点时，证明：平面； (2)若平面，求的最大值及此时的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)最大值为， 【详解】（1）以为坐标原点，方向为轴，建立空间直角坐标系，    则， 设， 当E，F为中点时，，有， 所以，，，有，， 所以，又平面， 所以平面． （2）由（1）可得，，， 若平面，则，，所以， 设，则， 由平面ACE，所以， 当时，，有，当时，等号成立， 所以，即， 综上，的最大值为，． 六、计算空间角 【例11】（多选）如图所示，四边形ABCD为正方形，平面平面ABF，E为AB的中点，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．直线BC到平面ADF的距离为 C．异面直线AB与FC所成角的余弦值为 D．直线AC与平面CEF所成角的正弦值为 【答案】ACD 【详解】由题意，在中，，，， 则，故为等腰直角三角形. 由于E为AB中点，所以， 且平面平面，平面平面，平面， 则平面， 取CD中点G，连接，由四边形ABCD为正方形，则， 因为平面，则. 以为坐标原点，分别以EF，EB，EG所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，，， A项，则，故A正确； B项，因为，平面，平面， 所以平面， 由平面，因为平面，则. 又，，平面，平面，则平面. 平面，所以， 因为，，平面，平面， 所以平面，即点到平面的距离即为， 所以直线BC到平面的距离为，即B错误； C项，，， 所以， 所以异面直线AB与FC所成角的余弦值为，即C正确； D项，设平面CEF的一个法向量为， ，， 则， 令，可得，，即，， 设直线AC与平面CEF所成的角为， 则，即D正确． 故选：ACD． 【例12】在等腰梯形ABCD中，，，，，M为AB中点，将，沿MD，MC翻折，使A，B重合于点E，得到三棱锥．    (1)求ME与平面CDE所成角的大小； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在三棱锥中，取CD中点为Q， 过点M作直线EQ的垂线交直线EQ于点H，      因为ABCD为等腰梯形，且M为AB中点，则，， 可知，，且EQ，平面MEQ，， 则平面MEQ，且平面MEQ，可得， 可知，，，CD，平面CDE， 则平面CDE，可知即为所求线面角， 在等腰梯形ABCD中，已知，，， 可求出，，， 可得， 且，则， 所以直线ME与平面CDE所成角为. （2）以H为原点，，，为x轴，y轴，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 可得，， 设平面MEQ的法向量为，则， 取，则，可得， 且平面CDE的法向量为， 可得， 由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为． 【变式6-1】（多选）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点，则下列说法正确的是（    ）    A． B．平面 C．与平面所成夹角的正弦值为 D．平面与平面所成夹角的正弦值为 【答案】BC 【详解】因为，，，为的中点，所以，,四边形为平行四边形， 所以，又因为平面，平面，所以平面，故B正确； 如图所示，作交于，连接，因为四边形为等腰梯形， 所以，，，所以， 又因为四边形为平行四边形，可得，又，所以为等边三角形，为中点， 所以，与不垂直，故A错误； 又因为四边形为等腰梯形，为中点，所以，， 四边形为平行四边形，所以， 又因为为中点，所以且，， 则有，所以， 互相垂直， 以为原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，   ，，，，， ，， 设平面的法向量为，平面的法向量为， 则，令，得，，即， 则，令，得，，即， 所以与平面所成角的正弦值为，故C正确； ，则 所以平面与平面夹角的正弦值为，故D错误. 故选：BC 【变式6-2】如图，在四棱锥中，底面为正方形，，为线段的中点，平面底面． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为平面平面，且平面平面， ，平面ABCD，所以平面，平面，所以， 又因为，为中点，所以， 又，平面，所以平面； （2）设点在底面的射影为点，则平面， 又平面，所以，取中点， 因为，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以，即在的中垂线上， 如图建立空间直角建系，不妨取， 则设为，，，， 所以，，， 由（1）可知，计算得，，所以， 又，， 设平面PBC的法向量为， 则，即，取， 所以． 【变式6-3】如图，为圆柱的轴截面，是圆柱异于的母线．    (1)证明：平面； (2)若，，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【详解】（1）    由题意，所以是平行四边形，即四点共面， 因为为圆柱的轴截面，所以为底面圆的直径，所以， 因为平面，平面，所以， 又，，，平面，平面， 所以平面； （2）由（1）知两两相互垂直， 如图，以点为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 若，， 则， 由题意，所以是平行四边形，即四点共面， 因为为圆柱的轴截面，所以为底面圆的直径，所以， 因为平面，平面，所以， 又，，，平面，平面， 所以平面，平面的法向量可取为. 设平面的法向量为，由，， 则有，可取， 设二面角的平面角为， 则， 由图可知为锐角，所以二面角的余弦值为.    七、已知夹角求其他量 【例13】如图，在四棱锥中，底面是矩形，为棱的中点，且为棱上的一点，若与平面所成角的正弦值为，则 .    【答案】/ 【详解】过点作，交于点，由，为中点，得， 又，且，平面，则平面， 而平面，有，又是矩形，则两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图：    由，，为中点，得，为的中点， 则点，，，，， ，,，， 令，， 设平面法向量为，则，令，得， 由与平面所成角的正弦值为，得， 解得，所以. 故答案为： 【例14】如图所示，是的直径，点是上异于，平面ABC，、分别为，的中点， (1)求证：EF⊥平面PBC； (2)若，，二面角的正弦值为，求BC． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：因为平面ABC，平面。所以， 因为是的直径，知， 因为，且平面，所以平面， 由分别是的中点，所以，所以平面． （2）以为原点，所在直线分别为x轴、轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设，，且， 所以，， 易知平面的一个法向量， 设平面的一个法向量，则 则，即，∴， 取，得，，则， 因为二面角的正弦值为，则其余弦值为， 所以，化简得， 又因为，所以， 解得：，即， 所以，即. 【变式7-1】已知正方体的棱长为1，，，分别在棱，，上，且满足，是的重心，若直线与平面所成角为，则的值为 ． 【答案】/ 【详解】如图，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 因为是的重心，所以， 所以， 设平面的一个法向量为， 因为， 所以，令，则， 因为直线与平面所成角为， 所以（）， 所以，化简得， 解得或（舍去） 故答案为： 【变式7-2】如图，在棱长为1的正方体中，分别是棱上的动点，且，则当平面与平面所成角的余弦值为时，三棱锥的体积为 .    【答案】 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 设， 则， 故， 设平面的法向量为， 则有， 令，则，所以， 因为轴平面， 则可取平面的法向量为， 则，解得或（舍去）， 所以， 故. 故答案为：.      【点睛】思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下： （1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标； （2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）； （3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值. 【变式7-3】如图，直四棱柱的棱长均为2，底面是菱形，，为的中点，且上一点满足（）． (1)若，证明：； (2)若，且与平面所成角的正弦值为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接，交于点， ∵底面是菱形，∴，且，互相平分． 又，∴，， 连接，交于点，连接， 则平面， ∴，，两两相互垂直，故以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，， ，，． ∴，∴， ∴， ∴时，． ∵， ∴． （2）由（1）可得， ，， 设平面的法向量为， 则即 ∴，令，得， 则， 设与平面所成角为， 则， 化简得 解得或（舍去）． 所以. 八、计算空间距离 【例15】在棱长为4的正方体中，分别为棱的中点，点在棱上，且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，建立空间直角坐标系，因为正方体的棱长为4， 则， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 由，得到，取，得到，所以， 所以点到平面的距离为， 故选：C. 【例16】如图，已知正三棱柱的所有棱长均为1，动点在线段上，则面积的最小值为 . 【答案】/ 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 所以， 因动点在线段上，则令， 即有点，所以，则， 从而， 因此点到直线的距离 ， 当且仅当时取等号， 所以线段上的动点P到直线的距离的最小值为， 又因为， 所以面积的最小值. 【点睛】关键点点睛：求出点到直线的距离的最小值是解决本题的关键. 【变式8-1】在正三棱柱中，，D，E分别为棱的中点，F是线段上的一点，且，则点C到平面DEF的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 记的中点为，连结，过作，如图， 根据题意，易知两两垂直，以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 故，，，， ，， 因为， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 故， 又， 所以点到平面的距离为. 故选：C. 【变式8-2】（多选）已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段.两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离.如图，在棱长为1的正方体中，点在上，且；点在上，且.则下列结论正确的是（    ） A．线段是异面直线与的公垂线段 B．异面直线与的距离为 C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为 【答案】ACD 【详解】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系. ，，，，，，，，， ，. 对于A，，，， ，，即，， 所以线段是异面直线与的公垂线段，故A正确； 对于B，由正方体可得异面直线与的公垂线的方向向量为， 又，所以异面直线与的距离为.故B错误； 对于C，，， 所以在方向的投影向量的模为， 所以点到直线的距离为.故C正确； 对于D，设平面的一个法向量为，则，即，令，得，， ，又， 所以点到平面的距离为.故D正确. 故选：ACD. 【点睛】思路点睛：本题考查空间中的距离问题.解题思路是建立空间直角坐标系，求出点坐标，根据点到直线距离公式，异面直线距离公式，点到面的距离公式，利用向量的坐标运算求解. 【变式8-3】如图，已知三棱柱，底面，，，为的中点. (1)证明：面； (2)若，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）证明：如图 连接交于点，则为的中点， 连接，又因为为的中点， 所以，平面，平面， 所以平面. （2）如图： 以，所在的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系， ，则， 所以，，，，， ，， 设平面的法向量， 则，所以，所以，令，， 所以，又， 记点到平面的距离为， 所以. 九、探究动点存在问题 【例17】如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形，，，平面，，.    (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)在线段（含端点）上，是否存在一点P，使得平面.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【详解】（1）过作于，由于， 则，由于，且四边形是等腰梯形，所以， 在三角形中，由余弦定理可得， 所以，故， 以为坐标原点，，为轴，轴，过点作的平行线为轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：    设，则，， 可得，，， 易知， 所以，， 设平面的法向量， 则，即，解得，令，则， 所以得. 设面的法向量，，， 则，即，解得，令，则； 所以得. 由几何体的特征可知二面角的平面角为锐角，设大小为， 所以， 即二面角的余弦值为. （2）由（1）知，又， 且，平面，所以平面， 由在线段上，设，；， 若平面， 则可知，即， 可得，解得，即； 所以 【例18】如图所示，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，，点是的中点，    (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【详解】（1）证明：取中点，连接．因为，所以． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面．取中点，连接，则． 以为原点，如图建立空间直角坐标系，设， 则，，，，，，． 平面的法向量，设平面的法向量， 由，得 令，则． 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值；    （2）在线段上是不存在点，使得平面． 设点，且，，则， 所以． 则所以，． 若平面，则，即，此方程无解， 所以在线段上不存在点，使得平面． 【变式9-1】如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，. (1)求证：平面平面； (2)在线段上是否存在一点，使二面角的大小为？若存在，请指出点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，点M位于靠近点C的四等分处 【详解】（1）因为，，Q为的中点， 所以四边形为平行四边形，则． 所以，即． 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面， 所以平面平面． （2）由（1）知：平面，平面，则， 又，为的中点，则， 所以两两垂直，故可构建如下图示的空间直角坐标系， 所以，，则， 假设存在点M，设且，得， 所以，又， 设平面法向量为，则，令，则． 由（2）知平面的法向量为，二面角为， 所以，解得， 故线段上存在点M使二面角大小为，且点M位于靠近点C的四等分处． 【变式9-2】已知底面是正方形，平面，，，点、分别为线段、的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在；或 【详解】（1）证明：法一：分别取、的中点、，连接、、， 由题意可知点、分别为线段、的中点．所以，， 因为，所以，所以点、、、四点共面， 因为、分别为、的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又因为，平面，平面，所以平面， 又因为，、平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面； 法二：因为为正方形，且平面，所以、、两两互相垂直， 以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， 所以，易知平面的一个法向量， 所以，所以， 又因为平面，所以平面． （2）解：设平面的法向量，，， 则，取，可得， 所以平面的一个法向量为， 易知平面的一个法向量，设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角余弦值为； （3）解：假设存在点，使得，其中， 则， 由（2）得平面的一个法向量为， 由题意可得， 整理可得．即， 因为，解得或，所以，或． 【变式9-3】如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为的等边三角形，且． (1)证明：； (2)在棱上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，并求出的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1），为中点，； 平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面，. （2）取中点，连接， 为等边三角形，； 分别为中点，，， 则以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， ， ，解得：， ，，，， ，，， 假设在棱上存在点，使得二面角的大小为， 设，则， ； 设平面的法向量， 则，令，解得：，，； 平面，平面的一个法向量为， ，解得：（舍）或， ，则； 存在点，满足，使得二面角的大小为. 十、求空间角、距离的最值范围 【例19】如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AC为底面直径，为底面圆O的内接正三角形，且边长为，点E在母线PC上，且，． (1)求证：直线平面BDE； (2)求证：平面平面ABD； (3)若点M为线段PO上的动点，求直线DM与平面ABE所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)1 【详解】（1）如图，设交于点，连接， 易知底面，平面，所以． 又是底面圆的内接正三角形，由，可得，． 又，，所以，即， 又，所以，所以，即， 又、、平面，所以直线， 又不在平面上，平面，所以直线平面． （2）因为，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （3）易知，如图，以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则、， 所以． 设平面的法向量为，则，即， 令，则，设，可得． 设直线与平面所成的角为，则， 即，令， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以当时，有最大值4，即当时，的最大值为1． 【例20】如图，在四棱锥中，平面，，底面为直角梯形，，，，是的中点，点，分别在线段与上，且，. (1)若平面平面，求、的值； (2)若平面，求的最小值. 【答案】(1)； (2)8. 【详解】（1）若平面平面，平面平面，平面平面，所以， 又因为为的中点，所以为的中点，同理为的中点，所以. （2）因为，底面， 如图，以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴正半轴建立空间直角坐标系， 故，则，， 设平面的法向量为，则取，可得. 因为，，所以，， 则， 因为平面，所以，即， 所以，即， 所以，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为8. 【变式10-1】如图，在直四棱柱中，底面是边长为2的正方形，侧棱，点分别在侧棱上，且，点为线段上的任意一点.    (1)求二面角的余弦值： (2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为在直四棱柱中，底面是边长为2的正方形， 所以以为原点，、、分别为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，令，则， 设平面的法向量为，则，令，则 所以， 因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值. （2）由(1)知，，，， 因为点为线段上的任意一点，设，所以， 则，， 设平面的法向量为，则，令，则， 设直线与平面所成角为， 所以， 则， 令，则，所以， 则，， 所以，则， 所以，则当， 即时，直线与平面所成角的正弦值最大值，最大值为. 【变式10-2】如图，在直三棱柱中，，． (1)当时，求证：平面； (2)设二面角的大小为，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）以为基底建立如图所示空间直角坐标系， 则，. 当时，， 所以， 所以，所以. 又平面平面， 所以平面. （2）， 设平面的一个法向量为， 则，即，不妨取. 因为平面，所以平面的一个法向量为. 所以， 所以. 又因为，易知在上单调递减， 所以. 【变式10-3】棱长均为2的斜三棱柱中，在平面ABC内的射影O在棱AC的中点处，P为棱（包含端点）上的动点． (1)求点P到平面的距离； (2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）依题意，平面ABC，(底面为正三角形)，且， 以O为原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图， 则， ，，， 由，平面，平面，则平面， 即点P到平面的距离等于点到平面的距离， 设为平面的一个法向量，由，取，得， 因此点到平面的距离， 所以点P到平面的距离为． （2）设，， 则， 由，得为平面的一个法向量，设直线与平面所成角为， 则， 令，则，， 则， 由，得，于是，，则， 所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$