10.1.2 复数的几何意义课件-2024-2025学年高一数学人教B版（2019）必修第四册

第十章　复数 10.1.2　复数的几何意义 人教B版 数学 必修第四册 课标要求 1.理解用复平面内的点或以原点为起点的向量表示复数,及它们之间的一一对应关系. 2.掌握实轴、虚轴、模等概念. 3.掌握用向量的模表示复数的模的方法. 4.理解共轭复数的概念. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 基础落实·必备知识全过关 知识点1 复平面的概念和复数的几何意义 1.复平面的概念 如图所示,点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示. 建立了直角坐标系来表示复数的平面也称为　　　　　　.在复平面内,x轴上的点对应的都是实数,因此x轴称为　　　　;y轴上的点除了原点外,对应的都是纯虚数,为了方便起见,称y轴为　　　　.  复平面 实轴 虚轴 2.复数的几何意义 一方面,根据复数相等的定义,复数z=a+bi(a,b∈R)被它的实部与虚部唯一确定,即复数z被有序实数对(a,b)唯一确定;另一方面,有序实数对(a,b)在平面直角坐标系中对应着唯一的点Z(a,b).因此不难发现,可以在复数集与平面直角坐标系的点集之间建立一一对应关系,即复数z=a+bi↔点　　　.这是复数的一种几何意义.  复数还有另外一种几何意义:因为平面直角坐标系中的点Z(a,b)能唯一确定一个以原点O为始点、Z为终点的向量 ,所以复数也可用向量 来表示,这样一来也就能在复数集与平面直角坐标系中以O为始点的向量组成的集合之间建立一一对应关系,即复数z=a+bi↔向量　　　　　　　.  Z(a,b) 如图所示,设复平面内的点Z表示复数z=a+bi,连接OZ,显然向量 由点Z唯一确定;反过来,点Z(相对于原点来说)也可以由向量 唯一确定. 名师点睛 1.复数z=a+bi(a,b∈R)可用复平面内的点Z(a,b)表示,复平面内点Z的坐标是(a,b),而不是(a,bi). 2.为了方便,我们常把复数z=a+bi(a,b∈R)说成点Z(a,b)或说成向量 ,并且规定相等向量表示同一复数. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)　　　　　　　　　　　 (1)在复平面内,对应于实数的点都在实轴上.(　　) (2)在复平面内,虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.(　　) √ × 2.复数z=-1-2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 C 解析 z=-1-2i对应点Z(-1,-2),位于第三象限. 3.复数z=i在复平面内对应的点的坐标为(　　) A.(0,1) B.(1,0) C.(0,0) D.(1,1) A 4.向量a=(1,-2)所对应的复数是(　　)　　　　　　　　　　　　　 A.z=1+2i B.z=1-2i C.z=-1+2i D.z=-2+i B 5.[北师大版教材习题]如图,设每个小方格的边长是1,指出点A,B,C,D,E所表示的复数. 解A:4+3i.B:-3+2i.C:-3-3i.D:-3i.E:3-2i. 知识点2 共轭复数、复数的模 1.共轭复数 一般地,如果两个复数的实部相等,而虚部　　　　　　　　　,则称这两个复数互为共轭复数.复数z的共轭复数用 表示,因此,当z=a+bi(a,b∈R)时,有 =　　　　.  显然,在复平面内,表示两个共轭复数的点关于　　　　对称;反之,如果表示两个复数的点在复平面内关于实轴对称,则这两个复数互为共轭复数.  互为相反数 a-bi　 实轴 结论: (1)设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则z1,z2互为共轭复数的充要条件是a=c且b=-d. (2)任一实数的共轭复数是其本身,反之,若z= ,则z∈R. (3)复数的共轭复数的共轭复数是它本身,即 =z. 2.复数的模 一般地,向量 =(a,b)的长度称为复数z=a+bi的　　(或　　　　　　),复数z的模用|z|表示,因此|z|=　　 　　.  可以看出,当b=0时,|z|= =　　　　　,这说明复数的模是实数绝对值概念的推广.  模 绝对值 |a| 如图所示,向量 的模r称为复数z=a+bi(a,b∈R)的模,由模的定义可知: |z|=|a+bi|=r= (r≥0,r∈R),即复数z的模为非负实数.计算复数的模时,应先找出复数的实部与虚部,然后代入公式计算. 一般地,两个共轭复数的模相等,即　　　　.  过关自诊 1.复数的模的几何意义是什么? 提示复数z在复平面内对应的点为Z,复数z0在复平面内对应的点为Z0,r表示一个大于0的常数,则: ①满足条件|z|=r的点Z的集合为以原点为圆心,r为半径的圆,|z|<r表示圆的内部,|z|>r表示圆的外部; ②满足条件|z-z0|=r的点Z的集合为以Z0为圆心,r为半径的圆,|z-z0|<r表示圆的内部,|z-z0|>r表示圆的外部. 2.已知复数z=(m-3)+(m-1)i的模等于2,则实数m的值为(　　)　　　　　　　　　　　　　 A.1或3 B.1 C.3 D.2 A 解得m=1或3,故选A. 3.在复平面内,复数z的对应点为(1,-1),则 =　　　　　. 1+i 解析 由题可知复数z的对应点为(1,-1),则z=1-i, 所以 =1+i. 4.[北师大版教材习题]求下列复数的模和共轭复数: 重难探究·能力素养全提升 探究点一　复数与点的对应 【例1】 [北师大版教材习题]设复数z=a+bi(a,b∈R)和复平面内的点Z(a,b)对应,若点Z分别位于下列位置,求a,b满足的条件: (1)实轴上; (2)虚轴上; (3)实轴上方(不包括实轴); (4)虚轴左侧(不包括虚轴); (5)第二象限. 解(1)a∈R且b=0. (2)a=0且b∈R. (3)a∈R且b>0. (4)a<0且b∈R. (5)a<0且b>0. 【例2】 试确定在复平面内,满足下列条件的复数z=x+yi(x,y∈R)对应的点的集合分别是什么图形. (1)y=2;(2)1≤x≤4;(3)x=y;(4)|z|≤5. 解(1)复数z在复平面内对应的点为(x,y),而y=2,所以点的集合是一条与实轴平行的直线. (2)复数z在复平面内对应的点为(x,y),而1≤x≤4,所以点的集合是夹在垂直于实轴的两条直线之间的一个带形区域(含两条边界直线). (3)复数z在复平面内对应的点是(x,y),而x=y,所以点的集合是一条直线,它是复平面的第一、三象限的平分线. (4)复数z在复平面内对应的点是(x,y),而|z|≤5的集合是一个以原点为圆心,半径等于5的圆的内部,包含圆的边界. 变式探究将例2(4)中的“|z|≤5”改为“2≤|z|≤5”,其余条件不变,其结果如何呢? 解不等式2≤|z|≤5可以化为不等式组 满足不等式组 的点构成的图形是以原点为圆心,分别以2和5为半径的两圆所夹的圆环,并包括圆环的边界. 规律方法　1.确定复数在复平面内对应的点的位置时,关键是理解好复数与该点的对应关系,复数的实部就是该点的横坐标,复数的虚部就是该点的纵坐标,据此可建立复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程或不等式求解. 2.确定复数对应点的集合的图形时,首先根据复数与点的对应关系找出点的横坐标、纵坐标之间的关系,再结合平面解析几何的相关知识确定图形形状. 变式训练1在复平面内,复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i对应的点满足: (1)在虚轴上;(2)在第二象限;(3)在直线y=x上. 分别求实数m的值或取值范围. 解复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i的实部为m2-m-2,虚部为m2-3m+2. (1)由题意得m2-m-2=0,解得m=2或m=-1. ∴-1<m<1,即m的取值范围为(-1,1). (3)由已知得m2-m-2=m2-3m+2. m=2. 探究点二　复数与向量的对应 A.-10+8i B.10-8i C.0 D.10+8i C 规律方法　以原点为起点的向量对应的复数等于它的终点对应的复数;向量平移后,此向量表示的复数不变,但平移前后起点、终点对应的复数要改变. 变式训练2[人教A版教材习题]在复平面内,O是原点,向量 对应的复数是2+i. (1)如果点A关于实轴的对称点为点B,求向量 对应的复数; (2)如果(1)中点B关于虚轴的对称点为点C,求点C对应的复数. 解由于向量 是以原点为始点,故终点A的坐标为(2,1). (1)点A(2,1)关于实轴的对称点B的坐标为(2,-1),则向量 对应的复数为 2-i. (2)点B(2,-1)关于虚轴的对称点C的坐标为(-2,-1),则点C对应的复数是-2-i. 探究点三　复数的模及其计算 【例4】 (1)若复数z对应的点在直线y=2x上,且|z|= ,则复数z=(　　) A.1+2i B.-1-2i C.±1±2i D.1+2i或-1-2i D 解得a=±1,故z=1+2i或z=-1-2i. (2)设复数z1=a+2i,z2=-2+i,且|z1|<|z2|,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.(-1,1) C.(1,+∞) D.(0,+∞) B 规律方法　1.复数的模表示复数在复平面内对应的点到原点的距离. 2.求复数的模时,应先确定复数的实部与虚部,再套用复数模的计算公式计算求解. 3.若两个复数相等,它们的模一定相等;反之,两个复数的模相等,这两个复数不一定相等. 4.两个复数不一定能比较大小,但复数的模一定可以比较大小. 变式训练3(1)设复数z满足|z-1|=|z-i|(i为虚数单位),z在复平面内对应的点为(x,y),则(　　) A.y=-x B.y=x C.(x-1)2+(y-1)2=1 D.(x+1)2+(y+1)2=1 B 解析 设z=x+yi(x,y∈R),∵|z-1|=|z-i|, ∴|x+yi-1|=|x+yi-i|,即(x-1)2+y2=x2+(y-1)2,化简得y=x. 故选B. (2)[人教A版教材习题]求复数z1=3+4i及z2= i的模,并比较它们的模的大小. 探究点四　共轭复数及其应用 【例5】 已知x-1+yi与i-3x是共轭复数,求实数x与y的值. 变式训练4[2023浙江金台期中]在复数范围内(i为虚数单位),下列假命题的个数是(　　) ①2i>i; ②若a+bi=0(a,b∈C),则a=b=0; A.1 B.2 C.3 D.4 C 解析 由两个虚数不能进行大小比较可知,①为假命题;若a+bi=0(a,b∈C),不一定有a=b=0,如a=1,b=i,满足a+bi=0,故②为假命题;若复数z1=2+3i, a+bi=a-bi,可得b=-b,即b=0,则z∈R,故④为真命题.则假命题的个数是3.故选C. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 A级 必备知识基础练 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2.[探究点一·2023广东东莞校级期中]已知i为虚数单位,则复数3i-2在复平面内对应的点在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 B 解析 复数3i-2在复平面内对应的点(-2,3)在第二象限.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 4.[探究点二]在复平面内,O为原点,向量 对应的复数为-1+2i,若点A关于直线y=-x的对称点为B,则向量 对应的复数为(　　) A.-2-i B.-2+i C.1+2i D.-1+2i B 解析 ∵A(-1,2)关于直线y=-x的对称点B(-2,1), ∴向量 对应的复数为-2+i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 5.[探究点一]当 <m<1时,复数z=(3m-2)+(m-1)i在复平面上对应的点位于 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 D 解析 ∵ <m<1,∴3m-2>0,m-1<0, ∴点(3m-2,m-1)在第四象限. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 6.[探究点二]已知复数z1=1+2i,z2=2-i(i为虚数单位),z3在复平面内对应的点分别为A,B,C.若四边形OABC为平行四边形(O为复平面的坐标原点),则复数 为(　　) A.1-3i B.1+3i C.-1+3i D.-1-3i B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 7.[探究点一、三、四]已知复数z在复平面内对应的点的坐标为(1,-2),则下列结论正确的是(　　) A.z=-2+i B.复数z的共轭复数是-1+2i C.|z|=5 D.z的虚部为-2 D 解析 因为复数z在复平面内对应的点的坐标为(1,-2),所以z=1-2i, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 8.[探究点一]复数3-5i,1-i和-2+ai在复平面上对应的点在同一条直线上,则实数a的值为　　　　　.  5 解析 由点(3,-5),(1,-1),(-2,a)共线可知a=5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 9.[探究点三·人教A版教材习题]已知复数z的虚部为 ,在复平面内复数z对应的向量的模为2,求这个复数z. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 10.[探究点一·2023广东潮阳校级期中]求实数m的值或取值范围,使复数z=(2m2-3m-2)+(m2-m)i在复平面内对应的点Z: (1)位于第二象限; (2)位于第一或第三象限; (3)在直线x-y-1=0上. 解(1)∵复数z在复平面内对应的点Z位于第二象限, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 (2)∵复数z在复平面内对应的点Z位于第一或第三象限, (3)∵复数z在复平面内对应的点Z位于直线x-y-1=0上, ∴(2m2-3m-2)-(m2-m)-1=0, 即m2-2m-3=0,解得m=3或m=-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 B级 关键能力提升练 11.在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是(　　) A.4+8i B.8+2i C.2+4i D.4+i C 解析 A(6,5),B(-2,3), ∵C为AB的中点,∴C(2,4), ∴点C对应的复数为2+4i,故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 12.已知0<a<2,复数z=a+i(i是虚数单位),则|z|的取值范围是(　　) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 13.已知复数z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是(　　) A.(-3,1) B.(-1,3) C.(1,+∞) D.(-∞,3) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 14.[2023广东荔湾校级期中]已知a∈R,若复数z=(a2-1)+(a+1)i为纯虚数,则复数a-i在复平面内对应的点所在的象限为(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 D 解析 ∵复数z=(a2-1)+(a+1)i是纯虚数,∴a2-1=0,且a+1≠0,故a=1,故复数a-i=1-i,在复平面内对应的点(1,-1)所在的象限为第四象限.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 15.(多选题)设复数z在复平面内对应的点为Z,原点为O,i为虚数单位,则下列说法正确的是(　　) A.若|z|=1,则z=±1或z=±i B.若点Z的坐标为(-1,1),则z+1是纯虚数 BD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 对于B,由于点Z的坐标为(-1,1),所以z=-1+i,所以z+1=i是纯虚数,故B正确; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 16.[2023浙江宁波期末]若复数z1=1+3i,z2=3-i(其中i为虚数单位)在复平面内所对应的向量分别为 ,则△OZ1Z2的面积为　　　　.  5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 17.已知两向量a,b对应的复数分别是z1=-3,z2= +mi(m∈R),且a,b的夹角为60°,求m的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 C级 学科素养创新练 解根据题意可画图形如图所示. 设点Z的坐标为(a,b),a<0,b>0. =(a,b) 　 |z|=|| 解析 依题意可得=2, (4)|z4|=|6|=6,=6. (1)z1=12-5i;(2)z2=i;(3)z3=-i;(4)z4=6. 解(1)|z1|=|12-5i|==13,=12+5i. (2)|z2|=|i|==-i. (3)|z3|=|-i|==2,+i. (2)由题意得 【例3】 向量对应的复数是5-4i,向量对应的复数是-5+4i,则对应的复数是(　　) 解析 因为向量对应的复数是5-4i,向量对应的复数是-5+4i,所以=(5,-4),=(-5,4), 所以=(5,-4)+(-5,4)=(0,0), 所以对应的复数是0. 解析 依题意可设复数z=a+2ai(a∈R),由|z|=,得, 解析 因为|z1|=,|z2|=,所以,即a2+4<5,所以a2<1,即-1<a<1. 解|z1|==5,|z2|=,所以|z1|>|z2|. 解i-3x的共轭复数为-3x-i, 所以x-1+yi=-3x-i,即解得 规律方法　复数z的共轭复数用来表示,即若z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi(a,b∈R).在复平面内,点Z(a,b)对应复数z=a+bi(a,b∈R);点(a,-b)对应复数=a-bi(a,b∈R),点Z和关于实轴对称. ③若复数z1=2+3i,z2=-1+i,在复平面内对应的向量分别为(O为坐标原点),则||=5; ④若z=,则z∈R. z2=-1+i,则=2-3i,=-1-i,在复平面内对应的向量分别为(O为坐标原点),则=(2,-3),=(-1,-1),=(-3,2), ||=,故③为假命题;设z=a+bi(a,b∈R),若z=,则 1.[探究点三]已知复数z=1-i,则复数z的模为(　　) A. B. C.2 D.4 解析 |z|==2.故选C. 3.[探究点四]在复平面内,复数z对应的点的坐标是(-1,),则z的共轭复数=(　　) A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 解析 ∵在复平面内,复数z对应的点的坐标是(-1,), ∴z=-1+i,则z的共轭复数=-1-i.故选D. 解析 设z3=x+yi(x,y∈R),复数z1=1+2i,z2=2-i,则A(1,2),B(2,-1),故=(1,-3).∵O(0,0),C(x,y),∴=(x,y).∵四边形OABC为平行四边形,∴,即C(1,-3).∴z3=1-3i,∴=1+3i.故选B. =1+2i,|z|=,z的虚部为-2.故选D. 解由题意可设复数z=a+i(a∈R). 因为复数z对应的向量的模为2,所以a2+3=4, 解得a=±1,所以复数z=1+i或z=-1+i. ∴解得-<m<0或1<m<2, 故m的取值范围为(-,0)∪(1,2). ∴ 解得m<-或0<m<1或m>2, 故实数m的取值范围为(-∞,-)∪(0,1)∪(2,+∞). A.(1,) B.(1,) C.(1,3) D.(1,5) 解析 |z|=,∵0<a<2, ∴1<a2+1<5,∴|z|∈(1,). 解析 由题意解得-3<m<1.故选A. C.若z=-2i,则z的虚部为-2i D.若1≤|z|≤,则点Z的集合所构成的图形的面积为π 解析 对于A,若z=i, 则|z|==1,故A错误; 对于C,由于z=-2i,所以z的虚部为-2,故C错误; 对于D,设z=a+bi,则|z|=,因为1≤|z|≤,所以1≤,所以点Z的集合所构成的图形的面积为π()2-π·12=π,故D正确. 故选BD. 解析 由题意,得=(1,3),=(3,-1),则=3-3=0,∴, ∵||=,||=, ∴△OZ1Z2的面积为=5. - 解因为a,b对应的复数分别为z1=-3,z2=-+mi(m∈R),所以a=(-3,0), b=. 又a,b的夹角为60°, 所以cos 60°=,即, 解得m=±. 18.已知复数z对应的向量为(O为坐标原点),与实轴正向的夹角为120°,的终点Z在第二象限,且复数z的模为2,求复数z. ∵||=|z|=2,∠xOZ=120°, ∴a=-1,b=, 即点Z的坐标为(-1,),∴z=-1+i. $$