3.2.2奇偶性教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

人教版A版高中数学必修第一册第三章《函数的概念与性质》 3.2.2奇偶性 教学设计 一、教材分析 《奇偶性》选自人教A版高中数学必修第一册3.2.2,从单元整体来看,函数的奇偶性是继函数单调性后的又一重要性质,在第三章中有着承上启下的作用，既是函数概念与表示的进一步拓展与深化，是研究函数单调性的研究方法(代数运算、图象直观)的又一次实践应用，为函数另一个整体性质周期性提供活动经验,也是后续研究幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的基础。 二、学情分析 学生在初中已经学习过轴对称和中心对称图形、在高中阶段学习了函数的概念以及单调性，为本节课的学习奠定了知识储备；高中阶段的学生具备一定的数学符号表达能力、数学抽象能力和作图能力，为本节课的学习提供了能力基础；特别是 “函数的单调性”的学习为本节内容的学习积累了基本方法与经验。 在之前的学习过程中，学生已经经历了很多小组合作学习的过程，具备了一定的合作与交流的能力。 三、教学目标及学科素养 1、通过具体函数，使学生经历如何用数量关系来刻画函数图象对称性的过程，同时了解函数奇偶性的概念。 2、让学生经历从特殊到一般的数学活动，会用数学符号语言描述奇偶函数，经历从图形语言到符号语言的过渡，发展学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理素养。 3、让学生根据图象特征和奇偶性的定义判断一些简单函数的奇偶性，能利用函数的奇偶性解决一些简单问题。 四、教学重难点 教学重点：函数奇偶性的概念的理解和判断函数的奇偶性 教学难点：函数奇偶性的概念的形成 五、教法与学法分析 教法：引导提问式教学 学法：自主交流学习，问题导学，探究发现式学习 六、教学策略 教师从数与形两方面引导，使学生从文字、图形、符号三种数学语言理解了奇偶性的概念，会利用定义判断函数的奇偶性的方法与步骤，以及函数奇偶性的运用。培养了学生的观察、类比、归纳问题能力，同时渗透数形结合思想、运用符号及变元表示的思想、以及从特殊到一般的数学思想方法。让学生感受数学美，同时激发他们学习的兴趣，培养学生乐于探索的精神。 七、 学习评价 1、提问学生对称图形的知识和函数的内容。（诊断性评价） 2、学生独立完成解答，教师巡视观察，并提问。（形成性评价） 3、完成作业，提高学生运用所学知识解决问题的能力。（总结性评价） 八、资源与工具 多媒体课件 九、教学过程 一、情景引入 问题1:还记得初中时候学过的对称图形吗?什么是轴对称图形?什么是中心对称图形?大自然中有许多对称之美，你们能说出上图中分别是什么对称图形吗? 师生活动:学生思考问答，教师语引入新课. 导语:数学中也存在许多对称之美，今天我们一起来学习函数中的对称美——函数的奇偶性. 设计意图:学生处于高一的适应阶段，通过提及初中所学习的知识，既起到初高衔接作用，又给学生带来亲切感。通过展示大自然的图片，吸引同学们的注意，陶冶情操，提高学生的学习兴趣. 二、探索新知 这节课之前我们通过研究某一区间上自变量的大小关系和所对应函数值的大小关系，得到了函数的单调性，并且用符号语言准确简洁地描述了函数图象在定义域的某个区间上“上升”或“下降”的性质，这一节课我们继续来研究函数的其他性质。 (ppt呈现函数和的图象) 问题1.1 课前大家已经画好了几个函数的图象，请大家观察和 这两个函数的图象，体现了什么共同特点吗? 师生活动：学生观察图象，回答问题，教师与学生互动板书 刚刚得到的结论只是基于对图象的直观体现。我们是否也可以类比研究函数单调性一样，把图形上所呈现的对称性在自变量与所对应的函数值的关系中有所体现?或者说，图形上所呈现的特点在数量关系上有所体现? 那么我们观察下面的表格： … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … 9 4 1 0 1 4 9 … … 3 2 1 0 1 2 3 … 师生活动：学生填表找规律，回答问题，教师引导启发 预设：当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等。 例如：函数，有， 问题1.2我们发现表格中列出的点具有上述性质，那么表格中没有出现的点是否也具有相同的性质呢?比如吗? 预设：有同样的性质 设计意图：通过特殊值发现规律：当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等，然后把该规律符号化，培养学生的观察能力以及语言概括能力。 问题1.3关于轴对称的两个点的坐标有何关系? 师生活动:学生思考，讨论交流，积极回答. 预设:图象是由点组成的，所以图象的对称，本质上是点的对称，而关于轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相等.如在图象上取一点，它关于轴的对称点为，因为，所以点也在函数的图象上,并且可以是图象上任何点. 设计意图:揭示偶函数关于y轴的对称的本质，逐步过渡到数学符号语言. 问题1.4你能用数学符号语言描述“函数中，自变量互为相反数时，对应的函数值相等”吗? 师生活动:学生思考，讨论交流，积极回答，教师引导启发. 预设:若是定义域内的任意两个值，且 ，则 教师引导: ，即，且是定义域内的任意一值. 问题1.5 你能用数学符号语言给偶函数下定义吗? 师生活动:教师引导学生用数学符号语言给偶函数下定义，并板书. 板书: 一般地，设函数的定义域为，如果，都有,且 ，那么函数就叫做偶函数。 设计意图:从自然语言过渡到数学符号语言，抽象概括出偶函数的定义，发 展学生的数学抽象素养. 类比刚才的研究方法，请各小组来研究另一组函数， 观察和的图象: (ppt呈现函数和的图象) 问题2.1刚才两个函数图象关于轴对称，那以下这两个函数图象有什么共同特征吗? 预设：我们发现它们的图象都关于原点中心对称。 这个结论同样是从直观的函数图象上得到的，我们可以类比刚才的办法，探究一下这个结论。 我们依旧采用列表的方法，可以列出下面的表格: … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … -1 0 1 … 预设：当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值也是一对相反数 例如 函数有，。 同样地，表格中没有出现的其它点也符合上述规律，例如具备这样特征的函数，我们称为奇函数 设计意图：学生通过小组合作、自主探究奇函数的定义，培养学生的学以致用的能力、团结合作解决问题的能力。 问题2.2 类比偶函数定义，大家能否用数学符号语言严谨地表述“函数图象关于原点对称”这一特征呢? 定义2：一般地，设函数的定义域为，如果，都有,且 ，那么函数就叫做奇函数。 这样我们得到了奇函数与偶函数的定义，接下来我们更深入地探究一下这两个定义。 (ppt呈现奇偶函数定义) 问题3.1如何理解定义中的，都有? 预设：从定义域中任取一个自变量，这个自变量的相反数还在定义域里。即奇函数、偶函数的定义域必须关于原点对称。 问题3.2定义中的“”可以删去吗? 预设：不可以 函数的单调性可能是某个区间上的函数性质，但函数的奇偶性体现了函数的整体性质，即它要求定义域中的任意一个自变量都具有这样的特性 设计意图：概念辨析，强化定义域关于原点对称这一性质，明确判断函数奇偶性的第一步为判断函数定义域是否关于原点对称。 问题3.3奇函数与偶函数的相同点与不同点有哪些? 预设： 相同点:(1)定义域关于原点对称;(2)都是函数的整体性质。 不同点:(1)当自变量取一对相反数时，偶函数的函数值相等，而奇函数的函数值是一对相反数: (2)偶函数的图象关于轴对称，而奇函数的图象关于原点对称。 这样我们就从“数”与“形”上面分别找到了奇函数与偶函数的不同点。 问题3.4偶函数定义中的和奇函数定义中的还有其他等价的数学表达形式吗? 预设：思考，等价变形 设函数的定义域为，则有: 是偶函数，，且; 是奇函数，，且。 上述的式在判断某些函数的奇偶性时非常有用。 例如我们在计算完后，发现并不能很直观地看出它与是否相等或互为一对相反数，那么我们可以通过和或者差的运算，结果和0进行比较，来得到函数奇偶性的结论。 设计意图：辨析定义中的关键词，比较奇函数与偶函数的异同点以及等价变形，为解题带来方便，感受奇偶性的整体性意义。 三、典例探究 例1判断下列函数的奇偶性: （1） （2）: （3） （4） 解析： （1）函数定义域为R，，都有，且 ，所以函数是偶函数。 问题4.1 如果函数改为，那么是偶函数吗？ 预设：不是，的定义域为，不关于原点对称，所以不具有奇偶性。 问题4.2各小组可以借助我们刚刚的证明过程归纳一下证明函数的奇偶性有哪些步骤吗? 预设：思考，归纳 根据奇(偶)函数的定义判断一个函数的奇偶性，我们可以按如下步骤进行:第一步，求出函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称，若否，则函数不具有奇偶性，结束判断;若是，则进行第三步; 第二步， (为定义域)，计算, 若，则为偶函数;若，则f(x)为奇函数: 若且,则既不是奇函数也不是偶函数: 若且,则既是奇函数也是偶函数。 特别地，证明一个函数是奇函数或者偶函数要对定义域中任意一个自变量都成立，但证明函数不是奇函数或偶函数只需要举出一个反例即可。 那么我们用刚刚一起归纳出的方法来判断下面几个函数的奇偶性 （2）； （3） ； （4） 设计意图：通过具体例子归纳判断函数奇偶性的步骤，便于接下来解决问题。 例2(教材 P85/思考) 1.判断函数 的奇偶性: 2.右图是函数图象的一部分，你能根据函数的奇偶性画出它在轴左边的图象吗? 3.一般地，如果知道为偶(奇)函数，那么我们可以怎样简化对它的研究? [解] 1.函数函数定义域为R，，都有，且 ，所以函数是奇函数。 2.由第一问可知是奇函数，那么它的图象关于原点中心对称，所以左侧的图象如图所示。 3.像第二问一样，如果已经确定了函数具有奇偶性，那么我们可以只研究这个函数在一半定义域上的图象及性质，再借助函数的奇偶性得到整个定义域上的图象及性质。 设计意图：让学生根据奇偶函数的定义独立画出图形，再按要求解题，体会到利用函数奇偶性可以从局部推断整体，给解题带来的方便与快捷，感受到函数奇偶性的应用.本题体现了数形结合思想. 例3已知函数是奇函数，且时，，求时，的表达式. 师生活动:教师分析引导和学生共同完成. 设计意图:提高性试题，设计了一道分段函数，根据函数的奇偶性来求另一部分表达式.本题是为了启迪优生的思维. 四、课堂小结 本节课学习了哪些知识?用到了哪些数学思想?函数奇偶性的概念是如何建构起来的? 师生活动:师生对话完成. 预设答案:学习了函数奇偶性的概念，并能根据定义来判定函数的奇偶性或解决其他相关问题.本课涉及到数形结合思想、分类讨论思想、类比思想.函数的奇偶性的概念经历了三个认识过程:一是从图形的对称性来认识，二是揭示对称性的本质，将对称性转化为数量关系来认识，抽象出概念;三是进行概念辨析，深入理解概念. 十、作业布置 完成教科书85页练习题1-3， 85页到86页习题3.2第5、11、12、13题（13题为选做题） 十一、板书设计 3.2.2 奇偶性 1、 偶函数的定义： 2、 奇函数的定义： 3、 例题讲解 例1、 例2、 例3、 4、 作业布置 五、课堂小结。 十二、教学反思 本节课设计主要体现了以教师为主导,学生为主体,练习为主线,思维为目标的教学思想，课后，我将从目标完成情况、学生的新思路、学生的疑问等方面进行归纳总结，及时调整并为今后的教学做准备。 2 学科网（北京）股份有限公司 $$