2.5等腰三角形的轴对称性课件2024-2025学年苏科版数学八年级上册

2.5 等腰三角形的轴对称性 苏科版初中数学八年级 上册 1.什么叫等腰三角形? 2.观察图中的等腰 ABC,分别说出它们的腰、底边、底角和顶角. 底边 顶角 ( ) ) 底角 底角 腰 腰 A B C 有两边相等的三角形叫等腰三角形. 【情境引入】 2.把等腰三角形沿顶角平分线折叠,你有何发现? A B C A D B(C) A B C D D 1.等腰三角形是轴对称图形吗? 等腰三角形是轴对称图形, 对称轴:顶角平分线所在直线. 或底边上的高所在直线. 或底边上的中线所在直线. A B C 则有∠1=∠2, D 1 2 在 ABD和 ACD中, 证明:作顶角的平分线AD, AB=AC, ∠1=∠2, AD=AD ∴ ABD≌ ACD (SAS), ∴ ∠B=∠C (全等三角形对应角相等). 已知:在 ABC中, AB=AC 求证: ∠B=∠C 4 重合的线段 重合的角 找出等腰三角形ABC 对折后重合的线段和角. AB=AC ∠B=∠C BD=CD ∠BAD=∠CAD AD=AD ∠ADB=∠ADC 定理:等腰三角形的两个底角相等. (等边对等角) 定理 等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合. (三线合一) A B C D 1 2 1.等腰三角形底边的顶角的平分线是中线,也是底边的高线 几何语言表述 3.等腰三角形底边上的高线是底边的中线,也是顶角平分线 2.等腰三角形底边上的中线是顶角平分线,也是底边的高线 6 B D A C 练习 1.如图.在 ABC中,如果AB=AC,那么∠_=∠_. 2.如图.在 ABC中, AB=AC,点D在BC上.如果∠BAD=∠CAD,那么AD⊥BC,BD=CD; 如果BD=CD,那么∠_=∠_, _⊥_; 如果AD⊥BC,那么_, _. 2.在 ABC中,AB=AC. (1) 如果∠B=70 ,那么∠C=_,∠A=_. (2) 如果∠A=70 ,那么∠B=_,∠C= _. (3)如果有一个角等于120 , 那么∠A=_ ,∠B=_ ,∠C =_ . (4)如果有一个角等于50 ,那么另两个角等于多少度? 70 40 55 55 120 30 30 若顶角为50 , 则另外两角为65 、65 若底角为50 , 则另外两角为50 、80 (3)等腰三角形的周长为10,一边长为4, 那么另外两边长为 . 3.(1)等腰三角形的两边长分别为3cm和6cm, 则它的周长为_. (2)等腰三角形的两边长分别为5cm和6cm, 则它的周长为 . 15cm 16cm或17cm 4、2或3、3 如图,在 ABC中,AB=AC,且BC=BD=AD, 求 ABC 各角的度数. AB=AC ∠B=∠C BC=BD 1 2 ∠1=∠2 BD=AD ∠A=∠2 ∠A+∠B+∠C=5∠A =180 【操作尝试】 用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC=a,高AD=h. 作法 : (1)作线段BC= a . (2)作线段BC的垂直平分线MN,MN交BC于点D. (3)在MN上截取线段DA,使 DA=h, (4)连接AB、AC. ABC就是所求作的三角形. 例1.如图,在 ABC中,AB=AC, 点D在BC上,且AD=BD,求证: ∠ADB=∠BAC. A B C D ∠ADB=180 -∠B-∠BAD ∠BAC=180 -∠B-∠C AB=AC ∠B=∠C AD=BD ∠B=∠BAD ∠ADB=180 -2∠B ∠BAC=180 -2∠B 4.如图, ABC中,AB=AC,AD=AE. 求证:BE=CD. E D C B A G 作AG⊥BC AB=AC AG⊥BC BG=CG 同理可得: EG=DG BG-EG=CG-DG BE=CD 5.如图,∠A=150,AB=BC=CD=DE=EF,则∠DEF等于( ) A.900 B.750 C.700 D.600 A B C D E F D 6.已知在 ABC中,AB = AC,O是 ABC内一点,且OB=OC. 判断AO与BC的位置关系. AO垂直平分BC ∵AB=AC,OB=OC ∴点A,点O在BC 的垂直平分线上 ∴AO垂直平分BC 问题:有两个角相等的三角形是等腰三角形吗? 定理:等腰三角形的两个底角相等. 如果三角形是等腰三角形 那么三角形的两个底角相等 已知:在 ABC中,∠B=∠C.求证:AB=AC. 证明:作∠BAC 的平分线 AD. 在 ABD和 ACD中, ∠B=∠C(已知), ∠BAD =∠CAD(辅助线画法), AD =AD(公共边) ∴ ABD≌ ACD(SAS). ∴AB =AC(全等三角形的对应边相等). D 定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形。(等角对等边) 在 ABC中, ∵ ∠B=∠C, ∴ AB=AC 几何语言表述: C B A 7. 已知:如图,∠EAC是 ABC的外角,AD平分∠EAC,AD∥BC.求证:AB=AC. 8、如图,在 ABC中,AB=AC,角平分线BD、CE相交于点O. ⑴OB与OC相等吗? A B C O E D ⑵BD与CE相等吗? ⑶如果将BD与CE变为高或中线,⑵中的结论还成立吗? 9. ABC中, ∠A=80 ,当∠C= _ 时, ABC是等腰三角形. 80 或50 或20 10.如图, ABC中,AB=AC, ∠C=2∠A,BD平分∠ABC.请找出图中其他等腰三角形. A B C D ABD、 BCD 11、如图,已知AB=AC,EB=EC, 结论∠ABE= ∠ACE是否正确?说明理由。 A B C E 12.如图,AB=AD, ∠ABC=∠ADC.BC与DC一定相等吗?为什么? A B C D 连接BD ∵AB=AD ∴∠ABD=∠ADB 又∠ABC=∠ADC ∴∠DBC=∠BDC ∴BC=DC 13.如图,在 ABC中,BC=5cm,BP,CP分 别是∠ABC 和∠ACB的角平分线 ,PD∥AB, PE∥AC ,则 PDE的周长是_cm A C B E D P 5 1 2 3 4 5 6 探索发现 问题2:等边三角形的三条边、三个内角、三条垂直平分线、三条内角分线、三条中线有什么关系? B A C 三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形. 问题1:等边三角形是等腰三角形吗? 等边三角形的性质 1.等边三角形是轴对称图形,有三条对称轴. 2 .等边三角形的三条边相等 3.等边三角形的各角都等于60 14、若等边三角形的一边长是5, 那么它的周长是_。 15、在 ABC中,∠A=∠B,如果∠A+∠B=2∠C, 那么 ABC是_。 16、在等边 ABC中,AD⊥BC于点D, 若AB=2,则BD=_。 15 等边三角形 1 等边三角形的判定方法: 1.三边相等的三角形是等边三角形. 2.三个内角都相等的三角形是等边三角形. 3.有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形. 1.任意剪出一张直角三角形纸片(如图1) 2.剪得的纸片是否能折成图2和图3的形状? 3.把纸片展开(如图4),你有什么发现? (3) (2) (1) A B C D (4) 定理: 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 几何语言: ∵在 ABC中,∠ACB=90 , 点D是AB的中点, ∴CD= AB . 17.(1)Rt ABC中,如果斜边AB 为4cm,那么斜边上的中线CD=_cm. (2)如图,在Rt ABC中,CD是斜边AB上的中线,DE⊥AC ,垂足为E. ①如果CD=2.4cm,那么AB= cm. ②写出图中相等的线段和角. 2 4.8 CD=BD=AD, ∠ACB=∠DEA=∠DEC=90 . CE=AE, ∠A=∠ACD, ∠B=∠BCD, 18.如图21-1,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中点M与点C被湖隔开.若测得AM的长为1.2 km,则M,C两点之间的距离为 ( ) A.0.5 km B.0.6 km C.0.9 km D.1.2 km D 图21-1 例2如图,Rt ABC,∠ACB=90 ,如果∠A=30 ,那么BC与AB有怎样的数量关系?试证明你的结论. 解:BC= AB. 证明:作斜边上的中线CD, ∵∠ACB=90 ,∠A=30 , ∴∠B=60 . ∵∠ACB=90 ,CD是斜边上的中线, ∴ ∴ BCD是等边三角形(有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形). ∴ . (直角三角形斜边 上的中线等于斜边的一半). 19.如图,在 ABC中,∠C=90 ,若∠A=30 ,AB=10,则BC= . 5 20.如图,在 ABC中,D是BC上一点,AD=AB,E,F分别是AC,BD的中点,AC=6,求EF的长. 21.如图所示,在 ABC中,∠ACB=90 ,∠A=30 ,CD⊥AB于点D,AB=4 cm,求BC,AD,BD的长及∠BCD的度数. 22.在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90 , M、N分别是AC、BD的中点,试说明: (1)MD=MB; (2)MN⊥BD. 23.等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为12cm和21cm两部分,则其底边长为_cm. 24.等腰三角形底边上的高是底边的一半,则它的顶角为_. 25.如图,在 ABC中,∠B=∠C=60 ,AD⊥BC于点D, E为AC的中点,CB=8,求DE的长. 26.如图在 ABC中,M,N分别是BC与EF的中点,CF⊥AB,BE⊥AC,证明:MN⊥EF. A B C F E N M A B C D E 27.如图,在 ABC中,∠C=900, ∠ABD=2∠EBC,AD∥BC, 求证:DE=2AB. F $$