3.2.1单调性与最大（小）值 第1课时 （函数的单调性）课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

www.gzjxw.net 3.2函数的基本性质 3.2.1 单调性与最大(小)值 第1课时 函数的单调性 学习目标： 1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性,理解它的作用和现实意义; 2.会用定义证明简单函数的单调性; 3.在抽象出函数单调性的过程中感悟数学概念的抽象过程及符号表示的作用,发展数学抽象素养。 学习重点： 借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性,理解它的作用和现实意义; 学习难点： 会用定义证明简单函数的单调性. 新课引入 我们知道函数是描述事物变化规律的数学模型，这样我们可以通过研究函数的性质获得对客观世界中事物变化规律的认识，那么什么是函数性质呢？ 总体而言，函数性质就是“变化中的不变性，变化中的规律性”。研究函数性质，就是要学会在运动变化中发现规律。 请大家回顾初中学习过的一次函数、二次函数、反比例函数。我们通过什么来研究他们的性质呢？ www.gzjxw.net 问题1：观察课本P76的图3.2-1函数图象，思考当自变量x增大时,相应函数值y是如何变化的？ www.gzjxw.net 问题2：画出函数f(x)=x2的图象， (1)在区间(-∞,0)上，从左到右下降，当x增大时，函数值f(x)_______； (2)在区间[0,+∞)上，从左到右上升，当x增大时，函数值f(x)_______； 减小 增大 www.gzjxw.net f(x1)<f(x2) f(x1)>f(x2) 单调递增 单调递减 增函数 减函数 www.gzjxw.net 还有其他类型图象吗？ 同号为增 异号为减 www.gzjxw.net 提示:定义中的x1,x2有以下3个特征: ①任意性,即x1,x2是任意选取的,证明时不能以特殊代替一般; ②有大小,通常规定x1<x2; ③属于同一个单调区间. www.gzjxw.net 提示:若函数f(x)是其定义域上的增函数, 则当f(a)>f(b)时,a>b; 若函数f(x)是其定义域上的减函数, 则当f(a)>f(b)时,a<b. www.gzjxw.net 解析:由函数单调性的定义可知,要证明一个函数是增函数,需对定义域内的任意的自变量都满足自变量越大,函数值也越大,而不是个别的自变量. 答案:× 课堂练习 www.gzjxw.net 答案:× 答案:× 课堂练习 www.gzjxw.net [-2,1] [3,5] [-5,-2] [1,3] 探究与发现 www.gzjxw.net www.gzjxw.net 跟踪训练1：画出函数 的图像，并指出它的单调区间． 由图象可知，函数的单调减区间为(-∞,-3), (-1, 1); 单调增区间为(－3, 1), (1, +∞) 课堂练习 解：函数f (x) =kx+b (k≠0)的定义域是R. ∀x1,x2∈R,且x1 < x2, 则f (x1) -f (x2) = (k x1 +b) - (k x2 +b) =k (x1 - x2) 由x1 < x2,得x1 - x2 <0.。所以 www.gzjxw.net 2.作差 3.变形 1.取值定大小 探究二 证明或判断函数的单调性 ①当k> 0时，k (x1 - x2) <0. 于是f (x1) -f (x2) <0，即f (x1) < f (x2)， 这时，f (x) =kx+b是增函数。 ②当k <0时， k (x1 - x2) > 0 于是f (x1) -f (x2) > 0，即f (x1) > f (x2)， 这时 f (x) =kx+b是减函数。 www.gzjxw.net 4.定号 5.下结论 4.定号 5.下结论 探究二 证明或判断函数的单调性 www.gzjxw.net 利用定义证明函数单调性的方法步骤。 (1)取值：设x1、x2,是区间上的任意两个值，且 x1<x2 ； (2)作差：作差f(x1) - f(x2)或 f(x2) - f(x1)； (3)变形：并通过因式分解、配方或有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形（一般化为积的形式）； (3)定号：确定f(x1) - f(x2)或f(x2) - f(x1)的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论； (4)下结论：根据定义得出结论。 www.gzjxw.net 探究三 利用单调性求函数的最值 www.gzjxw.net C www.gzjxw.net 课堂总结 $$