精品解析：内蒙古自治区 通辽市2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试题

2023-2024学年通辽八年级（下）第一次月考数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（ ） A. 且 B. C. D. 且 3. 下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 4. 在平行四边形中，，则等于（ ） A. B. C. D. 5. △ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A. B. ∠A＝∠B+∠C C. ∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D. a＝6，b＝8，c＝10 6. 在如图的网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点均在正方形格点上，若是的高，则的长为（ ） A. B. C. D. 2 7. 如图，点是矩形的对角线的中点，是边的中点，，则线段的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 如图、在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为．若．则图中阴影部分的面积为（　　） A. 6 B. C. 5 D. 9. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则式子化简的结果为（ ） A. a B. C. D. 10. 如图，在中，，，是边的中点，是边上一点，若平分的周长，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. ______． 12. 已知，，则___________． 13. 已知，菱形的周长为52，一条对角线长为10，则另一条对角线长为______． 14. 勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组.毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），….分析上面勾股数组可以发现，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），…分析上面规律，第5个勾股数组为_____. 15. 等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则这个等腰三角形底边的长为_________． 16. 如图，一面镜子斜固定在地面上，且点为距离地面为的一个光源，光线射出经过镜面处反射到地面点，当光线经过的路径长最短为时，的长为___________． 三、解答题 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°． （1）连接AC，求证：△ACD是直角三角形； （2）求△ACD中AD边上的高． 19. 如图，四边形中，，F为上一点，与交于点E，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 20. 【再读教材】：我们八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦-秦九韶公式”﹔如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为． 【解决问题】：已知如图在中，，，． （1）请你用“海伦-秦九韶公式”求的面积． （2）除了利用“海伦-秦九韶公式”求的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法． 21. 如图，已知在中，分别延长到点C、D，使得，连接． （1）是判断四边形的形状，并说明理由； （2）以为一组邻边作平行四边形，连接．若，求的度数． 22. 长方形在平面直角坐标系中的位置如图：﹑满足 （1）求a，b的值： （2）点E在边上运动，将长方形沿直线折叠． ①：如图①，折叠后点D落在边上的点F处，求点E的坐标； ②：如图②，折叠后点D落在x轴下方的点F处，与交于点M，与交于点N，且，求的长 23. 如图，在四边形中，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）当时，请判定四边形的形状________；（直接填空） （2）当时，求t的值． （3）连接，是否存在为等腰三角形？若存在请直接写出t值，若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年通辽八年级（下）第一次月考数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了对最简二次根式的理解，被开方数不含有能开的尽方的因式或因数，被开方数不含有分数的二次根式叫做最简二次根式，据此求解即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，是最简二次根式，符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 2. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（ ） A. 且 B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：根据题意得：且， 解得：且． 故选：D 【点睛】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数为非负数；分式有意义的条件：分式的分母不等于0是解题的关键． 3. 下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，先化简成最简二次根式，比较被开方数，相同即可． 【详解】A. 与，被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意； B. 与，被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意； C. 与，被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意； D. 与，被开方数同，是同类二次根式，符合题意； 故选D． 4. 在平行四边形中，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，先根据平行四边形对边平行推出，再由已知条件得到，则． 【详解】解；∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选；D． 5. △ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A. B. ∠A＝∠B+∠C C. ∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D. a＝6，b＝8，c＝10 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A.∵， ∴， ∴， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； B.∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=∠B+∠C， ∴∠A=90°， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； C.设∠A=3x，则∠B=4x，∠C=5x， ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴3x+4x+5x=180°，解得x=15°， ∴∠C=5×15°=75°， ∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意； D.∵， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理，熟知以上知识是解答此题的关键． 6. 在如图的网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点均在正方形格点上，若是的高，则的长为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】结合格点的特点利用勾股定理求得AB2，AC2，BC2，然后利用勾股定理逆定理判定△ABC的形状，从而利用三角形面积求解． 【详解】解：由题意可得： ∵ ∴△ABC是直角三角形 又∵是的高 ∴， ，解得： 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理，利用网格特点，准确计算是解题关键． 7. 如图，点是矩形的对角线的中点，是边的中点，，则线段的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用三角形中位线定理可以得到的长，然后根据勾股定理可以得到的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得到的长，本题得以解决． 【详解】解：∵在矩形中，，O是矩形的对角线的中点，P是边的中点， ∴， ∴， ∵点O为的中点，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查三角形中位线定理、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 8. 如图、在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为．若．则图中阴影部分的面积为（　　） A. 6 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是由勾股定理得出是解题的关键． 由勾股定理得出，再根据可得出的值，即可求解． 【详解】解：由勾股定理得：， 即， ， ， 由图形可知，阴影部分的面积为， ∴阴影部分的面积为， 故选：B． 9. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则式子化简的结果为（ ） A. a B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得：，，从而可得，，然后利用二次根式的性质，绝对值的意义，进行化简计算，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ 故选：D 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，整式的加减，准确熟练地进行计算是解题的关键． 10. 如图，在中，，，是边的中点，是边上一点，若平分的周长，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长至，使得，连接，构造等边三角形，根据题意可得是的中位线，即可求解． 【详解】解：如图，延长至，使得，连接， ， , 又， 是等边三角形， ， 是边的中点，是边上一点，平分的周长， ，， ， ， ， 即， 是的中位线， ． 故选C． 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质与判定，等边三角形的性质，三角形中线的定义，构造等边三角形是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，根据乘法运算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 已知，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式和二次根式的混合运算，因式分解得，代值计算，即可求解；熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：，， ； 故答案为：． 13. 已知，菱形的周长为52，一条对角线长为10，则另一条对角线长为______． 【答案】24 【解析】 【分析】根据菱形的性质和周长，可直接求出菱形的边长；根据菱形的性质和勾股定理可求出另一条对角线长． 【详解】解：如图 ∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，且AG=GC，BG=GD，AB=BC=CD=AD， ∵菱形的周长为52， ∴菱形的边长AD==13， 设AC=10，则AG=AC=×10=5， ∴GD==12， ∴BD=2DG=2×12=24， 故答案分别为：24． 【点睛】此题主要考查菱形的性质和勾股定理，熟练掌握菱形的性质是银题有关键，此题难度不大，属于基础题． 14. 勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组.毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），….分析上面勾股数组可以发现，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），…分析上面规律，第5个勾股数组为_____. 【答案】（11，60，61） 【解析】 【分析】由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），…可得第5组勾股数中间的数为：5×（11+1）=60，进而得出（11，60，61）． 【详解】由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），可得 第4组勾股数中间的数为4×（9+1）=40，即勾股数为（9，40，41）； 第5组勾股数中间的数为：5×（11+1）=60，即（11，60，61）． 故答案为：（11，60，61）． 【点睛】本题主要考查了勾股数，解题的关键是找出数据之间的关系，掌握勾股定理． 15. 等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则这个等腰三角形底边的长为_________． 【答案】3或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和等腰三角形的性质：注意分类讨论：当顶角为锐角时和顶角为钝角时，根据勾股定理列式计算，即可作答． 此题要分两种情况进行讨论：（1）当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在三角形的外部，先在中由勾股定理求出，于是，然后在中利用勾股定理即可求出即可；（2）当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在三角形的内部，在中由勾股定理求出，于是，然后在中利用勾股定理求出即可． 【详解】解：分两种情况： （1）顶角是钝角时，如图1所示： 在中，由勾股定理，得， ， 在中，由勾股定理，得， ； （2）顶角是锐角时，如图2所示： 在中，由勾股定理，得， ， 在中，由勾股定理，得， ， 综上可知，这个等腰三角形的底的长度为或． 故答案为：或． 16. 如图，一面镜子斜固定在地面上，且点为距离地面为的一个光源，光线射出经过镜面处反射到地面点，当光线经过的路径长最短为时，的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】作出PD关于直线OA对称的线段，所以最短路线为三点共线且时最短，过P作好垂线构建矩形，再利用等腰三角形的性质可得答案． 【详解】解：作点关于的对称点，当时，光线经过的路径长最短， ∴，作于F，∴，∴，∵， ∴，∴，∴，， ∴为等边三角形，∴，∴． 故答案为4． 三、解答题 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案； （2）直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 18. 如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°． （1）连接AC，求证：△ACD是直角三角形； （2）求△ACD中AD边上的高． 【答案】 （1）证明：如图连接AC，在Rt△ABC中， AC2＝AB2+BC2＝32+42＝25， ∴AC＝5， ∵CD＝12，AD＝13， ∴AC2+CD2＝AD2， ∴∠ACD＝90°， ∴△ACD是直角三角形； （2）． 【解析】 【分析】（1）连接AC，先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状； （2）过点C作CH⊥AD于点H，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：过点C作CH⊥AD于点H， 则S△ACDAD×CHAC×CD， ∴13×CH5×12， ∴CH． ∴△ACD中AD边上的高为． 【点睛】本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理及三角形的面积，根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状是解答此题的关键，难度适中． 19. 如图，四边形中，，F为上一点，与交于点E，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质可得，，从而可证，可得，再根据平行四边形的判定即可得出结论； （2）由题意求得，根据平行四边形的性质可得，，从而求得，再利用勾股定理求得，再根据求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长是． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质及平行四边形的判定与性质是解题的关键． 20. 【再读教材】：我们八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦-秦九韶公式”﹔如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为． 【解决问题】：已知如图在中，，，． （1）请你用“海伦-秦九韶公式”求的面积． （2）除了利用“海伦-秦九韶公式”求的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法． 【答案】（1）面积 （2） 解：过C作于H，设，则， 在中，， 在中，， ∴， 解得：． 在中，， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，勾股定理，准确计算是解题关键． （1）直接用海伦—秦九韶公式计算面积即可； （2）过C作于H，设，则，利用勾股定理表示出，用三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：∵三角形三边长分别为4、5、7， ∴ ∴ 【小问2详解】 略 21. 如图，已知在中，分别延长到点C、D，使得，连接． （1）是判断四边形的形状，并说明理由； （2）以为一组邻边作平行四边形，连接．若，求的度数． 【答案】（1） 四边形是矩形， 证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识点，灵活应用所学知识并正确添加辅助线成为解答本题的关键． （1）根据等量代换得到即可判断； （2）本问的关键在于作辅助线，并利用为直角三角形中线进行解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图：连接； ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 22. 长方形在平面直角坐标系中的位置如图：﹑满足 （1）求a，b的值： （2）点E在边上运动，将长方形沿直线折叠． ①：如图①，折叠后点D落在边上的点F处，求点E的坐标； ②：如图②，折叠后点D落在x轴下方的点F处，与交于点M，与交于点N，且，求的长 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质和勾股定理、坐标与图形、非负数的性质，解题关键是根据折叠找出线段之间的等量关系，利用勾股定理列出方程． （1）根据非负数的性质求解即可； （2）①设，根据折叠和勾股定理得出，，再根据勾股定理列出方程即可；②设，则，由折叠得：，，证明，则，，即，得到，，根据勾股定理列出方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①∵，， ∴，， ∵四边形是长方形， ∴， 设，则， 由折叠得：，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； ②设，则，由折叠得：，， ∵，，， ∴， ∴ ，， ∴， 即， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 23. 如图，在四边形中，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）当时，请判定四边形的形状________；（直接填空） （2）当时，求t的值． （3）连接，是否存在为等腰三角形？若存在请直接写出t值，若不存在，说明理由． 【答案】（1）平行四边形 （2）或 （3）存在，当t为4或者或者时，为等腰三角形 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，等腰梯形，勾股定理，等腰三角形的性质以及利用开平方解方程的知识，掌握平行四边形的性质、梯形的性质以及等腰三角形的性质是解答本题的关键． （1）根据题意有：，进而有，当时，可得，结合，即可作答； （2）分四边形是平行四边形和四边形是等腰梯形两种情况，结合题意计算，得到答案； （3）分三种情况讨论：当为等腰三角形，且时，过点于；当为等腰三角形，且时；当为等腰三角形，且时，根据等腰三角形的性质结合勾股定理列出关于的方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：结论：四边形是平行四边形． 理由： 根据题意有：， ∵， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：当，四边形是平行四边形时， 即有：，则，解得，； 当时，四边形是等腰梯形时， 过点作于，过点于，如图， 根据，可得四边形是矩形， 则， 故， ∵梯形为等腰梯形，于， ， 根据（1）有， ， ∴，解得， 综上所述：或时，． 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 根据（1）有， 根据（2）有， 当为等腰三角形，且时， 过点于，如图， 根据（2）可知：时， ∵为等腰三角形， ∴， ∴，解得，即此时； 当为等腰三角形，且时，如图， ∴，解得，即此时； 当为等腰三角形，且时， 过点于，过点于，如图， 根据（2）同理可知四边形是矩形， ， ， ， ， ， 在中，， ∴， 解得：， 综上所述：当为4或者或者时，为等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $