正弦函数的性质题型训练（8题型+质量检测）-2024年新高一数学暑假提升预习同步讲义（人教A版2019）

正弦函数的性质题型训练 提升学科能力 题型一 正弦函数的周期 例1．下列函数，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练1 1．函数的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 2．函数＝1＋sin x的最小正周期是（    ） A． B．π C． D．2π 3．函数的最小正周期为（    ）． A． B． C． D．没有周期性． 题型二 已知周期求参数 例2．若函数的最小正周期为，则（    ） A． B．2 C． D．1 跟踪训练2 1．设函数，则（    ） A． B． － C．0 D． 2．函数的最小正周期为，实数 ． 3．函数的周期为，若，则正整数 . 题型三 正弦函数的奇偶性 例3．下列函数中为周期是的偶函数是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练3 1．函数是（    ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 2．函数是（    ） A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数 C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数 3．函数在上的图象为（    ） A．B．C． D． 题型四 已知奇偶性求参数 例4．若函数是奇函数，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练4 1．已知函数为偶函数，则的取值可以为（    ） A． B． C． D．0 2．如果函数是奇函数，则的值为 . 3．若函数为偶函数，则的取值的集合为 ． 题型五 正弦函数的对称性 例5．关于函数图象的对称性，下列说法正确的是（    ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于点对称 D．关于点对称 跟踪训练5 1．已知函数，则（    ） A．的解析式可改写为 B．的最小正周期为 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 2．函数y＝sin的图象的对称轴方程是 ，对称中心的坐标是 . 3．关于函数，以下说法： ①其最小正周期为②图象关于点对称；③直线是其一条对称轴． 其中正确说法的序号是 ． 题型六 正弦函数单调性 例6．函数在上的递增区间为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练6 1．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 2．函数的单调减区间是 ． 3．函数的单调增区间是 . 题型七 已知单调性求参数 例7．已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C．[1，3] D． 跟踪训练7 1．若函数在区间单调递增，在区间上单调递减，则＝（    ） A．3 B．2 C． D． 2．已知函数在区间上是单调的，则的取值范围是 ． 3．已知函数 在 上单调递增，则的最大值是 . 题型八 正弦函数值域 例8．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练8 1．函数最大值为（　　） A．2 B．5 C．8 D．7 2．函数，的值域是 . 3．函数的最小值为 ，最大值为 . 质量检测评价 一、单选题 1．已知函数，其中，则下列命题中正确的是（    ）． A．是最小正周期为1的函数； B．是最小正周期为2的函数； C．是最小正周期为的函数； D．是最小正周期为的函数． 2．函数的部分图象大致是（ ） A． B． C． D． 3．下列函数具有奇偶性的是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，若在上为增函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数在单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．函数是（    ） A．奇函数，在区间上单调递增 B．奇函数，在区间上单调递减 C．偶函数，在区间上单调递增 D．偶函数，在区间上单调递减 7．函数的值域是（    ） A．[-1,1] B． C． D． 8．函数的最大值及取最大值时x的值为（    ） A．， B．， C．， D．，) 二、多选题 9．已知函数,下列结论中正确的是（    ） A．函数的周期是 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的最小值是 D．函数的图象关于点对称 10．已知函数，则（    ） A．的最小正周期是 B．的图象关于y轴对称 C．在上单调递增 D．是的一条对称轴 三、填空题 11．已知是奇函数，则 ．（写出一个值即可） 12．函数 的单调递减区间为 . 13．已知在上是严格减函数，则的取值范围是 ． 四、解答题 14．已知函数（），直线是函数的图象的一条对称轴. (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)若，求函数的值域. 15．已知函数． (1)求的最小正周期及单调区间； (2)求的图象的对称轴方程和对称中心； (3)求的最小值及取得最小值时x的取值集合． 16．已知函数. (1)求的最小正周期和对称轴； (2)求的单调递增区间； (3)当时，求的最大值和最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 正弦函数的性质题型训练 提升学科能力 题型一 正弦函数的周期 例1．下列函数，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的性质即可确定最小正周期. 【详解】函数的最小正周期为，故A不符合； 函数，其最小正周期为，故B不符合； 因为函数的最小正周期为，所以函数的最小正周期为，故C符合； 因为函数的最小正周期为，所以函数的最小正周期为，故D不符合. 故选：C. 跟踪训练1 1．函数的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦函数的周期公式直接求解即可 【详解】的最小正周期为， 故选：C 2．函数＝1＋sin x的最小正周期是（    ） A． B．π C． D．2π 【答案】D 【分析】由周期公式求解即可. 【详解】函数的图象上所有点向上平移1个单位得到函数的图象， 则函数的最小正周期为. 故选：D 3．函数的最小正周期为（    ）． A． B． C． D．没有周期性． 【答案】A 【分析】画出图象，得到最小正周期. 【详解】的图象如下： 是由位于轴上方部分不变，下方部分沿着轴翻折后得到， 故的最小正周期为. 故选：A 题型二 已知周期求参数 例2．若函数的最小正周期为，则（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】结合最小正周期的公式直接求解即可. 【详解】因为，所以， 故选：A. 跟踪训练2 1．设函数，则（    ） A． B． － C．0 D． 【答案】A 【解析】求出的周期，直接利用函数的周期性，结合特殊角的三角函数化简求值即可． 【详解】的周期， 所以 ． 故选：A． 2．函数的最小正周期为，实数 ． 【答案】 【分析】通过正弦型函数的最小正周期公式之间求出. 【详解】函数的最小正周期为， ， ，即， 故答案为：. 3．函数的周期为，若，则正整数 . 【答案】3，4，5，6 【分析】利用三角函数的周期的求法，求出函数周期，再根据条件解不等式，得解. 【详解】根据题意得：， ，即， ，解得：，即， . 故答案为： 题型三 正弦函数的奇偶性 例3．下列函数中为周期是的偶函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶函数定义可判断选项,由三角函数的图像与性质可得周期,即可得解. 【详解】对于A，为偶函数,且最小正周期为,所以A正确; 对于B，为偶函数,但不具有周期性,所以B错误; 对于C，为奇函数，所以C错误; 对于D, 为非奇非偶函数,所以D错误. 综上可知,正确的为A 故选:A 跟踪训练3 1．函数是（    ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】A 【分析】由题可得，根据正弦函数的性质即得. 【详解】∵函数， ∴函数为最小正周期为的奇函数. 故选：A. 2．函数是（    ） A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数 C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数 【答案】C 【分析】先由诱导公式化简函数解析式，根据最小正周期公式求函数的最小正周期；根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性. 【详解】函数, 其最小正周期为 由，可得函数为奇函数. 故选：C 3．函数在上的图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性排除部分选项，再由函数的值域判断. 【详解】∵， ∴为偶函数，故排除A，B． ∵，， ∴，故排除C， 故选：D． 题型四 已知奇偶性求参数 例4．若函数是奇函数，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角函数的性质求解 【详解】若函数是奇函数， 则，得 故选：C 跟踪训练4 1．已知函数为偶函数，则的取值可以为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用正余弦函数的奇偶性列式，计算判断作答. 【详解】因函数为偶函数，则，显然时，，即A满足，B，C，D都不满足. 故选：A 2．如果函数是奇函数，则的值为 . 【答案】 【分析】根据奇函数的定义，将代入，求出的表达式，再根据确定的取值. 【详解】函数是奇函数， ，即， 或恒成立， 解得：， 又，. 故答案为：. 3．若函数为偶函数，则的取值的集合为 ． 【答案】 【分析】函数为偶函数，所以，即可得出答案. 【详解】函数为偶函数， 所以， 所以的取值的集合为：. 故答案为：. 题型五 正弦函数的对称性 例5．关于函数图象的对称性，下列说法正确的是（    ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于点对称 D．关于点对称 【答案】D 【分析】将选项依次代入，根据正弦函数的性质分析即可. 【详解】对A，，，故A错误； 对B，，，故B错误； 对C，，，故C错误； 对D，，此时，故D正确， 故选：D 跟踪训练5 1．已知函数，则（    ） A．的解析式可改写为 B．的最小正周期为 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 【答案】AC 【分析】利用结合为偶函数，即可将化简为，再由正弦型函数的周期性与对称性即可选出答案. 【详解】因为，A正确； 最小正周期，B错误； ，故的图象关于点对称，不关于直线对称，C正确，D错误. 故选：AC. 2．函数y＝sin的图象的对称轴方程是 ，对称中心的坐标是 . 【答案】 x＝π＋(k∈Z) (k∈Z) 【分析】利用正弦函数的性质求解. 【详解】令， 解得， 即对称轴方程为：； 令， 解得， 所以对称中心的坐标为. 故答案为：x＝π＋(k∈Z)， (k∈Z) 3．关于函数，以下说法： ①其最小正周期为； ②图象关于点对称； ③直线是其一条对称轴． 其中正确说法的序号是 ． 【答案】①②③ 【分析】根据正弦型函数的图象与性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由函数，可得函数的最小正周期为，所以①正确； 当时，可得，所以图象关于点对称，所以②正确； 当时，可得， 所以直线是其一条对称轴，所以③正确． 故答案为：①②③. 题型六 正弦函数单调性 例6．函数在上的递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数图象求单调区间即可 【详解】的递增区间就是的递增区间，由三角函数图象可得在上递减，在上递增，在上递减， 故选：B． 跟踪训练6 1．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】是由和复合而成，因为是单调递减函数，所以函数的单调递增区间也即是求的单调递减区间， 由即可求解. 【详解】令，则， 因为是单调递减函数， 所以函数的单调递增区间也即是求的单调递减区间， 令， 解得：， 所以函数的单调递增区间为， 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是是由和复合而成，因为是单调递减函数，所以函数的单调递增区间也即是求的单调递减区间，利用三角函数的性质即可求解. 2．函数的单调减区间是 ． 【答案】 【分析】题意可转化成求的单调增区间，然后利用正弦函数的性质即可得到答案 【详解】要求的单调减区间，相当于求的单调增区间， 故即， 所以函数的单调减区间是 故答案为： 3．函数的单调增区间是 . 【答案】， 【分析】根据三角函数的性质可得解. 【详解】由， 令，， 解得，， 即函数的单调递增区间为，， 故答案为：，. 题型七 已知单调性求参数 例7．已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C．[1，3] D． 【答案】B 【分析】根据题意，由，且求解. 【详解】设的周期为T，因为，即，解得， 由， 解得， 即在区间上单调递减， 因为，显然k只能取0， 所以且， 解得. 故选：B. 跟踪训练7 1．若函数在区间单调递增，在区间上单调递减，则＝（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】先根据求出，，再根据函数在区间单调递增，得到，求出，从而得到. 【详解】由题意得，故，， 解得，， 又因为函数在区间单调递增，所以，解得， 因为，所以， 故，解得， 故，解得， 又，故，所以 故选：C 2．已知函数在区间上是单调的，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】直接根据函数的单调区间列式求解即可. 【详解】因为，所以， 又因为函数在区间上是单调的，所以， 所以，解得， 由函数在区间上是单调的，可知，即， 又，所以或． 所以的取值范围是． 故答案为：. 3．已知函数 在 上单调递增，则的最大值是 . 【答案】4 【分析】根据正弦型函数的单调性即可求解. 【详解】由函数在区间上单调递增， 可得 ，求得，故的最大值为， 故答案为：4 题型八 正弦函数值域 例8．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦函数的值域，结合不等式的基本性质可求函数的值域． 【详解】函数的定义域为， 当时，由正弦函数性质可得， 所以， 所以，即， 当时，即时，， 当时，即时，， 故函数的值域为. 故选：D． 跟踪训练8 1．函数最大值为（　　） A．2 B．5 C．8 D．7 【答案】B 【分析】由可求得，从而可求得函数最大值． 【详解】∵，∴ ，∴ ，即 ． ∴函数最大值为5． 故选：B． 2．函数，的值域是 . 【答案】 【分析】根据的范围求出的范围可得答案. 【详解】因为，所以， 所以. 可得的值域为. 故答案为：. 3．函数的最小值为 ，最大值为 . 【答案】 【分析】根据三角函数性质，与二次函数性质可得最值. 【详解】由已知， 设，即， 所以当，即，时，取最小值为； 当，即，时，取最大值为； 故答案为：，. 质量检测评价 一、单选题 1．已知函数，其中，则下列命题中正确的是（    ）． A．是最小正周期为1的函数； B．是最小正周期为2的函数； C．是最小正周期为的函数； D．是最小正周期为的函数． 【答案】B 【分析】利用正弦型函数的周期公式计算即得. 【详解】由可得函数的最小正周期为． 故选：B． 2．函数的部分图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析函数的奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】函数的定义域为，， 函数为偶函数，排除BD选项， 当时，，则，排除C选项. 故选：A. 3．下列函数具有奇偶性的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由奇偶性的定义逐项分析即可. 【详解】解：对A，函数的定义域为，不关于原点对称，无奇偶性，故A错误； 对B，函数的定义域为，不关于原点对称，无奇偶性；故B错误； 对C，函数的定义域为，且，故为奇函数，故C正确； 对D，函数的定义域为，不关于原点对称，无奇偶性，故D错误． 故选：C． 4．已知函数，若在上为增函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可得，然后结合条件可建立不等式求得，然后可分析出答案. 【详解】令，整理得， 故，解得，， ∵，∴k＝0时，；k＝1时，； 时，∵，故不符合题意．综上所述，． 故选：D． 5．已知函数在单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简的解析式，得到周期，根据题意可得，从而得出的大致范围，在根据函数的单调性，求出函数的单调区间，利用为某一增区间的子集， 从而得出答案. 【详解】，周期 函数在单调递增，则 ,解得 则 函数的单调递增区间满足 即 当，，当时，，当时， 所以，则，解得 故选：C 6．函数是（    ） A．奇函数，在区间上单调递增 B．奇函数，在区间上单调递减 C．偶函数，在区间上单调递增 D．偶函数，在区间上单调递减 【答案】A 【分析】先利用诱导公式化简函数，再利用正弦函数性质直接判断奇偶性和单调性即可. 【详解】因为函数，是正弦函数， 所以是奇函数，且在区间上单调递增. 故选：A. 7．函数的值域是（    ） A．[-1,1] B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数值域可得答案. 【详解】由题，，即值域为. 故选：D 8．函数的最大值及取最大值时x的值为（    ） A．， B．， C．， D．，) 【答案】C 【分析】根据正弦型函数的性质求解即可. 【详解】由函数性质得此时即 故选:C. 二、多选题 9．已知函数,下列结论中正确的是（    ） A．函数的周期是 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的最小值是 D．函数的图象关于点对称 【答案】AC 【分析】根据的解析式,由可求其周期,令即可求对称轴,根据,即可求最值,根据对称中心是令,即可判断选项D正误. 【详解】解:由题知, , 故选项A正确; 令, 解得: , 令, 令, 故选项B错误; 因为, 所以, 故选项C正确; 因为对称中心纵坐标为1, 故选项D错误. 故选:AC 10．已知函数，则（    ） A．的最小正周期是 B．的图象关于y轴对称 C．在上单调递增 D．是的一条对称轴 【答案】ABD 【分析】对于A，利用周期公式直接计算，对于B，先求出的解析式，再判断其奇偶性即可，对于C，由求出函数的增区间再判断，对于D，将代入函数中验证即可 【详解】由最小正周期得，，可知，A正确； 所以函数为偶函数，所以的图象关于y轴对称，所以B正确； 由得，， 所以函数的单调递增区间为 ，当时，增区间为，当时，增区间为，所以不是函数的增区间，所以C错误； 因为，所以是的一条对称轴，所以D正确 故选：ABD 三、填空题 11．已知是奇函数，则 ．（写出一个值即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据正弦函数的性质计算可得； 【详解】解：因为是奇函数，所以，，解得，． 故答案为：（答案不唯一） 12．函数 的单调递减区间为 . 【答案】 【分析】转化为求的单调递增区间即可. 【详解】因为， 所以 的单调递增区间就是的单调递减区间． 令， 解得. 所以函数的单调递减区间为. 故答案为：. 13．已知在上是严格减函数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意利用正弦函数的单调性可得，列不等式组求的取值范围. 【详解】因为，所以， 由题意得， 所以 ，可得． 由，当，解得. 所以的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 14．已知函数（），直线是函数的图象的一条对称轴. (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)若，求函数的值域. 【答案】(1)最小正周期为，单调递增区间为 (2) 【分析】（1）根据对称性求出，即可求出函数解析式，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）根据的取值范围，求出的范围，再根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为直线是函数的图象的一条对称轴， 所以，解得，又， 所以，所以，所以函数的最小正周期， 令， 解得， 所以函数的单调递增区间为. （2）因为，所以， 所以， 所以，即在上的值域为. 15．已知函数． (1)求的最小正周期及单调区间； (2)求的图象的对称轴方程和对称中心； (3)求的最小值及取得最小值时x的取值集合． 【答案】(1)，递增区间是，递减区间是； (2)对称轴方程为，对称中心为； (3)，. 【分析】（1）利用正弦函数的周期及单调性求解即可. （2）利用正弦函数的对称性求出对称轴方程及对称中心坐标. （3）借助正弦函数最值情况求解即得. 【详解】（1）函数的最小正周期， 由，解得， 由，解得， 所以的单调递增区间是，单调递减区间是. （2）由，得， 所以的图象的对称轴方程为； 由，得， 所以的图象的对称中心为. （3）当，即时，，， 所以的最小值为，此时x的取值集合为. 16．已知函数. (1)求的最小正周期和对称轴； (2)求的单调递增区间； (3)当时，求的最大值和最小值. 【答案】(1)最小正周期，对称轴为 (2) (3)最大值为2，最小值为1 【分析】（1）由周期公式可得周期，将看作整体角，令，求解即可得对称轴； （2）由，解的范围可得单调增区间； （3）当时，求出整体角的范围，转化为正弦函数在的最值求解即可. 【详解】（1）的最小正周期. 由， 得函数的对称轴为，. （2）由， 得 所以函数的单调递增区间为 （3）由，得 所以，当，即时， 当，即时， 所以，函数的最大值为2，最小值为1. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$