7.2.4 诱导公式 课件-2024-2025学年高一数学人教B版（2019）必修第三册

第七章　三角函数 7.2.4　诱导公式 人教B版 数学 必修第三册 课程标准 1.掌握诱导公式,并会应用公式求任意角的三角函数值. 2.会用诱导公式进行简单的三角函数的化简和恒等式的证明. 3.通过公式的运用,学会从未知到已知、从复杂到简单的转化方法. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 基础落实·必备知识全过关 知识点1 角α与α+k·2π(k∈Z)的三角函数值之间的关系(诱导公式①) sin(α+k·2π)=　　　　,cos(α+k·2π)=　　　　,tan(α+k·2π)=　　　　. 过关自诊 计算:(1)sin 390°=　　　　　;  (2)cos 765°=　　　　　;  (3)tan(-300°)=　　　　　.  sin α cos α tan α 知识点2 角的旋转对称 一般地,角α的终边和角β的终边关于角　　　　　的终边所在的直线对称. 过关自诊 60°和120°角的终边关于　　　　角的终边所在的直线对称. 90° 知识点3 角α与-α的三角函数值之间的关系(诱导公式②) sin(-α)=　　　,cos(-α)=　　　,tan(-α)=　　　.  过关自诊 计算: (1)sin(-45°);(2)cos(-765°);(3)tan(-750°). -sin α cos α -tan α 角α与π±α的三角函数值之间的关系(诱导公式③④) 知识点4 诱导公式③ sin(π-α)=　　　　　　,cos(π-α)=　　　　　　,tan(π-α)=　　　　　　.  诱导公式④ sin(π+α)=　　　　　　,cos(π+α)=　　　　　　,tan(π+α)=　　　　　　.  sin α -cos α -tan α -sin α -cos α tan α 名师点睛 1.公式①~④的概念: α+k·2π(k∈Z),-α,π±α的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号. 2.判断函数值的符号时,虽然把α看成锐角,但实际上,对于正弦与余弦的诱导公式,α可以为任意角;对于正切的诱导公式,α的终边不能落在y轴上, 3.公式既可以用弧度制表示,也可以用角度制表示. 4.“函数名不变,符号看象限”: “函数名不变”是指等式两边的三角函数同名; “符号看象限”是指把原角看成锐角时新角在原函数下的符号,由新角所在象限确定符号.如sin(π+α),若把α看成锐角,则π+α在第三象限,所以取负值,故sin(π+α)=-sin α. 过关自诊 计算:(1)sin 150°; 知识点5 角α与 ±α的三角函数值之间的关系(诱导公式⑤⑥) 诱导公式⑤ 诱导公式⑥ cos α　 sin α cos α -sin α 过关自诊 B 知识点6 角α与 ±α的三角函数值之间的关系(诱导公式⑦⑧) 诱导公式⑦ 诱导公式⑧ sin α -cos α -sin α -cos α 过关自诊 [2023湖南雨花期末]已知α为钝角,且 ,则cos α=　　　　　.  重难探究·能力素养全提升 探究点一　给角求值 【例1】 [人教A版教材例题]利用公式求下列三角函数值: (1)cos 225°; (4)tan(-2 040°). 解 tan(-2 040°)=-tan 2 040°=-tan(6×360°-120°)=tan 120° =tan(180°-60°)=-tan 60°= . 规律方法　任意角的三角函数化为锐角的三角函数的步骤 变式训练1[北师大版教材例题]求下列函数值: 探究点二　给值(式)求值 【例2】 (1)已知cos 31°=m,则sin 239°tan 149°的值是(　　) 分析 239°=180°+59°,149°=180°-31°,59°+31°=90°→选择公式化简求值 B 解析 sin 239°tan 149°=sin(180°+59°)tan(180°-31°) =-sin 59°(-tan 31°)=-sin(90°-31°)(-tan 31°)=-cos 31°·(-tan 31°)= 规律方法　解决化简求值问题的策略 (1)要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系. (2)可以将已知式进行变形,向所求式转化,或将所求式进行变形,向已知式转化. A ①求tan α的值; ②求2sin αcos α-cos2α+sin2α的值. 探究点三　化简求值 【例3】 化简: (1)[人教A版教材习题] 规律方法　三角函数式的化简方法 (1)利用诱导公式,将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数. (2)常用“切化弦”法,即表达式中的切函数通常化为弦函数. (3)注意“1”的变式应用:如1=sin2α+cos2α=tan . 解得m=3或m=-3(舍去).所以m=3. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 A级 必备知识基础练 18 1.[探究点一·2023河南信阳期末]cos 1 680°=(　　) A 解析 cos 1 680°=cos(360°×5-120°)=cos(-120°)= ,故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2.[探究点二·2023北京大兴期末]已知sin 36°=a,则sin 54°等于(　　) A 解析 因为sin 36°=a,sin236°+cos236°=1, 所以cos 36°= , 所以sin 54°=sin(90°-36°)=cos 36°= ,故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 BCD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 5.(多选题)[探究点三]化简 的结果是(　　) A.sin 2-cos 2 B.|cos 2-sin 2| C.±(cos 2-sin 2) D.无法确定 AB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 7.[探究点二]已知sin α= ,且α是第二象限角,则cos(π-α)+sin(π+α)的值等于　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 9.[探究点三]已知α是第四象限角,且α的终边在直线y=-2x上. (1)求sin α,cos α和tan α的值; 解 (1)取点P(1,-2)在直线y=-2x上,且位于第四象限,所以点P在α的终边上. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 B级 关键能力提升练 A.-1 B.-2 C.1 D.2 BD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 A.1 B.2 C.3 D.6 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 D 解析 由tan(π-θ)=3,得-tan θ=3,即tan θ=-3, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 C级 学科素养创新练 18.(1)已知sin α是方程5x2-7x-6=0的根,求 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解 (1)sin(-45°)=-sin 45°=-. (2)cos(-765°)=cos(-45°)=cos 45°=. (3)tan(-750°)=tan(-30°)=-tan 30°=-. 即α≠kπ+(k∈Z). (2)cos;(3)tan. 解 (1)sin 150°=sin(180°-30°)=sin 30°=. (2)cos=cos(π+)=-cos=-. (3)tan=tan(π+)=tan=1. sin(-α)=　　　　,cos(-α)=　　　　.  sin(+α)=　　　　,cos(+α)=　　　　.  [2023湖北模拟]设cos x=,则sin(x-)=(　　)　　　　　　　　　　　　　 A. B.- C. D.- 解析 由题意得sin(x-)=-cos x, ∵cos x=,∴sin(x-)=-cos x=-,故选B. cos=　　　　,sin=　　　　.  cos=　　　　,sin=　　　　.  cos(+α)= - 解析 由已知得cos(+α)=sin α=. ∵α为钝角,∴cos α=-=-. (2)sin; 解 cos 225°=cos(180°+45°)=-cos 45°=-. 解 sin=sin(2π+)=sin=sin(π-)=sin. (3)sin(-); 解 sin(-)=-sin=-sin(5π+)=-(-sin)=. - 解 sin(-)=-sin=-sin(+9π)=-(-sin)=sin. 解 sincos(-)+sincos=sin(-+π)cos+sin(-+2π)cos(+π) =sincos+-sin)·(-cos)=2×. (1)sin; (2)sin(-); (3)sincos(-)+sincos. 解 sin=sin(+2π)=sin=sin()=cos. A. B. C.- D.- sin 31°=. (2)[人教A版教材习题]已知sin(-x)=,且0<x<,求sin(+x)和cos(+x)的值. 分析 (-x)+(+x)=,(+x)+(-x)=π. 解 因为0<x<,所以--x<. 又sin(-x)=>0,所以0<-x<, 所以cos(-x)=. 所以sin(+x)=sin[-(-x)]=cos(-x)=,cos(+x)=cos[π-(-x)]=-cos(-x) =-. (3)常见的角度关系有-α与+α,+α与-α,+γ与-γ,+γ与-γ等. 变式训练2(1)[2023天津红桥校级期末]若sin(α-)=,则cos(α+)=(　　) A.- B.- C. D. 解析 cos(α+)=cos(α-)=-sin(α-)=-.故选A. (2)已知=1. 解 ①因为=1, 所以=1,从而sin α=2cos α, 则tan α==2. ②2sin αcos α-cos2α+sin2α=. ; 解 原式== =-=-tan α. (2). 解 原式== =-1. 变式训练3已知角α终边上一点(-4,m),m>0,且cos α=-. (1)求m的值; (2)求的值. 解 (1)因为cos α=-,且α终边过点(-4,m),所以cos α=-, (2),又sin2α=,cos α=-, 所以原式==-. A.- B.- C. D. - A. B.a C.- D.-a 3.[探究点二]已知tan(α-)=,且α∈(0,),则cos(-α)=(　　) A.- B. C.- D. 4.(多选题)[探究点一·2023山东济宁期末]已知k∈Z,则下列各式中,与cos 数值相同的是(　 　) A.cos(kπ+) B.cos(2kπ+) C.sin(2kπ+) D.sin[(2k+1)π-] 解析 当k为奇数时,cos(kπ+)=-cos,故A错误; Cos(2kπ+)=cos,故B正确; sin(2kπ+)=sin =cos ,故C正确; sin[(2k+1)π-]=-sin(-)=sin =cos ,故D正确.故选BCD. 解析 原式==|sin 2-cos 2|=sin 2-cos 2. 6.[探究点三]设tan(5π+α)=m,则的值为　　　　　.  解析 由题意知tan α=m, 原式=. 解析 ∵sin α=,且α是第二象限角,∴cos α=-=-, ∴cos(π-α)+sin(π+α)=-cos α-sin α=. 8.[探究点三·2023四川涪城期末]已知函数f(α)=,若sin(α+)=,则f(-α)=　　　　　.  解析 因为f(α)==cos α,又因为sin(α+)=,则f(-α)=cos(-α)=sin[-(-α)]=sin(+α)=. (2)求的值. 所以sin α==-,cos α=,tan α==-2. (2)原式==sin αcos α=-=-. 10.(多选题)已知A=(k∈Z),则A的值是(　　) 解析 当k为偶数时,A==2; 当k为奇数时,A==-2.故选BD. 11.已知=1,则的值是(　　) 解析 由已知得=tan θ=1,所以原式==1. 12.已知tan(π-θ)=3,则=(　　) A.-1 B.- C.1 D. 则. 13.[2023河北桃城校级期末]若3sin α-sin β=,α+β=,则tan α=(　　) A.- B. C.-3 D.3 14.已知sin(α+π)=,且sin αcos α<0,则=　　　　.  - 解析 因为sin(α+π)=-sin α=,所以sin α=-. 又sin αcos α<0,sin2α+cos2α=1, 所以cos α=,tan α==-, 所以=-. 15.[2023河北大名校级月考]已知sin α=-,α为第三象限角,则=　　　　　.  - 解析 因为sin α=-,又因为α为第三象限角,所以cos α=-,所以tan α=,则=-. 16.已知点A(-),将OA绕坐标原点顺时针旋转至OB,点A的对应点是点B,则点B的坐标为　　　　　.  () 解析 |OA|=|OB|==1. 设角α的终边过A(-),则cos α=-,sin α=, 所以cos(α-)=sin α=,sin(α-)=-cos α=, 所以点B的坐标为(). 解 f(α)==-cos α, (1)∵α是第三象限角,sin α=-<0,∴cos α<0, ∴cos α=-=-,则f(α)=-cos α=. (2)f(-)=-cos(-)=-cos(11π+)=-cos(π+)=cos . 17.[2023湖南天心校级期末]已知f(α)=. (1)若α是第三象限角,sin α=-,求f(α)的值; (2)若α=-,求f(α)的值. 的值. (2)已知sin(4π+α)=sin β,cos(6π+α)=cos(2π+β),且0<α<π,0<β<π,求α和β的值. 解 (1)因为方程5x2-7x-6=0的两根为2和-, 所以sin α=-. 由sin2α+cos2α=1,得cos α=±=±. 当cos α=时,tan α=-; 当cos α=-时,tan α=. 所以原式==tan α=±. (2)因为sin(4π+α)=sin β, 所以sin α=sin β. ① 因为cos(6π+α)=cos (2π+β), 所以cos α=cos β. ② ①2+②2,得sin2α+3cos2α=2(sin2β+cos2β)=2, 所以cos2α=,即cos α=±. 又0<α<π,所以α=或α=. 又0<β<π,当α=时,由②得β=;当α=时,由②得β=.所以α=,β=或 α=,β=. $$