专题02 有理数的乘除法重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教版2024）

专题02 有理数的乘除法重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 两个有理数的乘法运算 题型二 多个有理数的乘法运算 题型三 有理数乘法的实际应用 题型四 利用乘法运算律进行巧算 题型五 倒数、绝对值和相反数的综合运算 题型六 有理数的除法运算 题型七 有理数的除法应用 题型八 有理数乘除的混合运算 题型九 与有理数乘除有关的新定义问题 题型十 有理数乘除法中的多结论问题 题型十一 有理数乘除法中的程序计算 题型十二 利用有理数的乘除法化简含绝对值的分数 知识点1：有理数的乘法 1.有理数的乘法 有理数乘法法则：（下列法则中a、b为正有理数，c为任意有理数） 两数相乘，同号得正，异号得负，积的绝对值两乘数的绝对值的积。任何数同0相乘，都得0。 即：=ab；=ab；=-ab；；=-ab；；。 有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。 多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。 多个有理数相乘的运算步骤：先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。 2.有理数乘法运算律 乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。即：。 乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 即：。 乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即：。 知识点2：倒数 1）倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数。 2）倒数的性质：（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。（2）没有倒数。（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然． 3）求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可。 （1）非零整数可以看作分母为的分数后再求倒数；（2）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。 知识点3：有理数的除法 1）有理数除法法则1：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：，()。 有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。除以任何一个不等于的数，都得。 2）有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 【经典例题一 两个有理数的乘法运算】 【例1】（24-25七年级上·全国·单元测试）计算： (1) (2) (3) 1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题二 多个有理数的乘法运算】 【例2】（24-25七年级上·全国·单元测试）计算： (1) (2) 1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）用乘法运算律，将下列各式进行简便计算： (1) ； (2) (3)； (4)． (5) (6)． 3．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【经典例题三 有理数乘法的实际应用】 【例3】（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）某水果种植基地种植一种优质黄桃，2020年黄桃总产量为，2021年增产，2022年引进先进管理技术以及种植面积的逐步扩大，每年黄桃的产量增产，若2022年后该地黄桃增产量不变，则该基地黄桃产量突破的年份是（    ） A．2022年 B．2023年 C．2024年 D．2025年 1．（23-24七年级下·湖北武汉·开学考试）小明步行每分钟行60米，小华骑自行车每分钟行160米，二人同时同地相背而行5分钟后，小华立即调头来追甲，再经过（    ）分钟小华可追上小明． A． B． C．10 D．11 2．（2024七年级·全国·竞赛）如图所示为中国行政区划地图中某五个行政区域的示意图，现对图中、、、、这五个部分用四种不同的颜色染色，相邻的部分不能用相同的颜色，不相邻的部分可以用相同的颜色，则不同的染色方法共有 种．    3．（23-24七年级上·河北承德·期中）某自行车厂一周计划生产辆自行车，平均每天生产辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，如下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共生产______辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产______辆； (3)该厂实行计件工资制，每辆车元，超额完成任务每辆奖元，少生产一辆扣元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【经典例题四 利用乘法运算律进行巧算】 【例4】（23-24七年级上·山东淄博·开学考试）请用适当的方法计算： (1) (2) (3) (4) (5) 1．（24-25七年级上·全国·单元测试）用简便方法计算： (1) (2) (3) 2．（23-24七年级上·吉林·阶段练习）用简便方法计算：． 3．（24-25七年级上·全国·随堂练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 【经典例题五 倒数、绝对值和相反数的综合运算】 【例5】（23-24七年级上·广东珠海·期中）已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，x绝对值为3，求的值 A．0 B． C．0或 D．0或 1．（23-24七年级上·四川广安·期末）若a的绝对值为7，b的倒数为，则的值为（    ） A．5 B．9 C．或9 D．5或 2．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）已知一种运算满足，；．例如：． （1） ． （2）如图，数轴上从左至右排列着三个数b，c，a，其中c为最大的负整数，a的绝对值为3，且在原点右侧，b到c的距离为2，则 （填“>”“<”或“=”），计算 ． 3．（23-24七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知，互为相反数，，互为倒数，的绝对值等于，是数轴上原点表示的数． (1)分别直接写出，，，的值； (2)的值是多少？ 【经典例题六 有理数的除法运算】 【例6】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)． 2．（23-24七年级上·云南昆明·开学考试）计算下面各题，怎样简便就怎样算 (1) (2) (3) (4) 3．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 【经典例题七 有理数的除法应用】 【例7】（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）甲乙丙三位同学合乘一辆滴滴车去顺路的三个地点，事先约定三人根据路程分摊车费，甲在全程的四分之一处下车，甲下车时，乙离下车点还有一半的路程，丙坐完全程．已知乙支付了18元车费，则三人一共支付多少车费？（    ） A．36元 B．48元 C．63元 D．81元 1．（2024七年级·全国·竞赛）在2018的左边添加一个数字，右边添加一个数字，组成一个六位数，且能被45整除，则的最大值是（    ） A．10 B．35 C．56 D．81 2．（23-24七年级上·贵州遵义·期中）有两个正数、，满足，规定把大于或等于且小于或等于的所有数记作，，例如大于或等于0且小于或等于5的所有数记作，如果在中，在中，那么的一切值所在范围是 ． 3．（23-24七年级上·山东滨州·期末）有筐白菜，以每筐千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） 筐数 (1)筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ (2)与标准重量比较，筐白菜总计超过或不足多少千克？每筐白菜的平均质量是多少千克？ (3)若白菜每千克售价元，则出售这筐白菜可卖多少元？（结果精确到十分位） 【经典例题八 有理数乘除的混合运算】 【例8】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 1．（20-21七年级上·吉林长春·期中）计算：． 2．（2022七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 3．（22-23七年级上·甘肃平凉·阶段练习）计算下列各题． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【经典例题九 与有理数乘除有关的新定义问题】 【例9】（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）若定义一种新的运算，例如：，计算的结果为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·山东滨州·期末）对于任意非零实数a，b，定义运算“※”如下：，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·广西防城港·期中）对于任意的有理数，定义新运算：，如． 试计算： ． 3．（23-24七年级上·安徽芜湖·期中）对于有理数a、b，定义新运算：“”，． (1)计算：________；________； ________（填“>”或“=”或“<”）； (2)我们知道：有理数的加法运算和乘法运算满足交换律，那么，由（1）计算的结果，你认为这种运算：“”是否满足交换律？若满足，请说明理由；若不满足，请举例说明． 【经典例题十 有理数乘除法中的多结论问题】 【例10】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）若有理数a、b在数轴上表示的点的位置如图所示．下列结论： ①；    ②；    ③； ④；    ⑤；    ⑥． 其中正确结论的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 1．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法：①若数a的绝对值等于a，则a是正数；②若，则a、b、c互为相反数；③若两个数的和为正数，则这两个数中至少有一个是正数；④若两个数的商为，则这两个数互为相反数；⑤除以一个数等于乘这个数的倒数；⑥几个数相乘，积的符号由负因数的个数决定．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列各说法中，正确的个数有（    ） ①若，则一定是负数；②一个正数一定大于它的倒数；③除以一个数，等于乘以这个数的倒数；④若，则；⑤若，则且； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24七年级上·山东临沂·期末）已知有理数，数轴上的位置如图所示，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【经典例题十一 有理数乘除法中的程序计算】 【例11】（23-24七年级上·山东济南·阶段练习）如图所示的程序框图，如图所示的运算程序中，若开始输入的值为100，我们发现第1次输出的结果为50，第2次输出的结果为25，…，第2023次输出的结果为（    ）    A．1 B．2 C．4 D．8 1．（23-24七年级上·山东济南·期中）如图所示运算程序中，若开始输入的值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，…第2017次输出的结果为（　　） A．3 B．6 C．4 D．2 2．（21-22七年级上·山东济南·期中）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是﹣4，…，则第2021次输出的结果是 ． 3．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）哥哥在电脑中设置了一个有理数运算程序：输入数及运算符号，再输入，得运算式：． (1)求的值； (2)弟弟在运行该程序时，屏幕显示“该操作无法运行”，请你推测弟弟输入的数据可能是什么情况？ 【经典例题十二 利用有理数的乘除法化简含绝对值的分数】 【例12】（23-24七年级上·四川宜宾·期末）下列说法正确的有（    ） ①对于任意有理数，代数式有最大值1； ②10条直线两两相交，最多有90个交点： ③已知a、b、c是非零的有理数，且时，则的值为1或； ④规定，如果，，，那么． A．①② B．①②③ C．③④ D．①③④ 1．（23-24七年级上·重庆渝中·期末）已知，，若，则x的最大值与最小值的乘积为（    ） A． B． C．6 D．24 2．（23-24八年级下·河南驻马店·阶段练习）已知，，则的值是 ． 3．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）【总结提炼】 小明学习了绝对值的性质后，有这样的思考和总结：当时，，则；当时，，则． 【解决问题】 （1）若，则 ． （2）若，则 ． 【拓展提升】 （3）若，计算：_________． 1．（22-23七年级上·山西长治·阶段练习）若a是非零自然数，则下面（   ）算式结果最小 A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·湖北襄阳·期末）下列说法正确的有（    ） ①最大的负整数是；②有理数分为正有理数和负有理数；③数轴上表示有理数的点一定在原点的左边；④几个数相乘，积的符号由负因数的个数决定． A．个 B．个 C．个 D．个 3．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）若有理数a、b在数轴上表示的点的位置如图所示．下列结论： ①；    ②；    ③； ④；    ⑤；    ⑥． 其中正确结论的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（23-24七年级上·江西南昌·开学考试）从和为55的10个不同的非零自然数中，取出3个数后，余下的数之和是55的，则取出的3个数的积最大等于（    ） A．280 B．270 C．252 D．216 5．（21-22七年级上·浙江台州·期末）若，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．（24-25七年级上·全国·课堂例题）7．计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ． 7．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）若，，且，则 ． 8．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）已知，其中是三个正数，把三个数从小到大的顺序排列起来： （用“”符号连接）． 9．（23-24七年级上·贵州遵义·期中）有两个正数、，满足，规定把大于或等于且小于或等于的所有数记作，，例如大于或等于0且小于或等于5的所有数记作，如果在中，在中，那么的一切值所在范围是 ． 10．（23-24七年级上·河北邯郸·期末）已知． （1）写出一个大于且小于的负整数： ； （2）若c的倒数是a与b的差，则c的值为 ． 11．（23-24七年级上·山东淄博·开学考试）请用适当的方法计算： (1) (2) (3) (4) (5) 12．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)． 13．（23-24七年级上·云南昆明·开学考试）计算下面各题，怎样简便就怎样算 (1) (2) (3) (4) 14．（23-24六年级下·全国·假期作业）若a，b，c为有理数，且，求的值． 15．（23-24七年级上·江苏镇江·阶段练习）小艾同学的父亲是一名交警，假期某天早上，小艾随父亲乘交通巡逻车从恒隆出发，在红旗路上巡视，中午到达学校门口，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，行驶记录如下．单位：． 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)巡逻车在巡逻过程中，第 次离恒隆最远． (2)学校在恒隆哪个方向，与恒隆相距多少千米？ (3)若每千米耗油升，每升汽油需元，问这半天交通巡逻车所需汽油费多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 有理数的乘除法重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 两个有理数的乘法运算 题型二 多个有理数的乘法运算 题型三 有理数乘法的实际应用 题型四 利用乘法运算律进行巧算 题型五 倒数、绝对值和相反数的综合运算 题型六 有理数的除法运算 题型七 有理数的除法应用 题型八 有理数乘除的混合运算 题型九 与有理数乘除有关的新定义问题 题型十 有理数乘除法中的多结论问题 题型十一 有理数乘除法中的程序计算 题型十二 利用有理数的乘除法化简含绝对值的分数 知识点1：有理数的乘法 1.有理数的乘法 有理数乘法法则：（下列法则中a、b为正有理数，c为任意有理数） 两数相乘，同号得正，异号得负，积的绝对值两乘数的绝对值的积。任何数同0相乘，都得0。 即：=ab；=ab；=-ab；；=-ab；；。 有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。 多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。 多个有理数相乘的运算步骤：先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。 2.有理数乘法运算律 乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。即：。 乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 即：。 乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即：。 知识点2：倒数 1）倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数。 2）倒数的性质：（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。（2）没有倒数。（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然． 3）求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可。 （1）非零整数可以看作分母为的分数后再求倒数；（2）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。 知识点3：有理数的除法 1）有理数除法法则1：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：，()。 有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。除以任何一个不等于的数，都得。 2）有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 【经典例题一 两个有理数的乘法运算】 【例1】（24-25七年级上·全国·单元测试）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算，解题的关键是掌握有理数的乘法运算法则． （1）根据有理数乘法法则直接计算即可； （2）根据有理数乘法法则直接计算即可； （3）根据有理数乘法法则直接计算即可． 【详解】（1）解：； （2） ； （3） ． 1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)6 (2)-2 【分析】本题主要考查了有理数的乘法，关键是熟记有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． 根据有理数乘法法则进行计算便可． 【详解】（1） ； （2） ． 2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2) (3) (4) 【分析】根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解． 本题考查了有理数的乘法运算，熟记运算法则是解题的关键． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 3．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式利用异号两数相乘的法则计算即可得到结果； （2）原式利用异号两数相乘的法则计算即可得到结果； （3）原式利用同号两数相乘的法则计算即可得到结果； （4）原式利用异号两数相乘的法则计算即可得到结果． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）． 【经典例题二 多个有理数的乘法运算】 【例2】（24-25七年级上·全国·单元测试）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算： （1）（2）根据有理数的乘法计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)35 【分析】本题主要考查了有理数乘法，熟记乘法法则是解题的关键． （1）根据有理数的乘法交换律和结合律计算即可； （2）根据有理数的乘法交换律和结合律计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）用乘法运算律，将下列各式进行简便计算： (1) ； (2) (3)； (4)． (5) (6)． 【答案】(1)7 (2) (3)24 (4) (5) (6)3 【分析】（1）利用乘法的交换律计算； （2）利用乘法的交换律与结合律计算； （3）利用乘法的分配律计算即可； （4）逆用乘法的分配律运算即可． （5）利用乘法的分配律计算即可； （6）逆用乘法的分配律运算即可． 本题主要考查有理数的运算，能够熟练掌握运算律可使运算简便是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 3．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)700 【分析】本题考查了有理数乘法，解题的关键是掌握有理数乘法的运算法则． （1）将带分数化为假分数，根据有理数乘法的运算法则求解即可； （2）根据有理数乘法的运算法则，先确定符号，再进行乘法计算； （3）根据有理数乘法的运算法则，先确定符号，再进行乘法计算． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ． 【经典例题三 有理数乘法的实际应用】 【例3】（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）某水果种植基地种植一种优质黄桃，2020年黄桃总产量为，2021年增产，2022年引进先进管理技术以及种植面积的逐步扩大，每年黄桃的产量增产，若2022年后该地黄桃增产量不变，则该基地黄桃产量突破的年份是（    ） A．2022年 B．2023年 C．2024年 D．2025年 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，理解题意成为解题的关键． 根据增长率求出依次求出2021年、2022年、2023年基地黄桃产量，然后对比即可解答． 【详解】解：2021年基地黄桃产量为， 2022年基地黄桃产量为， 2023年基地黄桃产量为， 因此突破的年份是2023年． 故选B． 1．（23-24七年级下·湖北武汉·开学考试）小明步行每分钟行60米，小华骑自行车每分钟行160米，二人同时同地相背而行5分钟后，小华立即调头来追甲，再经过（    ）分钟小华可追上小明． A． B． C．10 D．11 【答案】D 【分析】先求出5分钟后，两人相距多少米，用相距路程(甲的速度乙的速度)来计算；再用追及时间相距路程(乙的速度甲的速度)来求乙追上甲经过的时间． 【详解】解：（米）； （分钟）． 故选D． 【点睛】本题考查行程问题．解题的关键是熟练掌握计算方法． 2．（2024七年级·全国·竞赛）如图所示为中国行政区划地图中某五个行政区域的示意图，现对图中、、、、这五个部分用四种不同的颜色染色，相邻的部分不能用相同的颜色，不相邻的部分可以用相同的颜色，则不同的染色方法共有 种．    【答案】96 【分析】本题考查了排列组合，根据题意“相邻的部分不能用相同的颜色，不相邻的部分可以用相同的颜色”，得出各个部分的情况总数，即可解答． 【详解】解：根据题意可得： ∵一共有4种颜色， ∴A有4种情况， ∵A、B不同色， ∴B有3种情况， ∵C与A、B不同色， ∴C有2种情况， ∵D与B、C不同色， ∴D有2种情况， ∵E与C、D不同色， ∴E有2种情况， ， 即不同的染色方法共有96种， 故答案为：96． 3．（23-24七年级上·河北承德·期中）某自行车厂一周计划生产辆自行车，平均每天生产辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，如下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共生产______辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产______辆； (3)该厂实行计件工资制，每辆车元，超额完成任务每辆奖元，少生产一辆扣元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【答案】(1)599 (2)26 (3)该厂工人这一周的工资是元 【分析】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，理解正负数的意义，掌握有理数的运算法则是关键． （1）三天的计划总数加上三天多生产的辆数的和即可； （2）求出超产的最多数与减产的最少数的差即可； （3）求得这一周生产的总辆数，然后按照工资标准求解． 【详解】（1）解：前三天生产的辆数是辆． 答案是：； （2）解：辆， 故答案是， 故答案为：； （3）解：这一周多生产的总辆数是辆． 元． 答：该厂工人这一周的工资是元． 【经典例题四 利用乘法运算律进行巧算】 【例4】（23-24七年级上·山东淄博·开学考试）请用适当的方法计算： (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3)19 (4) (5)30 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、有理数乘法运算律、有理数加法运算律等知识点，灵活运用相关运算律成为解题的关键． （1）运用加法交换律进行简便运算即可； （2）运用小数混合运算的顺序进行计算即可； （3）运用乘法分配律进行计算即可； （4）运用乘法分配律进行计算即可； （5）运用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． （5）解： ． 1．（24-25七年级上·全国·单元测试）用简便方法计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)； (3)； 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算律： （1）（2）（3）根据有理数的乘法分配律的逆运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 2．（23-24七年级上·吉林·阶段练习）用简便方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法，乘法分配律； 利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 3．（24-25七年级上·全国·随堂练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查有理数的运算，掌握乘法分配律是解题的关键． （1）逆用乘法分配律进行计算即可； （2）利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【经典例题五 倒数、绝对值和相反数的综合运算】 【例5】（23-24七年级上·广东珠海·期中）已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，x绝对值为3，求的值 A．0 B． C．0或 D．0或 【答案】D 【分析】根据相反数，倒数，绝对值的定义，得出，则，即可求解． 【详解】解：∵a、b互为相反数，m、n互为倒数，x绝对值为3， ∴，则， 当时，， 当时，， 综上：的值为0或， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了相反数，倒数，绝对值，解题的关键是掌握相反数相加得0，乘积为1的两个数互为倒数，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 1．（23-24七年级上·四川广安·期末）若a的绝对值为7，b的倒数为，则的值为（    ） A．5 B．9 C．或9 D．5或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的意义，倒数的意义，有理数的加法等知识．先根据题意得到，，再分和两种情况即可求出的值． 【详解】解：因为a的绝对值为7， 所以， 因为b的倒数为， 所以， 当是，； 当是，． 故选：D． 2．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）已知一种运算满足，；．例如：． （1） ． （2）如图，数轴上从左至右排列着三个数b，c，a，其中c为最大的负整数，a的绝对值为3，且在原点右侧，b到c的距离为2，则 （填“>”“<”或“=”），计算 ． 【答案】 【分析】（1）根据求出的值即可； （2）先根据题意求出，再根据和分别求出和的值，得到和的大小关系，再求出，进一步求出的值即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为： （2）∵c为最大的负整数，a的绝对值为3，且在原点右侧，b到c的距离为2， ∴， ∵；， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：， 【点睛】本题考查了有理数的运算和比较有理数大小，正确理解新运算法则、掌握有理数运算的顺序和法则是解题的关键． 3．（23-24七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知，互为相反数，，互为倒数，的绝对值等于，是数轴上原点表示的数． (1)分别直接写出，，，的值； (2)的值是多少？ 【答案】(1)，，，； (2)或 【分析】（1）本题考查了相反数、倒数、绝对值、数轴，，互为相反数，得到，根据，互为倒数，得到，根据的绝对值等于，所以，是数轴上原点表示的数，所以； （2）本题考查了相反数、倒数、绝对值、数轴，将、、、代入求解即可得到答案； 【详解】（1）解：∵，互为相反数， ， ，互为倒数， ， 的绝对值等于， ， 是数轴上原点表示的数， ； （2）解：①当时， ∴， ②当时， ∴， 的值为或． 【经典例题六 有理数的除法运算】 【例6】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题主要考查了有理数的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案； （2）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案； （3）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案； （4）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】本题主要考查了有理数乘法及有理数除法，熟练掌握有理数乘法及有理数除法法则进行求解是解决本题的关键．应用有理数除法法则：有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即： （）， （1）根据有理数乘法及有理数除法法则进行求解即可； （2）根据有理数乘法及有理数除法法则进行求解即可； （3）根据有理数乘法及有理数除法法则进行求解即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 2．（23-24七年级上·云南昆明·开学考试）计算下面各题，怎样简便就怎样算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)8 (4) 【分析】本题考查有理数的混合运算， （1）先计算小括号内的，再进行加法和除法计算即可； （2）先计算小括号内的，再计算中括号内的，最后计算除法； （3）逆向运用乘法分配律计算即可； （4）把写出，再根据乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 3．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数乘除法，关键是熟记有理数乘除法法则和混合运算顺序． （1）根据有理数的乘除法运算法则进行计算便可； （2）根据有理数的乘除法运算法则进行计算便可． 【详解】（1） ； （2） ． 【经典例题七 有理数的除法应用】 【例7】（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）甲乙丙三位同学合乘一辆滴滴车去顺路的三个地点，事先约定三人根据路程分摊车费，甲在全程的四分之一处下车，甲下车时，乙离下车点还有一半的路程，丙坐完全程．已知乙支付了18元车费，则三人一共支付多少车费？（    ） A．36元 B．48元 C．63元 D．81元 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的除法的实际应用，根据题意得到甲乙丙的路程比，即可求得总车费． 【详解】解：由题意得甲乙丙三人的路程比为， 三人一共支付车费（元）， 故选：C． 1．（2024七年级·全国·竞赛）在2018的左边添加一个数字，右边添加一个数字，组成一个六位数，且能被45整除，则的最大值是（    ） A．10 B．35 C．56 D．81 【答案】A 【分析】本题考查有理数的除法运算，根据整除的概念，得出或，根据的不同取值，讨论的值，即可解题． 【详解】解：∵能被45整除， ∴或， 当时，； 当时，能被9整除，则，故的最大值为． 故选：A． 2．（23-24七年级上·贵州遵义·期中）有两个正数、，满足，规定把大于或等于且小于或等于的所有数记作，，例如大于或等于0且小于或等于5的所有数记作，如果在中，在中，那么的一切值所在范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数混合运算．根据题意，找出使取最大（小值时，的值，再计算即可． 【详解】解：在中，在中， 当，时，的最大值为； 当，时，的最小值为， ； 故答案为：． 3．（23-24七年级上·山东滨州·期末）有筐白菜，以每筐千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） 筐数 (1)筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ (2)与标准重量比较，筐白菜总计超过或不足多少千克？每筐白菜的平均质量是多少千克？ (3)若白菜每千克售价元，则出售这筐白菜可卖多少元？（结果精确到十分位） 【答案】(1)千克； (2)千克，千克； (3)元． 【分析】（）用差值最大的数减去最小的数即可求解； （）用差值乘以框数，求出它们的和，进行判断即可，进而可求出每筐白菜的平均质量； （）用总质量乘以每千克的售价，进行求解即可． 本题考查了正负数的意义，有理数混合运算的实际应用，读懂题意是解题的关键． 【详解】（1）解：由表可得，最重的一筐比最轻的一筐重千克； （2）解：， ∴与标准重量比较，筐白菜总计超过千克， ∴每筐白菜的平均质量千克； （3）解：元， 答：出售这筐白菜可卖元． 【经典例题八 有理数乘除的混合运算】 【例8】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数乘除法，熟记有理数乘除法则是解题的关键． 根据有理数的乘除法则进行计算便可． 【详解】（1） ； （2） ． 1．（20-21七年级上·吉林长春·期中）计算：． 【答案】3 【分析】先确定符号，再把除法化为乘法，根据有理数乘法法则计算． 本题主要考查了有理数的乘法、除法，掌握有理数乘法、除法法则，符号的确定是解题关键． 【详解】解：原式 ． 2．（2022七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)18 (2) (3)54 【分析】此题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是掌握有理数的乘除运算法则． （1）首先确定结果的符号，再把除法变为乘法，先约分，后相乘进行计算即可； （2）首先确定结果的符号，再把除法变为乘法，约分后相乘进行计算即可； （3）首先计算括号里面的，再计算括号外面的乘法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 3．（22-23七年级上·甘肃平凉·阶段练习）计算下列各题． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)6 (2) (3)0 (4) (5) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． （1）根据有理数的加减法可以解答本题； （2）根据有理数的加减法可以解答本题；如果有绝对值，要先做绝对值内的运算； （3）根据有理数的加减法可以解答本题；如果有绝对值，要先做绝对值内的运算； （4）先将除法转化为乘法，再根据乘法分配律计算； （5）根据有理数的乘除法可以解答本题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 【经典例题九 与有理数乘除有关的新定义问题】 【例9】（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）若定义一种新的运算，例如：，计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据新定义运算先计算，进而计算，即可求解． 【详解】解：依题意， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，根据新定义列出算式是解题的关键． 1．（23-24七年级上·山东滨州·期末）对于任意非零实数a，b，定义运算“※”如下：，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了新定义运算，根据题意得出是解题关键． 【详解】解：∵， ∴ 故选：D 2．（23-24七年级上·广西防城港·期中）对于任意的有理数，定义新运算：，如． 试计算： ． 【答案】 【分析】利用定义的新运算转化为有理数的混合运算，进一步计算得出答案即可． 【详解】解：由题意得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查新定义下的运算，认真读懂题意是关键． 3．（23-24七年级上·安徽芜湖·期中）对于有理数a、b，定义新运算：“”，． (1)计算：________；________； ________（填“>”或“=”或“<”）； (2)我们知道：有理数的加法运算和乘法运算满足交换律，那么，由（1）计算的结果，你认为这种运算：“”是否满足交换律？若满足，请说明理由；若不满足，请举例说明． 【答案】(1)，， (2)满足交换律，理由见解析 【分析】本题考查有理数的混合运算，新定义，理解新定义是关键． （1）按照题中新定义的运算进行计算即可作出判断； （2）就一般情况根据新定义进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，； ∴； ∵，， ∴； ∵，； ∴； 故答案：，， （2）解：运算：“”满足交换律 理由如下： 由新定义知：，， ∴， 表明运算“”满足交换律． 【经典例题十 有理数乘除法中的多结论问题】 【例10】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）若有理数a、b在数轴上表示的点的位置如图所示．下列结论： ①；    ②；    ③； ④；    ⑤；    ⑥． 其中正确结论的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，以及比较有理数的大小，根据数轴可以确定a、b的正负和它们的绝对值的大小，从而判断题目中各式子是否正确． 【详解】解：由图可知：，，， ，则①正确； ，则②错误； ，则③正确； ，则④正确； ，则⑤错误； ，则⑥正确； 综上所述，正确的结论有①③④⑥，共个， 故选：C． 1．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法：①若数a的绝对值等于a，则a是正数；②若，则a、b、c互为相反数；③若两个数的和为正数，则这两个数中至少有一个是正数；④若两个数的商为，则这两个数互为相反数；⑤除以一个数等于乘这个数的倒数；⑥几个数相乘，积的符号由负因数的个数决定．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值，相反数，有理数的运算，解题的关键是熟练掌握相关的定义和运算法则， 根据绝对值，相反数，有理数的运算进行解答即可 【详解】解：①若数a的绝对值等于a，则a是正数或0，故此选项错误； ②若，a、b、c不互为相反数，因为相反数指的是两个数，故此选项错误； ③若两个数的和为正数，则这两个数中至少有一个是正数，故此选项正确； ④若两个数的商为，则这两个数互为相反数，故此选项正确；； ⑤除以一个数等于乘这个数（0除外）的倒数，故此选项错误； ⑥当几个不为0的数相乘时，积的符号由负因数的个数决定，故此选项错误； 则正确的只有2个， 故选：B 2．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列各说法中，正确的个数有（    ） ①若，则一定是负数；②一个正数一定大于它的倒数；③除以一个数，等于乘以这个数的倒数；④若，则；⑤若，则且； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了绝对值的性质、倒数、有理数除法运算、有理数乘法等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 根据绝对值的性质、倒数、有理数除法运算、有理数乘法法则逐个判定即可． 【详解】解：①若，则可能是负数，也可能是零，故①错误； ②小于1的正数的倒数，这个正数小于它的倒数，故②错误； ③除以一个数（0除外）等于乘以这个数的倒数，故③错误； ④若，则，说法正确； ⑤若，则且或且，即⑤错误． 故选A． 3．（23-24七年级上·山东临沂·期末）已知有理数，数轴上的位置如图所示，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加减，除法和有理数的大小比较．根据各点在数轴上的位置，判断①，根据加法、减法和倒数确定②③④． 【详解】解：由数轴知，， 则，故①正确； ，故②正确； ∵， ∴， ∵，， ∴，即；故③正确， ∴，故④不正确 故选：C． 【经典例题十一 有理数乘除法中的程序计算】 【例11】（23-24七年级上·山东济南·阶段练习）如图所示的程序框图，如图所示的运算程序中，若开始输入的值为100，我们发现第1次输出的结果为50，第2次输出的结果为25，…，第2023次输出的结果为（    ）    A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据设计的程序进行计算，找到循环的规律，根据规律推导计算． 【详解】由设计的程序，可知： 依次输出的结果是50,25,32,16,8,4,2,1,8,4,2,1,…，发现从8开始循环． 则，故第2023次输出的结果是2. 故答案为：B. 【点睛】本题主要考查了数字的变化规律，掌握循环的规律，根据循环的规律进行推广是关键． 1．（23-24七年级上·山东济南·期中）如图所示运算程序中，若开始输入的值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，…第2017次输出的结果为（　　） A．3 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】根据题意可以写出前几次输出的结果，从而可以发现输出结果的变化规律，进而得到第2019次输出的结果． 【详解】解：根据题意得：可发现第1次输出的结果是24； 第2次输出的结果是24×=12； 第3次输出的结果是12×=6； 第4次输出的结果为6×=3； 第5次输出的结果为3+5=8； 第6次输出的结果为8=4； 第7次输出的结果为4=2； 第8次输出的结果为2=1； 第9次输出的结果为1+5=6； 归纳总结得到输出的结果从第3次开始以6，3，8，4，2，1循环， ∵（2017-2）6=335.....5， 则第2017次输出的结果为2. 故选：D. 【点睛】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现题目中输出结果的变化规律． 2．（21-22七年级上·山东济南·期中）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是﹣4，…，则第2021次输出的结果是 ． 【答案】-6 【分析】先根据数据运算程序计算出第1-8次的输出结果，再归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：第1次运算输出的结果为 ×2=1， 第2次运算输出的结果为1−5=−4， 第3次运算输出的结果为 ×(−4)=－2， 第4次运算输出的结果为 ×(−2)=－1， 第5次运算输出的结果为−1−5=－6， 第6次运算输出的结果为×(−6)=－3， 第7次运算输出的结果为−3−5=－8， 第8次运算输出的结果为 ×(−8)=－4， 归纳类推得：从第2次运算开始，输出结果是以−4，−2，−1，−6，−3，−8循环往复的， 因为2021−1=336×6+4， 所以第2021次运算输出的结果与第5次输出的结果相同，即为−6． 故答案为：-6． 【点睛】本题考查了程序图与有理数计算的规律性问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 3．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）哥哥在电脑中设置了一个有理数运算程序：输入数及运算符号，再输入，得运算式：． (1)求的值； (2)弟弟在运行该程序时，屏幕显示“该操作无法运行”，请你推测弟弟输入的数据可能是什么情况？ 【答案】(1) (2)输入的两个数互为相反数，使运算式分母为零，失去意义，故屏幕显示无法运行 【分析】（1）根据新定义，进行计算即可求解； （2）根据除数不能为0，即可求解． 【详解】（1）解： . （2）输入的两个数互为相反数，使运算式分母为零，失去意义，故屏幕显示“该操作无法运行” 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，理解新定义运算是解题的关键． 【经典例题十二 利用有理数的乘除法化简含绝对值的分数】 【例12】（23-24七年级上·四川宜宾·期末）下列说法正确的有（    ） ①对于任意有理数，代数式有最大值1； ②10条直线两两相交，最多有90个交点： ③已知a、b、c是非零的有理数，且时，则的值为1或； ④规定，如果，，，那么． A．①② B．①②③ C．③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查的是绝对值的非负性的应用，直线相交交点个数的探究，化简绝对值，新定义运算的含义，由绝对值的非负性的含义可判断①，由直线相交交点个数的规律探究可判断②，由绝对值的含义，结合有理数的除法运算的符号确定可判断③，先根据探究得到，再根据新定义运算的含义可判断④，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴对于任意有理数，代数式有最大值1；故①符合题意； ∵2条直线相交，最多1个交点， 3条直线两两相交，最多3个交点，而， 4条直线两两相交，最多6个交点，而， ∴10条直线两两相交，最多有个交点，故②不符合题意； 由可得，中有一个或三个值为负数， 当，时，， 当时，，故③符合题意； ∵，，， ∴异号，且，， ∴， ∴，故④符合题意； 故选D 1．（23-24七年级上·重庆渝中·期末）已知，，若，则x的最大值与最小值的乘积为（    ） A． B． C．6 D．24 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的除法，有理数的乘法，绝对值的性质，熟记运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴a、b、c有1个负数或3个负数． ∵， ∴a、b、c只有1个负数， ∴，，， 当时，，时， ， 当时，，时， ， 当时，，时， ， ∴x的最大值为6，最小值为， ∴， 即x的最大值与最小值的乘积为． 故选：A． 2．（23-24八年级下·河南驻马店·阶段练习）已知，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，有理数的除法法则，由变形可得：，，，从而原式可化为：；再由和可知：在中必为两正一负或两负一正，分情况讨论就可求得原式的值． 【详解】∵， ∴，，， ∴原式， ∵和， ∴在中必为两正一负或两负一正， ∴当为两正一负时，原式， 当为两负一正时，原式， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）【总结提炼】 小明学习了绝对值的性质后，有这样的思考和总结：当时，，则；当时，，则． 【解决问题】 （1）若，则 ． （2）若，则 ． 【拓展提升】 （3）若，计算：_________． 【答案】（1）或2（2）或1；（3）或或3 【分析】（1）分和，两种情况进行讨论求解即可； （2）分 中有一个负数和三个均为负数，两种情况进行讨论求解； （3）分，和，两种情况，进行讨论求解． 【详解】解：（1）∵， ∴同号， 当时：； 当时：； 故答案为：或2； （2）∵， ∴有两种情况：有一个负数和两个正数或三个均为负数， 当时，则：； 当有两个正数和一个负数时，假设：，则：； 故答案为：或1； （3）∵， ∴中有两正一负， ①当时：则：均为正， ∴， ∴； ②当时，则：一正一负， 若，则：，此时：； 如，则：，此时：； 综上，原式或或3． 故答案为：或或3 【点睛】本题考查化简绝对值，有理数乘法的符号法则．熟练掌握绝对值的性质，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 1．（22-23七年级上·山西长治·阶段练习）若a是非零自然数，则下面（   ）算式结果最小 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了有理数乘法、除法的运算方法，有理数大小比较，根据乘法、除法的运算方法，分别判断出每个算式的结果与a的大小关系，即可推得算式中的计算结果最小的是哪个算式． 【详解】解：a是非零自然数， ，，，， ， ， 所以算式中的计算结果最小的是：， 故选：A． 2．（22-23七年级上·湖北襄阳·期末）下列说法正确的有（    ） ①最大的负整数是；②有理数分为正有理数和负有理数；③数轴上表示有理数的点一定在原点的左边；④几个数相乘，积的符号由负因数的个数决定． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查数轴、有理数的定义、有理数的乘法法则，根据数轴、有理数的定义、有理数的乘法法则进行判断即可． 【详解】解：最大的负整数是，故①正确； 有理数分为正有理数和负有理数和0，故②错误； 当时，数轴上表示有理数的点在原点的右边，故③错误； 几个非零数相乘，积的符号由负因数的个数决定，故④错误； 即正确的有1个， 故选：A． 3．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）若有理数a、b在数轴上表示的点的位置如图所示．下列结论： ①；    ②；    ③； ④；    ⑤；    ⑥． 其中正确结论的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，以及比较有理数的大小，根据数轴可以确定a、b的正负和它们的绝对值的大小，从而判断题目中各式子是否正确． 【详解】解：由图可知：，，， ，则①正确； ，则②错误； ，则③正确； ，则④正确； ，则⑤错误； ，则⑥正确； 综上所述，正确的结论有①③④⑥，共个， 故选：C． 4．（23-24七年级上·江西南昌·开学考试）从和为55的10个不同的非零自然数中，取出3个数后，余下的数之和是55的，则取出的3个数的积最大等于（    ） A．280 B．270 C．252 D．216 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数乘法计算，先求出取出的这三个数的和为20，再由，得到这10个不同的非零自然数即为从1到10的10个自然数，据此讨论分别取到1到10这10个数时的最大乘积即可得到答案． 【详解】解：， 所以取出的这三个数的和为20， 因为， 所以这10个不同的非零自然数即为从1到10的10个自然数， 当取的数有10时，由于， 此时三个数的积最大为， 同理取的数有9时，此时三个数的积最大为， 同理取的数有8时，此时三个数的积最大为， 同理取的数有7时，此时三个数的积最大为， 同理取的数有6时，此时三个数的积最大为， 同理取的数有5时，此时三个数的积最大为， 同理取的数有4时，此时三个数的积最大为， 同理取的数有3时，此时三个数的积最大为， 同理取的数有2时，此时三个数的积最大为， 同理取的数有1时，此时三个数的积最大为， 综上所述，这三个数的积的最大值为280， 故选A． 5．（21-22七年级上·浙江台州·期末）若，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加法和乘法运算，掌握有理数的加法和乘法运算法则是解题关键．加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．异号两数相加，绝对值相等时，和为零．绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．一个数同零相加仍得这个数；乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． 【详解】解：因为， 所以，异号． 因为， 所以负数的绝对值大于等于正数的绝对值，即当时，由，可知；当时，由，可知． 综上可知选项中只有B正确． 故选B． 6．（24-25七年级上·全国·课堂例题）7．计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ． 【答案】 72 120 0 【分析】本题考查了有理数的乘法，直接根据有理数的乘法法则解题即可． 【详解】解：（1） ， 故答案为：； （2） ， 故答案为：72； （3） ， 故答案为：； （4） ， 故答案为：120； （5）， 故答案为：0． 7．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）若，，且，则 ． 【答案】或1/1或 【分析】本题考查了有理数的加法，有理数的乘法，解决此类问题的关键是由，得出；，得出．再利用这一条件确定x和y的具体取值，然后代入，从而得出结果． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，；，， ∴或， 故答案为：或1． 8．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）已知，其中是三个正数，把三个数从小到大的顺序排列起来： （用“”符号连接）． 【答案】 【分析】本题考查了分数的除法、通分和大小比较．解题的关键在于进行通分．首先把已知统一成乘法，然后再把分数通分，可得，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 9．（23-24七年级上·贵州遵义·期中）有两个正数、，满足，规定把大于或等于且小于或等于的所有数记作，，例如大于或等于0且小于或等于5的所有数记作，如果在中，在中，那么的一切值所在范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数混合运算．根据题意，找出使取最大（小值时，的值，再计算即可． 【详解】解：在中，在中， 当，时，的最大值为； 当，时，的最小值为， ； 故答案为：． 10．（23-24七年级上·河北邯郸·期末）已知． （1）写出一个大于且小于的负整数： ； （2）若c的倒数是a与b的差，则c的值为 ． 【答案】 （答案不唯一）． 【分析】（1）本题根据绝对值和平方的非负性解出a与b的值，再根据题意和有理数的大小写出数字即可． （2）本题考查倒数的意义和有理数的减法运算，根据a与b的值，算出a与b的差，再根据倒数的概念即可得到c的值． 【详解】解：（1）， 且， 解得，． 大于且小于的负整数有、、、，写这4个数中任意一个即可． 故答案为：（答案不唯一）． （2）由题知，，即c的倒数是，则c的值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查绝对值的非负性、平方的非负性、有理数的大小比较、倒数的意义、有理数的减法运算，熟练掌握相关概念即可解题． 11．（23-24七年级上·山东淄博·开学考试）请用适当的方法计算： (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3)19 (4) (5)30 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、有理数乘法运算律、有理数加法运算律等知识点，灵活运用相关运算律成为解题的关键． （1）运用加法交换律进行简便运算即可； （2）运用小数混合运算的顺序进行计算即可； （3）运用乘法分配律进行计算即可； （4）运用乘法分配律进行计算即可； （5）运用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． （5）解： ． 12．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】本题主要考查了有理数乘法及有理数除法，熟练掌握有理数乘法及有理数除法法则进行求解是解决本题的关键．应用有理数除法法则：有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即： （）， （1）根据有理数乘法及有理数除法法则进行求解即可； （2）根据有理数乘法及有理数除法法则进行求解即可； （3）根据有理数乘法及有理数除法法则进行求解即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 13．（23-24七年级上·云南昆明·开学考试）计算下面各题，怎样简便就怎样算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)8 (4) 【分析】本题考查有理数的混合运算， （1）先计算小括号内的，再进行加法和除法计算即可； （2）先计算小括号内的，再计算中括号内的，最后计算除法； （3）逆向运用乘法分配律计算即可； （4）把写出，再根据乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 14．（23-24六年级下·全国·假期作业）若a，b，c为有理数，且，求的值． 【答案】1 【分析】本题主要考查了有理数的乘法，绝对值的意义．会确定字母的正负是关键． 根据已知等式，利用绝对值的代数意义判断出、、中负数有2个，正数有1个，判断出的正负，原式利用绝对值的代数意义化简计算即可． 【详解】解：、、为三个不为0的有理数，且， 、、中负数有2个，正数有1个， ， ． 15．（23-24七年级上·江苏镇江·阶段练习）小艾同学的父亲是一名交警，假期某天早上，小艾随父亲乘交通巡逻车从恒隆出发，在红旗路上巡视，中午到达学校门口，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，行驶记录如下．单位：． 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)巡逻车在巡逻过程中，第 次离恒隆最远． (2)学校在恒隆哪个方向，与恒隆相距多少千米？ (3)若每千米耗油升，每升汽油需元，问这半天交通巡逻车所需汽油费多少元？ 【答案】(1)六； (2)学校在恒隆东面，与恒隆相距千米； (3)交通巡逻车所需汽油费为元． 【分析】（）求出每次记录时恒隆的距离，数值最大的为最远的距离： （）把次记录相加，根据和的情况判断学校与恒隆的关系即可； （）求出所有记录的绝对值的和，再乘以计算即可得解； 本题考查了正负数的意义，有理数的加法和乘法的实际应用，理解正负数的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：，，，，，，， ∵最大， ∴第六次离恒隆最远， 故答案为：六； （2）解：∵， ∴学校在恒隆东面，与恒隆相距千米； （3）解：小艾和父亲巡逻所走路程： 千米， 巡逻车所需汽油费：元， 答：交通巡逻车所需汽油费为元． 学科网（北京）股份有限公司 $$