7.3.4 正切函数的性质与图象课件-2024-2025学年高一数学人教B版（2019）必修第三册

第七章　三角函数 7.3.4　正切函数的性质与图象 人教B版 数学 必修第三册 课程标准 1.能画出正切函数的图象. 2.会利用y=tan x的性质确定与正切函数有关的函数性质. 3.会利用正切函数的单调性比较函数值大小. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 基础落实·必备知识全过关 知识点1 正切函数的性质与图象 1.对于任意一个角x,只要　　　　　　,就有　　　　　　的正切值tan x与之对应,因此y=tan x是一个函数,称为　　　　　　.  2.正切函数的性质 函数 y=tan x 定义域 　　　　 　　　　  值域 　　　  周期 周期为　　　  奇偶性 　　　  单调性 在每一个开区间　　　　　　　　上都是单调递增的  零点 　　　　(k∈Z)  唯一确定 正切函数 R π 奇函数 kπ 3.正切函数的图象 (1)正切函数的图象: (2)正切曲线:y=tan x的函数图象称为　　　　　　　.正切曲线是中心对称图形,其对称中心为( ,0)(k∈Z).  注意正切函数的对称中心不仅仅是图象与x轴的交点 正切曲线 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)函数y=tan x在其定义域上是增函数.(　　) (2)函数y=tan x的图象的对称中心是(kπ,0)(k∈Z).(　　) (3)函数y=tan 2x的周期为π.(　　) × × × 2.[人教A版教材习题]求函数y=tan 3x的定义域. 知识点2 正切型函数y=Atan(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的性质 1.定义域:将ωx+φ视为一个整体,令ωx+φ≠kπ+ ,k∈Z,解得x. 2.值域:　　　　.  3.周期性:周期　　　　.  4.奇偶性:当　　　　(k∈Z)时为奇函数,否则,不具备奇偶性.  5.单调性:将　　　　视为一个整体,若ω<0,一般先用诱导公式化为ω>0,使x的系数为正值,然后求单调区间.  R ωx+φ 过关自诊 重难探究·能力素养全提升 探究点一　正切函数的定义域、周期性、对称中心 【例1】 [北师大版教材习题]求下列函数的定义域、周期: (2)y=tan 4x; C 变式训练1(1)[2023河北桃城校级一模]已知f(x)=2tan(ωx+φ)(ω>0, D A 探究点二　正切函数单调性问题 【例3】 (1)求函数y=tan 的单调区间. 分析 由于x的系数小于零,故应将其进行变形,化为系数为正,再根据正切函数单调性求解. (2)[北师大版教材例题]比较下列各组中三角函数值的大小: 分析 可利用正切函数单调性进行比较. 规律方法　求正切型函数单调区间的方法 求y=Atan(ωx+φ)的单调区间,只需令kπ- <ωx+φ<kπ+ (k∈Z)解出x即可,但ω<0时,应用诱导公式化为正的,还要注意A的正负对单调性的影响. B (2)若函数y=tan ωx在 上单调递减,则实数ω的取值范围是　　　　　.  (-2,0) 探究点三　求函数的值域 分析利用换元法,将原函数化为二次函数的形式来解决. 规律方法　换元法求值域的关注点 使用换元法求函数值域时,一定要注意换元后自变量的取值范围. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A级 必备知识基础练 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.[探究点一·2023陕西宝鸡期末]已知函数f(x)=2tan( )-1,则f(x)图象的对称中心为　 .  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 　　　　　(填“>”或“<”).  > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.[探究点一、二·2023北京通州期末]已知函数 . (1)求函数f(x)的定义域; (2)求函数f(x)的最小正周期; (3)求函数f(x)的单调区间. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.[探究点三]求函数y=-tan2x+2tan x+5,x∈[- )的值域. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 B级 关键能力提升练 10.函数f(x)=sin xtan x(　　) A.是奇函数 B.是偶函数 C.是非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 B 由f(-x)=sin(-x)tan(-x)=(-sin x)(-tan x)=sin xtan x=f(x),则f(x)是偶函数.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 BD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.下列6个函数:①y=|sin x|,②y=sin|x|,③y=|cos x|,④y=cos|x|,⑤y=|tan x|,⑥y=tan|x|,其中周期为π的偶函数的编号为　　　　　.  ①③⑤ 解析 ①y=|sin x|,②y=sin|x|,③y=|cos x|,④y=cos|x|,⑤y=|tan x|,⑥y=tan|x|都是偶函数, 由函数的图象(图略), 可知y=|sin x|,y=|cos x|,y=|tan x|的周期都是π, y=sin|x|,y=tan|x|不是周期函数, y=cos|x|=cos x,周期为2π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知f(x)=atan -bsin x+4(其中a,b为常数,且ab≠0),若f(3)=5,则f(2 018π-3)=　　　　　.  3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.下面说法中,正确的序号是　　　　　.  ②③④ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 C级 学科素养创新练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 x≠+kπ,k∈Z (kπ-,kπ+)(k∈Z) 解 由3x≠kπ+,k∈Z,得x≠,k∈Z, 所以函数的定义域为{x|x≠,k∈Z}. T= φ= 解析 由题意可知,2x++kπ,k∈Z,所以定义域为. 1.函数y=3tan的周期是　　　,单调区间是　　 　　　.  2.函数f(x)=tan(2x+)的定义域是　　 　　　.  (k∈Z) 3.函数y=tan(2x+)的对称中心是　　　　 　.  (-,0),k∈Z 解析 令2x+,k∈Z, 则x=-,k∈Z,所以函数y=tan(2x+)的对称中心是(-,0),k∈Z. (1)y=tan(x-); 解 由x-≠kπ+,k∈Z,得x≠kπ+,k∈Z,所以定义域为{x|x≠kπ+,k∈Z},周期为π. (3)y=tan(x+). 解 由4x≠kπ+,k∈Z,得x≠,k∈Z,所以定义域为{x|x≠,k∈Z},周期为. 解 由x+≠kπ+,k∈Z,得x≠2kπ+,k∈Z,所以定义域为{x|x≠2kπ+,k∈Z},周期为2π. 【例2】 [2023山东潍坊期中]函数f(x)=tan(2x-)图象的一个对称中心是 (　　) A.(-,0) B.(,0) C.(,0) D.(0,0) 解析 令2x-,k∈Z,解得x=,k∈Z,结合选项可知,C符合题意,故选C. 规律方法　1.求与正切函数有关的函数的定义域时,除了要满足函数定义域的一般要求,还要保证正切函数y=tan x有意义,即x≠+2kπ,k∈Z. 2.一般地,函数y=Atan(ωx+φ)的周期为T=,常常利用此公式来求周期. 3.正切函数y=tan x的对称中心为(,0)(k∈Z). |φ|<),f(0)=,周期T∈(),(,0)是f(x)的对称中心,则f()的值为(　　) A.- B. C. D.- 解析 ∵f(x)=2tan(ωx+φ)(ω>0,|φ|<),f(0)=2tan φ=,∴tan φ=,又|φ|<, ∴φ=,f(x)=2tan(ωx+). ∵周期T=∈(),∴<ω<4. 再根据(,0)是f(x)的对称中心,可得,k∈Z,即ω=3k-1,k∈Z, ∴ω=2,f(x)=2tan(2x+), 则f()=2tan=-2tan=-,故选D. (2)函数f(x)=的定义域为(　　) A. B. C. D. 解析 由题意得k∈Z, 所以x≠(k∈Z). 解 y=tan=-tan(x-),则由kπ-x-<kπ+(k∈Z)得2kπ-<x<2kπ+(k∈Z),所以函数y=tan的单调递减区间是(2kπ-,2kπ+)(k∈Z). ①tan(-)与tan;②tan()与tan(-). 解 ①tan(-)=-tan=-tan(-+π)=-(-tan)=tan,tan=tan(+π)=tan. 由于y=tan x在区间(0,)内单调递增,且0<,因此tan<tan,即tan(-)<tan. ②tan(-)=-tan=-tan(3π+)=-tan, Tan(-)=-tan=-tan(+3π)=-tan. 由于y=tan x在区间(0,)内单调递增,且0<,因此tan<tan,-tan>-tan, 即tan(-)>tan(-). 变式训练2(1)函数f(x)=tan(2x-)的单调递增区间为(　　) A.()(k∈Z) B.()(k∈Z) C.(kπ-,kπ+)(k∈Z) D.(kπ+,kπ+)(k∈Z) 解析 令-+kπ<2x-+kπ,k∈Z,解得-<x<,k∈Z. 故选B. [-] 解析 由题得,解得-2<ω<0,即ω∈(-2,0). 【例4】 求函数y=tan2x-2tan x的值域. 解 令u=tan x.因为|x|≤, 所以由正切函数的图象(图略)知u∈[-]. 所以原函数可化为y=u2-2u,u∈[-]. 所以当u=1时,ymin=12-2×1=-1. 当u=-时,ymax=3+2. 所以f(x)的值域为[-1,3+2]. 变式训练3(1)函数y=tan(),x∈(0,][值域是　　　　.  (1,] 解析 由x∈(0,],所以∈(],可得1<y≤. (2)已知-≤x≤,f(x)=tan2x+2tan x+2,求f(x)的最值及相应的x值. 解 令t=tan x,因为-≤x≤,所以-≤tan x≤1,所以t∈[-,1], y=t2+2t+2=(t+1)2+1. 当t=-1,即x=-时,f(x)有最小值1;当t=1,即x=时,f(x)有最大值5. 1.[探究点二·2023福建漳州期末]函数y=tan(x+)的单调递增区间是(　　) A.(-+2k,+2k),k∈Z B.(-+k,+k),k∈Z C.(-+k,+k),k∈Z D.(-+2k,+2k),k∈Z 2.[探究点一·2023浙江宁波期末]函数y=2tan(3x+)的定义域是(　　) A.{x|x≠+kπ,k∈Z} B.{x|x≠+kπ,k∈Z} C.{x|x≠,k∈Z} D.{xx≠,k∈Z} 解析 由3x+≠kπ+,解得x≠,k∈Z, 所以函数的定义域是{x丨x≠,k∈Z}.故选D. 3.[探究点一、二]下列关于函数y=tan(x+)的说法正确的是(　　) A.在区间(-)内单调递增 B.最小正周期是2π C.图象关于点(,0)成中心对称 D.图象关于直线x=对称 4.(多选题)[探究点二·2023湖南新化期末]下列选项中,是函数y=tan(x+)的单调递增区间的有(　　) A.(-) B.(-) C.() D.(,2π) 解析 令kπ-<x+<kπ+,k∈Z,可得kπ-<x<kπ+,k∈Z,函数y=tan(x+)的单调递增区间为(kπ-,kπ+),k∈Z,令k=0,函数y=tan(x+)的单调递增区间为(-),B正确; 令k=1,函数y=tan(x+)的单调递增区间为(),C正确,A,D明显错误.故选BC. 5.(多选题)[探究点一·2023江西昌江校级期中]函数y=2tan(x-)图象的对称中心可以是(　　) A.(0,0) B.(,0) C.(,0) D.(2π,0) 解析 对于函数y=2tan(x-), 令x-,k∈Z,求得x=,k∈Z, 可得函数图象的对称中心为(,0),k∈Z,故选BC. (kπ+,-1),k∈Z 解析 函数f(x)=2tan()-1,由kπ,k∈Z,得x=kπ+,k∈Z,故图象的对称中心为(kπ+,-1),k∈Z. 7.[探究点二·北师大版教材习题改编]tan(-)与tan(-)的大小关系是 解析 因为y=tan x在(-,0)内单调递增,且->-,所以tan(-)>tan(-). f(x)=tan(x+) (2)最小正周期为=2π. (3)令kπ-x+<kπ+,k∈Z,得2kπ-<x<2kπ+,k∈Z,可得函数的单调递增区间为(2kπ-,2kπ+),k∈Z;没有单调递减区间. 解 (1)由函数f(x)=tan(x+)可得x+≠kπ+,k∈Z,则x≠2kπ+,k∈Z,故函数 的定义域为{x丨x≠2kπ+,k∈Z}. 解 令t=tan x,因为x∈[-),所以t=tan x∈[-),所以y=-t2+2t+5=-(t-1)2+6,图象开口向下,图象对称轴为t=1,所以t=1时,y取最大值6,t=-时,y取最小值2-2,所以函数y=-tan2x+2tan x+5,x∈[-)的值域为[2-2,6]. 解析 定义域为,关于原点对称. 11.[2023陕西榆阳校级期中]已知函数f(x)=tan(ωx+φ)(ω≠0,|φ|<),点(,0)和(,0)是其图象上相邻的两个对称中心,且在区间()内单调递减,则φ=(　　) A. B. C.- D. 12.(多选题)已知函数f(x)=tan(2x+)-1,则(　　) A.f(x)的周期为π B.f(x)的定义域为{x|x≠,k∈Z} C.f(x)的图象关于(-,0)对称 D.f(x)在()内单调递增 解析 f(3)=atan-bsin 3+4=5,所以atan-bsin 3=1. f(2 018π-3)=atan-bsin(2 018π-3)+4=atan-bsin(-3)+4 =-atan+bsin 3+4=-+4=-1+4=3. 故f(2 018π-3)=3. ①y=的周期是; ②终边在坐标轴上的角的集合是; ③y=4tan的图象向右平移个单位,可得y=4tan 2x的图象; ④函数f(x)=3tan在区间内单调递增. 16.设函数f(x)=asin(kx+),φ(x)=btan(kx-),k>0.若它们的周期之和为,且f()=φ(),f()=-φ()+1,求f(x),φ(x)的解析式. 解 f(x)=asin(kx+)的周期T=. φ(x)=btan(kx-)的周期T=. ∵,∴k=2. ∴f(x)=asin(2x+),φ(x)=btan(2x-), ∴f()=asin(π+)=-asin=-a, Φ()=btan(π-)=-btan=-b, f()=asin()=acosa, φ()=btan()=b. ∴ 化简得解得 ∴f(x)=sin(2x+),φ(x)=tan(2x-). $$