7.3.5 已知三角函数值求角课件-2024-2025学年高一数学人教B版（2019）必修第三册

第七章　三角函数 7.3.5　已知三角函数值求角 人教B版 数学 必修第三册 课程标准 1.理解符号arcsin x,arccos x,arctan x的意义. 2.已知一个三角函数值,能合理地表示出与它对应的角. 3.会用信息技术求角. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 基础落实·必备知识全过关 知识点1 利用三角函数线求角 如图所示,圆O为单位圆,分别写出α的正弦线、余弦线与正切线. (1)正弦线为　　　;  (2)余弦线为　　　;  (3)正切线为　　　　. 过关自诊 [2023安徽高二课时练习]若sin x= ,则在区间[0,2π]上解的个数为(　　)　　　　　　　　　　　　　 A.1 B.2 C.3 D.4 B 知识点2 用信息技术求角 1.任意给定一个y∈[-1,1],当sin x=y且x∈　　　　　时,通常记作　　　　　.  2.在区间　　　　　　内,满足cos x=y(y∈[-1,1])的x只有一个,这个x记作arccos y,即　　　　　　.  3.在区间　　　　　　内,满足tan x=y(y∈R)的x只有一个,这个x记作 arctan y,即　　　　　.  x=arcsin y [0,π] x=arccos y x=arctan y 过关自诊 (1)arcsin(-1)=　　　　;  重难探究·能力素养全提升 探究点一　已知正弦值求角 分析借助正弦函数的图象及所给角的范围求解. 规律方法　已知正弦值求角的解题策略 给值求角,由于范围不同,所得的角可能不同,一定要注意范围条件的约束作用.对于sin x=a(x∈R),-1≤a≤1,这个方程的解可表示成x=2kπ+arcsin a(k∈Z)或x=2kπ+π-arcsin a(k∈Z).从而方程的解集为{x|x=kπ+(-1)karcsin a,k∈Z}. ②当x∈[0,π]时,求x的取值集合; ③当x∈R时,求x的取值集合. (2)[北师大版教材习题]求下列函数的定义域: 探究点二　已知余弦值求角 【例2】 已知cos x= . (1)若x∈[0,π],求x; (2)若x∈[0,2π],求x. 分析借助余弦函数的图象及所给角的范围求解即可. 规律方法　已知余弦值求角的解题策略 cos x=a(-1≤a≤1),当x∈[0,π]时,则x=arccos a,当x∈R时,可先求得[0,2π]上的所有解,再利用周期性可求得. 变式训练2[人教A版教材习题]根据正弦函数、余弦函数的图象,写出使下列不等式成立的x的取值集合: 探究点三　已知正切值求角 (2)当x为三角形的一个内角时,求角x的值. 分析先求出满足tan α= 的锐角α,再由诱导公式转换得出. 规律方法　对于已知正切值求角有如下规律: 变式训练3[北师大版教材习题]观察正切曲线,写出满足下列条件的x的取值范围: (1)tan x>0;(2)tan x=0;(3)tan x<0. (2){x|x=kπ,k∈Z}. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A级 必备知识基础练 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 AB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 BD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6.[探究点二]若x= 是方程2cos(x+α)=1的解,其中α∈(0,2π),则角α=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7.[探究点一、二·北师大版教材习题]根据正弦函数的图象,写出使下列不等式成立的x的取值范围: 图1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 图2 图3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 图4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.若0<x<2π,则满足5sin2x-4=0的x值有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 B级 关键能力提升练 D 第一、二象限,当sin x<0时,x的值也有两个,分别在第三、四象限.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12.[2023江苏高一课时练习]函数y= 的定义域为 　　 　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13.[2023山东滕州校级期末]函数y=lg(sin x)+ 的定义域为　　　　　　 　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.设sin θ,cos θ是方程4x2-4mx+2m-1=0的两个根, <θ<2π,求m和θ的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 C级 学科素养创新练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析 因为sin x=,所以x=+2kπ,k∈Z或x=+2kπ,k∈Z. 又因为x∈[0,2π],所以x=或x=. 又sin x=,则在区间[0,2π]上解的个数为2.故选B. [-] (-) (2)arccos=　　　　;  (3)arctan=　　　　.  - 【例1】 求下列范围内适合sin x=的x的集合. (1)x∈;(2)x∈[0,2π];(3)x∈R. 解 (1)在上适合sin x=的角x只有一个,即x=. 这时,适合sin x=的x的集合为. (2)当x∈[0,2π]时,由诱导公式sin(π-x)=sin x=及sin=sin,可知x1=,x2=.这时,适合sin x=的x的集合为. (3)当x∈R时,据正弦函数的周期性可知x=2kπ+(k∈Z)或x=2kπ+(k∈Z)时,sin x=,则所求的x的集合是={x|x=(-1)k·+kπ,k∈Z}. 变式训练1(1)已知sin x=. ①当x∈时,求x的取值集合; 解 ①∵y=sin x在上单调递增,sin x=,∴满足条件的角只有x=arcsin,因此x的取值集合为. ②∵sin x=>0,x∈[0,π],∴x为第一或第二象限角,且sin x=sin(π-x)=. ∴在[0,π]上符合条件的角有x=arcsin或x=π-arcsin,因此x的取值集合为或x=π-. ③当x∈R时,x的取值集合为{x|x=2kπ+arcsin,k∈Z或x=2kπ+π-arcsin,k∈Z},即{x|x=kπ+(-1)karcsin,k∈Z}. ①y=;②y=. 解 ①由题意得1+2sin x≠0,解得x≠2kπ+且x≠2kπ-,k∈Z. 故函数的定义域为{x|x≠2kπ-且x≠2kπ+,k∈Z}. ②由题意得+sin x≥0,解得2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z. 故函数的定义域为{x|2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z}. - 解 (1)适合cos x=的锐角为, 因为cos x=-<0,x∈[0,π],所以角x为钝角. 又cos=-cos=-,所以x=π-. (2)适合cos x=的锐角为, 因为cos x=-<0,x∈[0,2π], 所以角x为第二象限的角或第三象限的角. 又cos=cos=-cos=-. 所以x=π-或x=π+. 故适合cos x=-,x∈[0,2π]的角x为. (1)sin x≥(x∈R); (2)+2cos x≥0(x∈R). 解 (1){x|+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z}. (2){x|-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z}. 【例3】 已知tan x=-. (1)当x∈时,求角x的值; 解 (1)因为tan x=-<0,x∈,所以x∈,可得x=-. (2)因为tan x=-<0,且x为三角形内角,所以x∈,可得x=π-. tan x=a (a∈R) x∈ x∈[0,2π] x=arctan a a≥0 a<0 x1=arctan a, x2=π+arctan a x1=π+arctan a, x2=2π+arctan a 解 (1){x|kπ<x<+kπ,k∈Z}. (3){x|-+kπ<x<kπ,k∈Z}. 1.[探究点二]设α∈(-π,π),且cos α=-,则α=(　　) A.- B.- C.- D.- 解析 因为α∈(-π,π),且cos α=-,所以α=-.故选A. 2.[探究点一]使不等式-2sin x≥0成立的x的取值集合是(　　) A. B. C. D. 解析 -2sin x≥0,解得sin x≤,利用单位圆解得2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z. 3.(多选题)[探究点二]已知cos x=-,0<x<,则x等于(　　) A. B. C. D. 解析 ∵x∈(0,)且cos x=-, ∴x∈(),∴x=或x=. 4.(多选题)[探究点三·2023贵州毕节高一统考期末]已知sin(π-θ) =sin(-θ),θ∈(0,2π),则θ可能等于(　　) A. B. C. D. 解析 ∵sin(π-θ)=sin(-θ)=sin(1 010π+-θ)=sin(-θ), 故sin θ=-cos θ,即tan θ=-, 又θ∈(0,2π),故θ=或θ=.故选BD. 5.[探究点二]arccos=　　　　　.  解析 ∵cos=cos,且cos∈[0,1], ∴arccos=arccos. 解析 由条件可知2cos(α+)=1,即cos(α+)=, 所以α+=2kπ±(k∈Z).因为α∈(0,2π),所以α=. (1)2sin x-≤0; (2)+2sin x>0; (3)2cos x-1≤0; (4)+2cos x>0. 解 (1)由2sin x-≤0,得sin x≤,画出正弦函数的图象,如图1. 由图象得不等式的解集为[2kπ-,2kπ+](k∈Z). (2)由+2sin x>0,得sin x>-,画出正弦函数的图象,如图2. 由图象得不等式的解集为(2kπ-,2kπ+)(k∈Z). (3)由2cos x-1≤0,得cos x≤,画出余弦函数的图象,如图3.由图象得不等式的解集为[2kπ+,2kπ+](k∈Z). (4)由+2cos x>0,得cos x>-. 画出余弦函数的图象,如图4. 由图象得不等式的解集为(2kπ-,2kπ+)(k∈Z). 解析 由题意可得sin2x=,则sin x=±,当sin x>0时,x的值有两个,分别在 9.(多选题)[2023辽宁高三开学考试]若cos(3x+)=,则x可以是(　　) A. B. C. D. 解析 cos(3x+)=,则3x+=2kπ±(k∈Z),解得x=(k∈Z),当k=1时,x=, 或x=(k∈Z),当k=1时,x=,故选BC. 10.已知等腰三角形的顶角为arccos,则底角的正切值是(　　) A. B.- C. D. 解析 由题意得三角形顶角为arccos, 底角为.故tan. 11.若A为△ABC的一个内角,且sin A+cos A=,则A为(　　) A.arcsin B.arcsin C.π-arcsin D.+arccos 解析 因为sin2A+cos2A=1,sin A+cos A=, 所以sin A=,cos A=-,故A=π-arcsin. (2kπ+,2kπ+),k∈Z 解析 要使y=有意义,则有sin x>0且tan x>1, 由sin x>0得x∈(2nπ,2nπ+π),n∈Z, 由tan x>1得x∈(k'π+,k'π+),k'∈Z, 所以此函数的定义域为(2kπ+,2kπ+),k∈Z. {x丨2kπ<x≤+2kπ,k∈Z} 解析 由题意得在同一坐标系中作出y=sin x与y=cos x的图象(图略), 在[0,2π]上,满足条件的x的取值范围为(0,],故此函数的定义域为{x丨2kπ<x≤2kπ+,k∈Z}. 解 由根与系数的关系,得 得1+2×=m2,解得m=或m=. 因为<θ<2π,所以sin θcos θ<0, 所以m<,故m=, 则原方程变为4x2-2(1-)x-=0. 由于sin θ<0,cos θ>0,所以cos θ=,所以θ=. 15.已知△ABC的三个内角A,B,C满足sin(180°-A)=cos(B-90°),cos A =-cos(180°+B),求角A,B,C的大小. 解 ∵sin(180°-A)=cos(B-90°), ∴sin A=sin B. ① 又cos A=-cos(180°+B). ∴cos A=cos B. ② ①2+②2,得cos2A=,即cos A=±. ∵A∈(0,π),∴A=或A=. (1)当A=时,有cos B=, 又B∈(0,π),∴B=,C=. (2)当A=时,由②得cos B==-<0. 可知B为钝角,在一个三角形中不可能出现两个钝角,此种情况无解. 综上,可知角A,B,C的大小分别为. $$