第七章平行线的证明单元测试卷2024-2025学年北师大版八年级数学上册

北师大版八年级数学上册第七章平行线的证明单元测试卷 一、单选题 1．如图所示的两个三角形是全等三角形，图中的两个三角形都分别已知两边的长度，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2．给出下列4个命题，其中真命题的个数为（　　） ①对顶角相等； ②同旁内角的两个角的平分线互相垂直 ③同旁内角相等，两直线平行； ④互补的两个角中一定是一个为锐角，另一个为钝角； A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图所示，已知AB∥CD，下列结论正确的是（　　） A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠1=∠4 D．∠3=∠4 4．若的三边长分别为a，b，c，下列条件：①；②；③；④．其中能判断是直角三角形的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 5．若三个角的大小满足条件，则的大小为（　　） A． B． C． D． 6．下列命题错误的是（　　） A．在角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 B．平行于同一直线的两直线平行 C．在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行 D．一个角的平分线是它的对称轴 7． 如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3的度数为（　　）. A．130° B．140° C．150° D．160° 8．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（　　） A．三内角之比为1：2：3 B．三边长分别为1、、2 C．三边长之比为3：4：5 D．三内角之比为3：4：5 9．如图，直线 l1∥l2 ，点 、 在 l1 上，点 在 l2 上，若 、 ，则 的大小为（　　） A． B． C． D． 10．如图，点A、B、C、D、E在同一平面上，顺次连结得到不规则图形，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知 的角满足下列条件：① ；② ， ；③ ；④ ， ，其中一定不是直角三角形的是　 　.（只填序号） 12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝36°，以C为圆心，CA为半径的弧交AB于点E，交BC于点D，则∠DCE的度数为　 　°． 13．如图，AB∥CD，点∠E在CD上，且BA=BE，∠B=20°，则∠AEC=　 　． 14．四边形ABCD中，∠BAD＝125°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当三角形AMN周长最小时，∠MAN的度数为　 　. 三、解答题 15．已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合图，探索这两个角之间的关系： （1）下面图形中，若，，那么，在图①中， ；在图②中， ； （2）利用（1）的结果，我们可得出结论，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角 ； （3）已知两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的3倍少，则这两个角分别是多少度？ 16．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠A=60°，∠D=30°；∠E=∠B=45°）： ​ （1）若∠DCE=45°，则∠ACB的度数为　 　 （2）若∠ACB=140°，求∠DCE的度数 （3）由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由． （4）当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由． 17．如图，AB∥CD，∠AFE=140°，∠C=30°，求∠CEF的度数. 18．如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，△ABE≌△ACD． （1）求证：△BEC≌△CDB； （2）若∠A=70°，BE⊥AC，求∠BCD的度数． 四、综合题 19．如图，已知AB∥CD，AD∥BE，点C在线段BE上，∠BAE＝87°，∠E＝20°，AE与CD交于点F． （1）求∠ADC的度数； （2）连结BF，若∠AFB：∠BFC＝1：2，求∠FBC的度数． 20．如图， 中，D是 延长线上一点，满足 ，过点作 且 ，连接 并延长，分别交 于点 . （1）求证： ； （2）若 ，求 的度数. 21．若∠A与∠B的两边分别垂直，请求出这两个角的等量关系. （1）如图1，求出∠A与∠B的关系； （2）如图2，求∠A与∠B的关系； （3）若∠A与∠B的两边分别平行，探索这两个角的等量关系是什么？并画图证明你的结论。 22．已知， ，直线 分别与 ， 交于点 、 . （1）如图1， 和 的角平分线交于点 ， 的角平分线 与 的角平分线 交于点 . ①填空： ▲ °； ②求出 的度数； （2）如图2， 和 的角平分线交于点 ，点 ， 在直线 ， 之间，且满足 ， ， ， ，（其中 ， 为常数且 ， ），请用 ， 的代数式直接表示 与 的数量关系. 23．科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和反射出的光线与平面镜所夹的角相等. （1）如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射出去，若b镜反射出的光线n平行于m，且∠1=30 ，则∠2=　 　，∠3=　 　； （2）在（1）中，若∠1=70 ，则∠3=　 　；若∠1=a，则∠3=　 　； （3）由（1）（2）请你猜想：当∠3=　 　时，任何射到平面镜a上的光线m经过平面镜a和b的两次反射后，入射光线m与反射光线n总是平行的？请说明理由. （提示：三角形的内角和等于180 ） 答案解析部分 1．【答案】D 2．【答案】A 3．【答案】C 【解析】【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠1=∠4， 故选C． 【分析】根据平行线的性质即可得到结论． 4．【答案】C 5．【答案】C 6．【答案】D 7．【答案】D 【解析】【解答】解：如图所示，过点E作EF∥AB， ∵AB∥CD，EF∥AB， ∴EF∥AB∥CD， ∴∠1=∠FEN=30°，∠3+∠BEF=180°， ∵∠BEF=∠BEN-∠FEN=50°-30°=20°， ∴∠3=180°-∠BEF=120°. 故答案为：D. 【分析】过点E作EF∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行得EF∥AB∥CD，由平行线的性质得∠1=∠FEN=30°，∠3+∠BEF=180°，而∠BEF=∠BEN-∠FEN从而代入计算即可解决问题. 8．【答案】D 【解析】【解答】解：A.设三个内角的度数为n，2n，3n ∴n+2n+3n=180， 解得：n=30°， ∴各角分别为30°，60°，90°，故此三角形是直角三角形； B.∵12+（）2=22， ∴此三角形是直角三角形， C.设三条边为3n，4n，5n， ∵(3n)2+(4n)2=(5n)2， ∴此三角形是直角三角形， D.设三个内角的度数为3n，4n，5n， ∴3n+4n+5n=180°， 解得：n=15°， ∴各角分别为45°，60°，75°， ∴此三角形不是直角三角形， 故答案为：D． 【分析】利用勾股定理的逆定理和三角形的内角和逐项判断即可。 9．【答案】B 【解析】【解答】解：∵AB=AC， ∴∠ACB=∠ABC=70°， ∵直线l1∥l2， ∴∠1+∠ACB+∠ABC=180°， ∴∠1=180°-∠ABC-∠ACB=180°-70°-70°=40°. 故答案为：B. 【分析】根据等边对等角的性质，可求得∠ACB的度数，又由直线l1∥l2，根据两直线平行，同旁内角互补即可求得∠1的度数. 10．【答案】D 【解析】【解答】解：如图所示： ∵， ∴∠NMC+∠MNC=130°， ∴∠BNA+∠EMD=130°， ∵， ∴， 故答案为：D 【分析】根据三角形内角和定理即可得到∠NMC+∠MNC=130°，进而根据对顶角即可得到∠BNA+∠EMD=130°，然后运用即可求解。 11．【答案】④ 【解析】【解答】解：①当∠A+∠B＝90°，根据三角形内角和可知，∠C=180° 90°=90°，可以判定△ABC是直角三角形； ②当∠B＝2∠A，∠C＝3∠A，根据三角形内角和可知，∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，可以判定△ABC是直角三角形； ③当∠A+∠B＝2∠C，根据三角形内角和可知，∠C=60°，∠A+∠B=120°，∠A和∠B中可能有一个角是90°，也可能没有，可以判定△ABC可能是直角三角形； ④当∠B＝3∠A，∠C＝8∠A，根据三角形内角和可知，∠A=15°，∠B=45°，∠C=120°，可以判定△ABC不可能是直角三角形； 综上所述：△ABC是直角三角形的有①②，可能是直角三角形的有③，一定不是直角三角形的是④； 故答案为④. 【分析】利用三角形的内角和定理可对①作出判断；利用已知条件分别求出∠A，∠B，∠C的度数，可对②作出判断；利用三角形的内角和定理求出∠C的度数及∠A+∠B的和，可对③作出判断；利用已知条件求出∠A，∠B，∠C的度数，可对④作出判断；综上所述可得表示直角三角形的个数。 12．【答案】18 【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，∠B=36°， ∴∠A=90°－∠B=54°， ∵CA=CE， ∴∠CEA=∠A=54°， ∴∠ACE=180°－54°－54°=72°， ∴∠DCE=90°－∠ACE=18°， 故答案为：18． 【分析】先利用三角形的内角和及等腰三角形的性质求出∠ACE=180°－54°－54°=72°，再利用角的运算可得∠DCE=90°－∠ACE=18°。 13．【答案】80° 【解析】【解答】解：∵BA=BE，∠B=20°， ∴∠AEB=∠A=80°， ∵AB∥CD， ∴∠A=∠AEC=80°， 故答案为：80° 【分析】根据等边对等角，求出∠AEB=∠A，然后根据三角形内角和定理，列式计算即可得∠A=80°，根据两直线平行，内错角相等，求出∠AEC即可． 14．【答案】70° 【解析】【解答】解：延长AB到A′使得BA′=AB，延长AD到A″使得DA″=AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N. ∵∠ABC=∠ADC=90°， ∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称， 此时△AMN的周长最小， ∵BA=BA′，MB⊥AB， ∴MA=MA′，同理：NA=NA″， ∴∠A′=∠MAB，∠A″=∠NAD， ∵∠AMN=∠A′+∠MAB=2∠A′，∠ANM=∠A″+∠NAD=2∠A″， ∴∠AMN+∠ANM=2(∠A′+∠A″)， ∵∠BAD=125°， ∴∠A′+∠A″=180°﹣∠BAD=55°， ∴∠AMN+∠ANM=2×55°=110°. ∴∠MAN=180°﹣110°=70°. 故答案为：70°. 【分析】延长AB到A′使得BA′=AB，延长AD到A″使得DA″=AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N，此时△AMN的周长最小，易得MA=MA′，NA=NA″，由等腰三角形的性质可得∠A′=∠MAB，∠A″=∠NAD，结合外角的性质可得∠AMN=2∠A′，∠ANM=2∠A″，由内角和定理求出∠A′+∠A″的度数，进而得到∠AMN+∠ANM的度数，据此求解. 15．【答案】（1） （2）相等或互补 （3）两角度数均为或一个角的度数为，一个角的度数为 16．【答案】（1）135° （2）解： ∵∠ACB=140°，∠ACD=90°， ∴∠DCB=140°﹣90°=50°， ∴∠DCE=90°﹣50°=40° （3）解：∠ACB+∠DCE=180°， ∵∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+∠DCB， ∴∠ACB+∠DCE=90°+∠DCB+∠DCE=90°+90°=180° （4）解：存在， 当∠ACE=30°时，AD∥BC， 当∠ACE=∠E=45°时，AC∥BE， 当∠ACE=120°时，AD∥CE， 当∠ACE=135°时，BE∥CD， 当∠ACE=165°时，BE∥AD． 【解析】【解答】解：（1）①∵∠ECB=90°，∠DCE=45°， ∴∠DCB=90°﹣45°=45°， ∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+45°=135°， 故答案为：135° 【分析】（1）①首先计算出∠DCB的度数，再用∠ACD+∠DCB即可；②首先计算出∠DCB的度数，再计算出∠DCE即可； （2）根据（1）中的计算结果可得∠ACB+∠DCE=180°，再根据图中的角的和差关系进行推理即可； （3）根据平行线的判定方法可得． 17．【答案】解：延长FE交CD于G点， ∵AB∥CD， ∴∠AFE+∠CGF=180°， ∵∠AFE=140°， ∴∠CGF=40°， ∵∠CEF=∠C+∠CGE，∠C=30°，∠CGE=∠CGF=40°， ∴∠CEF=∠C +∠CGE =70°. 【解析】【分析】根据平行线的性质和三角形外角和与它不相邻的内角的关系，可以求得∠CEF的度数. 18．【答案】（1）证明：∵△ABE≌△ACD， ∴AB=AC，AD=AE，BE=CD， ∴BD=CE， 在△BEC与△CDB中， BD=CE，CD=BE，BC=CB， ∴△BEC≌△CDB. （2）解：∵AB=AC，∠A=70°， ∴∠ACB=∠ABC=55°， ∵BE⊥AC， ∴∠BEC=∠AEB=90°， ∴∠ABE=∠ACD=20°， ∴∠BCD=35° 【解析】【分析】（1）根据△ABE≌△ACD，可以求出三角形的对应边相等，根据两个三角形的三条边分别对应相等，即可求得△BEC≌△CDB。 （2）根据全等三角形的对应边相等，结合∠A的度数即可求出∠ABC和∠ACB，因为BE⊥AC，所以可求∠ABE的度数，继而得出∠BCD的度数。 19．【答案】（1）解：在△ABE中， ∵∠ABE=180°-∠BAE-∠E= 180°-107°=73° ， ∵AB∥CD， ∴∠DCE=∠ABE=73°， ∵AD∥BE， ∴∠ADC=∠DCE=73°； （2）解：设∠AFB=x，∠FBC=y，则∠BFC=2x， ∠AFB=∠FBC+∠E，即x=y+20°， ∠DCE=∠CFB+∠FBC，即2x+y=73°， ∴2（y+20°）+y=73°， 解得y=11°. 【解析】【分析】(1)在△ABE中，利用三角形内角和定理求出∠ABE，再由平行线的性质求出∠ADC即可； (2)设∠AFB=x，∠FBC=y，由三角形的外角的性质得出∠AFB=∠FBC+∠E和∠DCE=∠CFB+∠FBC，得出关于x、y的二元一次方程，联立求解即可. 20．【答案】（1）证明：∵CE∥AB， ∴∠B=∠ECD， 在△ABC和△DCE中， ， ∴ （SAS）； （2）解：∵∠B=50°，∠D=22°， ∴ . 【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可证得∠B=∠ECD，利用SAS可证得结论. （2）利用三角形外角的性质可得到∠AGF=∠B+∠D，代入计算可求出∠AGF的度数. 21．【答案】（1）解：如图1，∠A=∠B， ∵∠ADE=∠BCE=90°，∠AED=∠BEC， ∴∠A=180°﹣∠ADE﹣∠AED， ∠B=180°﹣∠BCE﹣∠BEC， ∴∠A=∠B， （2）解：如图2，∠A+∠B=180°； ∴∠A+∠B=360°﹣90°﹣90°=180°. ∴∠A与∠B的等量关系是互补； 故答案为：∠A=∠B，∠A+∠B=180°； （3）解：如图3，∠A=∠B， ∵AD∥BF， ∴∠A=∠1， ∵AE∥BG， ∴∠1=∠B， ∴∠A=∠B； 如图4，∠A+∠B=180°， ∵AD∥BG， ∴∠A=∠2， ∵AE∥BF， ∴∠2+∠B=180°， ∴∠A+∠B=180°. 【解析】【分析】（1）根据垂直定义可得 ∠ADE=∠BCE=90° ，利用对顶角相等可得 ∠AED=∠BEC， 由三角形内角和等于180°，可得 ∠A=∠B. （2）根据垂直定义可得 ∠ACB=∠ADB=90° ，由四边形内角和等于360°，可求出 ∠A+∠B=180°. （3）分两种图形讨论，①如图3，根据两直线平行，同位角相等，可得 ∠A=∠1，∠1=∠B，从而可得∠A=∠B；②如图4，根据两直线平行，同位角相等，可得∠A=∠2.根据两直线平行，同旁内角互补可得∠2+∠B=180°，继而可得∠A+∠B=180°. 22．【答案】（1）解：①90°；②∵ 的角平分线 与 的角平分线 交于点 . ∴∠HEG= ∠AEG= ∠AEF，∠HFG= ∠CFG= ∠EFC， ∴∠HEF= ∠AEF，∠HFE= ∠EFC， ∴∠EHF=180°-（∠HEF+∠HFE）=180°- （∠AEF+∠EFC）=45°. （2）解：如图，过K作KQ//AB，过H作HP//AB， 由（1）可知∠GEF+∠GFE=90°， ∵AB//CD， ∴∠BEF+∠DFE=180°， ∴∠GEF+∠BEF+∠GFE+∠DFE=∠BEG+∠DFG=270°， ∵KQ//AB，HP//AB， ∴CD//KQ，CD//HP， ∴∠EHP=∠AEH，∠CFH=∠FHP，∠BEK=∠EKQ，∠DFK=∠FKQ， ∵ ， ， ， ， ∴∠EHF=∠AEH+∠CFH= （∠AEG+∠CFG）= ，∠EKF= （∠BEG+∠DFG）= ， ∴ ， ∴ 【解析】【解答】（1）①∵AB//CD， ∴∠AEF+∠EFC=180°， ∵ 和 的角平分线交于点 ， ∴∠GEF+∠GFE= ∠AEF+ ∠EFC=90°， ∴∠G=180°-（∠GEF+∠GFE）=90°. 故答案为：90° 【分析】（1）①由平行线的性质可得∠AEF+∠EFC=180°，由角平分线的概念可得∠GEF+∠GFE的度数，然后根据三角形内角和定理求解即可； ②由角平分线的概念可得∠HEG==∠AEF，∠HFG=∠EFC，则∠HEF=∠AEF，∠HFE=∠EFC，然后根据三角形内角和定理求解即可； （2 过K作KQ//AB，过H作HP//AB，由（1）可知∠GEF+∠GFE=90°，由平行线的性质可得∠BEF+∠DFE=180°，则∠GEF+∠BEF+∠GFE+∠DFE=270°，由平行线的性质可得∠EHP=∠AEH，∠CFH=∠FHP，∠BEK=∠EKQ，∠DFK=∠FKQ，结合已知可得∠EHF= ，∠EKF= ，据此求解. 23．【答案】（1）60°；90° （2）90°；90° （3）90° 【解析】【解答】(1) ∵入射角与反射角相等，即∠1=∠4，∠5=∠2， 根据邻补角的定义可得 根据m∥n，所以 所以 根据三角形内角和为 所以 故答案为： ( 2 ) 由(1)可得∠3的度数都是 ( 3 ) 理由：因为 所以 又由题意知∠1=∠4，∠5=∠2， 所以 由同旁内角互补，两直线平行，可知：m∥n. 【分析】（1）由入射角等于反射角可得∠1=∠4，∠5=∠2；由邻补角的定义可求得∠6的度数；于是由两直线平行，同旁内角互补可得∠6+∠7=则∠7的度数可求解，由图知∠5+∠7+∠2=所以∠5和∠2的度数可求解；再根据三角形的内角和等于可求得∠3的度数； （2）由（1）可知∠3=； （3）由（1）和（2）可得∠3= 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$