精品解析：陕西省西安市长安区2022-2023学年九年级下学期期中数学试题

2022-2023学年陕西省西安市长安区九年级（下）期中数学试卷 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. -2的倒数是（ ） A. -2 B. C. D. 2 2. 如图是由5个大小相同的正方体摆成的立方体图形，它的左视图是（　　） A. B. C. D. 3. 2012年3月5日上午，国务院总理温家宝向第十一届全国人大五次会议作政府工作报告时提出，2012年中央财政要进一步增加教育投入，国家财政性教育经费支出21984.63亿元．将21984.63用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图．已知AB∥CD，∠1=70°，则∠2的度数是（　　） A. 60° B. 70° C. 80° D. 110° 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 方程组的解是（）. A. B. C. D. 7. 某校篮球班21名同学的身高如下表 身高cm 180 186 188 192 208 人数（个） 4 6 5 4 2 则该校篮球班21名同学身高的众数和中位数分别是（单位：cm）（ ） A. 186，186 B. 186，187 C. 186，188 D. 208，188 8. 为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于轴对称， 轴，，最低点 在轴上，高 ，，则右轮廓所在抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 9. 函数的图象如图所示，则结论：①两函数图象的交点的坐标为（2，2）；②当x>2时，；③当x=1时，BC=3；④当x逐渐增大时，随着的增大而增大，随着的增大而减小．则其中正确结论的序号是( ) A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ①③④ 10. 如图所示，将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折，接着对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分） 11. 分解因式：a2﹣4b2=_____． 12. 如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”，“8”（单位：cm），那么，该圆的半径为____． 13. 如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的直径为分米，若在这个圆面上随意抛一粒豆子，则豆子落在正方形ABCD内的概率是_________． 14. 如图所示，有种动画程序，屏幕上正方形是黑色区域(含正方形边界)，其中，用信号枪沿直线发信号，当信号遇到黑色区域时，区域便由黑变白，则能使黑色区域变白的的取值范围是__________． 15. 定义运算ab＝a(1－b)，下面给出了关于这种运算的四个结论： ①2(－2)＝6； ②ab＝ba；③若a＋b＝0，则(aa)＋(bb)＝2ab； ④若ab＝0，则a＝0．其中正确结论的序号是_________(填上你认为所有正确结论的序号)． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点A1是以原点O为圆心，半径为2的圆与过点（0，1）且平行于x轴的直线l1的一个交点；点A2是以原点O为圆心，半径为3的圆与过点（0，2）且平行于x轴的直线l2的一个交点；……按照这样的规律进行下去，点An的坐标为 ． 三、解答题（本题有8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22，23题每题12分，第24题14分，共80 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 现有如图1所示的两种瓷砖．请从这两种瓷砖中各选2块，拼成一个新的正方形地板图案（如示例图2）： （1）在图3拼铺的图案成轴对称图形； （2）在图4拼铺的图案成中心对称图形； （3）在图5拼铺的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形． （要求：三个图各不相同．） 20. （11·漳州）某校“我爱学数学”课题学习小组的活动主题是“测量学校旗杆的高度”．以下是该课题小组研究报告的部分记录内容： 课题 测量学校旗杆的高度 图示 发言记录 小红：我站在远处看旗杆顶端，测得仰角为30° 小亮：我从小红的位置向旗杆方向前进12 m看旗杆顶端，测得仰角为60° 小红：我和小亮的目高都是1.6 m 请你根据表格中记录的信息，计算旗杆AG的高度．（取1.7，结果保留两个有效数字） 21. 为了解某县2011年初中毕业生的实验考查成绩等级的分布情况，随机抽取了该县若干名学生的实验考查成绩进行统计分析，并根据抽取的成绩绘制了如下的统计图表： 成绩等级 A B C D 人数 60 x y 10 百分比 30% 50% 15% m 请根据以上统计图表提供的信息，解答下列问题： ⑴本次抽查的学生有___________________名； ⑵表中x，y和m所表示的数分别为：x=________，y=______，m=_________； ⑶请补全条形统计图； ⑷根据抽样调查结果，请你估计2011年该县5400名初中毕业生实验考查成绩为D类的学生人数． 22. 某公司有A产品40件，B产品60件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中70件给甲店，30件给乙店，且都能卖完．两商店销售这两种产品每件的利润 (元) 如下表所示： A产品的利润/元 B产品的利润/元 甲店 200 170 乙店 160 150 （1）设分配给甲店A产品x件，这家公司卖出这100件产品的总利润为W (元)，求W关于x的函数关系式，并求出x的取值范围； （2）若要求总利润不低于17560元；有多少种不同的分配方案？ 并将各种方案设计出来； （3）为了促销，公司决定仅对甲店A产品让利销售，每件让利a元，但让利后A产品的每件利润仍高于甲店B产品的每件利润．甲店的B产品以及乙店的A，B产品的每件利润不变，问该公司又如何设计分配方案，使总利润达到最大？ 23. 问题背景：如图1，四边形ABCD和CEFG都是正方形，B，C，E在同一条直线上，连接BG，DE． 问题探究： （1）①如图1所示，当G在CD边上时，猜想线段BG、DE的数量关系及所在直线的位置关系．（不要求证明） ②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2，如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，请选择图2或图3证明你的判断． 类比研究： （2）若将原题中的“正方形”改为“矩形”（如图4所示），且=k（其中k＞0），请直接写出线段BG、DE的数量关系及位置关系．请选择图5或图6证明你的判断． 拓展应用： （3）在（1）中图2中，连接DG、BE，若AB=3，EF=2，求BE2+DG2的值． 24. 如图1所示，直角梯形的顶点、分别在轴正半轴与轴负半轴上．过点、作直线．将直线平移，平移后的直线与轴交于点，与轴交于点． （1）将直线向右平移，设平移距离为，直角梯形被直线扫过的面积（图中阴影部分）为，关于的函数图象如图2所示，为线段，为抛物线的一部分，为射线，点横坐标为4． ①求梯形上底的长及直角梯形的面积， ②当时，求关于的函数解析式； （2）在第（1）题的条件下，当直线向左或向右平移时（包括与直线重合），在直线上是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022-2023学年陕西省西安市长安区九年级（下）期中数学试卷 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. -2的倒数是（ ） A. -2 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据倒数的定义（两个非零数相乘积为1，则说它们互为倒数，其中一个数是另一个数的倒数）求解． 【详解】解：-2的倒数是-， 故选：B． 【点睛】本题难度较低，主要考查学生对倒数等知识点的掌握． 2. 如图是由5个大小相同的正方体摆成的立方体图形，它的左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中． 【详解】解：从左面看易得第一层有2个正方形， 第二层最左边有一个正方形． 故选：B． 【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图． 3. 2012年3月5日上午，国务院总理温家宝向第十一届全国人大五次会议作政府工作报告时提出，2012年中央财政要进一步增加教育投入，国家财政性教育经费支出21984.63亿元．将21984.63用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方式表示即可． 【详解】解：将21984.63用科学记数法表示为． 故选：C 4. 如图．已知AB∥CD，∠1=70°，则∠2的度数是（　　） A. 60° B. 70° C. 80° D. 110° 【答案】D 【解析】 【分析】由AB//CD，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠3的度数，又由邻补角的性质，即可求得∠2的度数． 【详解】解：∵AB//CD， ∴∠1=∠3=70°， ∵∠2+∠3=180°， ∴∠2=110°． 故选D． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据负整数指数幂，幂的乘方，合并同类项，同底数幂相除的计算法则判断即可． 【详解】解：A、，本选项计算错误，不合题意； B、，本选项计算错误，不合题意； C、，本选项计算正确，符合题意； D、，本选项计算错误，不合题意． 故选：C 【点睛】本题考查负整数指数幂，幂的乘方，同底数幂相除，合并同类项，掌握相关法则是解题的关键． 6. 方程组的解是（）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】方程组， 由①＋②得3x＝6，x＝2，把x＝2代入①中得y＝－1， 所以方程组的解是. 故选D. 7. 某校篮球班21名同学的身高如下表 身高cm 180 186 188 192 208 人数（个） 4 6 5 4 2 则该校篮球班21名同学身高的众数和中位数分别是（单位：cm）（ ） A. 186，186 B. 186，187 C. 186，188 D. 208，188 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：∵身高180cm有4人，186cm有6，188cm有5人，192cm有5人，208cm有5人， ∴出现次数最多的数据是186. ∴该校篮球班21名同学身高的众数为186 ； ∵一共有21名同学， ∴因此其中位数应是第11名同学的身高. ∴中位数为188 . 故选C. 考点：1.众数；2.中位数． 8. 为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于轴对称， 轴，，最低点 在轴上，高 ，，则右轮廓所在抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用B、D关于y轴对称，CH=1cm，BD=2cm可得到D点坐标为（1，1），由AB=4cm，最低点C在x轴上，则AB关于直线CH对称，可得到左边抛物线的顶点C的坐标为（-3，0），于是得到右边抛物线的顶点C的坐标为（3，0），然后设顶点式利用待定系数法求抛物线的解析式． 【详解】∵高CH=1cm，BD=2cm，且B、D关于y轴对称， ∴D点坐标为（1，1）， ∵AB∥x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上， ∴AB关于直线CH对称， ∴左边抛物线的顶点C的坐标为（-3，0）， ∴右边抛物线的顶点F的坐标为（3，0）， 设右边抛物线的解析式为y=a（x-3）2， 把D（1，1）代入得1=a×（1-3）2，解得a=， ∴右边抛物线的解析式为y=（x-3）2， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的应用：利用实际问题中的数量关系与直角坐标系中线段对应起来，再确定某些点的坐标，然后利用待定系数法确定抛物线的解析式，再利用抛物线的性质解决问题． 9. 函数的图象如图所示，则结论：①两函数图象的交点的坐标为（2，2）；②当x>2时，；③当x=1时，BC=3；④当x逐渐增大时，随着的增大而增大，随着的增大而减小．则其中正确结论的序号是( ) A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】一次函数和反比例函数的交点坐标就是一次函数与反比例函数组成的方程组的解；根据图象可求得x＞2时y1＞y2；根据x＝1时求出点B点C的坐标从而求出BC的值；根据图像可确定一次函数和反比例函数在第一象限的增减性． 【详解】解：①联立一次函数与反比例函数的解析式， 解得，， ∴A（2，2），故①正确； ②由图象得x＞2时，y1＞y2，故②错误； ③当x＝1时，B（1，4），C（1，1），∴BC＝3，故③正确； ④一次函数y随x的增大而增大，反比例函数k＞0，y随x的增大而减小．故④正确． ∴①③④正确． 故选D． 【点睛】本题主要是考查学生对两个函数图象性质的理解．这是一道常见的一次函数与反比例函数结合的题目，需要学生充分掌握一次函数和反比例函数的图象特征．理解一次函数和反比例函数的交点坐标就是一次函数与反比例函数组成的方程组的解． 10. 如图所示，将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折，接着对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据第三个图形是三角形的特点及折叠的性质即可判断. 【详解】∵第三个图形是三角形， ∴将第三个图形展开，可得，即可排除答案A， ∵再展开可知两个短边正对着， ∴选择答案D，排除B与C． 故选D． 【点晴】此题主要考查矩形的折叠，解题的关键是熟知折叠的特点. 二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分） 11. 分解因式：a2﹣4b2=_____． 【答案】（a+2b）（a﹣2b） 【解析】 【详解】首先把4b2写成（2b）2，再直接利用平方差公式进行分解即可． 解：a2－4b2=a2-（2b）2=（a+2b）（a－2b）， 故答案为（a+2b）（a－2b）． 12. 如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”，“8”（单位：cm），那么，该圆的半径为____． 【答案】cm 【解析】 【分析】设OB=rcm，由于刻度尺的宽为2cm，所以OC=r-2，再根据另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”可求出BC的长，在Rt△OBC中利用勾股定理即可得出r的值． 【详解】根据题意获得下图： 设OB=r cm， ∵刻度尺的宽为2cm， ∴OC=r-2， ∵另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”， ∴BC=×6=3， 在Rt△OBC中， ∵OB2=OC2+BC2，即r2=（r-2）2+32，解得r= cm． 故答案为cm． 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意得出BC=3是解答此题的关键． 13. 如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的直径为分米，若在这个圆面上随意抛一粒豆子，则豆子落在正方形ABCD内的概率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】在这个圆面上随意抛一粒豆子，落在圆内每一个地方是均等的，因此计算出正方形和圆的面积，利用几何概率的计算方法解答即可． 【详解】解：∵⊙O的直径为分米，则半径为分米，⊙O的面积为， 正方形的边长为分米，面积为1平方分米， ∵豆子落在圆内每一个地方是均等的， ∴豆子落在正方形ABCD内的概率为， 故答案为． 【点睛】此题主要考查几何概率的意义：一般地，对于古典概型，如果试验的基本事件为n，随机事件A所包含的基本事件数为m，我们就用来描述事件A出现的可能性大小，称它为事件A的概率，记作P(A)，即有P(A)=． 14. 如图所示，有种动画程序，屏幕上正方形是黑色区域(含正方形边界)，其中，用信号枪沿直线发信号，当信号遇到黑色区域时，区域便由黑变白，则能使黑色区域变白的的取值范围是__________． 【答案】3≤b≤6． 【解析】 【分析】根据题意确定直线y=-2x+b经过哪一点b最大，哪一点b最小，然后代入求出b的取值范围． 【详解】由题意可知当直线y=-2x+b经过A（1，1）时b的值最小，即-2×1+b=1，b=3； 当直线y=-2x+b过C（2，2）时，b最大即2=-2×2+b，b=6， 故能够使黑色区域变白的b的取值范围为3≤b≤6． 【点睛】本题是一次函数在实际生活中的运用，解答此类题目时一定要注意数形结合的运用． 15. 定义运算ab＝a(1－b)，下面给出了关于这种运算的四个结论： ①2(－2)＝6； ②ab＝ba；③若a＋b＝0，则(aa)＋(bb)＝2ab； ④若ab＝0，则a＝0．其中正确结论的序号是_________(填上你认为所有正确结论的序号)． 【答案】①③ 【解析】 【分析】试题考查知识点：定义运算． 思路分析：严格按照定义计算． 具体解答过程： 按照定义运算ab＝a(1－b)不难推算： ①2(－2)＝2(1+2)=6故①正确； ②ab＝a(1－b),而ba=b(1－a)，ab＝ba不一定成立．故②错误； ③若a＋b＝0，则(aa)＋(bb)＝a(1-a)+b(1－b)=a-a2+b-b2＝（a+b）-（a2+b2）=（a+b）-（a+b）2+2ab=2ab.故③正确. ④若ab＝0，则ab＝a(1－b)=0，即a=0或b=1，故④错误； 综上所述，只有①③是正确的. 试题点评：定义计算是一种特定规则的运算，严格按照指定规则运算才能得到正确的结果. 【详解】请在此输入详解！ 16. 如图，在平面直角坐标系中，点A1是以原点O为圆心，半径为2的圆与过点（0，1）且平行于x轴的直线l1的一个交点；点A2是以原点O为圆心，半径为3的圆与过点（0，2）且平行于x轴的直线l2的一个交点；……按照这样的规律进行下去，点An的坐标为 ． 【答案】（） 【解析】 【分析】根据题意，可以首先求得A1（，1），A2（，2），A3（，3）．根据这些具体值，不难发现：An的纵坐标是n，横坐标是． 【详解】∵点A1是以原点O为圆心，半径为2的圆与过点（0，1）且平行于x轴的直线l1的一个交点， ∴A1的纵坐标为1，横坐标为：，即A1（，1）； 同理可求：A2（，2），A3（，3） ∴根据这些具体值，得出规律：An的纵坐标是n，横坐标是．即An的坐标为（，n）． 故答案为：（，n）． 三、解答题（本题有8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22，23题每题12分，第24题14分，共80 17. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查负整数指数幂、零次幂、求算术平方根、特殊角三角函数值．分别根据负整数指数幂、零次幂、求算术平方根、特殊角三角函数值计算，再计算加减法即可． 【详解】解： ． 18. 解方程：． 【答案】x＝3 【解析】 【分析】按照解分式方程的一般步骤，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可解答． 【详解】解：3（－1）＝2， ＝3， 经检验，x＝3是原方程的根． 所以x＝3是原方程的解． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟悉掌握分式方程的解法步骤是解题的关键． 19. 现有如图1所示的两种瓷砖．请从这两种瓷砖中各选2块，拼成一个新的正方形地板图案（如示例图2）： （1）在图3拼铺的图案成轴对称图形； （2）在图4拼铺的图案成中心对称图形； （3）在图5拼铺的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形． （要求：三个图各不相同．） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形与中心对称图形的设计，熟知轴对称图形与中心对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形的定义与中心对称图形的定义进行设计图案即可． 【小问1详解】 解：所求图形，如图所示． 【小问2详解】 解：所求图形，如图所示． 【小问3详解】 解：所求图形，如图所示． 20. （11·漳州）某校“我爱学数学”课题学习小组的活动主题是“测量学校旗杆的高度”．以下是该课题小组研究报告的部分记录内容： 课题 测量学校旗杆的高度 图示 发言记录 小红：我站在远处看旗杆顶端，测得仰角为30° 小亮：我从小红的位置向旗杆方向前进12 m看旗杆顶端，测得仰角为60° 小红：我和小亮的目高都是1.6 m 请你根据表格中记录的信息，计算旗杆AG的高度．（取1.7，结果保留两个有效数字） 【答案】解法一：设BD＝x cm，AB＝x cm， 在Rt△ABC中，cos30°＝，即＝ ………………4分 解得x＝6， ∴AB＝6 ………………6分 ∴AG＝6＋1.6≈6×1.7＋1.6≈12m ………………8分 解法二：∵∠ACB＝30°，∠ADB＝60°，∴∠CAD＝30°＝∠ACB60° ∴AD＝CD＝12 ………………2分 在Rt△AADB中，sin60°＝，即＝ ………………4分 ∴AB＝6 ………………6分 ∴AG＝6＋1.6≈6×1.7＋1.6≈12m ………………8分 【解析】 【分析】构造直角三角形,解直角三角形可得. 【详解】设BD＝xcm，AB＝xcm， 在Rt△ABC中，cos30°＝==， 解得x＝6， ∴AB＝6 ∴AG＝6＋1.6≈6×1.7＋1.6≈12m 【点睛】解直角三角形应用. 21. 为了解某县2011年初中毕业生的实验考查成绩等级的分布情况，随机抽取了该县若干名学生的实验考查成绩进行统计分析，并根据抽取的成绩绘制了如下的统计图表： 成绩等级 A B C D 人数 60 x y 10 百分比 30% 50% 15% m 请根据以上统计图表提供的信息，解答下列问题： ⑴本次抽查的学生有___________________名； ⑵表中x，y和m所表示的数分别为：x=________，y=______，m=_________； ⑶请补全条形统计图； ⑷根据抽样调查结果，请你估计2011年该县5400名初中毕业生实验考查成绩为D类的学生人数． 【答案】⑴200；⑵100,30,5%;(3)详见解析；⑷270（人）． 【解析】 【分析】（1）用A组的人数乘以百分比可得总数；（2）用总数乘以各百分比可得人数；（3）根据相应人数画图；（4）成绩为D类的学生所占百分比为，由此可以估计2011年该县5400名初中毕业生实验考查成绩为D类的学生人数为5400×5% 【详解】⑴200；⑵100,30,5% ⑷学生总人数为60÷30%=200，成绩为D类的学生所占百分比为， 由此可以估计2011年该县5400名初中毕业生实验考查成绩为D类的学生人数为 5400×5%=270（人）． 【点睛】画条形图；用样本估计总体. 22. 某公司有A产品40件，B产品60件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中70件给甲店，30件给乙店，且都能卖完．两商店销售这两种产品每件的利润 (元) 如下表所示： A产品的利润/元 B产品的利润/元 甲店 200 170 乙店 160 150 （1）设分配给甲店A产品x件，这家公司卖出这100件产品的总利润为W (元)，求W关于x的函数关系式，并求出x的取值范围； （2）若要求总利润不低于17560元；有多少种不同的分配方案？ 并将各种方案设计出来； （3）为了促销，公司决定仅对甲店A产品让利销售，每件让利a元，但让利后A产品的每件利润仍高于甲店B产品的每件利润．甲店的B产品以及乙店的A，B产品的每件利润不变，问该公司又如何设计分配方案，使总利润达到最大？ 【答案】（1）10≤x≤40； （2）有三种不同的方案：①、甲店A型38件，B型32件，乙店A型2件，B型28件；②、甲店A型39件，B型31件，乙店A型1件，B型29件；③、甲店A型40件，B型30件，乙店A型0件，B型30件． （3）当x=10时，利润最大． 【解析】 【分析】（1）分配给甲店A型产品x件，则分配给甲店B型产品(70－x)件，分配给乙店A型产品(40－x)件，分配给乙店B型产品(x－10)件，根据总利润等于各利润之和进行求解；根据x≥0，40－x≥0，30－(40－x)≥0可以求出取值范围； （2）根据W≤17560得到x的取值范围，和(1)中的取值范围得到x的整数值； （3）根据题意列出函数关系式，然后根据增减性进行判断． 【详解】解：（1）有题意得：W=200x+170(70－x)+160(40－x)+150(x－10)=20x+16800 ∵x≥0，40－x≥0，30－(40－x)≥0， ∴10≤x≤40； （2）根据题意得：20x+16800≥17560， 解得：x≥38， ∴38≤x≤40； ∴有三种不同的方案：①、甲店A型38件，B型32件，乙店A型2件，B型28件；②、甲店A型39件，B型31件，乙店A型1件，B型29件；③、甲店A型40件，B型30件，乙店A型0件，B型30件． （3）此时总利润W＝20x+16800-ax=(20-a)x+16800，a<200-170＝30 当a≤20时，x取最大值，即x＝40（即A型全归甲卖） 当a＞20时，x取最小值，即x＝10（即乙全卖A型） 23. 问题背景：如图1，四边形ABCD和CEFG都是正方形，B，C，E在同一条直线上，连接BG，DE． 问题探究： （1）①如图1所示，当G在CD边上时，猜想线段BG、DE的数量关系及所在直线的位置关系．（不要求证明） ②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2，如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，请选择图2或图3证明你的判断． 类比研究： （2）若将原题中的“正方形”改为“矩形”（如图4所示），且=k（其中k＞0），请直接写出线段BG、DE的数量关系及位置关系．请选择图5或图6证明你的判断． 拓展应用： （3）在（1）中图2中，连接DG、BE，若AB=3，EF=2，求BE2+DG2的值． 【答案】（1）①BG=DE，BG⊥DE；②仍然成立；（2）BG⊥DE，=k；（3）26． 【解析】 【详解】分析：（1）①利用三角形全等的判定即可得出BG=DE，再利用对应角关系得出即可； ②利用三角形全等的判定即可得出BG=DE，再利用对应角关系得出即可； （2）利用相似三角形的判定得出△BCG∽△DCE，进而得出即可； （3）利用勾股定理得出BE2+DG2=OB2+OE2+OG2+OD2=BD2+GE2，进而得出答案即可． 详解：解；（1）①BG=DE，BG⊥DE； ②仍然成立．选择图2，证明如下： ∵四边形ABCD、CEFG都是正方形； ∴BC=CD，CG=CE，∠BCD=∠ECG，∴∠BCG=∠DCE， ∴△BCG≌△DCE（SAS），∴BG=DE，∠CBG=∠CDE． 又∵∠BHC=∠DHO，∠CBG+∠BHC=90°， ∴∠CDE+∠DHO=90°，∴∠DOH=90°， ∴BG⊥DE； （2）BG⊥DE，=k．如图5，证明如下： ∵四边形ABCD，CEFG都是矩形，且==k， ∴==k，∠BCD=∠ECG=90°， ∴∠BCG=∠DCE，∴△BCG∽△DCE， ∴∠CBG=∠CDE，=k． 又∵∠BHC=∠DHO，∠CBG+∠BHC=90°， ∴∠CDE+∠DHO=90°，∴∠DOH=90°，∴BG⊥DE； （3）∵BG⊥DE，∴BE2+DG2=OB2+OE2+OG2+OD2=BD2+GE2． 又∵AB=3，CE=2，∴BD=3，GE=2， ∴BD2+GE2=（3）2+（2）2=26， ∴BE2+DG2=26． 点睛：本题是四边形综合题．主要考查了全等三角形的判定以及相似三角形的判定与性质和勾股定理的应用，熟练利用相似三角形的性质得出是解题的关键． 24. 如图1所示，直角梯形的顶点、分别在轴正半轴与轴负半轴上．过点、作直线．将直线平移，平移后的直线与轴交于点，与轴交于点． （1）将直线向右平移，设平移距离为，直角梯形被直线扫过的面积（图中阴影部分）为，关于的函数图象如图2所示，为线段，为抛物线的一部分，为射线，点横坐标为4． ①求梯形上底的长及直角梯形的面积， ②当时，求关于的函数解析式； （2）在第（1）题的条件下，当直线向左或向右平移时（包括与直线重合），在直线上是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①，；②； （2）存在，、、，、、． 【解析】 【分析】（1）先要看分段函数所表示的意思是什么，当时，在和之间扫过的梯形的部分是个平行四边形，当时，在点右侧，且在点左侧时，扫过的梯形的部分是个五边形，当时，扫过的梯形的面积就是整个梯形的面积． ①由上面的分析可看出当时，就是、重合的时候，那么，可根据此时梯形的平行四边形的面积为8求出的长；而当时，就是于重合的部分，因此，那么梯形的面积就可以求出来了． ②根据上面的分析当时，直角梯形被直线扫过的面积直角梯形面积一直角三角形面积，然后可用表示出、的长，然后根据得出的等量关系求出、的函数关系式； （2）要分三种情况进行讨论：①以点为直角顶点，②以点为直角顶点，③以点为直角顶点，进行分析讨论求解即可． 【小问1详解】 ①由图（2）知，点的坐标是， 由此判断：，； 点的横坐标是4，是平行于轴的射线， ， 直角梯形的面积为：． ②当时，如图， 直角梯形被直线扫过的面积直角梯形面积一直角三角形面积， ，， ， ， ； 【小问2详解】 存在， 要分三种情况进行讨论： 以点为直角顶点，作轴 在中，， 设，． ， ， ， ， ， 因此，， 在上面二图中分别可得到点的生标为、 点在0点与点之间不可能； ②以点为直角顶点 同理在②二图中分别可得点的生标为，、点在0点下方不可能． ③以点为直角顶点 同理在③二图中分别可得点的生标为（与①情形二重合舍去）、， 点在点下方不可能． 综上可得点的生标共5个解，分别为、、，、 、． 【点睛】本题结合梯形，平行四边形等知识考查了二次函数的综合应用，要注意的是（2）中要分直角顶点的不同来进行分类讨论，不要漏解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $