余弦函数的性质题型训练（8题型+质量检测）-2024年新高一数学暑假提升预习同步讲义（人教A版2019）

余弦函数的性质题型训练 提升学科能力 题型一 余弦函数的周期 例1．函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练1 1．下列函数中，最小正周期为π的函数是（    ） A．y＝sin x B．y＝cos x C．y＝sin D．y＝cos 2．函数是（    ） A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 3．函数的最小正周期是（    ） A． B． C．4 D．6 题型二 已知周期求参数 例2．函数的最小正周期为4π，则ω＝ . 跟踪训练2 1．若函数的最小正周期为，则 A．24 B．18 C．12 D．6 2．如果函数的相邻两个零点之间的距离为，则 . 3．设，则等于 . 题型三 余弦函数的奇偶性 例3．函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 跟踪训练3 1．下列函数中是奇函数且最小正周期是π的函数是（    ） A．y=cos|2x| B．y=|sinx| C．y=sin D．y=cos 2．下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 3．若函数满足，，则满足条件的函数可能是 （写一个即可）． 题型四 已知奇偶性求参数 例4．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为奇函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练4 1．函数是奇函数，则的值为 . 2．若是奇函数，则 . 3．函数的图像向左平移单位后为奇函数，则的最小正值为 . 题型五 余弦函数的对称性 例5．[多选题]已知函数的最小正周期为，则该函数的图象（    ） A．关于点对称 B．关于直线对称 C．关于点对称 D．关于直线对称 跟踪训练5 1．函数的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 3．关于函数有如下四个命题： ①的图象关于轴对称. ②的图象关于原点对称. ③的图象关于直线对称. ④的图象关于点对称. 其中所有真命题的序号是 . 题型六 余弦函数的单调性 例6．下列区间中，是函数单调递减的区间是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练6 1．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 2．函数的严格增区间是 . 3．已知函数的单调增区间为 ． 题型七 已知单调性求参数 例7．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在上单调递减，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练7 1．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．设，若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若函数在上单调递减，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 题型八 余弦函数的值域与最值 例8．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练8 1．函数的值域为（　　） A． B． C． D． 2．函数的最小值为（    ） A．2 B．0 C． D．6 质量检测评价 一、单选题 1．函数最小正周期为（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中最小正周期为π的偶函数是（    ） A． B． C． D． 3．若函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 4．函数的一个单调减区间是（    ） A． B． C． D． 5．若函数在区间内单调递减.则的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（多选）已知函数（），下列结论正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数是偶函数 C．函数的图象关于直线对称 D．函数在区间上是增函数 8．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的图象关于点对称 D．函数在上单调递减 9．已知，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．在上单调递增 C．的图象向左平移个单位长度后关于原点对称 D．的图象的对称轴方程为 三、填空题 10．的最小正周期为，其中，则 ． 11．已知函数，则的对称中心是 ． 12．将函数的图象向左平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小值为 . 四、解答题 13．已知函数，． (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间； (2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值． 14．设函数，其中． (1)求的最大值及取到最值时的取值集合； (2)求的单调区间． 15．已知函数. (1)求函数的单调区间; (2)求函数在上的单调增区间; (3)求函数在区间上的最小值和最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 余弦函数的性质题型训练 提升学科能力 题型一 余弦函数的周期 例1．函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦型函数的最小正周期，进而即得. 【详解】由题可知最小正周期. 故选：B. 跟踪训练1 1．下列函数中，最小正周期为π的函数是（    ） A．y＝sin x B．y＝cos x C．y＝sin D．y＝cos 【答案】D 【分析】利用三角函数的周期公式求解判断. 【详解】A. y＝sin x的最小正周期为，故错误； B. y＝cos x的最小正周期为，故错误； C. y＝sin的最小正周期为，故错误； D. y＝cos，故正确； 故选：D 2．函数是（    ） A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】D 【分析】因为函数，由奇偶函数的定义结合求周期的公式即可得出答案. 【详解】解析：函数， 故该函数为偶函数，且它的最小正周期为. 故选：D. 3．函数的最小正周期是（    ） A． B． C．4 D．6 【答案】C 【分析】由的最小正周期为 直接可得结论. 【详解】因为， 所以函数的最小正周期． 故选：C 题型二 已知周期求参数 例2．函数的最小正周期为4π，则ω＝ . 【答案】 【分析】根据周期公式求解即可. 【详解】由周期公式可知 由ω<0，可知 故答案为： 【点睛】本题主要考查了由余弦型函数的周期求参数，属于基础题. 跟踪训练2 1．若函数的最小正周期为，则 A．24 B．18 C．12 D．6 【答案】C 【分析】依题意，根据三角函数的最小正周期的公式，列出方程，即可求解. 【详解】依题意，根据三角函数的最小正周期的公式，可知，故，故选C. 【点睛】本题主要考查了三角函数的最小正周期应用，其中解答中熟记三角函数的最小正周期的公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2．如果函数的相邻两个零点之间的距离为，则 . 【答案】6 【分析】根据余弦函数相邻两零点的距离与周期的关系即可得到答案. 【详解】∵函数f(x)的相邻两个零点之间的距离为，∴周期， 由，得. 故答案为：6. 3．设，则等于 . 【答案】 【分析】由可知是周期的周期函数，可得（1）（2）（3）（4），进而可求解答案 【详解】解：由可知是周期的周期函数， （1） （2） （3） （4） （1）（2）（3）（4）； 那么（1）（2）（3）（1）（2）（3）． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查函数值的计算，考查函数的周期性，求得周期进行转化是解决本题的关键． 题型三 余弦函数的奇偶性 例3．函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 【答案】B 【分析】利用诱导公式将化简为，然后可判断出答案. 【详解】， 因为， 函数是偶函数. 故选：B 跟踪训练3 1．下列函数中是奇函数且最小正周期是π的函数是（    ） A．y=cos|2x| B．y=|sinx| C．y=sin D．y=cos 【答案】D 【分析】根据函数解析式判断奇偶性，结合最小正周期即可得出结果． 【详解】y=cos|2x|是偶函数，A错； y=|sinx|是偶函数，B错； y=sin=cos2x是偶函数，C错； y=cos=-sin2x是奇函数，根据公式求得其最小正周期T=π，D正确． 故选：D 2．下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】选项A为奇函数；选项B为偶函数；选项C为偶函数；选项D既不是奇函数也不是偶函数. 【详解】选项A: ，则为奇函数.排除； 选项B: ，则为偶函数.排除； 选项C: ，则为偶函数.排除； 选项D: 令，， 则，，则既不是奇函数也不是偶函数．可选. 故选：D 3．若函数满足，，则满足条件的函数可能是 （写一个即可）． 【答案】(答案不唯一) 【分析】先求出函数的奇偶性及函数的周期，进而得解. 【详解】，所以函数为偶函数， 又，令 则，所以函数的周期为8， 故可写成余弦函数， 故答案为：(答案不唯一) 题型四 已知奇偶性求参数 例4．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为奇函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图像平移结合奇函数特征得再赋值即可 【详解】由题意，知．因为为奇函数，所以，所以．又，所以当时，取得最小值． 故选：A 跟踪训练4 1．函数是奇函数，则的值为 . 【答案】， 【分析】根据诱导公式以及函数的奇偶性，求得的值. 【详解】根据诱导公式可知，当时，，而为奇函数，所以的值为. 故填：. 【点睛】本小题主要考查三角函数诱导公式的运用，考查三角函数的奇偶性. 2．若是奇函数，则 . 【答案】/ 【分析】由余弦型函数的奇偶性得且，即可求参数. 【详解】由题设且，故，， 又，故有. 故答案为： 3．函数的图像向左平移单位后为奇函数，则的最小正值为 . 【答案】 【分析】求出平移后的函数解析式，由奇函数可知，从而可求出的最小正值. 【详解】解：平移个单位后得到函数为奇函数， 则，解得，所以的最小正值为. 故答案为: . 【点睛】本题考查了三角函数平移，考查了由三角函数的奇偶性求参数值.一般地，若为奇函数，则；若为奇函数，则. 题型五 余弦函数的对称性 例5．[多选题]已知函数的最小正周期为，则该函数的图象（    ） A．关于点对称 B．关于直线对称 C．关于点对称 D．关于直线对称 【答案】AD 【分析】根据周期可计算出的值，然后根据余弦型函数的对称中心和对称轴对应的函数值的特点判断各选项的正误． 【详解】由已知可得，所以． 因为，所以是对称中心，A正确． 因为，所以直线不是对称轴，B错误． 因为，所以不是对称中心，C错误． 因为，所以直线是对称轴，D正确， 故选AD． 跟踪训练5 1．函数的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦型函数，求出其对称中心即可判断作答. 【详解】在函数中，由得，， 所以函数的对称中心是， 显然B，D不满足，A不满足，当是，对称中心为，C满足. 故选：C 2．已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足题意的函数解析式. 【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性： A选项中，B选项中， C选项中，D选项中， 排除选项CD， 对于A选项，当时，函数值，故是函数的一个对称中心，排除选项A， 对于B选项，当时，函数值，故是函数的一条对称轴， 故选：B. 3．关于函数有如下四个命题： ①的图象关于轴对称. ②的图象关于原点对称. ③的图象关于直线对称. ④的图象关于点对称. 其中所有真命题的序号是 . 【答案】①④ 【分析】根据余弦函数的性质，由题中条件，逐项判断，即可得出结果. 【详解】对于①，定义域为，显然关于原点对称， 且，所以的图象关于y轴对称，命题①正确； 对于②，，，则，所以的图象不关于原点对称，命题②错误； 对③，，，则，所以的图象不关于对称，命题③错误； 对④，，， 则，命题④正确. 故答案为：①④. 【点睛】本题主要考查判定与三角函数有关命题的真假，熟记熟记余弦函数的性质即可，属于常考题型. 题型六 余弦函数的单调性 例6．下列区间中，是函数单调递减的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，求出函数的单调减区间，从而可求得答案. 【详解】由，得， 则的减区间为， 因为， 所以是函数的一个单调减区间， 故选：B. 跟踪训练6 1．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出函数图象即可得到单调增区间. 【详解】作出的图象可知其单调增区间为，    故选：C. 2．函数的严格增区间是 . 【答案】 【分析】由余弦函数的单调递增区间出发，用整体代换后，反解可得结果. 【详解】由于余弦函数的单调递增区间为：， 只需， 解得：， 所以函数的严格增区间是：， 故答案是：. 3．已知函数的单调增区间为 ． 【答案】 【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解即可. 【详解】解：令， 由，可得， 所以， 解得， 所以函数的定义域为， 由余弦函数的性质可知：在上单调递增，在上单调递减， 又因为在定义域上为单调递增函数， 由复合函数的单调性可知： 函数的单调增区间为. 故答案为： 题型七 已知单调性求参数 例7．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在上单调递减，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题得，，在上单调递减，得即可解决. 【详解】由题知， 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象， 因为， 所以， 因为在上单调递减， 所以， 所以， 所以的最大值为1. 故选：D 跟踪训练7 1．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由周期大于等于单调区间的长度的2倍，求得的初步范围，然后结合余弦函数的单调性进一步确定的范围，得到答案. 【详解】由题意有，可得，又由，必有，可得. 故选：A 2．设，若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先用诱导公式化简，再根据正弦函数的单调性可得，结合条件即得. 【详解】， 由，，可得， 根据正弦函数的单调性，可得：，又， 所以，即. 故选：D. 3．若函数在上单调递减，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】由题知，再根据函数在上单调递减可得，进而解不等式求解即可. 【详解】解：因为函数在上单调递减， 所以，解得， 因为，所以， 因为函数在上单调递减， 所以，函数在上单调递减，则有，解得， 所以的取值范围是，即的最大值为. 故选：A 题型八 余弦函数的值域与最值 例8．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角三角函数关系式变形，可得函数是关于的二次函数，利用换元法可得值域. 【详解】函数， 因为， 所以当时，函数取得最小值， 当时，函数取得最大值， 故函数的值域为， 故选：A． 跟踪训练8 1．函数的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用余弦函数的值域求解作答. 【详解】函数的定义域为R，，因此， 所以函数的值域为. 故选：A 2．函数的最小值为（    ） A．2 B．0 C． D．6 【答案】B 【分析】设，则，结合二次函数性质求其最小值即可. 【详解】因为，设，则，由二次函数性质可得当上单调递减，所以当，取最小值，最小值为0，故当时，函数取最小值，最小值为0， 故选：B. 质量检测评价 一、单选题 1．函数最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件直接利用正余弦型函数周期公式计算即得. 【详解】因函数，则，， 所以函数最小正周期为 故选：D 2．下列函数中最小正周期为π的偶函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】求出选项中每个函数的最小正周期并判断其奇偶性，从而可得答案. 【详解】A中,函数是奇函数，最小正周期为，不合题意； B中,函数是偶函数，最小正周期为，不合题意； C中,函数是偶函数，最小正周期为，不合题意； D中,函数是偶函数，最小正周期为，符合题意． 故选：D. 3．若函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】正余弦型函数为奇函数，必可以化简为或形式，结合诱导公式分析即可. 【详解】由函数是奇函数， 可知或， 由诱导公式，得. 故选：D 【点睛】此题考查根据函数的奇偶性求参数的取值，关键在于熟练掌握三角函数的图像和性质，结合诱导公式化简求解. 4．函数的一个单调减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出的图象，数形结合得到答案. 【详解】画出的图象，如下，    可以看出的一个单调减区间为，其他选项不合要求. 故选：C 5．若函数在区间内单调递减.则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件可得出关于的不等式组，解出的取值范围，即可得解. 【详解】 当且时，， 因为余弦函数的单调递减区间为， 所以，， 所以，，解得， 由，可得， 且，，. 因此，的最大值为. 故选：C 6．已知函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角三角函数基本关系，转化为关于的二次函数求解即可. 【详解】, , , 时, ，当时，, . 故选：B 二、多选题 7．（多选）已知函数（），下列结论正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数是偶函数 C．函数的图象关于直线对称 D．函数在区间上是增函数 【答案】ABD 【分析】利用诱导公式化简，结合余弦函数的周期公式可判断A；根据余弦函数的奇偶性判断B；根据余弦函数的对称性以及单调性可判断C，D. 【详解】由题意知，其最小正周期为，故A正确； 函数是偶函数，故B正确； 当时，，故不是函数的对称轴，C错误， 当时，，由于在上单调递减， 故在区间上是增函数，D正确． 故选：ABD 8．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的图象关于点对称 D．函数在上单调递减 【答案】BCD 【分析】根据余弦函数的性质一一判断即可； 【详解】解：因为，所以函数的最小正周期，故A错误； ，所以函数的图象关于直线对称，故B正确； ，所以的图象关于点对称，故C正确； 若，则，因为在上单调递减，所以在上单调递减，故D正确； 故选：BCD 9．已知，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．在上单调递增 C．的图象向左平移个单位长度后关于原点对称 D．的图象的对称轴方程为 【答案】ACD 【分析】根据三角函数的最小正周期、单调性、图象变换、对称轴等知识对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】A：，A正确； B：，，所以在上不单调，所以B错误； C：的图象向左平移个单位长度得到： ，为奇函数，C正确. D：由，得，D正确. 故选：ACD 三、填空题 10．的最小正周期为，其中，则 ． 【答案】10 【详解】本小题考查三角函数的周期公式．． 11．已知函数，则的对称中心是 ． 【答案】 【解析】根据余弦函数的对称性，列出等式求解，即可得出对称中心的横坐标，进而可得对称中心. 【详解】由得， ∴，， 此时，故的对称中心是. 故答案为：． 12．将函数的图象向左平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小值为 . 【答案】 【解析】直接由函数图象的平移得到平移后的函数解析式，再由所得图象关于轴对称，知平移后的函数为偶函数，结合三角函数的诱导公式可得，再结合的范围求得的最小值. 【详解】解：把函数的图象向左平移个单位， 得到的函数解析式为， ∵所得图象关于轴对称， 为偶函数， 则. 即. ， 时，有最小值为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查三角函数的平移，三角函数的平移原则为左加右减上加下减，考查函数奇偶性的性质，属中档题. 四、解答题 13．已知函数，． (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间； (2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值． 【答案】(1)最小正周期为，单调递减区间是，. (2)，此时；，此时. 【分析】（1）由余弦函数的周期公式即可求得答案，再利用整体法即可得到单调减区间； （2），利用余弦函数的单调性即可求得其最小值和最大值及取得最值时的值. 【详解】（1）的最小正周期， 当，即，时，单调递减， ∴的单调递减区间是，. （2）∵，则， 故， ∴，此时，即， ，此时，即． 14．设函数，其中． (1)求的最大值及取到最值时的取值集合； (2)求的单调区间． 【答案】(1),; (2)单调增区间，单调递减区间. 【分析】（1）根据余弦函数的值域及最值求解即可； （2）由余弦函数的单调性求解即可. 【详解】（1）， 当时，取得最大值， 由，得，， 解得， 取得最大值时，的取值集合为. （2）令，解得， 的单调递增区间为， 令， 解得， 的单调递减区间为. 15．已知函数. (1)求函数的单调区间; (2)求函数在上的单调增区间; (3)求函数在区间上的最小值和最大值. 【答案】(1)增区间为;减区间为 (2) (3)最小值为,最大值为 【分析】(1)根据解析式及诱导公式,先将化为正,再将放在的单调区间内,即可求得的单调区间; (2) 由(1)得的单调递增区间,令,,求得递增区间,再由即可得出结果; (3)先由,求出的范围,再求出的范围,进而得到的范围,即可得最值. 【详解】（1）解:由题知, 令,, 得,, 令,, 得,, 故的单调递增区间为; 单调递减区间为; （2）由(1)可得的单调递增区间为 令,在单调递增, 令,在单调递增, 令,在单调递增, 因为, 所以在上的单调增区间是 ; （3）由题知, 当时,, 根据图象性质可知: , , 故,. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$