7.3.1 正弦函数的性质与图象课件-2024-2025学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

第七章　三角函数 7.3.1　正弦函数的性质与图象 人教B版 数学 必修第三册 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 基础落实·必备知识全过关 知识点1 正弦函数性质 1.对于任意一个角x,都有唯一确定的正弦sin x与之对应,因此y=sin x是一个函数,一般称为　　　　　　.  2.正弦函数的性质与图象 性质与图象 y=sin x 图象 定义域 　　　  正弦函数 R 性质与图象 y=sin x 最值 当且仅当　　　　　　　时,ymax=　　　;当且仅当 　　　　　　　　时,ymin=　　　  奇偶性 　　　　函数  周期性 周期为　　　  单调性 在区间[-+2kπ,+2kπ](k∈Z)上　　 　　;  在区间[+2kπ,+2kπ](k∈Z)上　　 　  零点 　　　　(k∈Z)  对称性 对称中心:(kπ,0)(k∈Z) 对称轴l:x=kπ+(k∈Z) 1 -1 奇 2π 单调递增 单调递减 kπ 3.周期:一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得对定义域内的每一个x,都满足　　　 　　　,那么就称函数f(x)为周期函数,　 　　 　　　称为这个函数的　　　　.  f(x+T)=f(x)　 非零常数T 周期 名师点睛 对三角函数的性质的理解 (1)如果y=sin x的定义域不是全体实数,那么它的值域就可能不是[-1,1].如y=sin x,x∈[0,],此时y∈[0,1]. (2)正弦函数在其定义域上不是单调的. (3)若函数y=sin x的定义域不是R,求其值域时可借助函数在区间上的单调性求解,也可画出函数在给定区间上的图象,找出最高点和最低点的纵坐标. 过关自诊 B 2.[北师大版教材习题]当x∈[-π,π]时,函数y=3sin x(　　) A.在区间[-π,0]上单调递增,在区间[0,π]上单调递减 B 又y=3sin x的单调性与y=sin x的单调性相同,所以选项B正确. 3.[人教A版教材习题]求使函数y=2sin x取得最大值、最小值的自变量的集合,并求出最大值、最小值. 解 当x∈{x|x= +2kπ,k∈Z}时,函数取得最大值2; 当x∈{x|x=- +2kπ,k∈Z}时,函数取得最小值-2. 知识点2 正弦函数的图象 1.正弦曲线:一般地,y=sin x的函数图象称为　　　　　　.  2.“五点法”: (2)将所得图象向左、向右平行移动(每次2π个单位). 正弦曲线 名师点睛 对三角函数的图象的理解 (1)作正弦函数图象时,函数自变量要用弧度制,以保证自变量与函数值都为实数. (2)正弦曲线是轴对称图形,对称轴为x= +kπ(k∈Z);正弦曲线也是中心对称图形,且对称中心为(kπ,0)(k∈Z). (3)正弦曲线相邻两条对称轴之间的距离为π,相邻两个对称中心的距离也为π,对称中心到其相邻对称轴的距离为 . 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)正弦函数y=sin x的图象向左右和上下无限伸展.(　　) (2)函数y=sin x与y=sin(-x)的图象完全相同.(　　) (3)函数y=sin x的图象关于点(0,0)对称.(　　) × × √ 2.从函数y=sin x,x∈[0,2π)的图象来看,对应于sin x= 的x有(　　)　　　　　　　　　　　　　 A.1个值 B.2个值 C.3个值 D.4个值 B 3.在“五点法”中,正弦曲线最低点的横坐标与最高点的横坐标的差的绝对值等于(　　) B 重难探究·能力素养全提升 探究点一　正弦函数的值域、最值 【例1】 (1)(多选题)已知函数f(x)=2asin x+a+b的定义域是[0, ],值域为[-5,-1],则a,b的值为(　　) A.a=2,b=-7 B.a=-2,b=2 C.a=-2,b=1 D.a=1,b=-2 分析 根据正弦函数的值域,分情况表示出最大值和最小值,通过解方程组求a,b. AC (2)求函数f(x)=sin(π+x)-cos2x的最大值和最小值,并求出取得最大值和最小值时x的值. 分析 利用诱导公式、同角三角函数的关系统一成只含正弦函数的形式,换元求最值. 规律方法　关于与正弦函数有关的最值 (1)一次式:如果是关于正弦函数的一次式,要根据一次项的系数正负确定最值; (2)二次式:如果是关于正弦函数的二次式,则通过换元转化为一元二次函数配方求最值. 变式训练1(1)函数f(x)=1-2sin2x+2sin x的最大值与最小值的和是(　　) A.-2 B.0 C (2)[人教A版教材例题]求使函数y=-3sin 2x取得最大值、最小值的自变量的集合,并求出最大值、最小值. 因为sin 2x∈[-1,1],所以函数y=-3sin 2x,x∈R的最大值是3,最小值是-3. 探究点二　函数奇偶性的判断 【例2】 [人教A版教材习题]判断下列函数的奇偶性: (1)y=2sin x;(2)y=x+sin x. 分析利用函数奇偶性的定义进行判断. 解 (1)函数的定义域为R,记f(x)=2sin x,因为f(-x)=2sin(-x)=-2sin x=-f(x),所以函数y=2sin x为奇函数. (2)函数的定义域为R,记f(x)=x+sin x,因为f(-x)=-x+sin(-x)=-x-sin x=-f(x),所以函数y=x+sin x为奇函数. 规律方法　判断函数奇偶性的方法 (1)函数的定义域是判断函数奇偶性的前提,即首先要看定义域是否关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系. (2)注意奇偶性判定法的变通式和定义式的用法,即偶函数也可通过 变式训练2判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=xsin(π+x); 解 (1)函数的定义域为R,关于原点对称. 又f(x)=xsin(π+x)=-xsin x, 所以f(-x)=-(-x)sin(-x)=-xsin x=f(x), 因此f(x)是偶函数. (2)f(x)=sin 2x+x2sin x,因为x∈R,f(-x)=sin(-2x)+(-x)2sin(-x)=-sin 2x-x2sin x =-f(x),所以f(x)是奇函数. 探究点三　正弦函数单调性的应用 【例3】 比较下列各组数的大小: (4)sin 194°和cos 160°. 分析变形主要有两种:一是异名函数化为同名函数;二是利用诱导公式将角变换到同一单调区间上. (4)sin 194°=sin(180°+14°)=-sin 14°, cos 160°=cos(180°-20°)=-cos 20°=-sin 70°. 因为0°<14°<70°<90°,所以sin 14°<sin 70°. 所以-sin 14°>-sin 70°,即sin 194°>cos 160°. 规律方法　利用正弦函数的单调性比较正弦值的大小的方法 (1)同名函数:若两角在同一单调区间,直接利用单调性得出,若两角不在同一单调区间,则要通过诱导公式把角转化到同一单调区间,再进行比较; (2)异名函数:先应用诱导公式转化为同名函数,然后再比较. 探究点四　用“五点法”作函数的图象 【例4】 [北师大版教材例题改编]画出函数y=sin x-1的图象,并写出它图象的对称轴和对称中心. 解 函数y=sin x的周期是2π,按五个关键点列表. 描点,并用光滑曲线将它们顺次连接起来,就画出函数y=sin x-1在区间[0,2π]上的图象,将其按周期延拓到R上得到y=sin x-1在实数集上的图象,如图所示. 由函数图象,结合y=sin x的图象可知其图象对称轴为x=kπ+ ,k∈Z,对称中心为(kπ,-1)(k∈Z). 规律方法　用“五点法”画函数图象的基本步骤 (1)列表: (2)描点:在平面直角坐标系中描出下列五个点: (3)连线:用光滑的曲线将描出的五个点连接起来;如果定义域为R,则需左右延伸. 变式训练4函数y=1-sin x,x∈[0,2π]的大致图象为图中的(　　) B 解析 (方法一)利用五点法作出x∈[0,2π]上的函数图象,列表如下: 描点、连线得其大致图象如图所示,对照选项中的图象,可知选B. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 A级 必备知识基础练 18 1.[探究点三]下列关系式中正确的是(　　) A.sin 11°<cos 10°<sin 168° B.sin 168°<sin 11°<cos 10° C.sin 11°<sin 168°<cos 10° D.sin 168°<cos 10°<sin 11° C 解析 ∵sin 168°=sin(180°-12°)=sin 12°, cos 10°=sin(90°-10°)=sin 80°, 又11°<12°<80°,∴sin 11°<sin 12°<sin 80°, 即sin 11°<sin 168°<cos 10°.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 3.[探究点二·2023福建福州期末]若函数f(x)=sin(x+φ)是奇函数,则φ可取的一个值为(　　) A 解析 函数f(x)=sin(x+φ)是奇函数,由奇函数的定义可知φ可取的一个值为-π.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 5.[探究点四·2023宁夏兴庆校级月考]函数 与函数y=1的图象围成一个封闭图形,这个封闭图形的面积是　　　　　.  2π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 6.[探究点一·2023黑龙江香坊校级期中]若y=a+bsin x的值域是[ ],则此函数的表达式是　　 　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 B级 关键能力提升练 8.(多选题)函数y=sin x与y=sin(-x)的图象的对称轴是(　　) A.x轴 B.y轴 C.直线y=x AB 解析 函数y=sin x与y=sin(-x)的图象关于y轴对称.∵y=sin(-x)=-sin x,∴函数y=sin x与y=sin(-x)的图象关于x轴对称. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 10.函数y=-sin|x|的图象是(　　) D 解析 因为函数y=-sin|x|是定义域R上的偶函数,图象关于y轴对称,所以排除A; 因为函数y=-sin|x|的值有正有负,所以排除C;当x≥0时,y=-sin x,所以排除B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 11.函数y=sin2x+2cos2x-sin x-3的最大值是(　　) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 13.(多选题)[2023甘肃酒泉期末]若f(x)=sin ,则下列等式成立的是(　 　) A.f(2π-x)=f(x) B.f(2π+x)=-f(x) C.f(-x)=-f(x) D.f(-x)=f(x) ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 14.[2023上海浦东校级期中]函数y= (0≤x≤2π)的定义域为　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 15.若函数f(x)= 为奇函数,则a=　　　　.  1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 C级 学科素养创新练 (2)若函数f(x)有两个零点,求实数a的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 (2)令sin x=t,则f(t)=1-a2-t2+2at, 由1-a2-t2+2at=0,解得t1=a+1,t2=a-1, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 x=+2kπ,k∈Z x=+2kπ,k∈Z 1.[北师大版教材习题]函数y=sin x,x∈[],则y的取值范围是(　　)　　　　　　　　　　　　　 A.(,1] B.[,1] C.[] D.[,1] 解析 由正弦函数的单调性,知y=sin x在[]上单调递增,在[]上单调递减,所以当x=时,y取得最大值1,当x=时,y取得最小值,所以y的取值范围是[,1]. B.在区间[-]上单调递增,在区间[-π,-],[,π]上分别单调递减 C.在区间[-π,0]上单调递减,在区间[0,π]上单调递增 D.在区间[-π,-],[,π]上分别单调递增,在区间[-]上单调递减 解析 因为正弦函数y=sin x在[-]上单调递增,在[-π,-]和[,π]上单调递减, (1)画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0),(,1),(π,0),(,-1),(2π,0),用光滑的曲线连接; A. B.π C. D.2π 解析 由“五点法”知,在[0,2π]上最低点的横坐标为,最高点的横坐标为,则差的绝对值为=π,故选B. 解析 因为f(x)=2asin x+a+b的定义域是[0,],所以0≤sin x≤1. 当a<0时,由题意解得 当a>0时,由题意解得 解 f(x)=sin(π+x)-cos2x=-sin x-1+sin2x=sin2x-sin x-1,令t=sin x∈[-1,1],则y=t2-t-1=(t-)2-. 因为-1≤t≤1,所以-≤y≤1, 所以ymax=1,此时sin x=-1,x=-+2kπ,k∈Z; ymin=-,此时sin x=,x=+2kπ,k∈Z或x=+2kπ,k∈Z. C.- D.- 解析 令t=sin x,则t∈[-1,1],y=-2t2+2t+1=-2(t-)2+,所以当t=时,y有最大值,当t=-1时,y有最小值-2-2+1=-3,所以最大值与最小值的和是-,故选C. 解 令z=2x,使函数y=-3sin z,z∈R取得最大值的z的集合,就是使y=sin z,z∈R取得最小值的z的集合,即(z|z=-+2kπ,k∈Z). 由2x=z=-+2kπ,k∈Z,得x=-+kπ,k∈Z. 所以,使函数y=-3sin 2x,x∈R取得最大值的x的集合是{x|x=-+kπ,k∈Z}. 同理,使函数y=-3sin 2x,x∈R取得最小值的x的集合是{x|x=+kπ,k∈Z}. f(x)-f(-x)=0或=1(f(x)≠0);判断奇函数也可通过f(-x)+f(x)=0或=-1(f(x)≠0)判断. (2)f(x)=cos(+2x)+x2sin x. (1)sin和sin; (2)sin和sin; (3)sin和sin; 解 (1)sin=sin=sin. 因为0<,且y=sin x在上单调递增, 所以sin<sin,即sin<sin. (2)因为-<-<-,且y=sin x在区间上单调递增,所以 sin>sin. (3)sin=sin=sin, sin=sin=sin. 因为0<,且y=sin x在上单调递增, 所以sin<sin,即sin<sin. 变式训练3不通过求值,判断sin-sin的值是大于零还是小于零. 解 ∵-<-,且函数y=sin x在区间上单调递增, ∴sin<sin,即sin-sin>0. x 0 π 2π y=sin x 0 1 0 -1 0 y=sin x-1 -1 0 -1 -2 -1 于是得到函数y=sin x-1在[0,2π]上的五个关键点为(0,-1),(,0),(π,-1), (,-2),(2π,-1). x 0 π 2π sin x 0 1 0 -1 0 y y1 y2 y3 y4 y5 (0,y1),(,y2),(π,y3),(,y4),(2π,y5). x 0 π 2π sin x 0 1 0 -1 0 1-sin x 1 0 1 2 1 (方法二)令x=0,则y=1-sin 0=1,因此图象过点(0,1),可排除C,D;又令x=,则y=1-sin=2,可排除A,D.故选B. 2.[探究点一·2023北京朝阳校级月考]函数y=sin x(≤x≤)的值域为(　　) A.[] B.[,1] C.[,1] D.[-1,1] 解析 y=sin x在[]上单调递增,(]上单调递减,则当x=时,y=sin,当x=时,y=sin ,当x=时,y=sin =1,则y=sin x(≤x≤)的最大值为1,最小值为,值域为[,1].故选B. A.-π B.- C. D. 4.[探究点一]函数f(x)=sin(2x+)在(-)内的值域为(　　) A.(0,1] B.(-,0) C.(-,1] D.[-1,1] 解析 由-<x<得-<2x+<π, 故-<sin(2x+)≤1.故选C. y=sin x(≤x≤) 解析 画出函数y=sin x(≤x≤)与函数y=1的图象,如图所示. 结合正弦函数图象的特征,可得到其封闭区域的面积等于之间矩形的面积,所以封闭平面图形的面积S=()×1=2π. - y=+sin x或y=-sin x 解析 由题意可得当b>0时,解得符合题意,当b<0时,解得符合题意. ∴y=+sin x或y=-sin x. 7.[探究点一、三·2023湖南新邵期末]已知函数f(x)=sin(2x+). (1)求函数f(x)的单调递增区间; (2)当x∈[]时,求函数f(x)的值域. 解 (1)对于函数f(x)=sin(2x+), 令2x+∈[2kπ-,2kπ+](k∈Z), 求得x∈[kπ-,kπ+](k∈Z). ∴f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z). (2)当x∈[]时,2x+∈[], ∴sin(2x+)∈[-,1],sin(2x+)∈[-]. ∴当x∈[]时,函数f(x)的值域为[-]. D.直线x= 9.设函数y=sin x的定义域为[m,n],值域为[-,1],令t=n-m,则t的最大值与最小值的和为(　　) A.2π B. C.π D. 解析 因为函数y=sin x的定义域为[m,n],值域为[-,1],结合正弦函数y=sin x的图象与性质,不妨取m=-,n=,此时n-m取得最大值为;取m=-,n=,此时n-m取得最小值为.所以t的最大值与最小值的和为2π. A. B.- C.3 D.-3 解析 令t=sin x,t∈[-1,1],则y=sin2x+2cos2x-sin x-3=-t2-t-1=-(t+)2-,ymax=-,故选B. 12.[2023河北唐山二模]函数f(x)=2sin(2x+)的单调递减区间为(　　) A.[kπ+,kπ+],k∈Z B.[kπ+,kπ+],k∈Z C.[kπ+,kπ+],k∈Z D.[kπ+,kπ+],k∈Z 解析 函数f(x)=2sin(2x+)的单调递减区间为+2kπ≤2x++2kπ,k∈Z, ∴x∈[kπ+,kπ+],k∈Z,故单调递减区间为[kπ+,kπ+],k∈Z,故选A. 解析 ∵f(x)=sin,∴f(2π-x)=sin(π-)=sin=f(x),故A正确;同理可得,f(2π+x)=sin(π+)=-sin=-f(x),故B正确;由于f(x)为奇函数,故满足f(-x)=-f(x),故C正确,D错误.故选ABC. []　 解析 ∵函数解析式为y=(0≤x≤2π), ∴函数的定义域满足2sin x-1≥0,即sin x≥, 结合正弦函数的图象,可得+2kπ≤x≤+2kπ(k∈Z),由于x∈[0,2π], ∴取k=0,得≤x≤, 即函数的定义域为[]. 解析 函数f(x)=的定义域为{x|x≠-1且x≠a}. ∵函数f(x)=为奇函数, ∴函数f(x)的定义域关于原点对称,∴a=1. 16.求函数f(x)=+lg(25-x2)的定义域. 解 由题意可知 由函数y=sin x的图象(图略).满足sin x-≥0的x的集合为[2kπ+,2kπ+](k∈Z). 又25-x2>0,即-5<x<5, 故该函数的定义域为. 17.[2023广东茂名期末]已知函数f(x)=sin(2x-). (1)求f()的值; (2)求f(x)的单调递增区间; (3)求f(x)在区间[-]上的值域. 解 (1)f()=sin()=-cos=-. (2)由-+2kπ≤2x-+2kπ,k∈Z得,-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z, ∴f(x)的单调递增区间为[-+kπ,+kπ],k∈Z. (3)当x∈[-]时,2x-∈[-], ∴sin(2x-)∈[-1,], ∴sin(2x-)∈[-], 故f(x)在区间[-]上的值域为[-]. 18.[2023新疆伊州校级期末]已知函数f(x)=1-a2-sin2x+2asin x,x∈[-]. (1)若f()=1,求实数a的值; 解 (1)因为f()=1-a2-+a=1, 所以a2-a+=0, 解得a=. 又因为y=sin x在[-]上单调递增,在[]上单调递减,且sin(-)=-sin=-,sin=sin,sin=1,所以当≤t<1时,且t1>t2,当t1∈[,1),t2∈(-∞,-)时, 所以解得-1≤a<0. 当t2∈[,1),t1∈(-∞,+∞)时,解得+1≤a<2,其他情况不成立. 综上,f(x)有两个零点时,a的取值范围是[-1,0)∪[1+,2). $$