2.2.1有理数的乘法冲刺满分同步练习（题型突破+链接中考+专项精练）2024-2025学年人教版数学七年级上册

冲刺满分（题型突破+链接中考+专项精练） 2.2.1有理数的乘法 考点一：有理数的乘法法则 1、两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 2任何数同0相乘，都得0. 考点二：倒数 乘积是1的两个有理数互为倒数。0没有倒数。（数a（a≠0）的倒数是） 考点三：有理数的乘法运算律 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即。 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。 即。 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。即。 1、倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数。 2、互为倒数的两个数必定同号（同为正数或同为负数）。 【题型一】有理数乘法的运算 【方法点拨】 带分数与分数相乘时，通常把带分数化成假分数，再与分数相乘。 【典型例题】 1．计算：． 【答案】 【分析】原式利用乘法分配律计算即可求出值． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了有理数的乘法计算，运用乘法分配律计算会使计算更加简单． 2.计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算，解题的关键是掌握有理数的乘法运算法则． （1）根据有理数乘法法则直接计算即可； （2）根据有理数乘法法则直接计算即可； （3）根据有理数乘法法则直接计算即可． 【详解】（1）解：； （2） ； （3） ． 3．阅读下面解题过程． 利用运算律有时能进行简便计算． 例1：； 例2：； 请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将写成的形式，再使用乘法分配律计算即可； （2）提取公因式，先计算括号内的，再进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数混合运算，熟练掌握乘法的分配律，准确计算是解题的关键． 【题型二】倒数及性质 【方法点拨】求一个数的倒数: 1、求一个数a的倒数，即 2、求一个分数的倒数，只要将分子、分母交换一下位置即可。 3、求一个带分数的倒数，应先将带分数化成假分数再求其倒数。 4、求一个小数的倒数，先将小数化成分数，然后再求倒数。 5、求一个数相反数的倒数，先求这个数的倒数，再求倒数的相反数即可。 【典型例题】 1. 的倒数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了倒数的意义，熟练乘积是的两个数互为倒数是解题的关键． 根据倒数的意义即可求解． 【详解】解：根据倒数的意义，即乘积是的两个数互为倒数， ∵， ∴的倒数是， 故答案为． 2.的倒数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了倒数的定义，熟练掌握倒数的定义——“若两个数的乘积是，我们就称这两个数互为倒数”是解题的关键． 符号不变，然后将这个数的分子和分母互换位置，即可求得这个数的倒数． 【详解】解：的倒数是， 故选：． 3.任何数都有倒数，的倒数是 ． 【答案】× 【分析】本题主要考查倒数的定义，根据倒数的定义逐句判断即可． 【详解】解：任何数都有倒数，0没有倒数，错误， ，及其倒数是，正确， 故答案为：×． 4.一个数由3个1和5个组成，这个数写作 ，它的倒数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，倒数的定义，根据题意可得数为，变为分数求出倒数即可． 【详解】解：由3个1和5个组成的数为， ，倒数为：， 故答案为：；． 5．2024的倒数的相反数为 ． 【答案】 【分析】本题考查相反数的知识，解题的关键是掌握倒数，相反数的定义，即可． 【详解】∵的倒数为：， ∴的倒数的相反数为：． 故答案为：． 【题型三】多个有理数相乘 【方法点拨】 1、几个不是0的数相乘，负因数的个数是奇数时，积是负数； 负因数的个数是偶数时，积是正数。 确定符号后，把各个因数的绝对值相乘。 2、几个数相乘，有一个因数为0，积为0；反之，如果积为0，那么至少有一个因数是0。 【典型例题】 1.若5个有理数的积是负数，则5个因数中正因数的个数可能是（　　） A．1个 B．3个 C．1或3或5个 D．以上答案都不对 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，解题的关键是掌握有理数的乘法法则．根据几个不为零的数相乘，积的符号由负因数的个数确定，当负因数的个数为偶数时积为正，负因数的个数为奇数时积为负，即可得解． 【详解】解： 5个有理数的积是负数，则5个因数中负因数的个数为1个，3个或5个， 正因数的个数可能为4个或2个或0个． 故选：D． 2．下列各式中积为正的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘法法则的运用，任何数与零相乘，都得0．多个有理数相乘的法则∶①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正 根据有理数的乘法法则进行计算，再根据所得的结果的符号进行判断． 【详解】解：A、，故积为负，不符合题意； B、，故积为负，不符合题意； C、，积为0，不符合题意； D、，故积为正，符合题意； 故选∶D． 【题型四】有理数的乘法与相反数、绝对值、倒数、数轴的综合应用 【典型例题】 1.若，，且，则xy的值为（     ） A． B． C．12 D．12或 【答案】D 【分析】根据题意，利用绝对值的代数意义求出x与y的值，即可求出xy的值． 【详解】解：，且， ， 则或12， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的乘法以及绝对值的知识，熟练掌握运算法则是解题的关键． 2.实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，有理数的乘法和加法．绝对值的意义，先根据数轴得出a，b的范围，再逐个判断即可． 【详解】解：由题知：，， ∴，，，， ∴选项B符合题意． 故选：B． 【题型五】应用有理数的乘法解决实际问题 【典型例题】 1.某个体儿童服装店老板以每件32元的价格购进30件连衣裙，针对不同的顾客，30件连衣裙的售价不完全相同，若以40元为标准价，将超过的钱数记为正，不足的钱数记为负，则售价记录结果如表所示： 售出数量（件） 4 9 3 5 4 5 与标准价的差（元） (1)总进价是________元． (2)在销售过程中①最低售价为每件______元；②最高获利为每件_____元． (3)该服装店在售完这30件连衣裙后，赚了多少钱？ 【答案】(1)960 (2)34；13 (3)225元 【分析】（1）用件数乘以单件进价计算即可； （2）用标准价减去6即可得出最低售价，算出最高售价再减去进价即可； （3）算出总售价减去总进价计算即可； 【详解】（1）解：， ∴总进价是960元． 故答案为：960； （2）解：①最低售价是：（元）； ②最高利润为：（元）； 故答案是：34；13； （3）解：根据题意可得： （元）． 【点睛】本题主要考查了正数和负数的实际应用，准确计算是解题的关键． 2.某自行车厂一周计划生产辆自行车，平均每天生产辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，如下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共生产______辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产______辆； (3)该厂实行计件工资制，每辆车元，超额完成任务每辆奖元，少生产一辆扣元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【答案】(1)599 (2)26 (3)该厂工人这一周的工资是元 【分析】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，理解正负数的意义，掌握有理数的运算法则是关键． （1）三天的计划总数加上三天多生产的辆数的和即可； （2）求出超产的最多数与减产的最少数的差即可； （3）求得这一周生产的总辆数，然后按照工资标准求解． 【详解】（1）解：前三天生产的辆数是辆． 答案是：； （2）解：辆， 故答案是， 故答案为：； （3）解：这一周多生产的总辆数是辆． 元． 答：该厂工人这一周的工资是元． 【题型一】有理数乘法的运算 【典型例题】 1.（2023·河北秦皇岛·二模）对于下面两个等式①，②，下列说法正确的是（    ） A． ①表示加法交换律 B．②表示乘法结合律 B． ①表示加法结合律 D．②表示乘法交换律 【答案】C 【分析】根据加法结合律、交换律，乘法交换律、结合律分析判断即可求解． 【详解】解：①表示加法结合律， ②表示乘法交换律与乘法结合律， 故选：C． 【点睛】本题考查了加法结合律、交换律，乘法交换律、结合律，熟练掌握有理数的运算律是解题的关键． 2.．（2023·河北邯郸·一模）下列式子中计算结果与相等的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将化为，再根据乘法分配律计算即可． 【详解】解： 根据乘法分配律得，只有B正确， 故选：B． 【点睛】此题考查了有理数的乘法分配律的计算，正确将化为是解题的关键． 3．（2022·浙江丽水·三模）如图，运算中的（    ）处，填写的理由是（    ） （乘法交换律） （          ） ． A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．分配律 D．加括号 【答案】B 【分析】根据运算过程可知是根据乘法结合律． 【详解】解： (乘法交换律) (乘法结合律) 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的乘法运算律，熟练掌握和运用有理数的乘法运算律是解决本题的关键． 【题型二】倒数及性质 【典型例题】 1.（2023·湖南长沙·二模）2024的倒数是（    ） A． 【答案】A 【分析】本题考查倒数定义，解题的关键是掌握倒数定义． 根据题意利用倒数定义“相乘等于1的两个数互为倒数”即可得出本题答案． 【详解】解：2024的倒数是 故选：A． 2. 的倒数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了倒数的定义，理解定义“乘积为的两个数互为倒数”是解题的关键． 【详解】解：， 的倒数是， 故选：B． 3.（2024·山东青岛·二模）一个数的倒数是，这个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是倒数的含义，掌握倒数的定义是解本题的关键，根据乘积为1的两个数互为倒数可得答案． 【详解】解：∵， ∴一个数的倒数是，这个数是， 故选D 4．（2023·山东烟台·模拟预测）的倒数是（　　） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了倒数的概念及性质．根据倒数的定义，互为倒数的两数乘积为1，即可解答． 【详解】解：根据倒数的定义得： ， 因此的倒数是． 故选：D． 5．（2024·江苏·模拟预测）的相反数的倒数是（　　） A．2024 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相反数、倒数，熟练掌握相反数和倒数的定义是解题的关键； 根据“只有符号不相同的两个数互为相反数；乘积为1的两个数互为倒数”，即可求解． 【详解】解：的相反数是2024，它的倒数是， 故选：C． 【题型三】多个有理数相乘 【典型例题】 1.（2023·山东临沂·一模）已知，，则，的大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】根据有理数的乘法法则得出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的乘法运算，熟练掌握有理数的乘法运算中的符号问题是解题的关键． 【题型四】有理数的乘法与相反数、绝对值、倒数、数轴的综合应用 【典型例题】 1.（2024·四川巴中·中考真题）实数在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查利用数轴比较大小．实数，在数轴上对应点的位置可知，，，由此即可求解． 【详解】解：由题意得，，，则， ∴，，， 观察四个选项，选项D符合题意． 故选：D． 2．（2024·吉林长春·三模）如图，实数a，b在数轴上的对应点在原点两侧，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是实数与数轴．根据数轴可知，，，由此逐一判断各选项即可． 【详解】解：由数轴可知，，， A、∵，， ∴， ∴，故选项A不符合题意； B、∵，， ∴， ∴，故选项B不符合题意； C、∵，， ∴，故选项C不符合题意； D、∵，， ∴， ∴，故选项D符合题意； 故选：D． 【题型五】应用有理数的乘法解决实际问题 【典型例题】 1.（2017·湖北武汉·一模）某粮仓原有大米132吨，某一周该粮仓大米的进出情况如下表：（当天运进大米8吨，记作吨；当天运出大米15吨，记作吨）．若经过这一周，该粮仓存有大米88吨． 某粮仓大米一周进出情况表（单位：吨） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 (1)求的值，并说明星期五该粮仓是运进还是运出大米，运进或运出大米多少吨？ (2)若大米进出库的装卸费用为每吨15元，求这一周该粮仓需要支付的装卸总费用． 【答案】(1)，星期五该粮仓是运出大米，运出大米20吨； (2)这一周该粮仓需要支付的装卸总费用为2700元． 【分析】（1）根据有理数的加法，可得答案； （2）根据装卸总费用装卸费用装卸总量，可得答案． 【详解】（1）解：， ， ； 答：，星期五该粮仓是运出大米，运出大米20吨； （2）解：， ． 答：这一周该粮仓需要支付的装卸总费用为2700元． 【点睛】本题主要考查了正数和负数，掌握正数和负数的意义是解题的关键． 2.（2024·北京·中考真题）联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始。一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下： 节目 A B C D 演员人数 10 2 10 1 彩排时长 30 10 20 10 已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）。 若节目按“”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为 min； 若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按 的先后顺序彩排 【答案】 60 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确理解题意，熟练计算是解题的关键． ①节目D的演员的候场时间为；②先确定C在A的前面，B在D前面，然后分类讨论计算出每一种情况下，所有演员候场时间，比较即可． 【详解】解：①节目D的演员的候场时间为， 故答案为：60； ②由题意得节目A和C演员人数一样，彩排时长不一样，那么时长长的节目应该放在后面，那么C在A的前面，B和D彩排时长一样，人数不一样，那么人数少的应该往后排，这样等待时长会短一些，那么B在D前面， ∴①按照顺序，则候场时间为：分钟； ②按照顺序，则候场时间为：分钟； ③按照顺序，则候场时间为：分钟； ④按照顺序，则候场时间为：分钟； ⑤按照顺序，则候场时间为：分钟； ⑥按照顺序，则候场时间为：分钟． ∴按照顺序彩排，候场时间之和最小， 故答案为：． 1．若，，且，则　 　． 2．一瓶“茶π”饮料2升，喝了 升，还剩　 　升． 3．体育课每星期上两节，两节课的安排要满足如下要求：①每天只能上一节；②不能连续两天都有体育课；③每天可以在节的任意一节上这门课；④星期六和星期日不能安排．则这门课共有　 　种安排方式． 4．计算：　 　． 5．已知 ， ，且 ， ，则 　 　. 6．观察下列等式：，将以上三个等式两边分别相加得：．应用计算： 　 　． 7．如果 ，那么一定有（　　） A． B． C． 或 D．a、b中最多有一个为0 8．实数，在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 9．计算： （　　） A．-1 B．1 C．4 D．-4 10．计算：（　　） A． B． C． D． 11．计算的结果为（　　） A．2024 B．﹣2024 C． D． 12．若|x|=3，|y|=4，且xy＜0，则x+y的值为（　　） A．7 B．-1 C．±7 D．±1 13．在数–6，3，5，–2中任取两个数相乘，所得积最小的是（　　） A．-18 B．-30 C．-10 D．-6 14．若2022×21= p，则2022×20的值可表示为（　　） A．p-1 B．p+1 C．p-2022 D．p 15．若 m+n<0,mn>0,那么这两个数（　　） A．都是正数 B．都是负数 C．一正一负 D．符号不能确定 16．下列运算错误的是（　　） A．（﹣2）×（﹣3）＝6 B．（﹣）×6＝﹣3 C．（﹣5）×（﹣2）×（﹣4）＝-40 D．（﹣3）×（﹣2）×（﹣4）＝24 17．计算： ． 18．某校体育器材室共有60个篮球．一天课外活动，有三个班级分别计划借篮球总数的、和，请你算一算，这60个篮球够借吗？如果够了，还多几个篮球？如果不够，缺几个篮球？ 19．如果两个数的乘积为负数，那么这两个数中有几个负数？如果3个数的乘积为负数，那么这3个数中有几个负数？4个数呢？5个数呢？6个数呢？你发现了什么规律？请概括地叙述你所发现的规律． 20．已知排好顺序的一组数：4，，0，，，8.14，7，． （1）在这组数中，正数有　 　个，负数有　 　个； （2）若从这组数中任取两个相邻的数，将左侧的数记为a，右侧的数记为b，则的值中共有　 　个正数； （3）若从这组数中任取两个不同的数m和n，则mn的值中共有　 　个不同的负数． 21．已知有理数，b，c在数轴上的位置如图所示， （1）用＜，＞，＝填空：+c　 　0，c−b　 　0，b+　 　0，bc　 　0； （2）化简：|+c|+|c−b|−|b+|． （3）已知2≤x≤6，求：|2-x|+|x-6|的值. 22． 如果四个不同的整数a，b，c，d满足(10-a)×(10-b)×(10-c)×(10-d)= 121，求a+b+c+d的值． 23.小莉同学有七张写着不同数字的卡片，她想从中取出若干张卡片，将卡片上的数字进行有理数的运算． （1）若取出两张卡片，应该抽取哪两张使得数字之积最大？积最大是多少呢？ （2）若取出三张卡片，应该抽取哪三张使得数字之积最小？积最小是多少呢？ 答案 1．10 2． 3． 4．-2 5．1 6． 7．C 8．A 9．A 10．B 11．A 12．D 13．B 14．C 15．B 16．D 17．解： = =- = 18．解：60×() =60×1-60×-60×-60× =60-30-15-12 =3． 答：够借，还多3个篮球． 根据是乘法分配律. 19．解：如果两个数相乘，积为负数，那么其中有1个负数； 如果三个数相乘，积为负数，那么其中有1个或3个负数； 如果四个数相乘，积为负数，那么其中有1个或3个负数； 如果五个数相乘，积为负数，那么其中有1个或3个或5个负数； 如果六个数相乘，积为负数，那么其中有1个或3个或5个负数； 规律：如果几个数相乘，积为负数，那么这其中负数的个数为奇数个. 20．（1）4；3 （2）4 （3）12 21．（1）＜；＞；＜；＞ （2）解：原式＝−（a+c）+（c−b）+（b+a） ＝−a−c+c−b+b+a ＝0． （3）解：∵2≤x≤6， ∴2-x≤0，x-6≤0， ∴|2-x|+|x-6|=x-2+6-x=4. 22．解：∵整数a，b，c，d各不相同， ∴整数(10-a)，(10-b)，(10-c)，(10-d)也各不相同． ∵121=1×(-1)×11×(-11)， 设10-a=1，10-b=-1，10-c- 11，10-d=-11， ∴a=9，b=11，c=-1，d=21， ∴a+b+c+d=9+ 11+(- 1)+21=40． 23．（1）解：取出-6 和-4，积最大为：(-6)×(-4)= 24； （2）解：取出- 6，3，5，积最小为：(-6)×3×5=-90． 学科网（北京）股份有限公司 $$