1.3勾股定理的应用（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（北师大版）

1.3 勾股定理的应用 主讲： 北师大版 八年级 上册 第1章 勾股定理 学习目标 1.应用“勾股定理”解决实际问题,体会把立体图形转化为平面图形，解决“最短路径”的问题;（重点） 2.会根据“勾股定理的逆定理”解决实际问题;（重点） 3.利用数学中的“建模思想”构造直角三角形解决实际问题.（难点） 新课导入 2.勾股定理的逆定理: 如果三角形的三边长a，b，c 满足 ，那么这个三角形是直角三角形. 3.勾股数：满足a2+b2=c2的三个 ， 称为勾股数. 1.勾股定理： 直角三角形两 的平方和等于 的平方.如果用a，b和 c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边， 那么 . 直角边 斜边 a2 + b2 = c2 a A B C b c 几何语言： 在△ABC中 ，∵ a2+b2=c2, ∴ △ABC是直角三角形，且∠C=90°. a2 +b2=c2 正整数 新课导入 如图，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面圆的周长为18cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到圆柱上与A点相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 新课讲授 探究一：确定立体图形中两点之间的最短距离 议一议：(1)自己做一个圆柱，尝试从点A到点B沿圆柱侧面画几条路线，你觉得哪条路线最短？ (2)如图，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，点A到点B的最短路线是什么？你画对了吗？ A B A B A B 新课讲授 最短路线 依据是什么？ (3)蚂蚁从点A出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 新课讲授 12cm 9cm ∵由勾股定理得AB2=122+92=225 ∴AB=15(厘米) ∴蚂蚁从点A出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是15 cm. 新课讲授 立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线. 知识归纳 确定立体图形中两点之间的最短距离 1.有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好建在A点的正上方点B处，问梯子最短需多少米?(已知油罐的底面半径是2 m，高AB是5 m，π取3） A B 新课讲授 A B A' B' 解：油罐的展开图如图，则AB'为梯子的最短距离. ∵AA'=2×3×2=12, A'B'=5, ∴AB'=13. 即梯子最短需13米. 展开 做一做：李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺. (1)你能替他想办法完成任务吗？ 新课讲授 探究二：应用勾股定理解决实际问题 解：(1)连接对角线AC，只要分别量出AB、BC、AC的长度即可. 若：AB2+BC2=AC2, △ABC为直角三角形, 同理可判断△ABD是否为直角三角形. 新课讲授 (2)李叔叔量得边AD长是30cm，边AB长是40cm，点B，D之间的距离是50cm.边AD垂直于边AB吗？ (2)边AD垂直于边AB. ∵在△ABD中，AD2+AB2=302+402=900+1600=2500=BD2， ∴△ABD是直角三角形，∠A是直角. ∴AD⊥AB. 30cm 40cm 50cm 新课讲授 (3)小明随身只有一个长度为20cm的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？ (3)在AD上取点M，使AM=9cm，在AB上取点N使AN=12cm， 9cm 12cm M N 只要测量MN是否是15cm，就可以判断是否垂直， 如果MN是15cm，AD边垂直于AB边； 如果MN不是15cm，AD边不垂直于AB边. 新课讲授 知识归纳 利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： （1）读懂题意，分析已知、未知间的关系； （2）构造直角三角形； （3）利用勾股定理等列方程； （4）解决实际问题. 数学问题 直角三角形 勾股定理 实际问题 转化 利用 解决 构造 1.如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE=3m，CD=1m，试求滑道AC的长. 新课讲授 故滑道AC的长度为5 m. 解：设滑道AC的长度为x m，则AB的长也为x m，AE的长度为（x-1）m. 在Rt△ACE中，∠AEC=90°， 由勾股定理得AE2+CE2=AC2， 即（x-1）2+32=x2， 解得x=5. 例1：我国古代数学中有这样一道数学题：有一棵枯树直立在地上，树高2丈，粗3尺，有一根藤条从树根处缠绕而上，缠绕7周到达树顶，请问这根藤条有多长？（注：枯树可以看成圆柱；数粗3尺指的是：圆柱底面周长为3尺，1丈=10尺） 典例分析 解：∵树可以近似看作圆柱，藤条绕树缠绕7周，可得到AC=3×7（尺）=21（尺），树高BC=20尺， 在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB²=BC²+AC²， ∴AB²=20²+21²=841， ∴AB=29， ∴这根藤条有29尺． A B D C O 例2：如图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4m. 如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗? 典例分析 解：在Rt△ABC中，根据勾股定理得 OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1， ∴OB=1， 在Rt△COD中，根据勾股定理得 OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15, ∴, ∴BD=OD-OB≈1.77-1≈0.77， ∴梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端并不是也外移0.5m，而是外移约0.77m. 2. 如图，王大伯家屋后有一块长12m，宽8m的矩形空地，他在以长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用（ ）A. 3m B. 5m C. 7m D. 9m 学以致用 1.校园内有两棵树，相距8米，一棵树高为13米，另一棵树高7米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞（ ）A. 10米 B. 11米 C. 12米 D. 13米 A A 4.如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它爬的最短距离为 . 3.如图,长方体的底面边长分别为2 cm和4 cm,高为5 cm.如果一根细线从点P开始经过四个侧面绕一圈到达点Q,那么所用细线最短需要 cm. 学以致用 13 25 5.如图，在一次夏令营中，小明从营地A出发，沿北偏东53°方向走了400m到达点B，然后再沿北偏西37°方向走了300m到达目的地C.求A、C两点之间的距离． 学以致用 解：如图，过点B作BE∥AD. ∴∠DAB＝∠ABE＝53°. ∵37°＋∠CBA＋∠ABE＝180°， ∴∠CBA＝90°， ∴AC2＝BC2＋AB2＝3002＋4002＝5002， ∴AC＝500m， 即A、C两点间的距离为500m. E 6.有一个高为1.5 m，半径是1 m的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5 m，问这根铁棒有多长？ 学以致用 解:设伸入油桶中的长度为x m,则最长时: 最短时, x=1.5 所以最长是2.5+0.5=3(m). 答:这根铁棒的长应在2～3 m之间. 所以最短是1.5+0.5=2(m). 解得：x=2.5 课堂小结 勾股定理的应用 应用勾股定理解决实际问题 (1)读懂题意，分析已知、未知间的关系； (2)构造直角三角形； (3)利用勾股定理等列方程； (4)解决实际问题. 确定立体图形中两点之间的最短距离 立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线. 作业布置 教材习题1.4 感谢聆听 $$