解三角形解答题训练-2025届高三数学一轮复习

2024高考真题及变式题 解三角形解答题 【方法技巧】在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用： (1)若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”； (2)若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”； (3)若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”； (4)代数变形或者三角恒等变换前置； (5)含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用； (6)同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到. 题型一：三角形面积 【2024真题】 【新高考1卷T15】记，已知， (1)求B；(2)若的面积为，求c． 【北京卷T16】在中，内角的对边分别为，为钝角，，． (1)求；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个条件计分． 【变式题 基础】 1.已知分别为内角的对边，且 (1)求角；(2)若的面积为，求的值. 2.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 求角B的大小；若的面积，求的值． 3.在中，，再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，求： (1)的值；(2)的面积. 条件①：边上的高为；条件②：；条件③：. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【变式题 巩固】 1.(2023·全国·真题)记的内角的对边分别为，已知． (1)求；(2)若，求面积． 2．(2023·全国·真题)在中，已知，，. (1)求；(2)若D为BC上一点，且，求的面积. 3.已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求；(2)若，的面积为，求的值． 4.在中，已知，． (1)求角的大小；(2)再从①，②，③这三个条件中任选一个作为已知条件，求的面积．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分） 5.(2022·浙江·真题)在中．已知． (1)求的值；(2)若，求的面积． 【变式题 提高】 1.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求B；(2)若，的面积为，求的周长. 2.（2023·西藏日喀则·统考一模）已知，若． (1)求角的值；(2)若，求面积的最大值． 3.（2023·江西·联考）在中，已知. (1)求角；(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 4.（2023·河北邢台·宁晋中学）在中，内角的对边分别为，且. (1)求B；(2)如图，在AC的两侧，且，求四边形面积的最大值． 5.(2019·全国甲卷·真题)的内角的对边分别为，已知． (1)求；(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 题型二 三角形边长与周长 【2024真题】 【新高考Ⅱ卷T15】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A．(2)若，，求的周长． 【变式题 基础】 1.在中，设角、及所对边的边长分别为、及．已知． (1)求角的大小；(2)当，时，求边长． 2．(2022·全国·真题)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知． (1)若，求C；(2)证明： 【变式题 巩固】 1.在中，角所对的边分别为的外接圆半径为，且． (1)求的值；(2)若的面积为，求的周长 2．（2023·全国·真题）记，已知的面积为，为中点，且． (1)若，求；(2)若，求． 3．（2022·全国·真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B；(2)求的最小值． 【变式题 提高】 1.已知分别为锐角三个内角的对边，且. (1)求；(2)若，求周长取值范围. 2.已知为锐角三角形，其内角A，B，C所对的边分别为，，，. (1)求的取值范围；(2)若，求周长的取值范围. 3.在锐角三角形中，内角A，，所对的边分别为，，，且． (1)求角的值．(2)求的取值范围． 4.(2023·四川雅安·统考)记，已知． (1)求角A的大小；(2)若的面积为，求周长l的最小值． 5.从①，②（为的面积），③这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并加以解答． 在中，内角、、的对边分别为、、，且______． (1)求角的大小；(2)若，求的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 题型三 三角形中的角与特殊线段 【2024真题】 【天津卷T16】在中，角所对的边分别为，已知． (1)求；(2)求；(3)求的值． 【变式题 基础】 1.(2023·天津·统考高考真题)在中，角所对的边分别是．已知． (1)求的值；(2)求的值；(3)求． 2.在中，角，，所对的边分别是，，，已知. (1)求角的大小；(2)若，，求的值. 【变式题 巩固】 1.在中，角、、的对边分别为，，，已知，，是边上的点， (1)若且，求的长；(2)若，，求的值. 2.(2023·全国·统考高考真题)已知在中，． (1)求；(2)设，求边上的高． 【变式题 提高】 1.在△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，△的面积为. (1)求；(2)若，求；(3)求的值. 2.已知的内角的对边分别为，且 (1)求的值；(2)给出以下三个条件：①：；②；③；这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面的问题： (i)求的值；(ii)求的角平分线的长. 第 2 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024高考真题及变式题 解三角形解答题 【方法技巧】在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用： (1)若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”； (2)若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”； (3)若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”； (4)代数变形或者三角恒等变换前置； (5)含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用； (6)同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到. 题型一：三角形面积 【2024真题】 【新高考1卷T15】记，已知， (1)求B；(2)若的面积为，求c． 【解析】(1)由，可得， 因为，所以，从而， 又因为，即，注意到，所以. (2)由(1)可得，，，从而，， 而，由正弦定理有， 从而，， 由已知的面积为，可得，所以. 【北京卷T16】在中，内角的对边分别为，为钝角，，． (1)求；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个条件计分． 【解析】(1)由题意得，因为为钝角， 则，则，则，解得，因为为钝角，则. (2)选择①，则，因为，则为锐角，则， 此时，不合题意，舍弃； 选择②，因为为三角形内角，则，代入得，解得， , 则. 选择③，则有，解得， 则由正弦定理得，即，解得， 因为为三角形内角，则， 则， 则 【变式题 基础】 1.已知分别为内角的对边，且 (1)求角；(2)若的面积为，求的值. 【解析】(1)，由正弦定理得， 所以 由于，所以，则，又，所以； (2)由(1)得， 由余弦定理得， ，. 2.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 求角B的大小；若的面积，求的值． 【解析】由正弦定理可得： ………2分 ，，， ………4分 可得：，， ………6分 (2)，， ………8分 又由余弦定理可得：，可得：，………10分 ，解得：  ………13分 3.在中，，再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，求： (1)的值；(2)的面积. 条件①：边上的高为；条件②：；条件③：. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【解析】选①：边上的高为 (1)设边上高为，在直角中，； 因为，， ； (2)直角中，因为 选②： (1)因为，，，又， ； (2)，； 选③：(1).，； 又， ； (2) 【变式题 巩固】 1.(2023·全国甲卷·真题)记的内角的对边分别为，已知． (1)求；(2)若，求面积． 【解析】(1)因为，所以，解得：． (2)由正弦定理可得， 变形可得：，即， 而，所以，又，所以， 故的面积为． 2．(2023·全国乙卷·真题)在中，已知，，. (1)求；(2)若D为BC上一点，且，求的面积. 【解析】(1)由余弦定理可得：， 则，，. (2)由三角形面积公式可得，则. 3.已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求；(2)若，的面积为，求的值． 【详解】(1)由条件及余弦定理得，，所以， 所以． (2)由得，，又，所以，则，． ， 由的面积为得， 所以． 由正弦定理得，，所以，故; 4.在中，已知，． (1)求角的大小；(2)再从①，②，③这三个条件中任选一个作为已知条件，求的面积．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分） 【解析】(1)由题可知，，由正弦定理得：， 又因为在中，，， 则，又，所以，而，所以， ，由正弦定理得，则， ，即，所以，而，所以. (2)由(1)得，，则， 若选①，则，解得：， 由正弦定理，得，解得：，所以； 若选②，由正弦定理，得，所以， 所以，解得：，故，所以； 若选③，则，解得：， 由正弦定理，得，解得：， 所以的面积为：. 5.(2022·浙江·真题)在中．已知． (1)求的值；(2)若，求的面积． 【解析】(1)由于， ，则．因为， 由正弦定理知，则． (2)因为，由余弦定理，得， 即，解得，而，， 所以的面积． 【变式题 提高】 1.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求B；(2)若，的面积为，求的周长. 【解析】(1)，由正弦定理得：， 整理得：，∵在中，，∴， 即，∴，即； (2)由余弦定理得：，∴， ∵，∴，∴，∴，∴的周长为. 2.（2023·西藏日喀则·统考一模）已知，若． (1)求角的值；(2)若，求面积的最大值． 【解析】(1)因为， 所以，， 且，由正弦定理可得， 即， 因为，则，则，又因为，故. (2)由余弦定理，可得. 当且仅当时取得等号，所以. 所以，面积，所以，面积的最大值为． 3.（2023·江西·联考）在中，已知. (1)求角；(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【解析】(1)因为 所以；整理可得， 所以，由正弦定理可得：. 由余弦定理知，，因为，所以 (2)由（1）知，，所以， 又是锐角三角形，所以，且，解得， 因为，由正弦定理知：，，所以 所以 因为，所以，所以 所以，面积的取值范围为. 4.（2023·河北邢台·宁晋中学）在中，内角的对边分别为，且. (1)求B；(2)如图，在AC的两侧，且，求四边形面积的最大值． 【解析】(1)由题设及余弦定理， 由，且，则. (2)由（1）及已知：，即， 所以为等边三角形，令且， 而，等腰的顶角为，且，所以，则， 所以四边形面积， 故， 而，故仅当时. 5.(2019·全国甲卷·真题)的内角的对边分别为，已知． (1)求；(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【解析】(1)[方法一]【最优解：利用三角形内角和为结合正弦定理求角度】 由三角形的内角和定理得，此时就变为． 由诱导公式得，所以．在中，由正弦定理知， 此时就有，即， 再由二倍角的正弦公式得，解得． [方法二]【利用正弦定理解方程求得的值可得的值】由解法1得， 两边平方得，即． 又，即，所以， 进一步整理得，解得，因此． [方法三]【利用正弦定理结合三角形内角和为求得的比例关系】 根据题意，由正弦定理得， 因为，故，消去得． ，，因为故或者， 而根据题意，故不成立，所以， 又因为，代入得，所以. (2)[方法一]【最优解：利用锐角三角形求得C的范围，然后由面积函数求面积的取值范围】 因为是锐角三角形，又，所以， 则． 因为，所以，则， 从而，故面积的取值范围是． [方法二]【由题意求得边的取值范围，然后结合面积公式求面积的取值范围】 由题设及（1）知的面积．因为为锐角三角形，且， 所以即 又由余弦定理得，所以即， 所以，故面积的取值范围是． [方法三]【数形结合，利用极限的思想求解三角形面积的取值范围】 如图，在中，过点A作，垂足为，作与交于点． 由题设及（1）知的面积，因为为锐角三角形，且， 所以点C位于在线段上且不含端点，从而， 即，即，所以，故面积的取值范围是． 题型二 三角形边长与周长 【2024真题】 【新高考Ⅱ卷T15】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A．(2)若，，求的周长． 【解析】(1)方法一：常规方法（辅助角公式）由可得， 即，由于，故，解得 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）由，又， 消去得到：，解得，又，故 方法三：利用极值点求解：设，则， 显然时，，注意到， ，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点， 即，即，又，故 方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式） 设，由题意，，根据向量的数量积公式， ，则，此时，即同向共线， 根据向量共线条件，，又，故 方法五：利用万能公式求解 设，根据万能公式，， 整理可得，， 解得，根据二倍角公式，，又，故 (2)由题设条件和正弦定理:， 又，则，进而，得到，于是， ， 由正弦定理可得，，即， 解得，故的周长为 【变式题 基础】 1.在中，设角、及所对边的边长分别为、及．已知． (1)求角的大小；(2)当，时，求边长． 【解析】(1)由正弦定理得， 由于，则， 展开得，即， 因为，化简得，则，又，所以； (2)由正弦定理，得，即有， 因为，所以是锐角，即，所以， ，所以. 2．(2022·全国·真题)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知． (1)若，求C；(2)证明： 【解析】(1)由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以． (2)由可得，， 再由正弦定理可得，， 然后根据余弦定理可知，， 化简得：，故原等式成立． 【变式题 巩固】 1.在中，角所对的边分别为的外接圆半径为，且． (1)求的值；(2)若的面积为，求的周长 【解析】(1)由，结合正弦定理得，化简得， 因为，且不同时为钝角，则，所以， 又，所以，因此； (2)由(1)知，则， 由正弦定理得，令，则， 则，解得， 因此的周长为． 2．（2023·全国·真题）记，已知的面积为，为中点，且． (1)若，求；(2)若，求． 【解析】(1)方法1：在中，因为为中点，，，    则，解得， 在中，，由余弦定理得， 即，解得，则， ，所以. 方法2：在中，因为为中点，，， 则，解得， 在中，由余弦定理得， 即，解得，有，则， ，过作于，于是，，所以. (2)方法1：在与中，由余弦定理得， 整理得，而，则， 又，解得，而，于是， 所以. 方法2：在中，因为为中点，则，又， 于是，即，解得， 又，解得，而，于是， 所以. 3．（2022·全国·真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B；(2)求的最小值． 【解析】(1)因为，即， 而，所以； (2)由(1)知，，所以， 而，所以，即有，所以 所以． 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 【变式题 提高】 1.已知分别为锐角三个内角的对边，且. (1)求；(2)若，求周长取值范围. 【解析】(1)因为，由正弦定理可得 且；所以，且 则；所以 (2)由正弦定理得， 则， 又是锐角三角形，则，，可得， 又周长为，且；故周长的取值范围为. 2.已知为锐角三角形，其内角A，B，C所对的边分别为，，，. (1)求的取值范围；(2)若，求周长的取值范围. 【解析】(1)因为为锐角三角形，所以，，. 又因为，所以，由正弦定理得， 因为为锐角三角形，所以，即，解得， 所以，即，所以的取值范围为. (2)因为，由（1）知，，由正弦定理 ，得， 故的周长， 令，由（1）知，则， 因为函数在上单调递增， 所以周长的取值范围为. 3.在锐角三角形中，内角A，，所对的边分别为，，，且． (1)求角的值．(2)求的取值范围． 【解析】(1)设的外接圆半径为．由正弦定理，得，，． 因为，则，整理得， 由余弦定理得，即， 又因为，则，可得，所以． （2）由正弦定理可得，则 因为是锐角三角形，则，解得， 则，可得，所以的取值范围是． 4.(2023·四川雅安·统考)记，已知． (1)求角A的大小；(2)若的面积为，求周长l的最小值． 【解析】(1)由，根据正弦定理，得， 即，则有，由于，所以． (2)由题，，则．又由（1）知， 则周长， 当且仅当取“”，同时解得，所以，周长l的最小值为12． 5.从①，②（为的面积），③这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并加以解答． 在中，内角、、的对边分别为、、，且______． (1)求角的大小；(2)若，求的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【解析】(1)选条件①：因为，所以由正弦定理得，     由余弦定理得，整理得，    由余弦定理得，因为，所以； 选条件②：因为，由三角形的面积公式可得， 因为、，则，，所以，，因为，所以； 选条件③：因为， 由正弦定理可得， 所以，，所以，． 因为、，则，所以，故. (2)由及正弦定理得，所以．     又由（1）知，所以由余弦定理得，   由基本不等式可得，即，当且仅当时取等号， 又，所以，所以的取值范围为． 题型三 三角形中的角与特殊线段 【2024真题】 【天津卷T16】在中，角所对的边分别为，已知． (1)求；(2)求；(3)求的值． 【解析】(1)设，，则根据余弦定理得， 即，解得（负舍）；则. (2)法一：因为为三角形内角，所以， 再根据正弦定理得，即，解得， 法二：由余弦定理得，因为，则 (3)法一：因为，且，所以，由（2）法一知， 因为，则，所以，则， ；. 法二：，则， 因为为三角形内角，所以， 所以 【变式题 基础】 1.(2023·天津·统考高考真题)在中，角所对的边分别是．已知． (1)求的值；(2)求的值；(3)求． 【解析】(1)由正弦定理可得，，即，解得：； (2)由余弦定理可得，，即， 解得：或（舍去）． (3)由正弦定理可得，，即，解得：，而， 所以都为锐角，因此，， ． 2.在中，角，，所对的边分别是，，，已知. (1)求角的大小；(2)若，，求的值. 【解析】(1)因为，根据正弦定理可得 在中，，所以有， 则有，即，又，所以. (2)根据余弦定理，，所以. 根据正弦定理，，则有，所以. 【变式题 巩固】 1.在中，角、、的对边分别为，，，已知，，是边上的点， (1)若且，求的长；(2)若，，求的值. 【解析】(1)依题意设（），则， 在中由余弦定理，即①， 在中由余弦定理，即②， 由①②解得或（舍去），所以. (2)由正弦定理，即，解得， 又，所以，所以，又，所以， 所以 . 2.(2023·全国·统考高考真题)已知在中，． (1)求；(2)设，求边上的高． 【解析】(1)，，即，又， ，，， 即，所以，. (2)由(1)知，，由 ， 由正弦定理，，可得， ，. 【变式题 提高】 1.在△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，△的面积为. (1)求；(2)若，求；(3)求的值. 【解析】(1)由余弦定理知：；∵在△中，， ∴，即 又∵，∴.即；∴； (2)由(1)知，则角为锐角，∵，∴ ， 由正弦定理知：，则，，∴ 又∵，，，∴； (3)由(2)知，，；所以，. 所以. 2.已知的内角的对边分别为，且 (1)求的值；(2)给出以下三个条件：①：；②；③；这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面的问题： (i)求的值；(ii)求的角平分线的长. 【解析】(1)，， ，，得Z，由，得； (2)若条件①正确，由，得， 由余弦定理，得，即， 解得不符合题意，故条件①不正确，则条件②③正确； (i)由，，得，解得， 由余弦定理，得， 因为，所以，由正弦定理得，即； (ii)由正弦定理，得，即， 因为平方，，所以， 在中，由正弦定理，得，在中，由正弦定理，得， 又，上述两式相除，得，解得，所以. 第 2 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $$