21.2.4解一元二次方程——一元二次方程根与系数的关系 导学案2024--2025学年人教版数学九年级上册

21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 【学习目标】经历问题探究的过程，发现一元二次方程的根与系数的关系；会利用一元二次方程的根与系数的关系解决一些简单的问题。 【学习过程】 1、 自主学习 【问题背景】 (1)已知关于x的一元二次方程x2+(k-1)x+3=0 两根的和为 6，求k的值及方程的两根. (2)已知关于x的一元二次方程x2+(k-1)x+k=0 两根的积为 1，求k的值. (3)已知关于x的方程2x2-4x+3q=0的一个根是,求它的另一个根和q的值. (4)已知关于x的方程x2-px+q=0的两个根是0和-3,求p和q的值. 【提出问题】以上问题，都有一个相同点，它们都已知方程的根或根的关系，要确定方程中系数的值。那么怎样用方程的根来表示方程的系数？ 【特例探究】 方程 x1 x2 a b c 你的发现（用两根的式子表示系数） x2-2x=0 x2+3x-4=0 x2-5x-6=0 2x2+3x-1=0 3x2+5x-2=0 2、 独立思考： 【大胆猜想】 (1) 关于x的方程x2+px+q=0的两个根是x1和x2，则P=_____;q=______. (2) 关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根是x1和x2，则_________________. 【证明猜想】 3、 合作探究 【解决问题】请解决问题背景中的4个问题。 4、 应用探究： 一、单选题 1．（2024·天津·三模）方程的根是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）已知a，b是方程的两个实数根，则的值是(   ) A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（    ） A．4 B． C． D．2 4．（2024·湖南益阳·三模）已知方程的两个实数根分别为，，则式子的值等于（   ） A． B．0 C．2 D．6 5．（23-24八年级下·安徽池州·期末）已知，是方程的两个根，则的值为（    ） A．-2025 B． C．2024 D．2025 6．（2024·黑龙江绥化·中考真题）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是(    ) A． B． C． D． 二、填空题 7．（23-24八年级下·山东滨州·期末）若一元二次方程的两个根是a，b，则的值是 ． 8．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）已知m，n是有理数，并且方程有一个根为，那么 ． 9．（2024·山东济宁·模拟预测）若关于的一元二次方程的两根的和与积相等，则的值为 ． 10．（2024·四川成都·模拟预测）若矩形的一组邻边长分别是一元二次方程的解，则矩形的面积为 ． 11．（2024·四川成都·中考真题）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 12．（23-24八年级下·江苏南通·期中）设m、n是的两根，则 ． 三、解答题 13．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程总有实数根；(2)若，是方程的两根，且，求m的值． 14．（23-24八年级下·江苏·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：m取任意实数、该方程总有两个实数根；(2)设该方程的两根分别为、，且满足，求m的值． 15．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k为何实数，方程总有两个实数根；(2)若一元二次方程有两个根和，且，求k的值． 16．（23-24八年级下·福建福州·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)若这个方程没有实数根，求k的取值范围． (2)方程的两个根分别为，，若，求的值． 17．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)设方程的两根分别为，．若以，的值为对角线长的菱形面积为2，求m的值． 18．（2024八年级下·全国·专题练习）阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，则，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n， ∴，，则 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则___________； (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且。求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．D 2．B 3．D 4．B 5．A 6．B 7．3 8． 9． 10． 11．7 12．2016 13．(1)根据根的判别式进行证明即可；(2)或 14．(1)求出即可证明结论； (2) 15．(1)利用根的判别式即可解决问题； (2)k的值为0或． 16．(1) ；(2) 17．(1)根据一元二次方程根的判别式的符号即可得证； (2)m的值为3 18．(1) ；(2) ；(3) $$