3.1.1函数的概念（第一课时）教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

人教版A版高中数学必修第一册第三章《函数的概念与性质》 3.1.1 函数的概念 教学设计 一、教材分析 本节内容是普通高中课程标准实验教科书人教A版第三章第一节第一课时。函数是现代数学中最基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具。在高中阶段，函数不仅贯穿数学课程的始终，而且是学习方程、不等式、数列、导数等内容的工具和基础，在物理、化学、生物等其他学科中也有广泛作用；在高等数学中，函数是基本数学对象；在实际应用中，函数是数学建模的重要基础。 学生在初中学习了函数的概念，概念定义采用“变量说”。高中阶段要建立函数的“对应关系说”，它比“变量说”更具一般性。与初中的“变量说”相比，高中用集合语言与对应关系表达函数概念；明确了函数的定义域、值域与对应关系，引入抽象符号 二、学情分析 通过初中函数相关知识的学习,学生具备了一定的知识经验和基础；通过必修一第一章“集合”的学习，对集合思想的认识也日渐提高，为重新定义函数、从根本上揭示函数的本质提供了知识保证。学生已有一定的分析、推理和概括能力，初步具备了自主发现问题、解决问题的能力，但是小组合作探究学习仍需加强。多数学生对教学新内容的学习有很高学习兴趣和积极性，但探究能力以及合作交流等能力仍需要通过课堂主渠道加以培养和提高。 三、教学目标及学科素养 1.能够用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用，培养数学抽象核心素养; 2.了解构成函数的要素定义域、值域、对应关系,能求简单函数的定义域，培养数学运算核心素养; 3.会判断两个函数是不是同一个函数，能构建描述函数对应关系中的问题情景，培养逻辑推理和数学建模核心素养。 四、教学重难点 教学重点：由实例归纳、概括函数的基本特征，用集合与对应关系表达函数的概念，用适当的方法表示函数； 教学难点：从生活实例中归纳、概括、抽象出函数概念，用集合语言和对应关系理解具体问题中的函数关系。 五、教法与学法分析 教法：情境创设法、小组讨论法、引导探究法 学法：自主探究性学习、小组合作探究学习 六、教学策略 本节课利用学生学过的函数概念和熟悉的实例创设情境引出两变量的关系，发现变量的取值范围会影响所得的结果，形成认知冲突后，引导学生关注变量的取值范围，引发思考；然后再根据不同的实例，发现共同点，鼓励学生自己归纳、概括、表述函数概念，用更精确的语言描述，抽象出函数概念后，检验已学过的函数，确定三要素；最后，运用数形结合的思想，既加深理解函数图像和函数解析式都刻画对应关系，又熟练函数的表示法。 七、 学习评价 1、提问学生初中函数概念的内容。（诊断性评价） 2、学生独立完成解答，教师巡视观察，并提问。（形成性评价） 3、完成作业，提高学生运用所学知识解决问题的能力。（总结性评价） 八、资源与工具 多媒体课件 九、教学过程 一、复习引入 引导语：在初中我们已经接触过函数的概念，知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具，那么我们初中学过的函数概念是什么呢？ 初中学习的函数概念表述为：如果在一个变化过程中有两个变量和，对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，那么称是的函数。 引例：(1)你能用已有的函数知识判断与是否相同吗？ (2) 正方形的周长与边长的对应关系是，而且对于每一个确定的都有唯一的与之对应，所以是的函数。这个函数与正比例函数相同吗？ 师生活动 学生思考,教师指出要回答上述问题,就需要进一步学习函数的概念。 设计意图 带领学生复习初中“变量说”的函数概念,以问题引起认知冲突,激发学生的求知欲,体现进一步研究函数的必要性。 二、概念形成 问题1 某“复兴号”高速列车到后保持匀速运行半小时。这段时间内，列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t（单位：h）的关系可以表示为S=350t。 (1)是的函数吗？请说明理由。 (2)根据对应关系，这趟列车加速到后，运行就前进了.这个说法正确吗？ (3)如何用更精确的语言表示问题１中与的对应关系？ 师生活动 教师呈现问题后等候学生思考，提醒学生在回答时不看教材。教师点评问题（1）的回答，提醒学生用初中所学的“变量说”的语言来描述这个函数。根据学生回答问题（2）的情况，邀请其他学生点评，并说明这一函数的自变量的取值范围。教师点评（3）的描述是否准确，再次重复，给出精确的表述的示范。 设计意图 通过问题思考引导学生感受思维和认知冲突，发现原有概念的不足之处,尝试用更为精确的语言来描述,为新概念的生成作铺垫。 问题2 某电气维修公司要求工人每周工作至少天，至多不超过天。如果公司确定的工资标准是每人每天元，而且每周付一次工资。那么： （1）一个工人的工资和他工作天数有什么关系？ （2）一个工人的工资是他工作天数的函数吗？ （3）仿照问题1中对与的对应关系的精准刻画，如何用更精确的语言表示问题2中与的对应关系？（符号语言到文字语言） （4）问题１和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？影响函数的要素有哪些呢？ 师生活动 学生阅读题目后自主在学案上完成解答，对于问题（1）学生给出的答案大部分可能都是，提示学生还可以用不同的表示方法，例如列表格的形式。 工作天数/天 1 2 3 4 5 6 所得工资/元 350 700 1050 1400 1750 2100 问题（2）为判断题，可由学生举手呈现答案。问题（3）提醒学生不看教材回答，教师点评学生回答，再给出严谨规范的表述。通过问题（4）引导学生如何区分两个函数是否为同一个函数。 设计意图 问题（1）仍然是从“变量说”的角度判断与是否具有函数关系；问题（2）是为了引导学生尝试用不同的方式表示函数，为学习抽象的对应关系做准备；问题（3）让学生模仿问题1的方法给出表述，目的是让学生熟练用集合的语言和对应关系这种表述方式，同时训练学生的抽象概况能力。再通过问题（4）让学生聚焦关注函数的定义域问题和值域问题。 问题3 下图是某市某日的空气质量指数随时间的变化图。 （1）你能根据图找到中午12：00的AQI的值吗？这个值是否唯一存在？ （2）你能根据图象找到这一天任一时刻t的AQI值吗？ （3）I是t的函数吗？ （4）该函数有解析式吗？如何用更精确的语言表示问题3中I与t的对应关系？ 师生活动 给学生阅读题目和思考问题的时间，对于问题（1）学生给出的答案后询问其他学生的意见。问题（2）询问学生读取数值的方法，顺便说明不同的t值可能对应相同的I值。对于问题（3）教师介绍人们对于函数概念的第一和第二次抽象认识。第一次抽象认识，主要代表人物为欧拉、伽利略、笛卡儿、约翰·伯努利，主要观点是：函数就是解析式。 但新的问题出现了：并不是所有的函数关系都能用解析式表示。后来欧拉在《微分学原理》的序言中给出的函数定义是：如果某个量依赖于另一个量，当后面这个量变化时，前面这个量也随之变化，则前面这个量称为后面这个量的函数。这个时期是人们对于函数概念的第二次抽象认识。主要代表人物为欧拉，主要观点是：函数是指两个变量之间具有依赖关系。问题（4）中学生在描述集合时，容易将值域等价于={|}。在肯定学生的观察能力的同时，要提醒学生AQI的最小值,最大值。从而可以判定，若的取值集合为 ，则={|}。 设计意图 学生根据图象判断函数概念存在认知困难，特别是函数值所在的范围是不精确的，事实上从映射的角度来看，这时的映射就是非满射。所以通过问题（1）先让学生找到具体某个时刻的函数值，再通过问题（2）和（3）引导学生思考这样的对应关系是否可以表示一种函数，通过介绍函数概念的第一和第二次抽象认识，让学生体会函数概念的提出、修正，感受数学思维的一次突破。问题（4）进一步聚焦函数三要素中的值域，让学生充分体会在实际情况下，要获得精准的值域是十分困难的，但获得函数值的大致范围是相对容易的。 问题4 国际上常用恩格尔系数（＝）反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。下表是我国城镇居民恩格尔系数变化情况。 年份 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 恩格尔系数（%） 32.0 30.1 30.0 29.7 29.3 28.6 27.7 27.6 29.2 28.6 （1）按表给出的对应关系，恩格尔系数是年份的函数吗？说明理由。 （2）你能仿照前面的表示方法描述与的对应关系吗？（对应关系是什么呢？） （3）根据实际情况和恩格尔系数的定义，你认为的取值范围是什么？ 师生活动 给学生思考时间，对于问题（1）用举手投票的方式判断“恩格尔系数是否是年份的函数”，教师根据投票情况，分别请答案“是”和“不是”的同学说明理由，再交给学生继续讨论，最后教师强调要从函数的定义进行判断。对于问题（2）让学生在不看书的前提下，分组练习用集合语言和对应关系说来描述这个函数，然后让学生代表发言。对于问题（3）大部分同学给出的函数值的取值范围可能是表中的的10个值，教师在此基础上引导：还有很多年份的恩格尔系数没有给出，应该根据恩格尔系数的定义给出的变化范围为。在此基础上，让学生再次给出是年份的函数的描述，给出以下追问： 追问：在表中的任意一个年份，都有唯一的∈与之相对应，那反过来，中的每个值一定都有唯一的与之对应吗？ 师生活动 学生思考后部分同学不能肯定答案，在此基础上可以小组讨论，最后教师点评学生的回答，并指出可以通过函数的定义判断，例如=1时就没有年份与之相对应，这个问题与问题3中的={|}是一样的道理。 设计意图 学生对用表格表示的对应关系是否为函数关系的判断存在困难，通过问题和追问，引导学生思考，教师再加以解释，使学生更好的理解对应关系，为后面抽象出函数的对应关系做好铺垫，同时进一步明确函数概念的三要素。 问题5 上述问题14中的函数由哪些共同特征？你能根据这些特征得出函数概念吗？ 师生活动 学生思考，教师可以呈现以下表格帮助学生理解 问题情 境 自变量的集合 对应关系 函数值所在的集合 函数值的集合 案例1 {|} ={S|75} 案例2 {1,2,3,4,5,6} {350,700,1050,1400,1750,2100} 案例3 {|} 图3.1-2 ={|} 案例4 {2012,2013,2014,2015,2016,2017,2018,2019,2020,2021} 表3.1-2 32.0%,30.1%,30.0%,29.7%,29.3%,28.6%,27.7%,27.6%,29.2%,28.6%, 学生先独立思考再小组交流，教师做好总结和引导，归纳四个案例的共同特点： （1） 都包含两个非空数集，可以用A和B来表示； （2） 都有一个对应关系，可以有多种表示方法； （3） 对于数集A中的任意一个数，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数和它相对应。 教师讲解：通过上述归纳，表示对应关系的形式，除了解析式、图象、表格之外，还有其他表示方法，为了表示方便，我们引进符号统一表示对应关系，然后我们可以给出函数的一般性定义： 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作 其中，叫做自变量，的取值范围A叫做函数的定义域;与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。 追问：（1）函数的定义域是什么？ （2）函数的值域是什么？定义中的集合B是函数的值域吗？ （3）函数的对应法则有哪些形式呢？ 得出函数的三要素：定义域、值域、对应法则 现在你能解决课前引例提出的两个问题了吗？ 课前引例解决：正方形的周长与边长的对应关系是，而且对于每一个确定的都有唯一的与之对应，但是边长的取值范围为，而中的∈R,所以是的函数这个函数与正比例函数不相同，同理与也不相同。 师生活动 学生思考并作出判断，教师肯定答案并补充，对于问题（1）让学生再次体会在实际情况下，要获得精准的值域是十分困难的，但获得函数值的大致范围是相对容易的。对于问题（2）函数符号是由德国数学家莱布尼兹在18世纪引入的．函数名称由中国清代数学家李善兰翻译引入，取“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”之意；即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，“函”是包含的意思，“函数”是指公式里含有变量的意思。为“是的函数”的数学表示，仅是一个函数符号，不是与相乘。“”是函数符号，可以用任意的字母表示，如：“”，“”；强调与的区别和联系，即表示当自变量时函数的取值，是一个确定的函数值，而其实是变量，所以是的一个值，是值域中的一个具体元素。 通过本节的四个案例，我们依然认为函数是指两个变量之间具有依赖关系。但新的问题出现了：并不是所有的函数关系中的变量间都具有依赖关系。比如计程车路程与费用关系，当路程在起步价范围内，收取费用完全相同，即此段中两个变量之间不具有依赖关系。从而引发了人们对函数概念的第三次抽象认识。1837 年狄利克雷认为怎样去建立与之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的 值，都有一个确定的值，那么叫做的函数．”狄利克雷的函数定义，出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，简明精确，以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受．至此，我们已可以说，函数概念、函数的本质定义已经形成，这就是人们常说的经典函数定义。 设计意图 学生通过归纳四个典型案例中的共同特征，体会数学抽象的过程，概括出用集合语言与对应关系语言描述函数概念的定义。 问题6：如果让你用函数的定义重新认识一次函数、二次函数与反比例函数，那么你能从函数的定义域、对应关系和值域去表述这些函数吗？ 师生活动 给学生足够的时间去思考，然后选择三个小组，每个小组派出一名代表对一个函数进行总结，其他学生进行补充，教师进行点评。三个函数的表述如下表所示： 设计意图：用函数的定义重新认识已经学过的函数，熟悉函数定义的语言，并与原来的表达方式相比较，通过辨析加强函数定义的理解，聚焦函数的三要素这个整体。 三、例题讲解 例1 函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个变量之间的对应关系，可以广泛的用于刻画一类事物中的变量关系和规律。例如，正比例函数可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系、某个均匀物体的质量与体积之间的规律以及圆的周长与直径之间的关系等。那么你能尝试构建一个问题情景，使其中的变量关系可以用解析式描述吗？ 师生活动 学生尝试构建一些问题情景，然后相互交流、讨论，教师针对学生的回答进行点评。如果学生在构建过程中存在问题，可以给出提示：已知长方形的周长为20，设其一边长为，面积为，那么。 设计意图 完成课本例题的过程中，进一步理解可以用来刻画现实世界中同类事物的变化规律，体会应用的广泛性，“回到实际中去”加深对函数概念、函数三要素的理解。 例2（1）(多选)下列从集合A到集合B的对应关系f是函数的是（ ） 中的数平方 中的数开方 中的数取倒数 中的数取绝对值 （2）设给出下列五个图形，其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是（ ） 　　　 　　　 　　 设计意图：例2中两个例题的选择考查学生对函数概念的理解，给出一个对应关系，利用函数的概念以及图形判断其是否是函数关系。 四、归纳总结，提升理解 回顾本节所学内容，回答以下问题： 1. 函数的定义是什么，其三要素是什么 2. 你怎么理解对应关系？ 3. 我们得出函数概念的定义经历了怎样的过程？ 师生活动 先由学生思考归纳，全班进行分享，教师总结点评。 设计意图 学生从函数概念的本质、三要素的探究过程、关键词的理解等进行小结，进一步加深对函数概念的理解。 十、作业布置 完成教科书63页习题1-3，72页到73页习题3.1第3、8、11、14题 十一、板书设计 3.1.1函数的概念 1、 函数的概念； 定义域：的取值集合 2、 函数的三要素 对应关系 值域：函数值的取值集合 3、 例题讲解； 四、课堂小结； 五、作业布置。 十二、教学反思 本节课设计主要体现了以教师为主导,学生为主体,练习为主线,思维为目标的教学思想，课后，我将从目标完成情况、学生的新思路、学生的疑问等方面进行归纳总结，及时调整并为今后的教学做准备。 2 学科网（北京）股份有限公司 $$