7.3.3 余弦函数的性质与图象课件-2024-2025学年高一数学人教B版（2019）必修第三册

第七章　三角函数 7.3.3　余弦函数的性质与图象 人教B版 数学 必修第三册 课程标准 1.理解余弦函数的性质,会求余弦函数的周期、单调区间及最值. 2.能正确使用“五点法”“图象变换法”作出余弦函数y=cos x和y=Acos(ωx+φ)的图象,能体会正弦曲线和余弦曲线的关系,并能利用余弦函数的图象和性质来解决相关的综合问题. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 基础落实·必备知识全过关 知识点1 余弦函数的性质与图象 1.余弦函数:对于　　　　　　　,　　　　　　　的余弦cos x与之对应,所以y=cos x是一个函数,一般称为　　　　　　.  2.余弦函数的性质与图象 性质与图象 y=cos x 定义域 　　　  值域 　　　  周期性 周期为　　　  奇偶性 　　　　函数  任意一个角x 都有唯一确定　 余弦函数 R [-1,1] 2π 偶 性质与图象 y=cos x 单调性 在区间　　　 　　(k∈Z)上单调递增;在区间　　　　(k∈Z)上单调递减  对称性 对称轴为　　　　　　  对称中心为　　　　　　　  零点 　　　　　　　(k∈Z)  图象 3.余弦曲线:函数　　　　　　称为余弦曲线. [-π+2kπ,2kπ] [2kπ,π+2kπ] x=kπ(k∈Z) D 解析 对于A,由f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=f(x),f(x)=|sin x|+cos x不是奇函数; 对于B,由f(-x)=|cos(-x)|+sin(-x)=|cos x|-sin x≠-f(x),f(x)=|cos x|+sin x不是奇函数; 对于C,由f(-x)=|sin(-x)|·cos(-x)=|sin x|·cos x=f(x),f(x)=|sin x|·cos x不是奇函数; 对于D,f(-x)=|cos(-x)|·sin(-x)=-|cos x|·sin x=-f(x),f(x)=|cos x|·sin x是奇函数.故选D. 过关自诊 1.下列函数中为奇函数的是(　　) A.f(x)=|sin x|+cos x B.f(x)=|cos x|+sin x C.f(x)=|sin x|·cos x D.f(x)=|cos x|·sin x 2.(多选题)对于余弦函数y=cos x的图象,有以下描述,其中正确的有(　　) A.余弦函数y=cos x的图象关于原点对称 B.与y=sin x的图象形状完全一样,只是位置不同 C.与x轴有无数个交点 D.关于y轴对称 BCD 3.[北师大版教材习题]函数y=1+cos x在区间　　　 　　上单调递增,在区间　　　　 　上单调递减;当x=　　　　　时,y取最大值　　　　　;当x=　　　 　　时,y取最小值　　　　　.  [2kπ-π,2kπ],k∈Z 　[2kπ,2kπ+π],k∈Z 2kπ,k∈Z 2 2kπ+π,k∈Z 0 知识点2 　余弦型函数y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质 函数 y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0) 定义域 R 值域 　　　,最小值为　　　,最大值为　　  周期性 周期T=　　　  奇偶性 当φ=　　　　　(k∈Z)时,函数为奇函数;  当φ=　　　(k∈Z)时,函数为偶函数;  当φ≠(k∈Z)时,函数为非奇非偶函数 [-A,A] -A A kπ 单调性 单调递增区间由(2k-1)π≤ωx+φ≤2kπ(k∈Z)求得; 单调递减区间由2kπ≤ωx+φ≤(2k+1)π(k∈Z)求得 对称性 对称中心的横坐标由ωx+φ=kπ+,k∈Z求得,纵坐标为0;对称轴方程由ωx+φ=kπ(k∈Z)求得 过关自诊 1.已知函数f(x)=sin(x- )(x∈R),下面结论错误的是(　　) A.函数f(x)是奇函数 B.函数f(x)的周期为2π C.函数f(x)在区间[0, ]上单调递增 D.函数f(x)的图象关于直线x=0对称 A 重难探究·能力素养全提升 探究点一　余弦函数的单调性 分析 先求出函数在定义域上的单调递减区间,再验证. B A.a>c>b B.c>b>a C.c>a>b D.b>c>a 分析 利用诱导公式将函数化到一个单调区间,再利用单调性比较. A 规律方法　1.余弦型函数单调区间的求法 (1)如果x的系数为负,则利用诱导公式变为正. (2)将ωx+φ看作整体,代入到余弦函数的单调区间解出x的取值范围. (3)若求具体的或一个范围内的单调区间,则给k赋值,即可求出符合条件的单调区间. 2.关于三角函数值比较大小 利用诱导公式,统一成正弦或余弦函数,统一化到一个单调区间内,利用单调性比较大小. 探究点二　余弦函数的奇偶性、对称性 分析 令2x- =kπ(k∈Z),解出x后验证. B (2)函数y=3cos 2x+4(x∈R)是(　　) A.周期为π的偶函数 B.周期为2π的偶函数 C.周期为π的奇函数 D.周期为2π的奇函数 分析 根据周期公式和偶函数的定义解题. A 解析 函数f(x)=3cos 2x+4,由于x∈R,f(-x)=3cos(-2x)+4=f(x),故函数为偶函数,周期为T= =π. 规律方法　关于余弦型函数y=Acos(ωx+φ)的对称问题 BC 探究点三　与余弦函数有关的值域问题 【例3】 求下列函数的值域. (1)y=-2cos x-1; 解 因为-1≤cos x≤1,所以-2≤-2cos x≤2. 所以-3≤-2cos x-1≤1. 所以y=-2cos x-1的值域为[-3,1]. 规律方法　求值域或最大值、最小值问题的一般依据及方法 (1)sin x,cos x的有界性,即0≤|sin x|≤1,0≤|cos x|≤1; (2)sin x,cos x的单调性,通常结合函数图象来解决; (3)通过换元转化为二次函数问题,换元时注意变量范围的一致性. 是　　　　　.  [-2,1] (2)求下列函数的值域. ①y=sin2x+2cos x-2; 解 ①y=sin2x+2cos x-2=-cos2x+2cos x-1=-(cos x-1)2. ∵-1≤cos x≤1,∴-4≤-(cos x-1)2≤0, ∴函数y=sin2x+2cos x-2的值域为[-4,0]. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A级 必备知识基础练 1.[探究点一]若a=sin 47°,b=cos 37°,c=cos 47°,则a,b,c的大小关系为 (　　) A.a>b>c B.b>c>a C.b>a>c D.c>b>a C 解析 由题意得sin 47°=sin(90°-43°)=cos 43°,所以b>a>c,故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.[探究点二]函数y=cos x在区间(π,3π)上的图象的对称轴是(　　) A.x=3π B.x= C.x=2π D.x=π C 解析 由余弦函数的性质可得函数y=cos x关于x=kπ,k∈Z对称,故函数y=cos x在区间(π,3π)上的图象的对称轴是x=2π.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 B 解析 当x=0时,取得最大值ymax=cos 0=1, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选题)[探究点二·2023河南新乡三模]已知函数f(x)=cos(ωx+φ) ACD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.[探究点一·2023上海浦东校级期中]函数y=3cos( +x)的单调递减区间为　　　　　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.[探究点三]函数y=sin2x-cos x+2,x∈[ ]的最大值是　　　　　.  3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)求函数f(x)图象的对称轴与对称中心; (2)求函数f(x)的单调递减区间; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 B级 关键能力提升练 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.[2023甘肃期末]关于函数f(x)=(1-sin x)(1+sin x)+2cos x,x∈[-π,π],有以下四个结论: ①f(x)是偶函数; ②f(x)在[-π,0]上单调递增,在[0,π]上单调递减; ③f(x)有且仅有1个零点; ④f(x)的最小值是-1,最大值是3. 其中正确结论的个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 其中所有正确结论的序号是　　　　　.  ②③④ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知函数f(x)=2cos ωx(ω>0),且函数y=f(x)的图象的两相邻对称轴间的 标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)的单调递减区间. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 C级 学科素养创新练 16.已知函数f(x)=2cos(2x+ ),x∈R. (1)求函数f(x)的单调递增区间; (2)将函数f(x)=2cos(2x+ )的图象向右平移m(m>0)个单位后所得函数g(x)的图象关于原点中心对称,求m的最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (+kπ,0)(k∈Z) kπ+ kπ+ 解析 f(x)=sin(x-)=-cos x,f(x)=-cos x是偶函数,A错误;f(x)=-cos x的周期T=2π,B正确;y=cos x在区间[0,]上单调递减,故f(x)=-cos x在区间[0,]上单调递增,C正确;f(x)=-cos x的图象关于直线x=0对称,D正确. 2.[北师大版教材习题改编]求函数y=cos(3x+)的单调区间. 解 由2kπ-π≤3x+≤2kπ(k∈Z),得≤x≤(k∈Z). 又由2kπ≤3x+≤2kπ+π(k∈Z),得≤x≤(k∈Z). 则函数的单调递增区间为[](k∈Z),单调递减区间为 [](k∈Z). 【例1】 (1)函数f(x)=5cos(3x+)的一个单调递减区间是(　　) A.[-] B.[-] C.[-] D.[-] 解析 f(x)=5cos(3x+), 由2kπ≤3x+≤π+2kπ(k∈Z), 得≤x≤(k∈Z). 令k=0,可得[-]是f(x)的一个单调递减区间. (2)设a=cos,b=sin,c=cos,则(　　) 解析 sin=sin(8π-)=-sin=sin=cos,cos=cos(2π-)=cos(-)=cos, 因为y=cos x在(0,)内单调递减, 所以cos>cos>cos,即a>c>b. 变式训练1(1)函数y=cos(-2x)的单调递增区间是　　　　　 　　　.  [-+kπ,+kπ],k∈Z 解析 函数y=cos(-2x)=cos(2x-),令-π+2kπ≤2x-≤2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以函数y=cos(2x-)的单调递增区间是[-+kπ,+kπ],k∈Z. (2)[人教A版教材例题]比较cos(-)与cos(-)的大小. 解 cos(-)=cos=cos,cos(-)=cos=cos. 因为0<<π,且函数y=cos x在区间[0,π]上单调递减,所以cos>cos,即cos(-)>cos(-). 【例2】 (1)函数y=3cos(2x-)图象的一条对称轴可以是(　　) A.x=- B.x= C.x=- D.x= 解析 令2x-=kπ(k∈Z),解得x=(k∈Z),当k=1时,函数曲线的一条对称轴可以是x=. (3)已知φ是常数,如果函数y=5cos(x+φ)的图象关于点中心对称,那么|φ|的最小值为　　　　　.  分析 将代入函数,令+φ=+kπ(k∈Z)表示出φ. 解析 函数的图象关于点中心对称,所以f=5cos =5cos=0,即+φ=kπ+(k∈Z),解得φ=kπ-(k∈Z),当k=0时,φ=-. 当k=1时,φ=,所以|φ|的最小值为. (1)令ωx+φ=kπ,k∈Z可解出对称轴,令ωx+φ=+kπ,k∈Z可解出对称中心. (2)若已知直线x=α是函数图象的对称轴或(α,0)是函数图象的对称中心,则代入α,得ωα+φ=kπ,k∈Z或+kπ,k∈Z,可求ω或φ. (3)特别地,当φ=kπ,k∈Z时,函数为偶函数;当φ=+kπ,k∈Z时,函数为奇函数. 变式训练2(1)(多选题)[2023山东泰安期末]关于函数f(x)=4cos(2x-)(x∈R),下列说法正确的是(　　) A.y=f(x)是以2π为最小正周期的周期函数 B.y=f(x)的表达式可改写为y=4sin(2x+) C.y=f(x)的图象关于点(-,0)对称 D.y=f(x)的图象关于直线x=对称 解析 f(x)=4cos(2x-)的最小正周期T==π,A错误; 4cos)2x-)=4cos(2x+)=4sin(2x+),B正确; 因为f(-)=4cos(-)=0,所以y=f(x)的图象关于点(-,0)对称,C正确; 因为f()=4cos=0,所以y=f(x)的图象不关于直线x=对称,D错误.故选BC. (2)若函数f(x)=cos是奇函数,其中φ∈[0,π],则φ=　　　　　.  解析 因为函数f(x)=cos是奇函数,可得f(0)=cos φ=0,则φ=+kπ,k∈Z.又φ∈[0,π],则φ=. (2)y=2cos,x∈; 解 因为-<x<,所以0<2x+. 所以-<cos<1. 所以y=2cos,x∈的值域为(-1,2). (3)y=. 解 y=-1. 因为1≤2+cos x≤3,所以≤4. 所以-1≤3. 所以y=的值域为. 变式训练3(1)[2023天津河西期末]函数y=2cos(2x-)在x∈[]的值域 解析 对于函数y=2cos(2x-),当x∈[]时,2x-∈[],cos(2x-)∈[-1,],故函数y=2cos(2x-)的值域是[-2,1]. ②y=sin2x-cos x,x∈. ②y=sin2x-cos x=1-cos2x-cos x=-(cos x+)2+.∵-≤x≤,∴≤cos x≤1, ∴当x=±,即cos x=时,ymax=; 当x=0,即cos x=1时,ymin=-1. 故函数y=sin2x-cos x,x∈的值域为. π 3.[探究点三]函数y=cos x,x∈[-]的值域是(　　) A.[-1,1] B.[,1] C.[-,1] D.[0,1] 又由最小值cos(-)=cos,所以函数的值域为[,1].故选B. 4.(多选题)[探究点三·2023浙江上城校级期末]已知函数f(x)=cos(x+),若f(x)在[0,a]上的值域是[-1,],则实数a的可能取值为(　　) A. B. C. D. 解析 f(x)=cos(x+),因为x∈[0,a],所以x+∈[,a+]. 又因为f(x)的值域是[-1,],所以a+∈[π,], 可知a的取值范围是[].故选BC. (0<ω<10,0<φ<π)图象的一个对称中心是A(,0),点B(0,)在f(x)的图象上,则 (　 　) A.f(x)=cos(2x+) B.直线x=是f(x)图象的一条对称轴 C.f(x)在[]上单调递减 D.f(x+)是奇函数 [kπ-,2kπ+]k∈Z 解析 对于函数y=3cos+x)令2kπ≤x+≤2kπ+π,k∈Z,求得2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z,可得函数的单调递减区间为[kπ-,2kπ+]k∈Z. 解析 y=sin2x-cos x+2=1-cos2x-cos x+2=-cos2x-cos x+3=-(os2x+cos x+)3=-(os x+)+. 因为≤x≤,0≤cos x≤,所以当x=,cos x=0时,函数y=sin2x-cos x+2取得最大值3. 解 (1)由2x-=kπ,k∈Z,得x=,k∈Z, ∴函数f(x)图象的对称轴为x=,k∈Z, 由2x-+kπ,k∈Z,得x=,k∈Z, ∴函数f(x)图象的对称中心为(,0)k∈Z. 8.[探究点一、二、三·2023广西钦南校级期中]已知函数f(x)=2cos(2x-). (3)求函数f(x)在区间[-]上的值域. (2)由2kπ≤2x-≤2kπ+π,k∈Z,得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,∴函数f(x)的单调递减区间是[kπ+,kπ+],k∈Z. (3)当-≤x≤时,-≤2x-, ∴-≤cos(2x-)≤1, ∴-≤2cos(2x-)≤2, 故函数f(x)在区间[-]上的值域为[-,2]. 9.[2023河南模拟]已知函数f(x)=2cos(-3x),x∈[-],则f(x)的单调递增区间是(　　) A.[-,0] B.[-] C.[-,-),[] D.[-],[] 10.[2023黑龙江漠河校级期末]函数y=1-cos)2x+)的值域是　　　　　.  [] 解析 函数y=1-cos(2x+),当cos(2x+)=1时,函数取最小值为,当cos(2x+)=-1时,函数取最大值为.故函数的值域为[]. 12.[2023浙江嘉兴期末]若函数f(x)=cos(2x+)+a在区间[0,]上有3个零点,则实数a的取值范围是　　　　　.  [-) 解析 f(x)=cos(2x+)+a=0⇒a=-cos(2x+)=cos(2x-),由函数f(x)=cos(2x+)+a在区间[0,]上有3个零点,可以转化为直线y=a和函数y=cos(2x-)在[0,]上有三个不同的交点, 因为x∈[0,],所以2x-∈[-], 当2x-∈[-,0]时,即当x∈[0,]时,函数y=cos(2x-)单调递增,当2x-∈[0,π]时,即当x∈[]时,函数y=cos(2x-)单调递减,当2x-∈[π,2π]时,即当x∈[]时,函数y=cos(2x-)单调递增,当2x-∈[2π,]时,即当x∈[]时,函数y=cos(2x-)单调递减,所以函数y=cos(2x-)在[0,]上的函数图象如下图所示: 因此要想直线y=a和函数y=cos(2x-)在[0,]上有三个不同的交点, 只需-≤a<,即实数a的取值范围是[-). 13.设函数f(x)=cos+1,有以下结论: ①点是函数f(x)图象的一个对称中心; ②直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴; ③函数f(x)的周期是π; ④将函数f(x)的图象向右平移个单位后,对应的函数是偶函数. 距离为. (1)求f的值; (2)将函数y=f(x)的图象向右平移个单位后,再将得到的图象上各点的横坐 解 (1)由题知f(x)的周期T=π,故=π,所以ω=2. 所以f(x)=2cos 2x.所以f=2cos. (2)将y=f(x)的图象向右平移个单位后,得到y=2cos的图象,再将所得图象上各点的横坐标变为原来的4倍,纵坐标不变,得到y=2cos的图象, 所以g(x)=2cos. 当2kπ≤≤2kπ+π(k∈Z), 即4kπ+≤x≤4kπ+(k∈Z)时,g(x)单调递减, 因此g(x)的单调递减区间为[4kπ+,4kπ+](k∈Z). 15.[2023辽宁鞍山月考]已知函数f(x)=cos(2x+). (1)求函数f(x)图象的对称中心以及函数的单调递减区间; (2)若β∈(0,π),f()=-,求角β的大小. 解 (1)函数f(x)=cos(2x+), 令2x+=kπ+,整理得x=, 所以函数的对称中心为(,0)(k∈Z). 令2kπ≤2x+≤2kπ+π(k∈Z), 整理得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z), 故函数的单调递减区间为[kπ-,kπ+](k∈Z). (2)由于f()=cos(β+)=-,且β∈(0,π),故β+∈{},所以β+,整理得β=. 解 (1)由余弦函数的单调性,解不等式2kπ+π≤2x+≤2kπ+2π,k∈Z,得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以函数f(x)的单调递增区间为[+kπ,+kπ],k∈Z. (2)函数f(x)=2cos(2x+)的图象向右平移m(m>0)个单位,得到图象对应的函数为g(x)=2cos(2x+-2m), 则g(x)是奇函数,g(0)=2cos(0+-2m)=0, 即-2m=kπ+,k∈Z,则m=-,k∈Z, 因为m>0,所以当k=-1时,mmin=. $$