专题13.5 等腰三角形（精选精练）（专项练习）（基础练）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题13.5 等腰三角形（精选精练）（专项练习）（基础练） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（22-23八年级上·湖南娄底·期中）等腰三角形的一个外角是，则顶角是（　　） A． B．或 C． D． 2．（22-23八年级上·甘肃庆阳·期末）如图所示，在中，，，垂足为点，，交于点，则下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·湖北荆门·期中）如图，中，，且，垂直平分，交于点，交于点，若周长为16，，则为（   ） A．5 B．8 C．9 D．10 4．（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，平分交于点D，过点D作交于点E，若，，则的长为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．（23-24八年级下·河南郑州·阶段练习）最近粉色二七塔邂逅玉兰花火出了圈，郑州市民纷纷围观打卡． 如图，二七塔的顶端可看作等腰三角形是边上的一点． 下列条件不能说明是的角平分线的是 （    ）    A． B． C． D． 6．（2024·吉林长春·一模）如图，在中，若，，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·浙江宁波·一模）如图，在三角形中，过点B，A作，，，交于点F，若，，，则线段的长度为（    ） A．2 B． C．3 D． 8．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，平分，于点A，，．小明用长度为3的线段搭出了一个，它的一个外角，他必然还能搭成另一个（在上），则（    ） A． B． C． D． 9．（2024八年级·全国·竞赛）长方形纸片中，长，宽．现将长方形纸片按图1所示的方式折叠，使得与重合；再将向右折叠，使得点落在的延长线上，如图2所示，此时与相交于点．则的面积是（    ）． A． B． C． D． 10．（23-24八年级上·广东广州·期末）如图，中，，点E，F分别为边，上的点，将沿折叠得，连接，，过点P作于点D，点D恰好是的中点．若，平分，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，平分，点E在边上，且．若，则的大小为 ． 12．（23-24七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，．是边的中线，是的平分线， 与交于点O，则的度数为 °． 13．（2024·辽宁·中考真题）如图，四边形中，，，，．以点为圆心，以长为半径作图，与相交于点，连接．以点为圆心，适当长为半径作弧，分别与，相交于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，与相交于点，则的长为 （用含的代数式表示）． 14．（23-24七年级下·海南海口·期末）如图，O是内一点，．若，则 度． 15．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，，，连接；若 ，则 的面积为 ． 16．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，为测量一斜坡的坡角的大小，将一块等腰直角三角板的斜边置于斜坡上，把下端挂有铅锤的细绳的上端拴在直角顶点C处，量得，则坡角 ． 17．（2024八年级·全国·竞赛）如图，在中，，，是上的中线，作，交于点E，作，交于点F，再作，交于点G，如此作下去……设，，，…，，，…，则 ． 18．（23-24七年级下·福建宁德·期末）如图，在中，于点，将沿着翻折得到，延长交于点，连接，设，以下四个结论：    （1）点是的中点； （2）直线是的垂直平分线； （3）； （4）； 其中一定正确的是 （填写序号）． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（8分）（2024·湖南·模拟预测）如图，，点P在的内部，且满足． 求证： (1) ；(2)． 20．（8分）（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，已知和，，，，与交于点P，点C在上． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 21．（10分）（23-24七年级下·山东济宁·期末）如图，在中，点在上，点在上，，，与相交于点， （1）证明：； （2）求证：为等腰三角形． 22．（10分）（23-24八年级上·广西来宾·期末）如图，在中，，点在线段上，连接并延长到，使得，过点作分别交，于点，．  （1）求证：； （2）若，，求的长度． 23．（10分）（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，在四边形中，，是的中点，连接并延长交的延长线于点，点在边上，且． （1）求证：． （2）求证：． （3）连接，垂直平分吗？说明理由． 24．（12分）（23-24八年级下·山东青岛·期中）【问题情境】 如图①，的内角，的平分线交于点D． 【建立模型】 如图①，的内角，的平分线，交于点． 【建立模型】 （1）如图②，过点作的平行线分别交，于点，．请你写出与，的数量关系并证明． （2）如图③，在图①的基础上，过点作直线，延长和，分别交于点，，若，，请你直接写出的长度（不需要证明）． 【类比探究】 如图④，的内角的平分线，与它的外角的平分线交于点，过点作的平行线分别交，于点，．请你写出与，的数量关系并证明． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A 【分析】本题考查了三角形外角性质，等腰三角形的定义，根据三角形外角定义即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵等腰三角形的一个外角是， ∴相邻的内角为， ∴顶角是， 故选：． 2．D 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．根据等腰三角形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质解答． 【详解】解：，， ，A正确，不符合题意； ，B正确，不符合题意； ， ， ， ， ， ，C正确，不符合题意； 与的关系不确定，D错误，符合题意； 故选：D． 3．A 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质．根据三角形的周长公式求出，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：周长为16， ， ， ， 垂直平分， ， ，， ， ， ， 故选：A． 4．A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、角平分线的性质、平行线的性质，根据角平分线的性质及平行线的性质得，则可得，再根据即可求解，熟练掌握相关的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ，， ， 故选A． 5．C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键． 根据等腰三角形“三线合一”的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，， ，即是的高线， 是等腰三角形，， 是的角平分线，故A选项不符合题意； B、是等腰三角形，， 是的角平分线，故B选项不符合题意； C、若，不能说明是的角平分线，故C选项符合题意； D、， ， ∴是的角平分线，故D选项不符合题意； 故选：C． 6．D 【分析】由图知，平分，垂直平分运用垂直平分线性质，三角形内角和定理等角对等边性质求解即可． 【详解】由图知，平分，垂直平分 ∴，故A选项正确，不符合题意； ∴，， 中， ∴ ∴，故B项正确，不符合题意； ∵， ∴ ∴，故C项正确，不符合题意； ∴ ∴，故D选项错误，符合题意． 故选：D． 【点拨】本题考查尺规作角平分线和中垂线，三角形内角和定理，中垂线定理，角平分线定义，等角对等边性质，熟悉相关定理是解题的关键． 7．C 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，先证明，再证明，可得，从而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 在与中 ∴， ∴， ∵， ∴． 故选C 8．D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，解题的关键是根据题意画出图形，熟练掌握等腰三角形两底角相等，得出． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 故选：D． 9．B 【分析】本题考查折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，根据折叠的性质得到进而即可求解 【详解】解：在图2中，， ∴的面积=， 故选B 10．C 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质．延长交于点，连接，利用等腰三角形的性质求得，，由，点D恰好是的中点，求得，再求得，由折叠的性质即可求解． 【详解】解：延长交于点，连接， ∵，平分， ∴是线段的垂直平分线，，， ∴， ∵，点D恰好是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质，得， ∴， ∴， 故选：C． 11．/20度 【分析】本题主要考查了等腰三角形的等边对等角的性质，三线合一的性质，以及三角形内角和问题，由等腰三角形的性质和三角形三角和定理分别求出，，由等腰三角形三线合一的性质得出，再根据角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴． ∵， ∴． ∵，平分， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 12．115 【分析】根据等腰三角形的性质可得，，根据角平分线的定义可得，再根据三角形的外角性质即可求解．本题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合是解题的关键． 【详解】解：在中，，是中线，， ，， ， 是角平分线， ， ， 故答案为：115 13． 【分析】本题考查了作图﹣作角平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 利用基本作图得到，平分，，接着证明得到，然后利用求解． 【详解】解：由作法得，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14．63 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的判定与性质可知，再根据三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：∵， 是等腰三角形， ， ， 故答案为：63． 15．4 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，解决本题的关键是会作辅助线，构造全等三角形． 首先作，作交的延长线于F，根据等腰三角形三线合一的性质，得出，证明，得出的高即为，即可求出面积． 【详解】解：过点A作于E，作交的延长线于F， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，的高即为， ∴. 故答案为：4． 16．/30度 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得，延长交地面于E，由余角的性质可得答案． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，为斜边， ∴， ∵， 延长交地面于E，则与地面垂直， ∴， ∵地面， ∴， 故答案为：． 【点拨】此题考查的是等腰直角三角形，正确作出辅助线是解决此题的关键． 17．2 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，根据性质找出规律是解答本题的关键． 根据已知得，且，即可得到，即可解答原式． 【详解】由题意知：，且， 即，同理， ， ∴． 故答案为；2． 18．①②③ 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，翻折的性质，三角形内角和定理等知识，根据等腰三角形三线合一的性质以及翻折的性质可判断①②，根据三角形内角和定理和平角的定义可判定③④． 【详解】解：∵，， ∴， 即点是的中点，故①正确． ∵将沿着翻折得到， ∴，，，， ∴，且平分， 即直线是的垂直平分线；故②正确． ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确． ∵， ∴， ∴，故④错误． 综上①②③正确， 故答案为：①②③ 19．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解本题的关键； （1）直接利用证明两个三角形全等即可； （2）由全等三角形的性质可得，再利用等腰三角形的性质可得结论． 【详解】（1）证明：在和中， ； （2）， ， ∴点P在等腰顶角的角平分线上， ． 20．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等，等边对等角，以及三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角之和． （1）根据推出，即可得出，根据全等三角形的性质，即可求证； （2）根据三角形的外角定理得出，根据全等三角形的性质得出，最后根据等边对等角，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 21．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定． （1）利用证明可证得答案； （2）由（1）易得，进而可求解，即可证明结论． 【详解】（1）证明：在和中， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， 为等腰三角形． 22．(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等角对等边等知识，解题的关键是证明． （1）首先由得到，然后证明即可； （2）根据等边对等角得到，然后结合求解即可． 【详解】（1）证明：如图，， ． 在和中， ， ． （2）解：如图，， ． ， ， ． ． ， ． ， ． 23．(1)见解析 (2)见解析 (3)垂直平分，见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识： （1）根据，可得，可利用证明，即可； （2）根据，可得，再由，可得，即可； （3）根据，可得，再根据等腰三角形的性质解答，即可． 【详解】（1）证明：， ， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ； （2）证明：， ， ， ， ． （3）解：结论：垂直平分线段．理由如下： ∵， ， ， ， 垂直平分线段． 24．（1），理由见解析；（2）；（3），证明见解析 【分析】（1）先由角平分线定义得，，再由平行线的性质得，，则，，证出，，进而得出结论； （2）同（1）证出，，进而得出结论； （3）同（1）证出，，进而得出结论． 【详解】解：（1），理由如下： 如图②， 和的平分线相交于点， ，， ， ，， ，， ，， ， 即； （2）；理由如下： 如图③， 和的平分线相交于点， ，， ， ，， ，， ，， ，， ； （3），理由如下： 如图④， 的平分线与的平分线交于点， ，， ， ，， ，， ，， ， ． 【点拨】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的判定、角平分线定义、平行线的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握平行线的性质和角平分线定义，证明三角形为等腰三角形是解题的关键，属于中考常考题型． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$