7.1.1 角的推广课件-2024-2025学年高一数学人教B版（2019）必修第三册

第七章　三角函数 7.1.1　角的推广 人教B版 数学 必修第三册 课程标准 1.掌握用“旋转”定义角,理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的定义. 2.掌握所有与角α终边相同的角(包括角α)的表示方法. 3.体会运动变化的观点,深刻理解推广后的角的概念. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 基础落实·必备知识全过关 知识点1 任意角 1.角的概念:一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一位置所形成的图形. 角的终边 角的始边 2.角的分类:按旋转方向可将角分为三类 类型 定义 图示 正角 按照　　　　方向旋转而成的角  负角 按照　　　　　　方向旋转而成的角  零角 当射线没有旋转时,也把它看成一个角,称为零角 逆时针 顺时针 3.角的加减法运算的几何意义: α+β表示在角α的基础上,　　　　　旋转β角度;α-β表示在角α的基础上, 　　　　　　旋转β角度.  名师点睛 1.正角、负角、零角是根据组成角的射线的旋转方向确定的. 2.角的加减法运算可通过旋转的办法作图实现. 逆时针 顺时针 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)始边与终边重合的角一定是零角.(　　) (2)小于90°的角是锐角.(　　) × × 2.[北师大版教材习题]时针走了1 h 20 min,则分针转过的角是　　　　　.  3.将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为　　　　　,将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数为　　　　　. -480° -25° 395° 知识点2 象限角 1.象限角 将角放在平面直角坐标系中,约定:角的顶点与　　　　　　　　重合,角的始边落在x轴的　　　　　　　上.这时,角的终边在第几象限,就把这个角称为　　　　　　　.  如果终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限. 坐标原点 正半轴 第几象限角 2.终边相同的角 一般地,角α+k·360°(k∈Z)与角α的终边相同,这只需把k·360°看成逆时针或者顺时针方向旋转若干周即可.任意两个终边相同的角,它们的差一定是360°的整数倍.因此,所有与α终边相同的角组成一个集合,这个集合可记为S={β|β=α+k·360°,k∈Z}. 不要遗漏 即集合S的每一个元素的终边都与α的终边相同,k=0时对应元素为α. 名师点睛 对于集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}的理解应注意三点 (1)α是任意角. (2)“k∈Z”有三层含义: ①特殊性:每取一个整数值就对应一个具体的角. ②一般性:表示所有与角α终边相同的角(包括α自身). ③从几何意义上看,k表示角的终边按一定的方向旋转的圈数,当k取正整数时,逆时针旋转;当k取负整数时,顺时针旋转;当k=0时,没有旋转. (3)集合中“k·360°”与“α”之间用“+”连接,如k·360°-30°应看成k·360°+(-30°),表示与-30°角终边相同的角. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)钝角是第二象限角.(　　) (2)第二象限角是钝角.(　　) (3)第二象限角大于第一象限角.(　　) √ × × 2.与-525°角的终边相同的角可表示为(　　) A.525°-k·360°(k∈Z) B.185°+k·360°(k∈Z) C.195°+k·360°(k∈Z) D.-195°+k·360°(k∈Z) C 解析 -525°=195°-2×360°, 所以-525°角的终边与195°角的终边相同, 所以与-525°角的终边相同的角可表示为195°+k·360°(k∈Z).故选C. 3.[北师大版教材习题]已知角α=-130°,则角α的终边落在第　　　　　象限.  三 重难探究·能力素养全提升 探究点一　角的有关概念 【例1】 (1)下列说法正确的是(　　) A.终边相同的角一定相等 B.第一象限的角一定是锐角 C.终边相同的角之间相差360°的整数倍 D.大于90°的角都是钝角 分析 根据角的概念、终边相同角的集合等概念解题,特别注意锐角、直角、钝角等特殊的角. C 解析 终边相同的角不一定相等,故A错;因为锐角的集合是{α|0°<α<90°},而第一象限的角的集合是{α|k·360°<α<k·360°+90°},故B错;C正确;钝角的集合是{α|90°<α<180°},当α≥180°时,均大于90°,但角α不是钝角,所以大于90°的角不一定都是钝角,故D错. (2)若α是第四象限角,则180°+α的终边所在象限为(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 分析 可以看作将角α逆时针旋转180°. B 解析 α是第四象限角,逆时针旋转180°是第二象限角,故终边所在象限为第二象限. 规律方法　判断角的概念问题的关键与技巧 (1)解决此类问题的关键在于正确理解象限角、锐角、小于90°的角、0°~90°的角等概念. (2)本例(1)也可采用排除法,这时需掌握判断说法是否正确的技巧.判断说法正确需要证明,而判断说法错误只需举一反例即可. 变式训练1(1)[北师大版教材习题]若角β是第四象限角,则180°-β是第 　　　　　象限角.  三 解析 β是第四象限角,-β是第一象限角,所以180°-β是第三象限角. ① ② (2)分别求出图中从OA旋转到OB,OB1,OB2时所成的角度. 解 图①中的角是一个正角,α=390°, 图②中的角是一个正角、一个负角,β=60°,γ=-150°. 探究点二　终边相同的角的表示及应用 【例2】 (1)[2023江苏崇川校级开学考试]已知α=-2 015°,则与角α终边相同的最小正角为　　　　　,最大负角为　　　　　.  145° -215° 解析 与-2 015°角终边相同的角为-2 015°+k·360°,k∈Z, 当k=6时,与-2 015°角终边相同的最小正角是145°, 当k=5时,与-2 015°角终边相同的最大负角是-215°. (2)已知α=1 690°. ①把α表示成k·360°+β的形式,其中k∈Z,0°≤β<360°; ②求θ,使θ与α的终边相同,且-720°≤θ<-360°. 解 ①α=1 690°=4×360°+250°. ②由①知α=4×360°+250°,θ与α的终边相同,设θ=360°n+250°,n∈Z,则-720°≤360°n+250°<-360°, ∵n∈Z,则n=-2, 故θ=-470°. (3)[人教A版教材例题]写出终边在直线y=x上的角的集合S,S中满足不等式-360°≤β<720°的元素β有哪些? 解 如图,在平面直角坐标系中画出直线y=x,可以发现它与x轴的夹角是45°,在0°~360°范围内,终边在直线y=x上的角有两个:45°,225°.因此,终边在直线y=x上的角的集合S={β|β=45°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=225°+k·360°, k∈Z}={β|β=45°+n·180°,n∈Z}. S中适合不等式-360°≤β<720°的元素β有 45°-2×180°=-315°,45°-1×180°=-135°, 45°+0×180°=45°,45°+1×180°=225°,45°+2×180°=405°, 45°+3×180°=585°. 规律方法　运用终边相同的角的注意事项 所有与角α终边相同的角,连同角α在内可以用式子k·360°+α(k∈Z)表示,在运用时需注意以下几点: (1)k是整数,这个条件不能漏掉. (2)α是任意角. (3)终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同,终边相同的角有无数个,它们相差周角的整数倍. 变式训练2(1)[2023上海长宁校级期末]2 023°是第　　　　　象限角.  三 解析 因为α=2 023°=360°×5+223°,而180°<223°<270°,所以α的终边在第三象限. (2)[北师大版教材例题]写出与60°角终边相同的角的集合S,并把S中适合-360°≤β<720°的元素β写出来. 解 S={β|β=60°+k·360°,k∈Z}. S中适合-360°≤β<720°的元素应满足-360°≤60°+k·360°<720°. 又k∈Z,所以k=-1,0,1. 所求元素分别是60°+(-1)×360°=-300°,60°+0×360°=60°, 60°+1×360°=420°. (3) 如图所示,写出终边落在直线 上的角的集合. 解 终边落在 (x≥0)上的角的集合为S1={α|α=60°+k·360°,k∈Z},终边落在 (x≤0)上的角的集合为S2={α|α=240°+k·360°,k∈Z}. 于是,终边落在直线 上的角的集合为S=S1∪S2={α|α=60°+2k·180°, k∈Z}∪{α|α=60°+(2k+1)·180°,k∈Z}.因为{n|n=2k,k∈Z}∪{n|n=2k+1,k∈Z}=Z,所以S=S1∪S2={α|α=60°+n·180°,n∈Z}. 探究点三　象限角及其应用 角度1.区域(间)角的表示 【例3】 [2023辽宁沈阳校级开学考试]写出角α在下列位置时的集合S. (1)角的终边在如图1所示的阴影中(包括边界); (2)角的终边在如图2所示的阴影中(包括边界). 图1 图2 解 (1)由题图1得角α的集合为{α|n·360°+90°≤α≤n·360°+120°,n∈Z}或{α|360°·n+270°≤α≤300°+n·360°,n∈Z}= {α|k·180°+90°≤α≤k·180°+120°,k∈Z}. (2)由题图2得角α的集合为{α|-60°+k·360°≤α≤60°+k·360°,k∈Z}. 规律方法　区域角表示的步骤 (1)借助图形,在直角坐标平面内找出角的范围所对应的区域. (2)确定-360°<α<360°范围内的基本角,即区域起始及终止边界所对应的角. (3)写出终边相同的角的集合.解决终边相同的角的集合问题,一般都是利用数形结合解题. 变式训练3 表示出终边在图中阴影区域内角的集合S(包括边界),并判断2 019°是不是集合S的元素. 解 终边落在阴影区域内角的集合为S={α|k·360°+150°≤α≤k·360°+270°,k∈Z}. 因为2 019°=219°+5×360°,而2 019°与219°终边相同,所以 2 019°∈S. 角度2.nα或 所在象限的判定 【例4】 已知α为第二象限角,判断下列角是第几象限角. (1)2α; 解 因为α是第二象限角, 所以90°+k·360°<α<180°+k·360°,k∈Z, 所以180°+2k·360°<2α<360°+2k·360°,k∈Z, 所以2α是第三或第四象限角,或是终边落在y轴的非正半轴上的角. (2) . 解 (方法一)因为α是第二象限角, 所以90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z), (方法二)如图,先将各象限分成2等份,再从x轴正向的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则标有二的区域即为 的终边所在的区域,故 为第一或第三象限角. 变式探究(变结论)本例中条件不变,试判断 是第几象限角? 解 因为α是第二象限角, 所以90°+k·360°<α<180°+k·360°,k∈Z, 在已知角α的范围求角2α的范围时上述规律就不好用了,所以还应该掌握求范围的代数推导法. 图1 图2 变式训练4当α是第二象限角时,试讨论 是哪个象限的角. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 A级 必备知识基础练 18 19 1.[探究点二·2023北京朝阳校级期末]在下列各角中,与1 850°角终边相同的角是(　　) A.40° B.50° C.320° D.-400° B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2.[探究点一·2023江苏高一课时练习]若α是第一象限角,则下列各角中属于第四象限角的是(　　) A.90°-α B.90°+α C.360°-α D.180°+α C 解析 若α是第一象限角,则-α在第四象限,90°-α位于第一象限,90°+α位于第二象限,360°-α位于第四象限,180°+α位于第三象限,故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 3.(多选题)[探究点一·2023安徽高一专题练习]下列说法错误的是(　 　) A.小于90°的角是锐角 B.钝角是第二象限的角 C.第二象限的角大于第一象限的角 D.若角α与角β的终边相同,那么α=β ACD 解析 小于90°的角可以是负角,负角不是锐角,故A不正确; 钝角是第二象限的角,故B正确; 第二象限的角不一定大于第一象限的角,例如:150°是第二象限的角,390°是第一象限的角,故C不正确; 若角α与角β的终边相同,那么α=β+2kπ,k∈Z,故D不正确.故选ACD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4.(多选题)[探究点三]如果α是第三象限的角,那么 可能是下列哪个象限的角(　　 ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ACD 解析 因为α是第三象限的角,则α∈(k·360°+180°,k·360°+270°),k∈Z,所以 ∈(k·120°+60°,k·120°+90°),k∈Z,所以 可以是第一、第三、第四象限角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 5.[探究点二·2023上海宝山校级期末]终边在直线y=-x上的角α构成的集合可以表示为　　　 　　.  {α|α=k·360°+135°,k∈Z} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6.[探究点三·2023广西浦北校级月考]如图所示,终边落在阴影部分区域(包括边界)的角α的集合是　　　　　　　 　　　　　　　　.  {α|-50°+k·360°≤α≤40°+k·360°,k∈Z} 解析 分别与角40°,-50°终边相同的角为40°+k·360°,-50°+k·360° (k∈Z),因此终边落在阴影区域(包括边界)的角的集合是 {α|-50°+k·360°≤α≤40°+k·360°,k∈Z}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7.[探究点二]如图所示,若按逆时针旋转,终边落在OA位置时的角的集合是　　　 　　,终边落在OB位置时的角的集合是　　 　　　.  {α|α=60°+k·360°,k∈Z} {β|β=225°+k·360°,k∈Z} 解析 由角的概念可得,终边落在OA位置时的角的集合是{α|α=60°+k·360°,k∈Z};终边落在OB位置时的角的集合是{β|β=225°+k·360°,k∈Z}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8.[探究点二]已知α=-1 910°. (1)把α写成β+k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限角; (2)求角θ,使θ与α的终边相同,且-720°≤θ<0°. 解 (1)∵-1 910°=250°+(-6)×360°, 又250°是第三象限角,∴α是第三象限角. (2)θ=250°+k·360°(k∈Z). ∵-720°≤θ<0°,∴-720°≤250°+k·360°<0°, ∴θ=250°-360°=-110°或θ=250°-2×360°=-470°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 B级 关键能力提升练 9.若角α与45°角的终边相同,角β与-135°角的终边相同,则α与β之间的关系是(　　) A.α+β=-50° B.α-β=180° C.α+β=180°+k·360°(k∈Z) D.α-β=180°+k·360°(k∈Z) D 解析 α=45°+k1·360°(k1∈Z),β=-135°+k2·360°(k2∈Z),α-β= 180°+k·360°,k∈Z. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10.[2023上海黄浦校级期中]已知θ是第一象限角,那么 是(　　) A.第一、二象限角 B.第一、三象限角 C.第三、四象限角 D.第二、四象限角 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11.(多选题)关于角度,下列说法正确的是(　　) A.时钟经过两个小时,时针转过的角度是60° B.钝角大于锐角 C.三角形的内角必是第一或第二象限角 D.若α是第三象限角,则 是第二或第四象限角 BD 解析 对于A,时钟经过两个小时,时针转过的角度是-60°,故错误;对于B,钝角一定大于锐角,显然正确;对于C,若三角形的内角为90°,是终边在y轴正半轴上的角,故错误;对于D,∵角α的终边在第三象限,180°+k·360°<α <270°+k·360°,k∈Z,90°+k·180°< <135°+k·180°,当k为偶数时, 是第二象限角,当k为奇数时, 是第四象限角,故正确.故选BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 12.(多选题)[2023黑龙江建华校级期末]已知α是锐角,则(　 　) A.2α是小于180°的正角 B.180°+α是第三象限角 C. 是锐角 D.2α是第一或第二象限角 ABC 解析 因为α是锐角,所以0°<2α<180°,故选项A符合题意,选项D不符合题意;所以180°<180°+α<270°,即180°+α是第三象限角,故选项B符合题意;所以0°< <45°,即 是锐角,故选项C符合题意.故选ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 13.若α=45°+k·360°,k∈Z,则 是　　　 　　象限角.  第一或第三 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14.若角α与288°角的终边相同,则在0°~360°内终边与角 终边相同的角是　　　 　　.  72°,162°,252°,342° 解析 由题意,得α=288°+k·360°(k∈Z), =72°+k·90°(k∈Z).又0°≤ <360°,所以k=0,1,2,3,相应地有 =72°,162°,252°,342°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 15.若α,β两角的终边互为反向延长线,且α=-120°,则β=　　　　　　 　　.  60°+k·360°,k∈Z 解析 先求出β的一个角,β=α+180°=60°,再由终边相同的角的概念知,β=60°+k·360°,k∈Z. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16.[2023江苏南京期末]如图所示,终边落在阴影部分(包括边界)的角α的集合为　　　　　　　 　　　　　　　　.  {α|-120°+k·360°≤α≤135°+k·360°,k∈Z} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17.若角α,β的终边关于直线x+y=0对称,且α=-60°,求β. 解 在-360°~0°范围内,与-60°角关于直线x+y=0对称的角为-30°角,所以β=-30°+k·360°(k∈Z). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18.(1)写出与α=-1 910°终边相同的角的集合,并把集合中适合不等式 -720°≤β<360°的元素β写出来. (2)分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合. 图1 图2 图3 (3)写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解 (1)与α=-1 910°终边相同的角的集合为{β|β=-1 910°+k·360°,k∈Z}.取k=4时,β=-470°,取k=5时,β=-110°,取k=6时,β=250°. (2)如题图1,在0°~360°范围内,终边在直线y=0上的角有两个,即0°和180°,因此,所有与0°角终边相同的角构成集合S1={β|β=0°+k·360°,k∈Z},而所有与180°角终边相同的角构成集合S2={β|β=180°+k·360°,k∈Z},于是,终边在直线y=0上的角的集合为S=S1∪S2={β|β=k·180°,k∈Z}. 如题图2,在0°~360°范围内,终边在直线y=-x上的角有两个,即135°和315°,因此,终边在直线y=-x上的角的集合为S={β|β=135°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=315°+k·360°,k∈Z}={β|β=135°+k·180°,k∈Z}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 如题图3,终边在直线y=x上的角的集合为{β|β=45°+k·180°,k∈Z},结合②知所求角的集合为S={β|β=45°+k·180°,k∈Z}∪{β|β=135°+k·180°,k∈Z}={β|β=45°+ 2k·90°,k∈Z}∪{β|β=45°+(2k+1)·90°,k∈Z}={β|β=45°+k·90°,k∈Z}. (3)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α=90°+45°+k·360°,k∈Z}={α|α=135°+k·360°,k∈Z},终边落在OB位置上的角的集合为{β|β=-30°+k·360°,k∈Z}. 故阴影部分角的集合可表示为{α|-30°+k·360°≤α≤135°+k·360°, k∈Z}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19.已知α,β都是锐角,且α+β的终边与-280°角的终边相同,α-β的终边与670°角的终边相同,求角α,β的大小. C级 学科素养创新练 解 由题意可知,α+β=-280°+k·360°,k∈Z. ∵α,β都是锐角,∴0°<α+β<180°. 取k=1,得α+β=80°.① α-β=670°+k·360°,k∈Z. ∵α,β都是锐角,∴-90°<α-β<90°. 取k=-2,得α-β=-50°.② 由①②,得α=15°,β=65°. 解得-≤n<-. 解得-≤k<. y=x y=x y=x y=x 所以45°+k·180°<<90°+k·180°(k∈Z). 当k=2n(n∈Z)时,45°+n·360°<<90°+n·360°(n∈Z),所以是第一象限角; 当k=2n+1(n∈Z)时,225°+n·360°<<270°+n·360°(k∈Z),所以是第三象限角. 故是第一或第三象限角. 所以30°+k·120°<<60°+k·120°,k∈Z. 当k=3n,n∈Z时,30°+n·360°<<60°+n·360°,n∈Z,此时为第一象限角; 当k=3n+1,n∈Z时,150°+n·360°<<180°+n·360°,n∈Z,此时为第二象限角; 当k=3n+2,n∈Z时,270°+n·360°<<300°+n·360°,n∈Z,此时为第四象限角. 所以为第一、第二或第四象限角. 规律方法　已知α的范围,求nα或的范围 (1)代数推导法:先表示出角α所在的象限范围,再求出所在的范围,进一步由n值确定.如:当角α在第二象限时,90°+k·360°<α<180°+k·360°,k∈Z,则30°+k·120°<<60°+k·120°,k∈Z,所以在第一、二、四象限. (2)等分象限法:将各象限n等分,从x轴正半轴开始逆时针方向依次标注1,2,3,4……直到填满为止,则当α在第n象限时,就在n号区域.如:当角α在 第二象限时,在图1的2号区域,在图2的2号区域.但此规律有局限性,如 解 由题知,k·360°+90°<α<k·360°+180°(k∈Z), 则k·180°+45°<<k·180°+90°(k∈Z), 所以,当k为偶数时,是第一象限角; 当k为奇数时,是第三象限角. 解析 与1 850°终边相同的角是1 850°+360°·k,k∈Z, 对于A,若1 850°+360°·k=40°,解得k=-∉Z,错误; 对于B,若1 850°+360°·k=50°,解得k=-5,正确; 对于C,若1 850°+360°·k=320°,解得k=-∉Z,错误; 对于D,若1 850°+360°·k=-400°,解得k=-∉Z,错误.故选B. 解得-≤k<-.又k∈Z,∴k=-1或k=-2. 解析 因为2kπ<θ<+2kπ,k∈Z,所以kπ<+kπ,k∈Z,当k为偶数时,为第一象限角,当k为奇数时,为第三象限角.故选B. 解析 ∵α=45°+k·360°,k∈Z,∴=22.5°+k·180°,k∈Z.当k为偶数,即k=2n,n∈Z时,=22.5°+n·360°,n∈Z,此时为第一象限角;当k为奇数,则k=2n+1,n∈Z时,=202.5°+n·360°,n∈Z,此时为第三象限角.综上,是第一或第三象限角. $$