21.2.1解一元二次方程——配方法导学案2024--2025学年人教版数学九年级上册

21.2.1一元二次方程的解法——配方法 【学习目标】学生经历复杂一元二次方程解法的探究过程，会用配方法将复杂一元二次方程转化为能用开方法或因式分解法解的方程，从而解一元二次方程；会用配方法解一元二次方程。 【学习过程】 1、 自主学习 1. 求代数式的值，我们可以用直接代入法，还可以用____代入法。 2. 填空：x2+6x+___=( )2；x2-8x+____=( )2. 3. 你会解下列方程吗？ (1)x2+2x=5； (2)x2+2x-3=0； (3) x2+2x+1=4； (4) 4x2-12x-1=0； (5)4(x-1)2=49。 2、 独立思考 对于方程x2＋2x－3=0。(1)这个方程能用开平方法求解吗？(2)你怎么想的？用到了什么数学知识？(3)总结出解题的一般步骤。请求这个方程的解. 3、 合作探究 1.一般地，方程化为形式，请用p、q的代数式表示m、n？结合你找到的数量关系，说明配方时，方程两边加上的数应如何确定？ 2.能用因式分解法求方程x2＋2x－3=0的解吗？简要说明解题过程。 3.如果一元二次方程的二次项系数不等于1，我们该怎样由未知转化为已知呢？请以2x2+4x+1=0为例说明。 并以此总结总这种解法的一般步骤。 四、应用探究 （一）单选题 1．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）用配方法解下列方程，其中应在方程左、右两边同时加上的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·北京房山·期末）用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·浙江金华·二模）用配方法解方程时，将方程化为的形式，则a的值是（   ） A．8 B．9 C．10 D．12 4．（2024·山东德州·二模）方程配方后可化成的形式，则的值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．1 5．（23-24八年级下·全国·假期作业）把方程配方成的形式，的值是（    ） A．41 B．14 C．13 D．7 6．（23-24八年级下·安徽淮北·阶段练习）一元二次方程，其中较大的一个根为，下列最接近的范围是（    ） A． B． C． D． （二）填空题 7．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）当 ，代数式的值与的值相等． 8．（23-24八年级下·北京昌平·期末）用配方法解方程时，可将方程变为的形式，则m的值为 ． 9．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）已知关于的方程的左边是一个完全平方式，则的值为 ． 10．（23-24九年级下·浙江·阶段练习）王老师在批改作业时发现，一同学在用配方法解一元二次方程，配方后等号右边的数字不小心被墨水污染了：▊．若该方程的一个根为，则另一个根为 ． 11．（23-24八年级下·内蒙古赤峰·期中）若方程能配方成的形式，则直线不经过的象限是 ． 12．（23-24九年级上·山西晋中·期末）对许多画家、艺术家来说“黄金分割”是他们在现实的创作中必须深入领会的一种指导方针，摄影师也不例外．摄影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形的边取中点O，以O为圆心，线段为半径作圆，其与边的延长线交于点F，这样就把正方形延伸为黄金矩形，若，则 ． （三）解答题 13．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）当y为何值时，代数式的值与代数式的值相等． 14．（23-24九年级上·山西临汾·期末）下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解： 二次项系数化为1，得                     第一步 移项，得                                     第二步 配方，得，即        第三步 由此，可得                                 第四步 所，                         第五步 任务一：填空： ①上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是______，其中，“配方法”所依据的数学公式是______； ②“第二步”变形的数学依据是______； ③小明同学解题过程中，从第步______开始出现错误，请直接写出正确的结果______； 任务二：请你运用“配方法”解一元二次方程：． 15．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）用配方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4) 五、拓展探究 16．（2024·江西南昌·一模）【课本再现】黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值． 我们知道：如图①，如果，则点为线段的黄金分割点． (1)【问题发现】如图①，点为线段的黄金分割点，请直接写出的值为 ； (2)【尺规作黄金分割点】如图②，在中，，，，在上截取，在上截取，求的值； (3)【问题解决】如图③，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接；再次折叠正方形使与重合，点对应点，得折痕，试说明：点是线段的黄金分割点． 17．（23-24九年级上·北京·期末）阅读下面的材料 一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米在他的代表作《代数学》中记载了求一元二次方程正数解的几何解法，我国三国时期的数学家赵爽在其所著《勾股圆方图注》中也给出了类似的解法． 以为例，花拉子米的几何解法步骤如下： ① 如图1，在边长为x的正方形的两个相邻边上作边长分别为和5的矩形，再补上一个边长为5的小正方形，最终把图形补成一个大正方形； ② 一方面大正方形的面积为(x+ _____)2，另一方面它又等于图中各部分面积之和，因为，可得方程___，则方程的正数解是____． 根据上述材料，解答下列问题． (1)补全花拉子米的解法步骤②； (2)根据花拉子米的解法，在图2的两个构图①②中，能够得到方程的正数解的正确构图是 (填序号)． 18．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：分解因式：． 解：原式 再如：求代数式的最小值． 解：， 当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：（应用配方法） (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)利用配方法，尝试求出等式中，的值． 参考答案： 1．B 2．D 3．A 4．C 5．C 6．A 7．3或 8．4 9．或 10． 11．第二象限 12． 13． 14．任务一：①转化；完全平方公式；②等式的基本性质；③三；，；任务二：， 15．(1)， ;(2)， (3)， ; (4) 16．(1)； (2)； (3)设，，综合正方形性质和折叠性质求出、，再由得到，解得后即可证明． 17．(1)5，5，25，3 (2)① 18．(1) (2)当时，多项式有最大值，最大值是7 (3)， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$