21.2.2解一元二次方程——元二次方程的求根公式 导学案2024--2025学年人教版数学九年级上册

21.2.2公式法——一元二次方程的求根公式 【学习目标】经历推导一元二次方程求根公式的过程，总结一元二次方程求根公式法的解题步骤；感悟用字母表示的求根公式的意义，体会算术与代数的差异；能熟练地选择适当的方法解一元二次方程。 【学习过程】 1、 自主学习： 1.简要说明配方法解一元二次方程的一般步骤。 2.我们发现，利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的。因此，如果能用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，得到根的一般表达式，那么再解一元二次方程时，就会方便简捷得多.你会用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)吗？请试一试。 3.试解下列方程: (1)x2+10x+9=0； (2)x2-x-2=0； (3)2x2-4x+5=0； (4)3x2+6x-4=0； (5)4x2+6x-3=0； (6)x(x+4)=3x+12. 二、独立思考： 对比你的解题过程与课本上的解题过程，两者有哪些地方相同，又有什么区别吗？你在解题过程中遇到了哪些困惑？ 三、合作探究： 1.请谈谈你对一元二次方程的求根公式的理解。 2.请总结出用公式法解一元二次方程的一般步骤。 3.我们学习了一元二次方程的多种解法，上述方程你选择的什么解法？为什么选择这种解法？ 4、 应用探究： (一)单选题 1．（24-25九年级上·安徽·假期作业）用求根公式解一元二次方程时，，的值是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（23-24九年级上·福建厦门·期中）用公式法解一元二次方程的步骤排序正确的是（　　） ①如果，代入求根公式求出方程的根；如果，没有实数根． ②将方程化为一般形式，确定a、b、c的值． ③根据的值判断一元二次方程根的情况． ④计算出根的判别式的值． A．①②③④ B．④②①③ C．②④③① D．③①④② 3．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·浙江杭州·二模）若一元二次方程的根的判别式的值是5，则b的值是（    ） A．1 B． C．3 D． 5．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）已知a是一元二次方程的较小的根，则下面对a的估值正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级下·广东深圳·开学考试）关于x的方程，下列解法完全正确的是（   ） 甲 乙 丙 丁 两边同时除以得到． 移项得 ， ∴， ∴或， ∴，． 整理得， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 整理得， 配方得， ∴， ∴， ∴，． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 (二)填空题 7．（23-24八年级下·广西崇左·阶段练习）用公式法解方程，计算 ． 8．（23-24八年级上·上海青浦·期中）在中，，，，则 ． 9．（22-23八年级上·上海长宁·期中）在实数范围内因式分解： ． 10．（23-24九年级上·广东东莞·期中）将关于x的一元二次方程 变形为 ，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如． 我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知： ，且， 则 的值为 ． 11．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）关于x的一元二次方程，当 时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数．则黄金分割数为 ． 12．（2024·陕西渭南·二模）欧几里得的《原本》记载，形如的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取，则的长是该方程的一个正根．当，时，的长为 ． （三）解答题 13．（2024九年级上·全国·专题练习）用指定方法解下列一元二次方程． (1) (直接开平方法) (2) (配方法) (3) (公式法) (4) (因式分解法) 14．（23-24九年级下·山东烟台·期中）用指定的方法解方程： (1)（用配方法） (2)（用公式法） (3)（用因式分解法） (4)（用适当的方法） 15．（23-24八年级下·浙江·期中）用适当方法解方程： (1)． (2)． 16．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）用适当方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．（2024·四川达州·二模）关于的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形． (1)求黄金分割数；(2)如图，在正方形中，是边的中点，以为圆心，线段长为半径作弧，交的延长线于点，作矩形，试说明矩形是黄金矩形． 18．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）如图，在矩形中，点为对角线的中点，直线过点且与边，分别交于点，，，连接，． (1)求证：四边形是菱形．(2)若，求菱形的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 2．C 3．A 4．B 5．A 6．D 7．13 8．或 9． 10． 11． 12． 13．(1);(2)，;(3);(4) 14．(1)，；(2) (3) ；(4) 15．(1)；(2) 16．(1)，；(2)，；(3)， (4)， 17．(1)； (2)设正方形的边长为，则，由中点及勾股定理得，从而求得，即可证明结论成立； 18．(1)首先判定平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行判定即可；(2) $$