7.2.3 同角三角函数的基本关系式课件-2024-2025学年高一数学人教B版（2019）必修第三册

第七章　三角函数 7.2.3　同角三角函数的基本关系式 人教B版 数学 必修第三册 课程标准 1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2α+cos2α=1, =tan α及其证明. 2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值及恒等式证明. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 基础落实·必备知识全过关 知识点 同角三角函数的基本关系 名师点睛 1.基本关系成立的前提是“同角”,它揭示了同角而不同名的三角函数关系,公式中的角可以是具体的数值,也可以是变量,可以是单项式表示的角,也可以是多项式表示的角. 2.这里的“同角”应作广义上的理解,即“同角”的概念与角的表达形式无 3.sin2α是(sin α)2的简写,读作“sin α的平方”,不能将sin2α写成sin α2,前者是α的正弦的平方,后者是α2的正弦,两者是不同的. 4.同角三角函数基本关系式的变形 (1)sin2α=1-cos2α;(2)cos2α=1-sin2α;(3)1=sin2α+cos2α;(4)(sin α+cos α)2 =1+2sin αcos α;(5)(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α. 过关自诊 1.sin22 023°+cos22 023°=(　　)　　　　　　　　　　　　　 A.0 B.1 C.2 023 D.2 023° 2.若sin θ+cos θ=0,则tan θ=　　　　　.  解析 由平方关系知sin22 023°+cos22 023°=1. B -1 重难探究·能力素养全提升 探究点一　利用同角三角函数基本关系式求值 角度1.根据已知三角函数值求另外两个三角函数值 解 因为α为第一象限角,所以cos α>0. 规律方法　利用同角三角函数基本关系式解决给值求值问题的方法 (1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解 (2)若没有给出角α是第几象限角,则应分类讨论,先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限,再分类求解. 变式训练1已知tan α= ,求sin α,cos α的值. 角度2.弦化切求值 分析由于已知条件为正切,所求式为正、余弦,故应想办法将切化正、余弦,或将弦化切(这是一种分析综合的思想);若切化弦,应把条件tan α= 代入所求式,消去其中一种函数,再进一步求值;若弦化切,应把所求式化成用tan α表示的式子,代入化简即可. 规律方法　已知角α的正切值,求由sin α和cos α构成的代数式的值 (1)对分式齐次式,因为cos α≠0,一般可在分子和分母中同时除以cosnα,使所求代数式化成关于tan α的代数式,从而得解; (2)对整式(一般是指关于sin2α,cos2α)齐次式,把分母看为“1”,用sin2α+cos2α替换“1”,从而把问题转化成分式齐次式,在分子和分母中同时除以cos2α,即可得关于tan α的代数式,从而得解. 角度3.“sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α”三者间的“知一求二” 规律方法　已知sin α±cos α,sin αcos α求值问题,一般利用三角恒等式,采用整体代入的方法求解.涉及的三角恒等式有: (1)(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ; (2)(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ; (3)(sin θ+cos θ)2+(sin θ-cos θ)2=2; (4)(sin θ-cos θ)2=(sin θ+cos θ)2-4sin θcos θ. ABD 探究点二　利用同角三角函数关系式化简 【例4】 [人教A版教材习题]化简: (1)cos θtan θ; (3)(1+tan2α)cos2α. 规律方法　三角函数式化简的常用方法 (1)化切为弦,即把正切函数化为正弦、余弦函数,从而减少函数名称,达到化简的目的. (2)对于含有根号的,常把根号里面的部分化成完全平方式,然后去根号达到化简的目的. (3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin2α+cos2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的. 探究点三　利用同角三角函数关系式证明 规律方法　1.证明恒等式的常用思路: (1)从一边证到另一边,一般由繁到简; (2)左右开弓,即证左边、右边都等于第三者; (3)比较法(作差法,作商法). 2.常用的技巧: (1)巧用“1”的代换; (2)化切为弦; (3)多项式运算技巧的应用(分解因式). 变式训练5[北师大版教材习题]求证: (1)sin4α-cos4α=sin2α-cos2α; (2)sin4x+sin2xcos2x+cos2x=1. 证明 (1)sin4α-cos4α=(sin2α-cos2α)·(sin2α+cos2α)=sin2α-cos2α. (2)sin4x+sin2xcos2x+cos2x=sin2x(sin2x+cos2x)+cos2x=sin2x+cos2x=1. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 A级 必备知识基础练 18 19 20 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 ABD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 ABD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 7.[探究点一(角度2)·2023湖南新邵期末]已知tan α=-4,则 的值为　　　　　.  2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 10.[探究点三·北师大版教材习题]求证: (1)tan2θ-sin2θ=tan2θsin2θ; (2)(cos α-1)2+sin2α=2-2cos α; (3)sin4x+cos4x=1-2sin2xcos2x. (2)(cos α-1)2+sin2α=cos2α-2cos α+1+sin2α=2-2cos α. (3)sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x=1-2sin2xcos2x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B级 关键能力提升练 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 BD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 选项正确的是( 　　) A.m=8 B.m=0或m=8 C.sin θ>cos θ ACD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 C级 学科素养创新练 19 20 17.若θ∈(0, ),记P=cos2θ-sin2θ,Q=cos3θ-sin3θ,R=cos4θ-sin4θ,则P,Q,R的大小关系为　　　　　.  P=R<Q 解析 R=cos4θ-sin4θ=(cos2θ+sin2θ)·(cos2θ-sin2θ)=cos2θ-sin2θ=P, P-Q=cos2θ-sin2θ-(cos3θ-sin3θ) =(cos θ-sin θ)(cos θ+sin θ)-(cos θ-sin θ)(1+cos θsin θ) =(cos θ-sin θ)(cos θ+sin θ-1-cos θsin θ) =(cos θ-sin θ)(cos θ-1)(1-sin θ), 因为θ∈(0, ),所以cos θ-sin θ>0,cos θ-1<0,1-sin θ>0,所以P-Q<0,即P<Q, 所以P,Q,R的大小关系为P=R<Q. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 整理得m2+1=(m-2)2=m2-4m+4, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C级 学科素养创新练 19.已知第一象限角α的顶点在坐标原点,始边与x轴正半轴重合,终边经过点P(m,m+1),且cos α= . (1)求m及tan α的值; (2)求sin α(sin α+cos α)的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 因为α为第一象限角,则m>0, 故m=3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 20.已知第二象限角α满足sin α,cos α是关于x的方程25x2-5x-12=0的两个实根. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 如果P(x,y)是α终边上不同于坐标原点的点,记r=,则sin α=, cos α=,tan α=. 由此可看出sin2α+cos2α=1,tan α=. 关,如sin23α+cos23α=1,=tan(α≠2kπ+π,k∈Z)恒成立. 5.商数关系tan α=(α≠kπ+,k∈Z)的变形 (1)sin α=tan α·cos α;(2)cos α=. 解析 由sin θ+cos θ=0得sin θ=-cos θ,所以tan θ==-1. 【例1】 [北师大版教材习题](1)已知sin α=,且α为第一象限角,求cos α和tan α的值. 又sin α=,所以cos α=. 故tan α=.故cos α=,tan α=. (2)已知cos α=-,且α为第三象限角,求sin α和tan α的值. 解 因为α为第三象限角,所以sin α=-=-=-. 故tan α=.故sin α=-,tan α=. (3)已知tan α=-,且α为第二象限角,求sin α和cos α的值. 解 由②得cos α=-sin α,③ 将③代入①整理,得sin2α=. 又α为第二象限角,所以sin α=. 将sin α=代入③,得cos α=-.故sin α=,cos α=-. 解 ∵tan α=>0, ∴α为第一或第三象限的角. 当α是第一象限角时, 解得 同理,当α为第三象限角时,sin α=-,cos α=-. 【例2】 已知tan α=-,求下列各式的值. (1); (2)2sin2α-sin αcos α+5cos2α; (3). =- 解 (1)由tan α==-,得cos α=-3sin α,代入所求式得=-. (2)原式=·cos2α=(2tan2α-tan α+5)·. 将tan α=-代入,原式=. (3)原式=. 变式训练2[2023陕西汉滨期末]已知=2,求下列各式的值. (1);(2)sin αcos α+2. 解 由=2,则tan α=. (1)原式==5. (2)原式=+2=+2=+2=. 【例3】 [2023江西月湖校级期中]已知sin α+cos α=,且<α<2π,计算: (1)sin α-cos α;(2). 解 (1)由sin α+cos α=,且<α<2π, 可得sin α<0,cos α>0, ∴sin2α+cos2α+2sin αcos α=,∴2sin αcos α=-, 因此sin α-cos α=-=-=-. (2)=-. 变式训练3(多选题)已知α∈(0,π),且sin α+cos α=,则(　 　) A.<α<π B.sin αcos α=- C.cos α-sin α= D.cos α-sin α=- 解析 ∵sin α+cos α=, ∴(sin α+cos α)2=sin2α+cos2α+2sin αcos α=1+2sin αcos α=, ∴sin αcos α=-<0,故B正确; 又α∈(0,π),sin α>0,∴cos α<0, ∴<α<π,故A正确; ∴cos α-sin α=-=-=-=-,故C错误,D正确.故选ABD. (2); 解 (1)cos θtan θ=cos θ·=sin θ. (2)=1. (3)(1+tan2α)cos2α=cos2α+·cos2α=cos2α+sin2α=1. 变式训练4化简:. 解 = =-=-1. 【例5】 求证:. 证明 因为左边= = ==右边, 所以原式成立. 1.[探究点一(角度1)·2023海南琼山校级期末]已知cos α=-,且sin α<0,则 tan α=(　　) A. B.- C. D.- 解析 因为cos α=-,且sin α<0,所以sin α=-=-, 则tan α=.故选A. 2.[探究点一(角度1)]已知tan θ=-,0<θ<π,则sin θ=(　　) A.- B. C.- D. 解析 由tan θ==-,得cos θ=-2sin θ, 结合sin2θ+cos2θ=1可得sin2θ=, 因为0<θ<π,所以sin θ=.故选B. 3.[探究点一(角度2)]已知tan θ=,则cos2θ+cos θsin θ=(　　) A. B. C. D. 解析 因为tan θ=,故cos2θ+sin θcos θ=.故选C. 4.(多选题)[探究点一(角度1)·2023河北定州期末]已知θ∈(0,π),cos θ=-,则下列结论正确的是(　 　) A.θ∈(,π) B.sin θ-cos θ= C.tan θ=- D.=- 解析 因为θ∈(0,π),cos θ=-<0,所以θ∈(,π),A正确;可得sin θ=,可得sin θ-cos θ=,B正确;可得tan θ==-,C错误;可得=-,D正确.故选ABD. 5.(多选题)[探究点一(角度3)]已知sin θ+cos θ=,θ∈(0,π),则下列等式正确的是(　 　) A.sin θcos θ=- B.sin θ-cos θ= C.tan θ=- D.sin3θ+cos3θ= 6.[探究点一(角度1)·2023上海浦东校级期末]已知sin α=-,α∈(-,0),则 cos α=　　　　　.  解析 因为sin α=-,α∈(-,0), 所以cos α=. 解析 ∵tan α=-4,∴原式==2. 8.[探究点二·2023上海宝山校级模拟]已知sin α=,则的值为　　　　　.  - 解析 ∵sin α=,∴=-. 9.[探究点二]化简:·sin2x. 解 原式=(tan x+)sin2x=()·sin2x=·sin2x==tan x. 证明 (1)tan2θ-sin2θ=-sin2θ=sin2θ(-1)=sin2θ·=sin2θ· =tan2θsin2θ. 11.已知,则等于(　　) A. B.- C.2 D.-2 解析 因为,所以=-. 12.已知α∈(0,),且sin α+cos α=,则tan α=(　　) A.2 B. C. D. 解析 将sin α+cos α=,两边平方可得sin2α+2cos2α+2sin αcos α=2. 因为sin2α+cos2α=1,所以sin2α+2cos2α+2sin αcos α=2sin2α+2cos2α,所以2sin αcos α=sin2α. 因为α∈(0,),所以sin α>0,所以2cos α=sin α,可得tan α==2,故选A. 13.(多选题)[2023山东德州期末]已知θ∈(0,π),sin θ+cos θ=,则下列结论正确的是(　　) A.sin θ-cos θ=- B.cos θ=- C.tan θ=- D.sin4θ-cos4θ= 14.(多选题)[2023河南太康期末]已知cos θ=,tan θ=,且θ∈(,π),下面 D.sin2θ+2sin θcos θ=- 解析 因为cos θ=,tan θ=,所以sin θ=cos θ·tan θ=.因为sin2θ+cos2θ=1, 所以()2+()2=1,解得m=0或m=8. 因为θ∈(,π),所以sin θ>0,cos θ<0,经检验,当m=0时,cos θ=>0,不合题意,所以m=8,此时sin θ=,cos θ=-,sin2θ+2sin θcos θ=-. 故A选项正确,B选项错误,C,D选项正确.故选ACD. 15.[2023四川青羊校级期末]已知sin φcos φ=<φ<,则sin φ的值为　　　　　.  解析 ∵<φ<,则cos φ<sin φ,∵sin φcos φ=, ∴(sin φ+cos φ)2=1+,∴sin φ+cos φ=①, 同理可得sin φ-cos φ=②,联立①②可得,sin φ=. 16.已知<x<π,sin x+cos x=,则sin x-cos x=　　　　　.  解析 (sin x+cos x)2=1+2sin xcos x=,得2sin xcos x=-,(sin x-cos x)2 =1-2sin xcos x=, 因为<x<π,所以sin x>cos x, 故sin x-cos x=. 18.[2023山东薛城校级期末](1)是否存在实数m,使sin x=,cos x=,且x是第二象限角?若存在,请求出实数m;若不存在,请说明理由. (2)若tan x=,求的值. 解 (1)假设存在实数m,使sin x=,cos x=, 故sin2x+cos2x=()2+()2=1, 解得m=,故sin x>0,cos x<0, 故满足x为第二象限角. 故存在实数m=. (2)由于tan x=,所以. 解 (1)依题意cos α=, 整理得7m2-18m-9=0, 解得m=3或m=-, 所以tan α=. (2)由(1)知P(3,4),则sin α=, 则sin α(sin α+cos α)=×()=. (1)求tan α+的值; (2)求的值. 解 (1)由题意知sin α+cos α=-, sin αcos α=-, 又α为第二象限角, 解得sin α=,cos α=-, 故tan α=-, 所以tan α+=-=-. (2)由(1)知tan α=-, 又=-. $$