10.3 复数的三角形式及其运算课件-2024-2025学年高中数学人教B版（2019）必修第四册

第十章　复数 *10.3　复数的三角形式及其运算 人教B版 数学 必修第四册 课标要求 1.理解复数的模和辐角的定义. 2.能求复数的模和辐角主值. 3.能求出复数的三角形式. 4.能进行复数三角形式的乘除运算. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 基础落实·必备知识全过关 知识点1 复数的三角形式 一般地,如果非零复数z=a+bi(a,b∈R)在复平面内对应点Z(a,b),且r为向量 的模,θ是以x轴非负半轴为始边、射线OZ为终边的一个角,则r=|z|= ,由图可以看出,a=rcos θ,b=rsin θ,从而z=a+bi=(rcos θ)+(rsin θ)I =r(cos θ+isin θ),上式的右边称为非零复数z=a+bi的　　 　　(对应地, a+bi称为复数的　　　　　　,其中的θ称为z的　　　　.  显然,任何一个非零复数z的辐角都有无穷多个,而且任意两个辐角之间都相差2π的整数倍.特别地,在[0,2π)内的辐角称为z的　　　　　　　,记作arg z.  三角形式 代数形式 辐角 辐角主值 过关自诊 BCD D 知识点2 复数的三角形式与代数形式的互化 1.复数的三角形式z=r(cos θ+isin θ)化为复数的代数形式z=a+bi(a,b∈R),只要计算出三角函数值(应用a=rcos θ,b=rsin θ)即可. 2.非零复数的代数形式z=a+bi(a,b∈R)化为复数的三角形式一般步骤: (3)写出复数的三角形式. 3.每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角主值,并且由它的模与辐角主值唯一确定.因此,两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角主值分别相等,即 名师点睛 复数三角形式的判断依据和变形步骤 (1)依据:三角形式的结构特征“模非负,角相同,余弦前,加号连”. (2)步骤:首先确定复数z的对应点所在象限,其次判断是否要变换三角函数名称,最后确定辐角.可简记为“定点→定名→定角”. 过关自诊 [人教A版教材习题]将下列复数表示成三角形式: (1)6;(2)1+i; 解(1)6=6(cos 0+isin 0). 知识点3 复数三角形式的乘法及运算律 1.复数三角形式的乘法 若z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),则z1z2=　　　　　　　　　　 　.这就是说,由两个复数z1,z2的三角形式可以便捷地得到z1z2的三角形式:z1的模乘以z2的模等于z1z2的模,z1的辐角与z2的辐角之和是z1z2的辐角.简单地说,两个复数三角形式相乘的法则为:模相乘,辐角相加. r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)] 2.复数乘法运算的几何意义 3.复数的三角形式乘法法则的推论 (1)有限个复数的三角形式相乘,结论亦成立,即z1z2…zn=r1(cos θ1+isin θ1) ×r2(cos θ2+isin θ2)×…×rn(cos θn+isin θn)=r1r2…rn[cos(θ1+θ2+…+θn)+isin(θ1+θ2+…+θn)]. (2)当z1=z2=…=zn=z,即r1=r2=…=rn=r,θ1=θ2=…=θn=θ时, zn=[r(cos θ+isin θ)]n=　　　　　　　　　　(n∈N).这就是复数三角形式的乘方法则,即模乘方,辐角n倍.  (3)在复数三角形式的乘方法则中,当r=1时,则有(cos θ+isin θ)n=cos nθ+ isin nθ(n∈N).这个公式称为棣莫弗公式. rn[cos(nθ)+isin(nθ)] 过关自诊 1.[2023江苏秦淮校级期中]已知复数 D 知识点4 复数三角形式的除法及运算律 1.复数三角形式的除法运算 若z1=r1(cos θ1+isin θ1), z2=r2(cos θ2+isin θ2)(z2≠0), 2.复数除法运算的几何意义 过关自诊 计算下列各式: (2)原式=9(cos 360°+isin 360°)=9(1+0)=9. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　复数的模与辐角 【例1】 (1)若复数z满足 =1,当复数z的辐角为30°时,复数z的模是 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 A B B 探究点二　复数的三角形式与代数形式的互化 【例2】 [人教A版教材例题]把下列复数表示成三角形式: (2)1-i. 变式训练2将下列复数化为三角形式: (2)sin θ+icos θ. 探究点三　复数三角形式的乘、除运算及其几何意义 B B C 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 A级 必备知识基础练 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 C 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 4.[探究点三]（多选题）2÷[2(cos 60°+isin 60°)]=(　　) BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 5.[探究点三]9(cos 3π+isin 3π)÷[3(cos 2π+isin 2π)]=(　　) B 解析 9(cos 3π+isin 3π)÷[3(cos 2π+isin 2π)] =3[cos(3π-2π)+isin(3π-2π)] =3(cos π+isin π) =-3. 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 6.[探究点三]复数z=(sin 25°+icos 25°)3的三角形式是(　　) A.cos 195°+isin 195° B.sin 75°+icos 75° C.cos 15°+isin 15° D.cos 75°+isin 75° A 解析 z=(sin 25°+icos 25°)3=(cos 65°+isin 65°)3=cos 195°+ isin 195°. 故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 7.[探究点二、三]复数z=(cos 40°+isin 40°)6的结果是(　　) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 =2(cos 15°+isin 15°)×5(cos 30°+isin 30°) =10[cos(15°+30°)+isin(15°+30°)] =10(cos 45°+isin 45°) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 10.[探究点二、三]2(cos 210°+isin 210°)×5(-sin 30°+isin 60°) =　　　　　.  解析 2(cos 210°+isin 210°)×5(-sin 30°+isin 60°) =10(cos 210°+isin 210°)×(cos 120°+isin 120°) =10[cos(210°+120°)+isin(210°+120°)] =10(cos 330°+isin 330°) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 11.[探究点三]在复平面内,把与复数-2+2i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转75°,求与所得向量对应的复数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 B级 关键能力提升练 12.复数2+i和-3-i的辐角主值分别是α,β,则tan(α+β)等于(　　) D 解析 复数2+i和-3-i的辐角主值分别是α,β, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 13.[2023江西南昌校级期中]复数(sin 10°+icos 10°)×(sin 10°+ icos 10°)的三角形式是(　　) A.sin 30°+icos 30° B.cos 160°+isin 160° C.cos 30°+isin 30° D.sin 160°+icos 160° B 解析 (sin 10°+icos 10°)×(sin 10°+icos 10°) =sin210°-cos210°+2sin 10°cos 10°i=-cos 20°+sin 20°I =cos 160°+isin 160°.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 17.6÷[3(cos 135°+isin 135°)]=　　　　　.  解析 6÷3[(cos 135°+isin 135°)] =6(cos 0°+isin 0°)÷[3(cos 135°+isin 135°)] =2[cos(0°-135°)+isin(0°-135°)] =4[cos(-135°)+isin(-135°)] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 19.复数z=16(cos 40°+isin 40°)的四次方根分别是 ____________________________________________ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.  2(cos 10°+isin 10°),2(cos 100°+isin 100°), 2(cos 190°+isin 190°),2(cos 280°+isin 280°) 解析z=16(cos 40°+isin 40°)的四次方根分别是 当k=0时,结果为2(cos 10°+isin 10°); 当k=1时,结果为2(cos 100°+isin 100°); 当k=2时,结果为2(cos 190°+isin 190°); 当k=3时,结果为2(cos 280°+isin 280°). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 20.设复数z1= +i,复数z2满足|z2|=2,已知 的对应点在虚轴的负半轴上,且arg z2∈(0,π),求z2的代数形式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 C级 学科素养创新练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 1.(多选题)复数--i的辐角可能是(　 　)　　　　　　　　　　　　 A. B. C.- D. 解析 因为复数--i的辐角为+2kπ(k∈Z),且当k=0时,为;当k=-1时,为-,当k=1时,为,不存在的情况. 2.复数cos-isin的辐角主值是(　　) A. B. C. D. 解析 复数cos-isini=cos+isin,所以复数cos-isin的辐角主值是.故选D. (1)求复数的模:r=; (2)由cos θ=(或tan θ=)及点(a,b)所在象限求出复数的一个辐角(一般情况下,只需求出复数的辐角主值即可); z1=z2⇔ (3)1-i;(4)-i. (2)1+i=(cos+isin). (3)1-i=2(cos+isin). (4)-i=cos+isin. 设z1,z2对应的向量分别为,将绕原点旋转θ2,再将的模变为原来的r2倍,如果所得向量为,则对应的复数即为z1z2,如图所示. z1=(cos+isin),z2=(cos+isin),则z1z2的代数形式是(　　) A.(cos+isin) B.cos+isin) C.i D.i 解析 ∵z1=(cos+isin),z2=(cos+isin), ∴z1z2=[cos()+isin()]=(cos+isin)=i)=i.故选D. 2.[人教A版教材例题]已知z1=(cos+isin),z2=2(cos+isin),求z1z2,请把结果化为代数形式. 解z1z2=(cos+isin)×2(cos+isin)=2[cos()]+isin()] =3(cos+isin)=3i. 则=　 .  这就是说,由两个复数z1,z2(z2≠0)的三角形式可以迅速地得到的三角形式:z1的模除以z2的模等于的模,z1的辐角减去z2的辐角是的辐角.简单地说,两个复数三角形式相除的法则为:模相除,辐角相减. [cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)] 两个复数z1,z2相除时,先分别画出与z1,z2对应的向量,然后把向量绕点O按顺时针方向旋转角θ2(如果θ2<0,就要把绕点O按逆时针方向旋转角|θ2|),再把它的模变为原来的(r2>1,应缩短;0<r2<1,应伸长;r2=1,模长不变),得到向量对应的复数即为.这是复数除法的几何意义. (1)6÷2(cos+isin); (2)3(cos 270°+isin 270°)÷[cos(-90°)+isin(-90°)]. 解(1)原式=3[cos()+isin()]=3=3(0+i)=3i. 解析 设z=r(cos 30°+isin 30°),代入=1,得=1,解得r=1,所以复数z的模是1.故选A. (2)[2023河南开封月考]设z1=-1+i,z2=(z1)2,则arg z2=(　　) A. B. C. D. 解析 由z1=-1+i,得z2=(-1+i)2=-i=cos+isin,即arg z2=.故选B. 变式训练1(1)设复数z满足,arg,则z=(　　) A.1-i B.1+i C.1-i D.1+i 解析 由已知得,即1-i,即i, 所以z=+i)=1+i.故选B. (2)已知复数z=1-2i,ω=,则ω的辐角主值为　　　　　.  解析 ∵z=1-2i,∴ω=-(2+2i)=-(2+2i)=-1-i =,∴ω的辐角主值为. (1)i; 解 r==1,cos θ=. 因为与i对应的点在第一象限, 所以arg(i)=. 于是i=cos+isin. 解 r=,cos θ=. 因为与1-i对应的点在第四象限, 所以arg(1-i)=. 于是1-i=(cos+isin). (1)-cos+isin; 解(1)-cos+isin=cos+isin=cos+isin. (2)sin θ+icos θ=cos+isin. 【例3】 (1)在复平面内,把复数3-i对应的向量按顺时针方向旋转,所得向量对应的复数是(　　) A.2 B.-2i C.-3i D.3+i 解析 由题意知复数3-i对应的向量按顺时针方向旋转, 旋转后的复数为(3-i)[cos(-)+isin(-)]=(3-i)=-2i.故选B. (2)复数z=的辐角主值为　　　　　.  解析 复数z= = =cos+isin =cos+isin=cos+isin, 可得复数z的辐角主值为. (3)[人教A版教材例题]计算4(cos+isin)÷[2(cos+isin)],并把结果化为代数形式. 解原式=2[cos()+isin()]=2(cos+isin)=2(0+i)=2i. 变式训练3(1)如果θ∈,那么复数(1+i)(cos θ+isin θ)的辐角主值是 (　　) A.θ+ B.θ+ C.θ- D.θ+ 解析 (1+i)(cos θ+isin θ) =(cos θ+isin θ) =. 由θ∈,得+θ∈, 所以复数(1+i)(cos θ+isin θ)的辐角主值是+θ. 故选B. (2)4(cos π+isin π)÷[2]=(　　) A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 解析 4(cos π+isin π)÷[2] =2 =2 =-1+i. 故选C. 1.[探究点二·2023江苏玄武校级期中]复数z=i的三角形式是(　　) A.2(cos+isin) B.2(cos+isin) C.2(cos+isin) D.2(cos+isin) 解析 z=i=2(i)=2(cos+isin).故选C. 2.[探究点三]×3=(　　) A.i B.i C.-i D.-i 解析 3 =3 =3=-i. 3.[探究点一·2023广东荔湾校级期中]复数z=cos(-)+isin(-)的辐角主值为 (　　) A. B.- C. D.- 解析 ∵z=cos(-)+isin(-),∴复数z的辐角为2kπ-,k∈Z,∴复数z的辐角主值为2π-.故选A. A.i B.i C.i D.i A.3 B.-3 C.i D.-i A.i B.i C.-i D.-i 解析 z=(cos 40°+isin 40°)6=cos 240°+isin 240°=-i.故选D. 8.[探究点二、三]2(cos 15°+isin 15°)×5(i)=　　　　　.  5+5i 解析 2(cos 15°+isin 15°)×5 =10 =5+5i. 9.[探究点三]已知复数z=cos+isin是关于x的方程x5-α=0的一个根,那么α的值等于　　　　　.  i 解析 因为复数z=cos+isin是方程x5-α=0的一个根, 所以α=z5=(cos+isin)5=cos+isini. 5-5i =10 =5-5i. 解所得向量对应的复数为(-2+2i)×(cos 75°+isin 75°) =2(cos 135°+isin 135°)×(cos 75°+isin 75°) =2[cos(135°+75°)+isin(135°+75°)]=2(cos 210°+isin 210°) =2=-i. A. B.- C.-1 D.1 所以tan α=,tan β=, 所以tan(α+β)==1.故选D. 14.把复数z1与z2对应的向量分别按逆时针方向旋转后,重合于向量且模相等,已知z2=-1-i,则复数z1的代数式和它的辐角主值分别是 (　　) A.-i, B.-i, C.-i, D.-i, 15.在复平面内,复数z=a+bi(a∈R,b∈R)对应向量(O为坐标原点),设||=r,以射线Ox为始边,OZ为终边旋转的角为θ,则z=r(cos θ+isin θ),法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理:z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),则z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)],由棣莫弗定理导出了复数乘方公式:zn=[r(cos θ+isin θ)]n=rn(cos nθ+isin nθ),则(-1+i)10=(　　) A.1 024-1 024i B.-1 024+1 024i C.512-512i D.-512+512i 16.设复数z满足条件arg z∈(,π),则在复平面内对应的点位于(　　) 解析 设z=r(cos θ+isin θ),则(cos 2θ+isin 2θ), arg z∈(,π),即θ∈(,π),可得2θ∈(,2π).则在复平面内对应的点位于第四象限.故选D. -2-2i =-2-2i. 18.已知复数z=cos+isin,则z3+=　　　　　.  i 解析 根据题意,有z3+=1+z2=-z=i. (k=0,1,2,3), z1 解因为z1=2, 设z2=2(cos α+isin α),α∈(0,π), 所以z1=8. 由题设知2α+=2kπ+(k∈Z), 所以α=kπ+(k∈Z).又α∈(0,π),所以α=. 所以z2=2=-1+i. 21.已知复数z=i,ω=i,复数,z2ω3在复平面上所对应的点分别为P,Q.求证:△OPQ是等腰直角三角形(其中O为原点). 证明z=i=cos+isin, ω=i=cos+isin, ∴zω=cos+isin=cos+isin, ∴=cos+isin. 又z2ω3=[cos(-)+isin(-)](cos+isin)=cos+isin, 因此OP,OQ的夹角为,∴OP⊥OQ. 又|OP|=||=1,|OQ|=|z2w3|=1, ∴|OP|=|OQ|,∴△OPQ为等腰直角三角形. $$