7.4 数学建模活动周期现象的描述课件-2024-2025学年高一数学人教B版（2019）必修第三册

第七章　三角函数 7.4　数学建模活动:周期现象的描述 人教B版 数学 必修第三册 课程标准 1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题. 2.能将实际问题抽象为三角函数模型. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 基础落实·必备知识全过关 知识点 数学建模 数学建模是数学学习的一种新的方式,是对现实世界的一个特定对象,为了一个特定目的,作出一些必要的简化和假设,运用适当的数学工具得到的一个数学结构.(它是对现实对象的信息加以分析、提炼、归纳、翻译的结果,是用精确的语言表达对象的内在特性,是利用各种数学概念、关系、表达式建立的模型.) 按广义理解,一切数学概念、数学理论体系、数学公式、方程以及算法系统都可称为数学模型;按狭义理解,数学模型是指解决特定问题的一种数学框架或结构,如二元一次方程是“鸡兔同笼”问题的数学模型,“一笔划”问题是“七桥问题”的数学模型,等等.在一般情况下数学模型按狭义理解.它为 我们提供了自主学习的空间,把学到的知识应用于实践,使我们体验到数学在解决实际问题中的价值和作用,体验数学与日常生活和其他学科的联系,逐步提高创新意识和实践能力. 一般说来,数学建模过程可用如图的框图表示: 建立数学模型解决实际问题,所得的模型是近似的,并且得到的解也是近似的.这就需要根据实际背景对问题的解进行具体分析. 中学数学中的应用问题不全属于中学数学建模活动,只有符合以上流程图的应用问题才属于数学建模范畴,其他的只属于数学求解的应用问题. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) 某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系: ,t∈[0,24).则实验室这一天的最大温差为4 ℃.(　　) √ 2.5 3π,π 重难探究·能力素养全提升 探究点一　三角函数模型在物理学中的应用 【例1】 [北师大版教材习题]如图,挂在弹簧下方的小球做上下振动,小球在时间t(单位:s)时相对于平衡位置(即静止的位置)的高度为h(单位:cm),由下列关系式决定:h=2sin(t+ ),t∈[0,+∞). 以横轴表示时间,纵轴表示高度,画出这个函数在一个周期的闭区间上的简图,并回答下列问题: (1)小球开始振动(t=0)时的位置在哪里? (2)小球位于最高、最低位置时h的值是多少? (3)经过多长时间小球振动一次(即周期是多少)? (4)小球每1 s能往复振动多少次(即频率是多少)? 分析确定函数y=Asin(ωx+φ)中的参数A,ω,φ的物理意义是解题关键. (2)小球位于最高、最低位置时h的值分别是2和-2. (3)小球往复振动一次,就是一个周期,T=2π,即经过2π s小球往复振动一次. 规律方法　在物理学中,物体做简谐运动时可用正弦型函数y=Asin(ωx+φ)表示物体振动的位移y随时间x的变化规律,A为振幅,表示物体与平衡位置 示物体在单位时间内往复振动的次数. 变式训练1交流电的电压E(单位:V)与时间t(单位:s)的关系可用 (1)开始时电压; (2)电压值重复出现一次的时间间隔; (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间. 探究点二　三角函数模型的实际应用 【例2】 已知某海滨浴场的海浪高度y(单位:米)是时间t(单位:时)的函数,其中0≤t≤24,记y=f(t),下表是某日各时的浪高数据: t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/米 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 经长期观测,y=f(t)的图象可近似地看成是函数y=Acos ωt+b的图象. (1)根据以上数据,求其周期、振幅及函数解析式; (2)根据规定,当海浪高度不小于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的8:00到20:00之间,有多少时间可供冲浪者进行活动. 分析(1)根据y的最大值和最小值求A,b,确定周期后求ω. (2)解不等式y≥1,确定有多少时间可供冲浪者活动. 解 (1)由表中数据可知,最小正周期T=12, (2)∵y≥1时,才对冲浪爱好者开放, 12k-3≤t≤12k+3(k∈Z). 又0≤t≤24,所以0≤t≤3或9≤t≤15或21≤t≤24,故在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动,即9≤t≤15. 变式探究若将本例(2)中“不小于1米”改为“不小于1.25米”,结果又如何? 规律方法　解三角函数应用问题的基本步骤 变式训练2[2023湖北武汉期中]筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,既经济又环保.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图1).假定在水流量稳定的情况下,筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动如图2,将筒车抽象为一个半径为R的圆,设筒车按逆时针方向 筒车旋转100秒时,盛水筒M对应的点P的纵坐标为　　　　　.  图1 图2 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A级 必备知识基础练 1.[探究点一]单摆离开平衡位置O的位移s(单位:cm)和时间t(单位:s)的函数 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2. [探究点二·2023北京西城校级期中]如图所示,一个大风车的半径为8 m,每12 min旋转一周,最低点离地面2 m,若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转,则该翼片的端点P离地面的距离h(单位:m)与时间t(单位:min)之间的函数关系是(　　) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3.(多选题)[探究点二·2023广东河源期末]在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近船坞卸货后落潮时返回海洋,现有一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4 m,根据安全条例规定至少要有2 m的安全间隙(船底与海底的距离),已知某港口在某季节的某一天的时刻x(单位:h)与水深f(x)(单位:m)的关系为f(x)=2sin x+5(0≤x≤24),则下列说法中正确的有(　 　) A.相邻两次潮水高度最高的时间间距为24 h B.18时水深为5 m C.该货船在2:00至4:00期间可以进港 D.该货船在13:00至17:00期间可以进港 BCD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解析 相邻两次潮水高度最高的时间间距即为函数的周期T= =12 h,故A错误, 18时水深f(18)=2sin 3π+5=5(m),故B正确,当该船进出港时,水深应不小于4+2=6(m), 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4.[探究点一]有一小球从某点开始来回摆动,与平衡位置的距离s(单位:cm)关于时间t(单位:s)的函数解析式是s=Asin(ωt+φ),A>0,ω>0,0<φ< ,函数图象如图所示,则φ=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 5. [探究点二]如图,游乐场中的摩天轮匀速旋转,每转一圈需要12分钟,其中心O距离地面40.5米,半径40米.如果你从最低处登上摩天轮,那么你与地面的距离将随时间的变化而变化,以你登上摩天轮的时刻开始计时.请解答下列问题: (1)求出你与地面的距离y与时间t的函数关系式; (2)当你第四次距离地面60.5米时,用了多长时间? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B级 关键能力提升练 6.[2023江西万安校级一模]某市一年12个月的月平均气温y与月份x的关系可近似地用函数y=a+Acos[ (x-6)](x=1,2,3,…,12)来表示,已知该市6月份的平均气温最高,为28 ℃;12月份的平均气温最低,为18 ℃.则该市8月份的平均气温为(　　) A.13 ℃ B.20.5 ℃ C.22.5 ℃ D.25.5 ℃ D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7.[2023新疆新市校级期末]如图,摩天轮的半径为50 m,点O距地面的高度为60 m,摩天轮做匀速转动,每3 min转一圈,摩天轮上点P的起始位置在最低点处.在摩天轮转动的一圈内,有　　　　　时间,点P距离地面超过35 m.  2 min 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解析 设点P离地面的距离为y,则可令y=Asin(ωt+φ)+b,由题设可知A=50,b=60. 所以在摩天轮转动的一圈内,点P距离地面超过35 m的时间有2分钟. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8.已知弹簧上挂着的小球做上下振动,它与平衡位置(静止时的位置)的距离|h|(单位:cm),时间t(单位:s),h与t的函数关系式为h=3sin(2t+ )(注:h>0表示在平衡点上方,h<0表示在平衡点下方). (1)求小球开始振动的位置; (2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点的时间; (3)每秒内小球能往返振动多少次? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 C级 学科素养创新练 9.某港口水深y(单位:米)是时间t(0≤t≤24,单位:时)的函数,记作y=f(t),下面是某日水深的数据. t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/米 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 经长期观察,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Asin ωt+b(A>0,ω>0)的图象. (1)试根据以上数据,求出函数y=f(t)的近似解析式; (2)一般情况下,船舶航行时,船底距海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时,船底只需不碰海底即可).某船吃水深度(船底与水面的距离)为6.5米,如果该船希望在同一天内安全进出港,那么它至多能在港内航行多长时间(忽略进出港所需的时间)? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解 (1)由已知数据, 易知函数y=f(t)的周期T=12,振幅A=3,b=10, (2)由题意,该船进出港时,水深应不小于5+6.5=11.5米, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 化简得1≤t≤5或13≤t≤17. ∴该船最早能在凌晨1时进港,5时出港,再13时进港,17时出港,在港内最多可航行8小时. f(t)=10-2sin(t+) 2.(1)电流I(单位:A)随时间t(单位:s)变化的关系式是I=5sin(100πt+),则当t= s时,电流I为　　　　A.  (2)振动量y=sin(ωx+φ)(φ>0)的初相和频率分别为π和,则ω和φ的值分别为　　　　　.  解析 I=5sin()=5cos=2.5(A). 解析 ∵T=,∴ω=3π.∵初相为π,∴φ=π. 解 函数h=2sin(t+)在[0,2π]上的图象如图, (1)当t=0时,h=2sin(cm),即小球在开始振动时的位置在平衡位置上方 cm处. (4)每秒钟往复振动的次数f=. 的最大距离,T=为周期,表示物体往复振动一次所需的时间,f=为频率,表 E=220sin(100πt+)来表示,求: 解 (1)当t=0时,E=110(V),即开始时的电压为110 V. (2)T= s,即时间间隔为0.02 s. (3)电压的最大值为220 V,当100πt+,即t= s时第一次取得最大值. ∴ω=. 又t=0时,y=1.5,∴A+b=1.5;t=3时,y=1.0,得b=1.0,则A=, 即振幅为,函数解析式为y=cost+1(0≤t≤24). ∴y=cost+1≥1(0≤t≤24),cost≥0(0≤t≤24),2kπ-t≤2kπ+(k∈Z),即 解 由y=cost+1≥1.25(0≤t≤24)得cost≥(0≤t≤24),2kπ-t≤2kπ+(k∈Z),即12k-2≤t≤12k+2(k∈Z).又0≤t≤24,所以0≤t≤2或10≤t≤14或22≤t≤24,所以在规定时间内只有4个小时冲浪爱好者可以进行活动,即10≤t≤14. 每旋转一周用时120秒,当t=0时,盛水筒M位于点P0(3,-3),经过t秒后运动到点P(x,y),点P的纵坐标满足y=f(t)=Rsin(ωt+φ)(t≥0,ω>0,|φ|<),则当 -3 解析 因为筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒,所以ω=.因为当t=0时,盛水筒M位于点P0(3,-3),所以R==6,且有f(0)=6sin φ=-3,所以sin φ=-.因为|φ|<,所以φ=-,即f(t)=6sin(t-),所以f(100)=6sin(×100-)=6sin=-3. 关系为s=6sin(2πt+),则单摆在摆动时,从最右边到最左边的时间为(　　) A.2 s B.1 s C. s D. s 解析 由题意,知周期T==1 s,从最右边到最左边的时间是半个周期,为 s. A.h=8cost+10 B.h=-8cost+10 C.h=-8sint+10 D.h=-8cost+10 ∴当y≥6时,货船就可以进港,即2sinx+5≥6, ∴sinx≥,得+2kπ≤x≤+2kπ(k∈Z),即1+12k≤x≤5+12k(k∈Z),结合0≤x≤24,得1≤x≤5或13≤x≤17,故C,D正确.故选BCD. 解 (1)由已知可设y=40.5-40cos ωt(ω>0,t≥0),由已知周期为12分钟,可知ω=,即ω=. 所以y=40.5-40cost(t≥0). (2)令y=40.5-40cost=60.5,得cost=-, 所以t=π或t=π,解得t=4或t=8,故第四次距离地面60.5米时,用时为12+8=20(分钟). 解析 由题意,解得 ∴y=23+5cos[(x-6)], 当x=8时,y=23+5cos=23+5×=25.5 ℃. 即该市8月份的平均气温为25.5 ℃.故选D. 又T==3,所以ω=,从而y=50sin(t+φ)+60, 再由题设知当t=0时,y=10,代入y=50sin(t+φ)+60,得sin φ=-1,从而φ=-,因此y=60-50cost(t≥0), 要使点P距离地面超过35 m, 则有y=60-50cost>35,即cost<, 则t<,解得<t<, 解 (1)令t=0,得h=3sin,所以开始振动的位置为平衡位置上方距离平衡位置 cm处. (2)由题意知,当h=3时,t的最小值为,即小球第一次上升到最高点的时间为 s. 当h=-3时,t的最小值为,即小球第一次下降到最低点的时间为 s. (3)f=,即每秒内小球往返振动次. 则ω=,y=3sint+10(0≤t≤24). 由y≥11.5得3sint+10≥11.5,即sint≥. ① ∵0≤t≤24,∴0≤t≤4π. ② 由①②得t≤t≤. $$