7.2.1 三角函数的定义课件-2024-2025学年高一数学人教B版（2019）必修第三册

第七章　三角函数 7.2.1　三角函数的定义 人教B版 数学 必修第三册 课程标准 1.理解并掌握任意角的三角函数的定义. 2.能根据任意角的三角函数的定义,分析出三角函数在各象限的符号,并能根据角α的某种三角函数值符号,判断出α所在的象限. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 基础落实·必备知识全过关 知识点1 三角函数的定义 可取便于运算的点P坐标 由上可知,对于每一个角α,都有唯一确定的正弦、余弦与之对应;当α≠ 　　　　　　　时,有唯一的正切与之对应.角α的正弦、余弦与正切,都称为α的　　　　　　　.  三角函数 名师点睛 1.在任意角的三角函数的定义中,应该明确α是一个任意角,其范围是使函数有意义的实数集. 2.三角函数值是比值,是一个实数,它的大小只与角的大小有关,一个角有唯一的三角函数值与之对应. 过关自诊 B 2.如果角α的终边过点P(2sin 30°,-2cos 30°),那么sin α=(　　) C 3.[北师大版教材习题]已知角β的终边经过点M(-3,-1),则sin β=　　　　　, cos β=　　　　　. 知识点2 正弦、余弦与正切在各象限的符号 r>0可知,sin α的正负与α终边上点的纵坐标的符号相同,所以,当且仅当α的终边在第　　　　象限,或y轴　　　半轴上时,sin α>0;当且仅当α的终边在第　　　　象限,或y轴　　　半轴上时,sin α<0.  当且仅当α的终边在第　　　　象限,或x轴　　　半轴上时,cos α>0;当且仅当α的终边在第　　　　象限,或x轴　　　半轴上时,cos α<0.  当且仅当α的终边在第　　　　象限时,tan α>0;当且仅当α的终边在第 　　　　象限时,tan α<0.  一、二 正 三、四 负 一、四 正 二、三 负 一、三　 二、四 以上结果可用下图直观表示. 名师点睛 1.正弦函数值的符号取决于角的终边上点纵坐标的符号,角的终边在x轴上方为正,下方为负;余弦函数值的符号取决于角的终边上点横坐标的符号,角的终边在y轴右侧为正,左侧为负;正切函数值符号取决于角的终边上点的横、纵坐标的符号,同号为正,异号为负. 2.对象限角的正弦、余弦、正切函数值的符号可用下列口诀记忆:“一全正,二正弦,三正切,四余弦”,该口诀表示第一象限全是正值,第二象限正弦是正值,第三象限正切是正值,第四象限余弦是正值. 过关自诊 1.若α为第四象限角,则(　　) A.cos α>0,sin α>0 B.cos α>0,sin α<0 C.cos α<0,sin α>0 D.cos α<0,sin α<0 B 解析 α为第四象限角,依据三角函数定义,则有cos α>0,sin α<0.故选B. 2.(1)若sin α,cos α都是负数,则α是第　　　　　象限角.  (2)若tan α<0,则α是第　　 　　象限角.  三 二或四 3.判断下列各三角函数值的符号: 解 (1)因为188°是第三象限角,所以sin 188°<0. (3)因为160°是第二象限角,所以tan 160°<0. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　三角函数的定义 【例1】 (1)已知角α的终边经过点P(-4a,3a)(a≠0),求sin α,cos α,tan α的值. (2)[北师大版教材例题改编]在平面直角坐标系中作一个圆心在原点,半径为1的圆,如图所示. ②求出角α的正弦值和余弦值. 变式探究(改条件)在本例(1)中将条件改为“角α的终边落在直线 上”,求sin α,cos α,tan α的值. 解 (方法一)在角α的终边上求一点P(-4a,3a)(a≠0),以下和例1(1)解法相同从略. (方法二)当角的终边落在第二象限时,求得点P(-4,3), 规律方法　三角函数值的求解步骤 确定终边位置→终边上任取一点P(x,y)→求r= →求三角函数值 变式训练1(1)已知θ终边上一点P(x,3)(x≠0),且 ,求sin θ,tan θ. (2)[人教A版教材习题]已知点P在半径为2的圆上按顺时针方向做匀速圆周运动,角速度为1 rad/s.求2 s时点P所在的位置. 解 当圆心在原点,点P的起始位置在x轴正半轴上时,设点P坐标为(x,y),r=2. 根据题意,因为sin(-2)= ,所以y=2sin(-2). 因为cos(-2)= , 所以x=2cos(-2),所以点P的坐标为(2cos(-2),2sin(-2)). 探究点二　判断三角函数值的符号 【例2】 [人教A版教材例题]判断下列式子的符号. (1)cos 250°; (3)tan(-672°); (4)tan 3π. 分析确定一个角的三角函数值的符号,关键要看角的终边在哪一个象限;确定一个式子的符号,则需要观察该式子的结构特点及每部分的符号. 解 (1)因为250°是第三象限角,所以cos 250°<0. (3)因为-672°是第一象限角,所以tan(-672°)>0. (4)因为3π的终边在x轴上,所以tan 3π=0. 规律方法　判断三角函数值在各象限符号的攻略 (1)基础:准确确定三角函数值中各角所在的象限. (2)关键:准确记忆三角函数在各象限的符号. (3)注意:用弧度制给出的角常常不写单位,不要误认为角度导致象限判断错误. A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 A (2)[2023上海浦东校级期末]若sin α<0,cos α<0,则α是(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 C 解析 因为sin α<0,所以α在第三象限或第四象限,或α终边为y轴非正半轴.因为cos α<0,所以α在第二象限或第三象限,或α终边为x轴非正半轴.所以α是第三象限角. (3)sin 3·cos 4·tan 5　　　　　0.(填“>”或“<”)  > 所以sin 3>0,cos 4<0,tan 5<0, 所以sin 3·cos 4·tan 5>0. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 A级 必备知识基础练 18 19 20 1.[探究点一·2023四川广安校级月考]已知角α终边上一点M的坐标为 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2.[探究点一·2023西藏城关校级期末]已知角α的终边过点P(4a,-3a)(a<0),则2sin α+cos α的值是(　　) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 3.[探究点二·2023天津河东校级期末]已知角θ在第二象限,则(　　) A.sin θ>0,cos θ>0 B.sin θ>0,cos θ<0 C.sin θ<0,cos θ>0 D.sin θ<0,cos θ<0 B 解析 因为角θ在第二象限,所以sin θ>0,cos θ<0,tan θ<0.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 4.[探究点二·2023江西抚州期中]已知P(sin θ,tan θ)是第四象限的点,则角θ的终边位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 B 解析 ∵P(sin θ,tan θ)是第四象限的点, ∴ ∴角θ的终边位于第二象限.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 5.(多选题)[探究点二]下列三角函数值为负数的是(　 　) BCD 对于B,tan 505°<0;对于C,sin 7.6π<0; 对于D,sin 186°<0,故选BCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 6.[探究点一]点P(a, )(a<0)是角α终边上一点,那么sin α=　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 7.[探究点一·2023安徽安庆期末]已知函数y=ax+1+1(a>0且a≠1)的图象经过定点P,且点P在角α的终边上,则sin αcos α=　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 8.[探究点二·2023安徽瑶海校级月考]已知sin θ·tan θ<0,则角θ位于第 　　　　　象限.  二、三 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 9.[探究点一]已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0,则a的取值范围是　　　　　.  (-2,3] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B级 关键能力提升练 11.已知α= ,则点P(sin α,cos α)所在的象限是(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 D 解析 因为α= ,则其终边在第二象限,所以sin α>0,cos α<0,故点P在第四象限. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 14.[2023河南官渡期末]下列说法正确的是(　 　) A.若点P(tan α,cos α)在第三象限,则α是第二象限角 B.角θ的终边与圆心在原点、半径为r的圆的交点为(rcos θ,rsin θ) ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 15.(多选题)[2023重庆九龙坡校级期末]y=2 的值可能是 (　 　) A.2 B.3 C.-4 D.0 ACD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 16.[2023河南洛阳期末]已知角α∈(0,2π),角α终边上有一点M(cos 2,cos 2), 则α=　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 17.若角α的终边与直线y=3x重合,且sin α<0,又P(m,n)是其终边上一点,且|OP|= ,则m-n等于　　　　　.  2 解析 因为sin α<0,则角α的终边位于第三象限,故m<0,n<0,且n=3m,又 ,可得m=-1,n=-3,因此m-n=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 18.已知sin α<0,且tan α>0. (1)求角α的集合; 解 (1)∵sin α<0,且tan α>0,∴角α是第三象限角, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C级 学科素养创新练 20.已知角α的终边在直线y=-3x上,求10sin α+ 的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 对于任意角α来说,P(x,y)是α终边上异于原点的任意一点,r=　　　　　,则由三角形相似的知识可知跟P在α终边上的位置无关,只与角α终边的位置有关.一般地,称为角α的正弦, 记作sin α;称为角α的余弦,记作cos α.因此sin α=　　　,cos α=　　　.  当角α的终边不在y轴上时,同样可知与点P在α终边上的位置无关,此时称为角α的正切,记作tan α,即tan α=　　　. kπ+(k∈Z) 1.已知角α的终边与单位圆交于点(-,-),则sin α=(　　)　　　　　　　　　　　　　 A.- B.- C. D. A. B.- C.- D.- 解析 由题意知P(1,-), 所以x=1,y=-,r=2,即sin α=-. - - 如果P(x,y)是α终边上异于原点的任意一点,r=,则sin α=,由 (1)sin 188°;(2)cos;(3)tan 160°. (2)因为-是第四象限角,所以cos>0. 解 r==5|a|. 若a>0,则r=5a,角α在第二象限,则sin α=,cos α==-, tan α==-; 若a<0,则r=-5a,角α在第四象限,则sin α=-,cos α=,tan α=-. ①在图中作出角α=-; 解 ①如图,以原点为角的顶点,以x轴的非负半轴为始边,顺时针旋转,与圆交于点P,过点P作x轴的垂线交x轴于点M.于是 α=∠MOP=-即为所作的角. ②设点P(u,v),则u=,v=-,sin(-)=v=-,cos(-)=u=. y=-x 则r=|OP|==5,所以sin α=,cos α=-,tan α=-. 当角的终边落在第四象限时,求得点P(4,-3),则r=|OP|==5,所以sin α=-,cos α=,tan α=-. cos θ=x 解 由题意知r=OP=, 由三角函数定义得cos θ=. 又cos θ=x,所以x. 因为x≠0,所以x=±1. 当x=1时,P(1,3), 此时sin θ=,tan θ==3. 当x=-1时,P(-1,3),此时sin θ=,tan θ==-3. (2)sin(-); (2)因为-是第四象限角,所以sin(-)<0. 变式训练2(1)设α是第一象限的角,且=cos,则所在的象限是(　　) 解析 因为α是第一象限的角,所以2kπ<α<+2kπ,k∈Z, 所以kπ<+kπ,k∈Z,即为第一或第三象限角. 又因为=cos,即cos≥0, 所以所在的象限是第一象限,故选A. 解析 因为<3<π,π<4<<5<2π, (1,),则sin α等于(　　) A.- B. C.- D. 解析 由三角函数的定义知,sin α=.故选D. A.- B. C.0 D.- 解析 ∵角α的终边过点P(4a,-3a)(a<0),∴cos α==-, sin α=,则2sin α+cos α=,故选B. A.tan(-) B.tan 505° C.sin 7.6π D.sin 186° 解析 对于A,tan(-)=-tan=-(-1)=1; -a 解析 因为点P(a,-a)(a<0)是角α终边上一点, 所以sin α=. - 解析 因为函数y=ax+1+1(a>0且a≠1)的图象经过定点P,令x+1=0,则x=-1,y=2,所以P(-1,2),于是sin α=,cos α==-, 所以sin αcos α=×(-)=-. 解析 因为≤0,>0,所以x≤0,y>0, 即故-2<a≤3. 10.[探究点一]已知角θ的终边上有一点P(-,m),且sin θ=m,求cos θ与tan θ的值. 解 由已知,得m=, 解得m=0或m=±. (1)当m=0时,r=,cos θ=-1,tan θ=0; (2)当m=时,r=2,cos θ=-,tan θ=-; (3)当m=-时,r=2,cos θ=-,tan θ=. 12.若角α的终边经过点P(-2cos 60°,-sin 45°),则sin α的值为(　　) A.- B.- C. D.- 解析 由题知r=|OP| =, 则sin α==-.故选D. 13.(多选题)[2023云南西山期末]角α终边上一点的坐标为P(x,-1),且cos α=,关于tan α下列结论正确的有(　　) A.若x≠0,则tan α>sin α B.当x=0时,tan α不存在 C.若α为第三象限角,则tan α= D.若α为第四象限角,则tan α=- C.长度等于半径的倍的弦所对的弧长为r(其中r为半径) D.钟表时针走过2小时,则时针转过的角的弧度数为 解析 ①当角x在第一象限时,sin x>0,cos x>0,tan x>0, y=2=2+1-1=2. ②当角x在第二象限时,sin x>0,cos x<0,tan x<0, y=2=2-1+1=2. ③当角x在第三象限时,sin x<0,cos x<0,tan x>0, y=2=-2-1-1=-4. ④当角x在第四象限时,sin x<0,cos x>0,tan x<0, y=2=-2+1+1=0.故选ACD. 解析 因为cos 2<0,且α∈(0,2π),所以α∈(π,). 又tan α==1,所以α=. (2)求角的终边所在的象限; (3)试判断sin,cos的符号. 即. (2)∵π+2kπ<α<+2kπ(k∈Z), ∴+kπ<+kπ(k∈Z). 当k为偶数时,角的终边在第二象限;当k为奇数时,角的终边在第四象限. ∴角的终边在第二或第四象限. (3)当角的终边在第二象限时,sin>0,cos<0; 当角的终边在第四象限时,sin<0,cos>0. 19.设α为第四象限角,其终边上的一个点是P(x,-),且cos α=x,求sin α和tan α. 解 依题意,α为第四象限角,其终边上的一个点是P(x,-),则x>0, cos α=x, 解得x=,则P(,-),所以sin α==-,tan α=. 解 设角α的终边上任一点为P(k,-3k)(k≠0), 则x=k,y=-3k,r=|k|. 当k>0时,r=k,α是第四象限角, sin α==-, , 所以10sin α+=10×+3=-3+3=0;当k<0时,r=-k,α为第二象限角, sin α=, =-, 所以10sin α+=10×+3×(-)=3-3=0. 综上,10sin α+=0. $$