1.3　勾股定理的应用 教案 2024-2025学年北师大版数学八年级上册

1.3　勾股定理的应用 教学目标： 1.学会用勾股定理及直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理）解决简单的实际问题. 2.能熟练运用勾股定理求最短距离. 3.在实际问题中构造直角三角形，提高建模能力，进一步深化对构造法和代数计算法的理解. 教学重点： 学会用勾股定理及直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理）解决简单的实际问题 教学难点： 能熟练运用勾股定理求最短距离. 教学过程： 一、情境导入 今早7：00，我从家出发，以100米/分的速度向西走5分钟，又以120米/分的速度向南走10分钟，到达学校. 1.早上老师共走了多少路程？ 500＋1200＝1700（米）. 2.家到学校的距离是多少？ 解：由勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝5002＋12002＝13002. 因为AC＞0，所以AC＝1300米. 二、探索新知 如图：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么爬最近？ 学生分为4人活动小组，合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论后，汇总各小组的方案，在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法，通过具体计算，总结出最短路线.让学生发现：沿圆柱体母线剪开后展开得到矩形，研究“蚂蚁怎么爬最近”就是研究两点连线最短问题，引导学生体会利用数学解决实际问题的方法. 学生汇总了四种方案： 学生很容易算出： 情形（1）中A→B的路线长为：AA'＋d， 情形（2）中A→B的路线长为：AA'＋. 所以情形（1）的路线比情形（2）要短. 学生在情形（3）和（4）的比较中出现困难，但还是有学生提出用剪刀沿母线AA'剪开圆柱得到矩形，情形（3）A→B是折线，而情形（4）是线段，故根据两点之间线段最短可判断（4）较短，最后通过计算比较（1）和（4）即可. 如图：（1）中A→B的路线长为：AA'＋d. （2）中A→B的路线长为：AA'＋A'B＞AB. （3）中A→B的路线长为：AO＋OB＞AB. （4）中A→B的路线长为：AB. 得出结论：利用展开图中两点之间线段最短解决问题.在这个环节中，可让学生沿母线剪开圆柱体，具体观察.接下来提问：怎样计算AB？ 在Rt△AA'B中，利用勾股定理可得AB2＝A'A2＋A'B2，若已知圆柱体高12cm，底面半径为3cm，π取3，则AB2＝122＋（3×3）2. ∴AB＝15cm. 做一做：李叔叔想要检测雕塑底座正面的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺. （1）你能替他想办法完成任务吗？ （2）李叔叔量得边AD长是30厘米，边AB长是40厘米，点B，D之间的距离是50厘米.边AD垂直于边AB吗？ （3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验边AD是否垂直于边AB吗？边BC与边AB呢？ 解：（1）能.办法：用卷尺量出AB，AD和BD的长度，计算AB2，AD2和BD2的值，若AB2＋AD2＝BD2，则根据勾股定理的逆定理可知∠BAD＝90°，即AD⊥AB.检测BC⊥AB同理. （2）∵AB2＋AD2＝402＋302＝2500，BD2＝2500， ∴AB2＋AD2＝BD2. ∴∠BAD＝90°. ∴边AD垂直于边AB. （3）能.办法：在AB边上量一小段AE＝8cm，在AD边上量一小段AF＝6cm，AE2＋AF2＝82＋62＝102，这时只要量一下EF是否等于10cm即可.边BC同理. 三、掌握新知 例　如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE＝3m，CD＝1m，试求滑道AC的长. 解：设滑道AC的长度为xm，则AB的长度为xm，AE的长度为（x－1）m. 在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，由勾股定理得AE2＋CE2＝AC2，即（x－1）2＋32＝x2，解得x＝5.故滑道AC的长度为5m. 四、巩固练习 1.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险.某日早晨8：00甲先出发，他以6km/h的速度向正东行走.1h后乙出发，他以5km/h的速度向正北行走.上午10：00，甲、乙两人相距多远？ 解：如图，A是甲、乙的出发点，10：00甲到达B点，乙到达C点. ∴AB＝2×6＝12（km），AC＝1×5＝5（km）. 在Rt△ABC中，BC2＝AC2＋AB2＝52＋122＝169＝132.又∵BC＞0，∴BC＝13km. ∴甲、乙两人相距13km. 2.如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离. 解： 如图，AB2＝152＋202＝625＝252.∵AB＞0，∴AB＝25.∴蚂蚁沿图中AB路线走最近，最近距离为25. 3.有一个高为1.5m，半径是1m的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5m，问这根铁棒有多长？（小孔边缘到油桶壁的距离忽略不计） 解：设这根铁棒伸入油桶中的长度为xm. 则当这根铁棒最长时：x2＝1.52＋22，解得x＝2.5， ∴这根铁棒最长是2.5＋0.5＝3（m）； 当这根铁棒最短时：x＝1.5， ∴这根铁棒最短是1.5＋0.5＝2（m）. 答：这根铁棒的长应在2 m～3 m之间. 4.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问：这个水池水的深度和这根芦苇的长度各是多少？ 解：如图.设这个水池水的深度AC是x尺，则这根芦苇的长度AD＝AB＝（x＋1）尺. 在直角三角形ABC中，BC＝5尺.由勾股定理，得BC2＋AC2＝AB2，即52＋x2＝（x＋1）2. 解得x＝12. ∴x＋1＝13. 答：这个水池水的深度是12尺，这根芦苇的长度是13尺. 五、归纳小结 1.解决实际问题的方法是建立数学模型求解. 2.在寻求最短路径时，往往把空间问题平面化，利用勾股定理及其逆定理解决实际问题. 六、布置作业 从教材习题1.4中选取. 通过观察图形，探索图形间的关系，培养学生的空间观念.在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.在利用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学学习的魅力. 学科网（北京）股份有限公司 $$