1.3集合的基本运算（第一课时）交集与并集教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

人教版A版高中数学必修第一册第一章《集合与常用逻辑用语》 1.3集合的基本运算 第一课时 交集与并集 教学设计 一、教材分析 《集合的基本运算》是人教版普通高中课程标准实验教科书，数学必修1第一章第三节的内容. 在此之前，学生已学习了集合的含义以及集合与集合之间的基本关系，这为学习本节内容打下了基础. 本节内容是函数、方程、不等式的基础，在教材中起着承上启下的作用. 本节内容是高中数学的主要内容，也是高考的对象，在实践中应用广泛，是高中学生必须掌握的重点. 二、学情分析 学生已经学习了集合的概念和基本关系，有类比实数大小关系研究集合间的关系的体验，在此类比实数加法运算研究集合的“并”运算，学生在心理上会觉得比较自然，不会感到困难。但 是，学生学习过程中会存在两方面的困难：一个是对并集和交集定义的理解和区别它们的异同点；另外一个可能是利用交集并集含义和Venn图解决一些与集合运算有关的问题。为达成课堂教学目标，突出重点，突破难点，采取以下做法：类比实数比较大小学习集合间的基本关系的学习过程，类比实数间的加法运算学习集合间的基本运算；对集合的并集运算讲解到位后，再让学生类比并集的学习方法自己学习交集的相关知识。 三、教学目标及学科素养 1.能通过分析具体实例，说出交集与并集的含义，会求两个集合的交集和并集，发展数学抽象素养； 2.能用三种语言表达集合的并集与交集，并能用Venn图和数轴找到集合的并集与交集，培养数形结合思想和直观想象素养。 四、教学重难点 教学重点：集合间的交集和并集的含义 教学难点：求集合的交集和并集 五、教法分析 教法：小组合作教学法、讲授法、讨论法 学法：类比学习法、探究定向性学习法、主动合作式学习法 六、教学策略 本着以学生为主体，老师为主导的教学理念， 基于学生已有类比实数大小关系研究集合间的关系的体验，本节课将类比实数加法运算研究集合的“并”运算，在老师细致讲解并集的相关知识和应用后，让学生分组合作自主探究集合交集的概念和应用，进而突出重点，突破难点。 七、学习评价 1、提问学生集合基本运算的内容。（诊断性评价） 2、学生独立完成解答，教师巡视观察，并提问。（形成性评价） 3、完成作业，提高学生运用所学知识解决问题的能力。（总结性评价） 八、资源与工具 多媒体课件 九、教学过程 一、复习引入 问题1：（1）上节课我们类比实数之间的大小关系，从元素与集合之间的关系入手研究了集合间的基本关系，两个集合间的基本关系有哪些？如何判断两个集合间的关系？ （2）前面我们先后研究了集合的概念和表示方法、集合间的基本关系，接下来我们还要研究什么问题？用什么方法研究？ 预设：对于（1），教师提问后学生回答问题，教师根据学生回答的情况补充、完善。对于（2），学生独立思考后交流讨论、回答问题.学生已有类比实数大小关系研究集合间基本关系的经验，所以很容易联想到类比实数加、减、乘、除等运算来研究集合的运算。 设计意图：通过引导学生回顾前面所学知识和研究方法，引导学生通过类比实数运算，联想集合运算，提出要研究的问题：集合的基本运算.进一步提高类比推理的思维能力和发现问题、提出问题的能力，提升逻辑推理素养。同时，对于集合的研究，学生也经历了通过类比数的研究，从抽象新的数学对象（概念）到研究数学对象（特性、表示方法、基本关系和基本运算）的过程.这是一个完整的数学思考过程，作为一个范例，它向学生完整展示了研究数学问题的“基本套路”，这将为后续的教学提供思维方式的示范以及学习方法的引领. 二、探索新知 探究一 并集 问题2：观察下面的集合， 类比实数加法的运算，你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗？ (1) (2){|是有理数}，{|是无理数}，{|是实数} 预设：学生回忆并口答两个集合间的基本关系。 追问1：从元素与集合之间关系的角度出发，你能发现两个问题中集合与集合之间的关系吗？你能分别用自然语言、符号语言和Venn图来叙述或表示集合 与集合之间的这种关系吗？ 预设：学生观察、分析、讨论交流，并尝试用三种语言表示这种关系，在学生交流的基础上教师补充、总结。从元素与集合之间关系的角度出发，学生很容易发现集合C 是由A，B 这两个集合的所有元素构成的，即集合C 是由所有属于A或属于B的元素组成的，并尝试用符号语言和图形语言表示.学生可能会在用符号语言表示时遇到困难，教师要引导学生回顾描述法，分析集合C 中的元素与A，B 两个集合元素的关系，在此基础上用符号语言表示.教师要向学生强调这里的“或”所连接的并列成分之间至少要满足一个，要与生活语言中的“或”区分开，生活中的“或”常常是二选一、非此即彼的意思. 追问2：类比实数加法，你能尝试归纳概括出两个集合与的并集的定义吗？ 预设：学生在前面观察、讨论、分析的基础上，由特殊到一般，经过归纳—补充或修正—完善—得出并集的定义，教师引导和补充，并给出记号和读法：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为集合A与集合B的并集，记作 ，读作“并”. 设计意图：通过实数的加法运算让学生类比集合是否也可以“相加”，增强学生由旧知探究新知的兴趣和能力.借助具体而又简单的集合实例，帮助学生更深刻地理解集合的并集的运算，也有利于培养自主探究能力、分析归纳能力、分析问题和解决问题的能力. 2.生成概念 并集的概念： 文字语言：一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与集合B的并集。 记法：记作A∪B,(读作“A并B”). 问题3：你能用符号语言和Venn图表示并集的概念吗？ 预设：符号语言：A∪B={|∈A,或∈B} 图形语言：用Venn图表示为： A∪B ={x| x ∈ A ，或x ∈ B} A B A∪B=B A B A B 设计意图：在用文字语言表示定义的基础上，用符号语言和图形语言表示并集的定义，有助于学生更好地理解并集的概念和运算实质。学生可从中体会直观图示对理解抽象概念的作用，有助于提升数学抽象素养和直观想象素养. 追问3：定义中的关键词有哪些？如何理解它们？ 预设：教师引导学生分析，并结合Venn图强化对“或”的理解 所有：表示集合A与集合B的元素一个都不能少； 或：所连接的并列成分之间至少要满足一个，即有三种情况； 集合：两个集合求并集，结果还是一个集合. 设计意图：引出定义之后，及时让学生分析定义，抓住定义的重点，比如“所有”、“或”、“集合”等关键词，帮助学生更深刻地理解集合的并集的概念及其运算实质. 3.例题讲解 例1：设，，求. 预设：本题难度较小，学生自己独立完成后交流答案，查找错误原因，教师检查、反馈. 解： 追问4：为什么相同的元素5和8只出现一次？请用Venn图表示结果.（集合元素的互异性） 设计意图：巩固元素个数为有限个的集合间的并集运算，注意运算过程中元素要不重不漏，公共元素在并集中只能出现一次.用Venn图表示结果，在加强直观性的同时，也为后面学习两个集合的交集做准备. 例2：已知集合，集合.求：. 预设：学生独立思考后交流、讨论.如果学生思维遇到障碍，教师再引导学生回顾初中用数轴表示不等式解集的方法.在此基础上，引导学生利用数轴将集合A与集合B分别表示出来并进行求解. 解： 设计意图：例2是针对例1的一个提高，集合中元素的个数由有限个到无限个，学生的思维产生冲突，在寻求发现新的解决方法的过程中，引出“数轴”这一辅助工具，直观表现集合的并运算过程，渗透数形结合的思想方法，培养学生类比、分析问题和解决问题的能力.教学中要注意数轴上的空心点.通过该问题的解决，使学生意识到用描述法表示的连续型元素的数的集合，运算时常借助数轴来计算结果. 4、 性质归纳 问题4：下列关系成立吗？ （1）A∪A＝A （2）A∪＝A 预设：学生独立思考、交流讨论，教师引导学生根据并集运算的定义对性质进行合理解释. 设计意图：巩固、加深对集合的并集运算和集合元素“互异性”的理解，进一步体会空集的意义，关注集合运算的特殊性，提升学生的逻辑推理能力. 5、巩固练习 1、集合A={3，5，6，8}，B={4，5，7，8}，求A∪B 2、设,B=｛｝，求A∪B 设计意图：引导学生体会“观察归纳生成概念概念辨析表示方法例题应用巩固练习”这一系列完整的研究新概念的过程，为自主学习交集作铺垫，锻炼学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体会类比、数形结合等数学思想。 探究二 交集 前面我们研究了集合的并运算，我们首先由特殊到一般，通过观察、归纳、抽象出并集的定义，并用符号语言和图形语言表示定义，接着对定义中的关键词进行了分析，最后又依据定义研究了并运算的两个性质.由例1和例2（引导学生看例1中的Venn图和例2中的数轴）可知，这里还有一个特殊的集合，这个集合的元素是由两个集合的公共元素组成的，类比“并集”的研究过程，请你对这种集合运算进行研究. 问题5：由两个集合所有元素合并可得两集合的并集，而由两个集合的公共元素组成的集合又会是两集合的一种怎样的运算？阅读教科书第11页上的第二个思考，请类比“并集”的研究过程对这种运算进行研究. 预设：类比“并集”的研究过程探究“交集”运算，学生独立思考后再交流，教师引导启发学生完成相关学习内容。 设计意图：探究交集运算，培养学生的自学能力以及发现问题、提出问题、分析和解决问题的能力，为终身发展培养基本素质。 1.观察下面的集合， (1) (2) 是立德中学今年在校的女同学， 是立德中学今年在校的高一年级同学， 是立德中学今年在校的高一年级女同学. 追问5：从元素与集合之间关系的角度出发，你能发现两个问题中集合与集合之间的关系吗？你能分别用自然语言、符号语言和Venn图来叙述或表示集合与集合之间的关系吗？ 预设：类比“并集”的研究过程，学生观察、讨论、分析，发现集合C是由这A，B两个集合的公共元素或者说相同元素构成的，即集合C是由所有既属于集合A又属于集合B的元素组成的，并用符号语言和图形语言表示集合C与集合A，B之间的关系。 追问6：类比两个集合的并集，你能归纳概括出两个集合A与B的交集的定义吗？ 预设：类比“并集”概念建构的思维过程，学生在前面观察、讨论、分析的基础上，由特殊到一般，尝试给出交集的定义，教师引导、补充和完善，并给出记号和读法：一般地，由所有属于集合且属于集合的元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作，读作“” 设计意图：类比“并集”概念建构的思维过程（观察—归纳—抽象），借助具体而又简单的集合实例，学生通过观察、比较与分析，归纳共同特征，由此引出集合的“交”运算，并类比并集，用文字语言给出交集的定义，帮助学生更深刻地理解集合的交运算，再次培养学生的自主探究能力、分析归纳能力、分析问题和解决问题的能力.这里用已形成的思维操作程式指导“交集”概念的建构，这样的思维过程所承载的思维训练指向是“合情推理”，而且思维活动的开展也易于学生操作. 2.知识梳理（引出概念） 交集的概念： 文字语言：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B的交集。 记法：记作A∩B(读作“A交B”). 问题6: 你能用符号语言和Venn图表示交集的概念吗？ 预设：类比并集，学生独立思考，把文字语言转换成符号语言和图形语言.需要强调的是，当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集. 符号语言：. 图形语言：用Venn图表示为： 设计意图：再次让学生体会数学符号的简洁性、严谨性和直观图示对理解抽象概念的作用，帮助学生更好地理解交集的概念和运算实质，进一步培养数学抽象素养和直观想象素养. 追问7：定义中的关键词有哪些？如何理解它们？ 预设：类比“并集”的研究过程，学生自己分析定义中的关键词. 　　所有：表示集合A与集合B的公共元素一个都不能少； 　　且：同时、公共之意，既属于集合A又属于集合B的元素； 集合：两个集合求交集，结果还是一个集合. 设计意图：引出定义之后，及时让学生分析定义，抓住定义的重点，比如“所有”、“且”、“集合”等关键词，帮助学生更深刻地理解集合的交集的概念及其运算实质. 3.例题讲解： 例3.立德中学开运动会，设 A= { 是立德中学高一年级参加百米赛跑的同学}， B＝{ 是立德中学高一年级参加跳高比赛的同学} ，求A∩B 预设：学生回顾集合的表示方法和交集的含义，独立解决问题，教师个别指导、反馈.教学中可利用教学班级这个实际模型对该问题进行改编. 解： A∩B ＝{ 是立德中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学} 设计意图：巩固交集的定义，利用实际模型加深学生对交集的理解. 例4.设平面内直线上点的集合为，直线上点的集合为，试用集合的运算表示，的位置关系. 追问8：平面内两条直线的关系有几种？（平行、相交或重合）如何用集合语言来表示它们之间的关系呢？ 预设：引导学生回顾平面内两条直线的位置关系及其特征.根据集合交集的含义，学生尝试用集合运算表示直线的位置关系，教师检查，作个别指导并进行反馈. 解：平面内直线，可能有三种位置关系，即相交于一点、平行或重合 (1)直线，相交于一点可表示为点 (2)直线，平行可表示为 (3)直线，重合可表示为. 设计意图：主要目的在于使用集合语言描述几何对象及其之间的关系，加深学生对集合的关系和运算的理解. 4、性质 问题7：下列关系式成立吗？ （1）＝ （2）＝ 预设：类比并集的性质，学生独立思考、分析，依据交集定义进行合理解释。 设计意图：巩固、加深对集合的交运算和集合元素“互异性”的理解，进一步体会空集的意义，关注集合运算的特殊性. 5、巩固练习 1．已知 ，． 求 ， 2．已知 ，，求 3. 思考：下列集合运算的结果是什么？ (1) (2) (3) (4) (5) (6) 题中分别表示什么集合？根据集合间的关系，请大家写出运算结果 设计意图：学生体会了并集概念的研究过程，自主学习交集并进行巩固练习，在学习新概念的过程中，还可以检验学生的自主学习能力。 三、 课堂小结 教师引导学生回顾本节知识，并回答以下问题: （1）什么是并集?什么是交集?它们之间有什么联系与区别? 请完成下列表格。 名称 并集 交集 定义 记法及读法 符号表示 图形表示 性质 （2）你是如何研究集合的并集和交集的？ （3）如何求两个集合的并集和交集? 设计意图：从知识内容、研究方法和蕴含的重要数学思想等方面对本节课进行小结，通过对知识方法的梳理和归纳，帮助学生构建知识网络.同时，利用表格通过对比，使学生能区分并集和交集的概念，认识到“并”“或”与记号“∪”之间的对应关系，以及“交”“且”与记号“∩”之间的对应关系，有助于学生正确识别相关符号表述. 十、板书设计 1.3.1 交集与并集 一 并集 概念、表示、例题、性质、练习 二 交集 概念、表示、例题、性质、练习 三 小结 十一、作业布置 14页习题1.3第1、2、3题 十二、目标检测设计 1.设,,求，. 设计意图：考查学生对元素个数为有限个的集合间的并集运算和交集运算的理解和掌握程度. 2、设,B=｛｝，求，。 设计意图：考查学生对元素个数为无限个的集合间的并集运算和交集运算的理解和掌握程度. 3.设是等腰三角形, 是直角三角形, 求，. 设计意图：考查学生对集合间的并集运算和交集运算的理解和掌握程度.此题是在既往概念学习的基础上，要求学生从集合中元素的特征性质出发，经过逻辑推理得出两个集合并集和交集的运算结果，并用符号语言予以表达，需要学生具有一定的逻辑推理能力. 十三、教学反思 本节课设计主要体现了以教师为主导,学生为主体,练习为主线,思维为目标的教学思想，课后，我将从目标完成情况、学生的新思路、学生的疑问等方面进行归纳总结，及时调整并为今后的教学做准备。 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$