7.1.2 弧度制及其与角度制的换算课件-2024-2025学年高一数学人教B版（2019）必修第三册

第七章　三角函数 7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 人教B版 数学 必修第三册 课程标准 1.理解弧度制的定义. 2.掌握角度制与弧度制的换算公式,并能熟练地进行角度与弧度的换算,熟记特殊角的弧度数. 3.掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式,并会运用其解决问题. 4.体会引入弧度制的必要性,建立角的集合与实数集的一一对应关系. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 基础落实·必备知识全过关 知识点1 弧度制 1.弧度制 长度等于　　　　　　　的圆弧所对的圆心角为1弧度的角,记作1 rad,这种以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制.  2.弧度数 弧长与半径比值的这个常数为圆心角的弧度数. 名师点睛 1.“度”和“弧度”是度量角的两种不同的度量单位. 2.无论是以“度”还是“弧度”度量角,角的大小都是一个与半径大小无关的值,弧度的单位rad可省略不写. 半径长 过关自诊 1.下列叙述中,正确的是(　　) A.1弧度是一度的圆心角所对的弧 B.1弧度是长度等于半径长的弧 C.1弧度是1度的弧与1度的角之和 D.1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小,它是角的一种度量单位 D 2.(多选题)下列各说法中,正确的是( 　　) B.1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角 C.半圆所对的圆心角是π rad D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 ABC 知识点2 角度制与弧度制的换算 2.特殊角的弧度数 角度 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 120° 135° 150° 弧度 　    　  　  　  　  　  　  　    角度 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 弧度 　  　      　    　    　  0 π 2π 名师点睛 1.角度制与弧度制是两种不同的度量单位,在表示角时,两种不能混用,例 2.一般地,正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)1弧度的角比1°的角要大.(　　) (2)160°化为弧度数是 .(　　) √ √ 2.[北师大版教材习题]时间经过4 h,时针、分针各转了多少度?各等于多少弧度? 知识点3 扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为r,弧长为l,α为其圆心角,则 类别 度量单位 α为角度制(0°<α<360°) α为弧度制(0<α<2π) 扇形的弧长 l=　　　  l=　　　  扇形的面积 S=　　　  S=　　　=　　　  αr 名师点睛 1.在应用公式l=αr和 时,要注意α的单位是弧度. 2.在运用公式时,根据已知的是角度数还是弧度数,选择合适的公式代入. 3.由α,r,l,S中的两个量可以求出另外的两个量. 过关自诊 1.[人教A版教材习题]分别用角度制、弧度制下的弧长公式,计算半径为1 m的圆中,60°的圆心角所对的弧的长度. 2.扇形的圆心角为 ,它所对的弦长是3 cm,则此扇形的面积为 　　　　　cm2.  重难探究·能力素养全提升 探究点一　角度制与弧度制的互化 规律方法　角度制与弧度制互化的关键与方法 (1)关键:抓住互化公式π rad=180°是关键. (3)角度化弧度时,应先将分、秒化成度,再化成弧度. 变式训练1[2023江西章贡校级月考]320°用弧度制表示为(　　) C 探究点二　用弧度制表示角 【例2】 [北师大版教材习题]把下列各角化成α+2kπ(0≤α<2π,k∈Z)的形式,并指出它们是哪个象限的角: 规律方法　用弧度制表示角的两个关注点 (1)用弧度制表示终边相同的角α+2kπ,k∈Z时,其中2kπ是π的偶数倍,而不是整数倍. (2)注意角度制和弧度制不能混用. 变式训练2[2023内蒙古临河校级期末]下列说法正确的是(　　) A 探究点三　扇形面积公式、弧长公式的应用 【例3】 已知扇形的周长为10 cm,则当扇形的半径和圆心角各取何值时,扇形的面积最大? 解 设扇形的半径为r cm,则弧长为(10-2r)cm, 变式探究本例变为:扇形面积为10,当半径r为多少时,扇形的周长最短? 规律方法　弧度制下解决扇形相关问题的步骤 度制下的角) (2)分析题目的已知量和待求量,灵活选择公式. (3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解. 变式训练3[2023河北石家庄二十二中开学考试]已知扇形的圆心角为2 rad,扇形的周长为10 cm,则扇形的面积为　　　　　cm2.  成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 A级 必备知识基础练 18 19 20 1.[探究点二]将2 025°化成α+2kπ(0≤α<2π,k∈Z)的形式是(　　) B 解析 2 025°=5×360°+225°,又225°= ,故2 025°化成α+2kπ(0≤α<2π,k∈Z)的形式为 +10π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2.[探究点二]若α=-3,则角α的终边在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 C 解析 因为-π<-3< ,所以α=-3的终边在第三象限. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 3.[探究点一]将时钟的分针拨快5分钟,则分针转过的弧度是(　　) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 4.[探究点三·2023广东深圳期末]（多选题）天子山悬崖秋千建在高198米的悬崖边上,该秋千的缆索长8米,荡起来最大摆角为170°,则该秋千最大摆角所对的弧长为(　　) AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 5.[探究点三·2023湖南怀化期末]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,其中卷一《方田》记载:“今有宛田,下周八步,径四步问为田几何?”译成现代汉语其意思为:有一块扇形的田,弧长8步,其所在圆的直径是4步,则这块田的面积是(　　) A.8平方步 B.6平方步 C.4平方步 D.16平方步 A 解析 ∵弧长8步,其所在圆的直径是4步,半径为2步, ∴由题意可得S= ×2×8=8(平方步),故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 6.[探究点三·2023山东济宁期末]若扇形的弧长和面积都是4,则这个扇形的圆心角(正角)的弧度数是　　　　　.  2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 7.[探究点三]半径为2 m,圆心角为120°的扇形的面积为　　　　　m2.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 8.[探究点三]已知半径为2的扇形的圆心角为90°,则扇形的弧长为　　　　　.  π 解析 由题知弧长l=αr= ×2=π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 9.[探究点一·2023江西余干校级月考]经过50分钟,钟表的分针转过 　　　　　弧度的角.  解析 ∵时钟上的分针匀速旋转一周的度数为2π,时钟上的分针匀速旋转一周需要60分钟,∴时钟上的分针匀速旋转一分钟的度数为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 10.[探究点三]已知扇形的弧长为 cm,且半径为10 cm,则扇形的面积是 　　　　　cm2.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 11.[探究点二]用弧度制写出终边落在直线y=-x上的角是 　 　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 12.[探究点二]把下列各角化为2kπ+α,k∈Z,0≤α<2π的形式,并判断该角是第几象限角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B级 关键能力提升练 (　　) A.A=B B.A⊆B C.B⊆A D.以上都不对 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 16. [2023上海浦东校级期末]古代文人墨客善于在纸扇上题字题画,题字题画的部分多为扇环.已知某扇形的扇环如图所示,其中外弧线的长为60 cm,内弧线的长为20 cm,连接外弧与内弧的两端的线段均为18 cm,则该扇形的 中心角的弧度数为　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 17.[2023陕西汉滨期末]在扇形中,已知半径为8,弧长为12,则圆心角是 　　　　　弧度,扇形面积是　　　　　.  48 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 18.已知扇形的周长为6,圆心角为1,求: (1)扇形的半径; (2)扇形的面积. 解 (1)设扇形的半径为r, 因为扇形的周长为6,圆心角为1, 所以有2r+r=6,解得r=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 19.计算: (1)已知扇形的周长为10,面积是4,求扇形的圆心角. (2)已知扇形的周长为40,当其半径和圆心角取何值时,才使扇形的面积最大? 解 (1)设扇形的弧长为l,半径为r,所以2r+l=10, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 (2)设扇形的半径和弧长分别为r和l,由题意可得2r+l=40, ∴当半径为10,圆心角为2时,扇形的面积最大,最大值为100. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C级 学科素养创新练 20.已知扇形的圆心角为α,半径为R. (1)若α=60°,R=10 cm,求扇形的弧长; (2)若扇形的周长是一定值c(c>0),当α为多少弧度时,该扇形的面积最大? A.1°的角是周角的,1 rad的角是周角的 1.因为半径为r的圆周长为2πr,所以周角的弧度数是=2π,于是360°=2π rad,因此180°=π rad.由此得到弧度制与角度制的换算公式: 1°= rad= rad≈0.017 45 rad; 1 rad=≈57°18'. 如α=k·360°+(k∈Z),β=2kπ+30°(k∈Z)的写法都是不规范的,应写为α=k·360°+30°(k∈Z),β=2kπ+(k∈Z). 解 时针转一圈(是-360°)需用12 h,所以经过4 h转一圈的,所以时针转过的角度为-360°×=-120°,为-弧度;分针1 h转一圈,所以4 h转四圈,所以分针转的角度为-360°×4=-1 440°,为-8π弧度. lr αr2 S=lr=αr2 解 角度制下r=1 m,n=60°,弧长l=(m). 弧度制下r=1 m,α=,弧长l=αr=(m). 解析 依题意,扇形的圆心角为,它所对的弦长是3 cm,所以扇形的半径为3 cm,所以扇形的面积为×π×32= cm2. (4)- rad=-=-405°. 【例1】 (1)把45°化成弧度;(2)把-600°化成弧度;(3)把化成度;(4)把-化成度. 解 (1)45°=45× rad= rad. (2)-600°=-600× rad=- rad. (3) rad==108°. (2)方法:度数×=弧度数;弧度数×=角度数. A. B. C. D. 解析 因为1°=,从而可得320°=320×. 所以320°用弧度制表示为.故选C. (4)755°=35°+720°=+4π,它是第一象限角. (1);(2)-1 680°;(3)-;(4)755°. 解 (1)+2π,它是第四象限角. (2)-1 680°=120°-1 800°=-10π,它是第二象限角. (3)--4π,它是第三象限角. A.终边在y轴上的角的集合为{α丨α=kπ+,k∈Z} B.第三象限角的集合为{α丨π+2kπ≤α≤+2kπ,k∈Z} C.终边在x轴上的角的集合为{α|α=2kπ,k∈Z} D.与150°角终边相同的角的集合为{α丨α=2kπ+,k∈Z} 解析 对于A,终边在y轴上的角的集合为{α|α=2kπ+,k∈Z}∪{α|α=2kπ+,k∈Z},即{α|α=2kπ+,k∈Z}∪{α|α=(2k+1)π+,k∈Z},即{α|α=kπ+,k∈Z},故A正确; 对于B,第三象限角的集合为{α|π+2kπ<α<+2kπ,k∈Z},故B错误; 对于C,终边在x轴上的角的集合为{α|α=kπ,k∈Z},故C错误; 对于D,与150°终边相同的角的集合为{α|α=2kπ+,k∈Z},故D错误.故选A. 由题意得S=(10-2r)·r=-r2+5r=-,所以当r= cm时,Smax= cm2. 此时l=10-2r=5 cm,则α==2 rad. 综上所述,当扇形的半径为 cm,且圆心角为2 rad时,扇形的面积最大. 解 设扇形的弧长为l,周长为y,由题意知,S=lr=10,则lr=20,周长y=l+2r=2≥2×2=4, 当且仅当r=时等号成立. 即当r=时,扇形的周长最短. (1)明确弧长公式和扇形的面积公式:l=αr,S=αr2和S=lr.(这里α必须是弧 解析 设扇形弧长为l,半径为r,解得则扇形的面积S=lr=(cm2). A.-+10π B.+10π C.-+12π D.+10π - A. B.- C. D.- 解析 由题意,分针转过的角度为×360°=30°,由转动的方向为顺时针,则弧度为-.故选B. A.米 B.米 C.13.6米 D.198米 解析 设扇形的圆心角的弧度数为α,半径为r,lr=S,所以r=2,α==2. 解析 依题意,120°=,因为扇形的半径为2 m, 所以扇形的面积S=×22=(m2). - 2π÷60=, 那么50分钟,分针旋转了-50×=-. 解析 扇形面积S=lr=×10=(cm2). 解析 终边落在射线y=-x(x≥0)的角的集合为, 终边落在射线y=-x(x≤0)的角的集合为 ={α+(2k+1)π,k∈Z}, 所以终边落在直线y=-x的角的集合为 ∪{α+(2k+1)π,k∈Z}=. (1);(2)-1 104°. 解 (1)由题意得,=6π+. 因为是第二象限的角,所以是第二象限角. (2)-1 104°=-1 104×=-=-8π+. 因为是第四象限的角,所以-1 104°是第四象限角. 13.集合A=与集合B=α=2kπ±,k∈Z的关系是 解析 ∵B={α|α=2kπ+或α=2kπ+,k∈Z}={α|α=kπ+,k∈Z}=A,∴A=B.故选A. 14.[2023湖北荆州月考]设圆心角为的扇形的弧长为l,面积为S,则=(　　) A. B. C. D. 解析 设扇形的半径为r,则l=r,所以l2=r2, 又S=,∴,故选D. 15.[2023江苏南京期末]圆心在原点,半径为10的圆上的两个动点M,N同时从点P(10,0)出发,沿圆周运动,点M按逆时针方向旋转,速度为弧度/秒,点N按顺时针方向旋转,速度为弧度/秒,则它们第三次相遇时点M转过的弧度数为(　　) A. B.π C.2π D.3π 解析 圆心角α=,扇形面积S=lr=×12×8=48. (2)扇形面积为×1×22=2. ∵S扇形=lr=4,解得r=4,l=2,或r=1,l=8, ∴扇形的圆心角的弧度数是,或=8. ∴扇形的面积S=lr=·l·2r≤)2=100. 当且仅当l=2r=20,即l=20,r=10时,等号成立,此时圆心角为α==2, 解 (1)弧长l=αR=60××10=(cm). (2)由已知c=l+2R,得S扇=l·R=(c-2R)R=-R2=-,故当R=时,S扇取最大值,此时l=,α==2,所以当α为2 rad时,该扇形的面积最大. $$