21.2.2解一元二次方程——一元二次方程根的情况 导学案2024--2025学年人教版数学九年级上册

21.2.2公式法——一元二次方程根的判别式 【学习目标】经历解一元二次方程的过程，发现“△”的作用，会将一元二次方程根的情况与一元二次方程根的判别式相联系；会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等。 【学习过程】 1、 自主学习： 1. 简述求根公式法解一元二次方程的一般步骤。 2.用公式法解下列方程： (1)2x2+x-6=0； (2)x2+4x=2； (3)5x2-4x+2=0； (4)4x2+4x+10=1-8x； (5)4x2+1=4x 2、 独立思考: 一元二次方程根的情况由什么决定？它怎样决定一元二次方程方程根的情况的？ 三、合作探究： 1.为什么在代入一元二次方程求根公式前要先求△=b2-4ac的值，并判断其值与0的大小？ 2.为什么用求根公式法解一元二次方程时，必须确保△=b2-4ac≥0？如果△=b2-4ac＜0，方程根的情况会怎样？你能不解方程，发现方程有解或无解吗？ 3.已知一元二次方程，我们可以在不解方程的情况下知道方程根的情况，按照逆向思维，我们可以出什么的数学问题呢？请出一道题，并简要说明解题思路。 四、应用探究： (一)单选题 1．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）一元二次方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有一个实根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 2．（2024·河南驻马店·三模）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024九年级·上海·专题练习）如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·广西梧州·期中）关于的一元二次方程的根情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数由的值确定 5．（2024·河南周口·模拟预测）若实数a在数轴上的位置如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 6．（23-24八年级下·浙江台州·期末）对于一元二次方程，下列说法不正确的是（    ） A．若是方程的解，则 B．若，则方程必有两个不相等的实数根 C．若，则方程必有两个不相等的实根 D．若，则方程必有两个不相等的实数根 (二)填空题 7．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）一元二次方程的根的判别式的值为 ． 8．（17-18九年级·河南南阳·期中）若点在第二象限，则关于x的一元二次方程的根的情况是 . 9．（2024·河南郑州·模拟预测）若关于x的一元二次方程有实数根，且m为正整数，请写出一个合适的m值 ． 10．（2024八年级下·浙江·专题练习）关于的方程有两不等实根，则的取值范围是 ． 11．（2024·上海徐汇·三模）如果关于x的方程有实数根，那么a的取值范围是 ． 12．（2024·山东聊城·三模）定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论：①如果是的倒方程的解，则；②如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解；③如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．其中正确的结论是 ．（填序号） (三)解答题 13．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知关于x的一元二次方程 (1)求证：该方程总有实数根；(2)若 是该方程的一个解，求n的值． 14．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）已知关于的方程． (1)判断此方程根的情况；(2)若是该方程的一个根，求代数式的值． 15．（23-24八年级下·北京石景山·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；(2)当m为满足条件的最小整数时，求出m的值及此时方程的两个根． 16．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若的两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，当是直角三角形时，求k的值． 17．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义新运算：对于任意实数a、b，都有 等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如： ． (1)若 ，求x的值；(2)若m、n均为实数，且3⊕m的值小于10，判断关于x的方程 的根的情况． 18．（2024·安徽合肥·二模）将两个大小相同的正方形如图①摆放，重叠部分形成一个小正方形，按照此规律摆下去，得到下面一组图形： (1)请填写下表： 图形编号 ① ② ③ … 大正方形/个 2 ______ _____ … 小正方形/个 1 ______ _____ … (2)第100个图形中，有____个正方形；若第n个图形中小正方形的个数是大正方形的2倍，则_____； (3)是否存在一个图形，这个图形中小正方形的个数是大正方形个数的平方？如果存在，求出图形的编号；如果不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．D 2．C 3．D 4．B 5．D 6．B 7．57 8．有两个不相等的实数根 9．1（答案不唯一）(取的正整数） 10．且 11． 12．①② 13．(1)根据方程的系数结合根的判别式可得，由此可证明无论取何值，该方程总有实数根； (2) 14．(1)方程有两个不相等的实数根； (2) 15．(1) ; (2)； 16．(1)根据方程的系数结合根的判别式，可得出进而可证出方程有两个不相等的实数根； (2)k的值为12或3 17．(1)， ； (2)有两个不相等的实数根 18．(1)3，4，4，7 ； (2)399；4 (3)不存在一个图形，这个图形中小正方形的个数是大正方形个数的平方，理由如下： 假设存在，设这个图形的编号为m，由题意得，，整理得：， ∵，∴此时方程无解， ∴不存在一个图形，这个图形中小正方形的个数是大正方形个数的平方． $$