精品解析：2024年山东省青岛市九年级中考数学模拟冲刺试题

2024年山东省青岛市九年级中考数学模拟冲刺练习试卷 时间：120分钟；满分：120分 第I卷（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 2023年，我国将全面推进探月工程，规划包括嫦娥六号、嫦娥七号和嫦娥八号任务，数据384000000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 如图中几何体的左视图为（ ）． A. B. C. D. 4. 我市今年一月连续10天的最高气温统计如下： 气温（单位：） 3 4 6 7 8 天数 3 2 2 2 1 则最高气温（单位：）的中位数和众数分别是（ ） A. 4，3 B. 5，2 C. 5，3 D. 4，2 5. 已知直线，含角的直角三角板按如图所示放置，顶点在直线上，斜边与直线交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将先向右平移3个单位，再绕原点O旋转，得到，则点A的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，直径与弦相交于点P，连接，，，若，，则的度数为（ ） A. B. ° C. D. 8. 如图，在四边形中，，，，点，分别是边，上的动点（含端点，但点不与点重合），点，分别是线段，的中点，则线段长度的最大值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 9. 如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过（　　）秒时与相似． A. 2秒 B. 4秒 C. 或秒 D. 2或4秒 10. 已知二次函数图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论中：①；②若点，，均在该二次函数图象上，则；③方程的两个实数根为，且，则，；④若为任意实数，则．正确结论的序号为（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①③ 第Ⅱ卷 （共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共 18分） 11. 计算：_______． 12. 反比例函数的图象经过点，则反比例函数的表达式为______． 13. 的计算结果为___________． 14. 若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围_______ 15. 如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的最大扇形，则阴影部分的面积为_____________． 16. 如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB=2AG；③△GDE∽△BEF；④S△BEF=．在以上4个结论中，其中一定成立的_______________（把所有正确结论的序号都填在横线上） 三、作图题（本大题满分4分） 17. 已知：及其一边上的两点A，．求作：以为底的等腰，使点在的内部，且． 四、解答题（本大题共9小题，共68分） 18 (1)化简： (2)求不等式组的整数解． 19. 如图，在平行四边形中，分别平分、，分别交、于点E、F． （1）求证：； （2）若，，求四边形的面积． 20. 某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，分别用A，B，C，D表示，并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 请根据统计图中的信息解答以下问题； （1）本次抽取的学生共有_______人，扇形统计图中A所对应扇形的圆心角是______°，并把条形统计图补充完整； （2）依次将优秀、良好、及格、不及格记为90分、80分、70分、50分，则抽取的这部分学生书写成绩的众数是_______分，中位数是_______分，平均数是_______分； （3）若该校共有学生2800人，请估计一下，书写能力等级达到优秀学生大约有_____人： （4）A等级的4名学生中有3名女生和1名男生，现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的“中学生书法比赛”，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率． 21. 为建设和谐新社区，增强群众幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳棚，便于社区居民休憩（图①）．在侧面示意图中（图②），遮阳棚长为4米，从点看棚顶顶点的仰角为，靠墙端离地高为5米，当太阳光线与地面的夹角为时，求凉荫处的长．（结果精确到，参考数据：，，，，，） 22. 如图，是的直径，是的切线，连接，过作交于点，连接并延长，交延长线于． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数（，为常数，且）与反比例函数（为常数，且）的图象交于点，． （1）求反比例函数和一次函数表达式； （2）当时，直接写出自变量的取值范围； （3）已知一次函数的图象与轴交于点，点在轴上，若的面积为8，求点的坐标． 24. 某服装店经销A，B两种T恤衫，进价和售价如下表所示： 品名 A B 进价（元/件） 45 60 售价（元/件） 66 90 （1）第一次进货时，服装店用6000元购进A，B两种T恤衫共120件，全部售完获利多少元？ （2）受市场因素影响，第二次进货时，A种T恤衫进价每件上涨了5元，B种T恤衫进价每件上涨了10元，但两种T恤衫的售价不变．服装店计划购进A，B两种T恤衫共150件，且B种T恤衫的购进量不超过A种T恤衫购进量的2倍．设此次购进A种T恤衫m件，两种T恤衫全部售完可获利W元． ①请求出W与m的函数关系式； ②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由． 25. 如图①，抛物线与x轴交与、两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）设抛物线与y轴交于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q．使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图②，P是线段上的一个动点．过P点作y轴的平行规交抛物线于E点，求线段长度的最大值： 26. 已知：如图，在四边形和中，，，点在上，，，，延长交于点，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，过点作于点，交于点．设运动时间为． 解答下列问题： （1）当为何值时，点在线段的垂直平分线上？ （2）连接，作于点，当四边形为矩形时，求值； （3）连接，，设四边形的面积为，求与的函数关系式； （4）点在运动过程中，是否存在某一时刻，使点在的平分线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年山东省青岛市九年级中考数学模拟冲刺练习试卷 时间：120分钟；满分：120分 第I卷（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐一判断即可． 【详解】A、是中心对称图形而不是轴对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形而不是中心对称图形，故不符合题意； C、是轴对称图形而不是中心对称图形，故不符合题意； D、既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意； 故选：D． 2. 2023年，我国将全面推进探月工程，规划包括嫦娥六号、嫦娥七号和嫦娥八号任务，数据384000000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示较大的数．将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案． 【详解】解：数据384000000用科学记数法表示为， 故选：B． 3. 如图中几何体左视图为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据左视图是从左面看到图形，可得左视图中间有一条虚线，即可解答．熟练掌握简单组合体的三视图是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，题中几何体的左视图为 ， 故选：C． 4. 我市今年一月连续10天的最高气温统计如下： 气温（单位：） 3 4 6 7 8 天数 3 2 2 2 1 则最高气温（单位：）的中位数和众数分别是（ ） A. 4，3 B. 5，2 C. 5，3 D. 4，2 【答案】C 【解析】 【分析】本题为统计题，考查众数与中位数的意义，根据众数和中位数的定义就可以求解． 【详解】在这一组数据中气温是出现次数最多的，故众数是3； 把气温从小到大排列，10天中处于这组数据中间位置的两个数分别是4和6，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是； 故这组数据的中位数与众数分别是5，3． 故选：C． 5. 已知直线，含角的直角三角板按如图所示放置，顶点在直线上，斜边与直线交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，根据三角形外角的性质可得出∠3，再根据平行线的性质可得出∠2． 【详解】解：如图， ∵，∠B=30° ∴∠3=∠1+∠B=35°+30°=65° ∵ ∴∠2=∠3=65° 故选：C 【点睛】此题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质．解题时注意掌握平行线的性质以及三角形外角的性质的应用． 6. 如图，将先向右平移3个单位，再绕原点O旋转，得到，则点A的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先画出平移后的图形，再利用旋转的性质画出旋转后的图形即可求解． 【详解】解：先画出△ABC平移后的△DEF，再利用旋转得到△A'B'C'， 由图像可知A'（-1，-3）， 故选：C． 【点睛】本题考查了图形的平移和旋转，解题关键是掌握绕原点旋转的图形的坐标特点，即对应点的横纵坐标都互为相反数． 7. 如图，在中，直径与弦相交于点P，连接，，，若，，则的度数为（ ） A. B. ° C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理以及推论，三角形外角的性质等知识，利用直径所对的圆周角是直角求出，进而求出，利用圆周角定理求出，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解∶∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 8. 如图，在四边形中，，，，点，分别是边，上的动点（含端点，但点不与点重合），点，分别是线段，的中点，则线段长度的最大值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的中位线定理得出，从而可知最大时，最大，因为与重合时最大，此时根据勾股定理求得，从而求得的最大值为1． 【详解】解：∵点，分别是线段，的中点， ∴，， ∴， ∴最大时，最大， ∵与重合时最大， 此时， ∴的最大值为1， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键． 9. 如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过（　　）秒时与相似． A. 2秒 B. 4秒 C. 或秒 D. 2或4秒 【答案】C 【解析】 【分析】设经过秒时, 与相似,则,利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：当 时, ,即 当 时,,即 然后解方程即可求出答案． 【详解】解：设经过秒时, 与相似, 则 , 当 时, , 即 解得： 当 时, , 即 解得： 综上所述：经过或秒时,与相似 故选：C 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是准确分析题意列出方程求解． 10. 已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论中：①；②若点，，均在该二次函数图象上，则；③方程的两个实数根为，且，则，；④若为任意实数，则．正确结论的序号为（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据二次函数图象判断式子符号，二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质，熟练运用数形结合思想． 首先对称性的得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，然后画出示意图，将代入解析式根据图象即可判断①；根据题意得到，进而可判断②；根据题意画出直线的图象，然后根据图象即可判断③；首先有对称轴得到，然后将代入解析式得到，进而得到，然后由时，y有最大值，即可判断④． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， ∴开口向下，抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴画出示意图如下， ∴当时，，故①正确； ∵ ∴，故②错误； 如图所示，抛物线和直线有两个交点， ∵方程的两个实数根为，，且， ∴，，故③正确； ∵对称轴为直线， ∴ ∴ ∵二次函数的图象与轴的一个交点坐标为， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵抛物线开口向下，对称轴为 ∴当时，y有最大值 ∴若为任意实数，，故④正确． 综上可知，正确的有①③④， 故选B． 第Ⅱ卷 （共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共 18分） 11. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，解题的关键是掌握积的乘方的运算法则．根据积的乘方等于乘方的积进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 反比例函数的图象经过点，则反比例函数的表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，列出关于m的方程解出即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点的坐标之积是常数是解题的关键． 13. 的计算结果为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则．根据二次根式的乘法分配律计算即可． 【详解】解：， 原式， ， 故答案为：． 14. 若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围_______ 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义和解法． 根据一元二次方程的定义和根的判别式得到且，然后解两个不等式即可求解． 【详解】解：根据题意得且， 解得且； 故答案为：且． 15. 如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的最大扇形，则阴影部分的面积为_____________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积、不规则图形面积等知识点，掌握最大扇形所在弧的两个端点是圆的直径的两个端点成为解题的关键． 连接，则可得为圆形铁皮的直径，由勾股定理可求得扇形的半径，然后根据图形可知阴影部分的面积为，最后代入相关数据即可解答． 【详解】解：连接， ∵剪出的是圆心角为的最大扇形， ∴圆形铁皮的直径是,, 由勾股定理得：， 解得：， 由图形可知：． 故答案为：9． 16. 如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB=2AG；③△GDE∽△BEF；④S△BEF=．在以上4个结论中，其中一定成立的_______________（把所有正确结论的序号都填在横线上） 【答案】①②④． 【解析】 【分析】 【详解】解：由折叠可知，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°， ∴∠DFG=∠A=90°， ∴△ADG≌△FDG，①正确； ∵正方形边长是12， ∴BE=EC=EF=6， 设AG=FG=x，则EG=x+6，BG=12-x， 由勾股定理得：EG2=BE2+BG2， 即：（x+6）2=62+（12-x）2， 解得：x=4 ∴AG=GF=4，BG=8，BG=2AG，②正确； BE=EF=6，△BEF是等腰三角形， 则△GED不是等腰三角形， △GDE与△BEF不相似， ③错误； S△GBE=×6×8=24，S△BEF=S△GBE=×24=，④正确. 故答案为：①②④ 三、作图题（本大题满分4分） 17. 已知：及其一边上的两点A，．求作：以为底的等腰，使点在的内部，且． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图、等腰三角形的性质等知识点，掌握基本的尺规作图方法是解题的关键． 先运用尺规作图过A作，然后再作线段的垂直平分线，垂直平分线与边的交点为点C，最后顺次连接点A、B、C即可解答． 【详解】解：如图：即为所求． 四、解答题（本大题共9小题，共68分） 18. (1)化简： (2)求不等式组的整数解． 【答案】（1）；（2）-3，-2，-1，0，1，2 【解析】 【分析】(1)根据分式的运算法则即可求出答案． (2)根据一元一次不等式组即可求出答案． 【详解】解：(1)原式 ＝． (2)， 由①得：x≥﹣3， 由②得：， ∴该不等式组的解集为：﹣ ∴该不等式组的整数解为：-3，-2，-1，0，1，2． 【点睛】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及不等式组的解法，本题属于基础题型． 19. 如图，在平行四边形中，分别平分、，分别交、于点E、F． （1）求证：； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质和角平分线的定义推出，根据即可； （2）先证明，过点A作，利用三角函数关系求得，再证明四边形AECF是平行四边形，根据平行四边形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形 ∴，， ∵分别平分， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， 过点A作，垂足为M， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，解直角三角形的判定和性质，证明四边形AECF是平行四边形是解第2问的关键． 20. 某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，分别用A，B，C，D表示，并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 请根据统计图中的信息解答以下问题； （1）本次抽取的学生共有_______人，扇形统计图中A所对应扇形的圆心角是______°，并把条形统计图补充完整； （2）依次将优秀、良好、及格、不及格记为90分、80分、70分、50分，则抽取的这部分学生书写成绩的众数是_______分，中位数是_______分，平均数是_______分； （3）若该校共有学生2800人，请估计一下，书写能力等级达到优秀的学生大约有_____人： （4）A等级的4名学生中有3名女生和1名男生，现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的“中学生书法比赛”，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率． 【答案】（1）40；36；见解析 （2）70；70；66.5 （3）280 （4） 【解析】 【分析】（1）由C等级人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以A等级人数所占比例即可得； （2）由中位数，众数，平均数的定义结合数据求解即可； （3）利用总人数乘以样本中A等级人数所占比例即可得； （4）列表或画树状图得出所有等可能的情况数，找出刚好抽到一男一女的情况数，即可求出所求的概率． 【小问1详解】 本次抽取的学生人数是（人）， 扇形统计图中A所对应扇形圆心角的度数是， 故答案为40人、36°； B等级人数为（人）， 补全条形图如下： 【小问2详解】 由条形统计图可知众数为：70 由A、B、C的人数相加得：4+6+16=26>20，所以中位数为：70 平均数为： 【小问3详解】 等级达到优秀的人数大约有（人）； 【小问4详解】 画树状图为： ∵共有12种等可能情况，1男1女有6种情况， ∴被选中的2人恰好是1男1女的概率为． 【点睛】本题考查了扇形统计图，条形统计图，中位数，众数，平均数，树状图等知识点，解题时注意：概率所求情况数与总情况数之比． 21. 为建设和谐新社区，增强群众幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳棚，便于社区居民休憩（图①）．在侧面示意图中（图②），遮阳棚长为4米，从点看棚顶顶点的仰角为，靠墙端离地高为5米，当太阳光线与地面的夹角为时，求凉荫处的长．（结果精确到，参考数据：，，，，，） 【答案】0.7米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，过点作于，过点作于，先在中，求出，，即可得到，，再在中求出，最后根据求解即可． 【详解】解：过点作于，过点作于， ，， 由题意，， ， 四边形是矩形， ，， 在中，， ，， ， ， ，， 在中，， ， ， ， 答：凉荫处的长为0.7米． 22. 如图，是直径，是的切线，连接，过作交于点，连接并延长，交延长线于． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查圆切线的判定与性质 （1）连接，利用求证即可求证即得证； （2）通过勾股定理,再通过勾股定理即可求出的长． 【小问1详解】 解：证明：如图，连接OD ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ 在与中 ∴(SAS) ∴ ∵AC是切线． ∴ ∴ ∵点D在上，OD为半径，且 ∴CE是的切线 【小问2详解】 解：∵CE是的切线 ∴ 设半径为，在Rt中，，由勾股定理得： ∵， ∴ 解得： ∵ ∴ 设，在Rt中，，由勾股定理得： ∴ 解得： ∴CD的长为6 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数（，为常数，且）与反比例函数（为常数，且）的图象交于点，． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）当时，直接写出自变量的取值范围； （3）已知一次函数的图象与轴交于点，点在轴上，若的面积为8，求点的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，一次函数与几何图形； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据函数图象，写出反比例函数图象在一次函数上方时且在轴上方时，自变量的取值范围，即可求解； （3）先求得点的坐标，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【小问1详解】 点在反比例函数的图象上， ， 解得． 反比例函数的表达式为． 代入， ， 解得． 点的坐标为． 点，在一次函数的图象上， 把点，分别代入， 得， 解得， 一次函数的表达式为． 【小问2详解】 ∵， 根据函数图象可得：当时，； 小问3详解】 对于，当时，；当时，． 直线与轴交点，与轴交点 ． 或 点坐标为或． 24. 某服装店经销A，B两种T恤衫，进价和售价如下表所示： 品名 A B 进价（元/件） 45 60 售价（元/件） 66 90 （1）第一次进货时，服装店用6000元购进A，B两种T恤衫共120件，全部售完获利多少元？ （2）受市场因素影响，第二次进货时，A种T恤衫进价每件上涨了5元，B种T恤衫进价每件上涨了10元，但两种T恤衫的售价不变．服装店计划购进A，B两种T恤衫共150件，且B种T恤衫的购进量不超过A种T恤衫购进量的2倍．设此次购进A种T恤衫m件，两种T恤衫全部售完可获利W元． ①请求出W与m的函数关系式； ②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由． 【答案】（1）2880元 （2）①；②服装店第二次获利不能超过第一次获利，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件，购进恤衫件，购进恤衫件，列出方程组解出、值，最后求出获利数； （2）①根据条件，可列，整理即可； ②由①可知，，一次函数随的增大而减小，当时，取最大值计算出来和第一次获利比较即可． 【小问1详解】 解：设购进A种T恤衫件，购进B种T恤衫件，根据题意列出方程组为： ， 解得， 全部售完获利（元）． 【小问2详解】 ①设第二次购进种恤衫件，则购进种恤衫件，根据题意，即， ， ②服装店第二次获利不能超过第一次获利，理由如下： 由①可知，， ，一次函数随的增大而减小， 当时，取最大值，（元）， ， 服装店第二次获利不能超过第一次获利． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意列出函数解析式是解本题的关键． 25. 如图①，抛物线与x轴交与、两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）设抛物线与y轴交于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q．使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图②，P是线段上的一个动点．过P点作y轴的平行规交抛物线于E点，求线段长度的最大值： 【答案】（1） （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）先求出C点坐标为：和抛物线可得其对称轴为：，利用待定系数法求出直线的解析式为：，连接，，，，利用勾股定理可得，则的周长为：，根据A、B两点关于抛物线对称轴对称，点Q在抛物线的对称轴上，可得，即，即当点、、三点共线时，可得到的周长最小，将代入直线的解析式中，即可求出点坐标； （3）根据P是线段上的一个动点，设P点坐标为：，且，则可得点坐标为：，结合图象，根据题意有：，即，整理得：，则问题随之得解． 【小问1详解】 解：将、代入中， 有：， 解得：； 即抛物线解析式为：； 【小问2详解】 解：存在，理由如下： 令，即有：，则C点坐标为：， 由可得其对称轴为：， 设直线的解析式为：， 代入、有： ，解得：， 直线的解析式为：， 如图，连接，，，， ∵、，， ∴， ∴的周长为：， ∵A、B两点关于抛物线对称轴对称，点Q在抛物线的对称轴上， ∴， ∴， 即当点、、三点共线时，有最小，且为， 此时即可得到的周长最小，且为， 如图， ∵点Q在抛物线的对称轴上， ∴将代入直线的解析式中， 有：， 即Q点坐标为：； 【小问3详解】 解：根据P是线段上的一个动点，设P点坐标为：，且， ∵轴， ∴点、的横坐标相同，均为m， ∵点在抛物线上， ∴点坐标为：， 结合图象，根据题意有：， ∴， 整理得：， ∵，且， ∴当时，， 即的最大值为：． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求解二次函数关系式，勾股定理，二次函数的图象与性质等知识，掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键． 26. 已知：如图，在四边形和中，，，点在上，，，，延长交于点，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，过点作于点，交于点．设运动时间为． 解答下列问题： （1）当为何值时，点在线段的垂直平分线上？ （2）连接，作于点，当四边形为矩形时，求的值； （3）连接，，设四边形的面积为，求与的函数关系式； （4）点在运动过程中，是否存在某一时刻，使点在的平分线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） t=；（2）t=3;（3）S与t的函数关系式为；（4）存在，t=, 【解析】 【分析】（1）要使点M在线段CQ的垂直平分线上，只需证CM=MQ即可； （2）由矩形性质得PH=QN，由已知和AP=2t，MQ=t，解直角三角形推导出PH、QN，进而得关于t的方程，解之即可； （3）分别用t表示出梯形GHFM的面积、△QHF的面积、△CMQ的面积，即可得到S与t的函数关系式； （4）延长AC交EF与T，证得AT⊥EF，要使点P在∠AFE的平分线上，只需PT=PH，分别用t表示PT、PH，代入得关于t的方程，解之即可． 【详解】（1）当=时，点在线段的垂直平分线上，理由为： 由题意，CE=2，CM∥BF， ∴即：， 解得：CM=， 要使点在线段的垂直平分线上， 只需QM=CM=， ∴t=； （2）如图，∵，，， ∴AC=10，EF=10，sin∠PAH=，cos∠PAH=，sin∠EFB=， 在Rt△APH中，AP=2t， ∴PH=AP·sin∠PAH=， 在Rt△ECM中，CE=2,CM=,由勾股定理得：EM=， 在Rt△QNF中，QF=10-t-=， ∴QN=QF·sin∠EFB=()×=， 四边形为矩形， ∴PH=QN， ∴=， 解得：t=3； （3）如图，过Q作QN⊥AF于N， 由（2）中知QN=，AH=AP·cos∠PAH=， ∴BH=GC=8-， ∴GM=GC+CM=，HF=HB+BF=， ∴ = = =， ∴S与t的函数关系式为：； （4）存，t=． 证明：如图，延长AC交EF于T， ∵AB=BF,BC=BF, ， ∴△ABC≌△EBF， ∴∠BAC=∠BEF， ∵∠EFB+∠BEF=90º， ∴∠BAC+∠EFB=90º， ∴∠ATE=90º即PT⊥EF， 要使点在的平分线上，只需PH=PT， 在Rt△ECM中，CE=2,sin∠BEF=， CT=CE·sin∠BEF =， PT=10+-2t=，又PH=， =， 解得：t=． 【点睛】本题属于四边形的综合题，考查了解直角三角形、锐角三角函数、垂直平分线、角平分线、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、多边形的面积等知识、解答的关键是认真审题，分析相关知识，利用参数构建方程解决问题，是中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$