5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（4知识点+9题型+质量检测）-2024年新高一数学暑假提升预习同步讲义（人教A版2019）

5.4.2正弦函数、余弦函数的性质 明确学习目标 课标要求 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义； 2掌握函数y=sinx，y=cosx的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性； 3.掌握正（余）弦函数的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值； 4.会求函数y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)的周期、单调区间. 重点难点 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义； 2掌握函数y=sinx，y=cosx的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性； 3.掌握正（余）弦函数的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值； 4.会求函数y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)的周期、单调区间. 知晓结构体系 夯实必备知识 知识点1 正弦函数、余弦函数的周期 1.函数的周期性 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期． 【注意】定义是对I中的每一个值来说的，只有个别的值满足或只差个别的值不满足都不能说T是的一个周期. 2.最小正周期 对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期. 3.求三角函数周期的方法 (1)定义法：利用周期函数的定义求解． (2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝. (3)图象法：画出函数图象，通过图象直接观察即可． 知识点2 正弦函数、余弦函数的性质 图象 定义域 值域 [-1,1] [-1,1] 最值 周期性 奇偶性 奇 偶 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 在上单调递减 对称性 对称轴方程： 对称中心， 对称轴方程： 对称中心， 知识点3 正弦型及与余弦型函数的性质 y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)(A≠0)的性质 函数 定义域 值域 单调性 当，时，将视为整体，代入或相应的单调区间求解；当或时，注意单调区间的变化. 奇偶性 当时为奇函数； 当时为偶函数 当时为偶函数； 当时为奇函数 周期性 图象对称性 将视为整体，代入或相应的对称轴或对称中心的横坐标满足的方程求解. 知识点4 正余弦函数的值域 常见的三角函数求值域或最值的类型有： (1)三角函数型：形如y＝sin(ωx＋φ)的三角函数，令t＝ωx＋φ，根据题中x的取值范围，求出t的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出y＝sin t的最值(值域)． (2)二次型：形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)的三角函数，可先设t＝sin x，将函数y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)化为关于t的二次函数y＝at2＋bt＋c(a≠0)，根据二次函数的单调性求值域(最值)． (3)对于形如y＝asin x(或y＝acos x)的函数的最值还要注意对a的讨论． 提升学科能力 题型一 正余弦函数的周期 例1．函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练1 1．下列函数中，最小正周期为π的函数是（    ） A． B． C． D． 2．函数的最小正周期为 . 3．设函数，则（    ） A． B． － C．0 D． 题型二 已知周期求参数 例2．已知函数的最小正周期为，则 . 跟踪训练2 1．已知函数的最小正周期为，则实数的值为（    ） A．3 B． C． D． 2．的最小正周期为π，则ω＝ . 3．若函数，则满足且的函数可以是 .（写出一个即可） 题型三 正余弦函数奇偶性 例3．函数，则下列结论正确的是（ ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 跟踪训练3 1．函数（    ） A．是奇函数，但不是偶函数 B．是偶函数，但不是奇函数 C．既是奇函数，又是偶函数 D．既不是奇函数，又不是偶函数 2．设函数为定义在上的奇函数，当时，（m为常数），则等于（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 3．若函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 题型四 正余弦函数对称性 例4．函数的图象关于（    ）． A．y轴对称； B．直线对称； C．原点对称； D．直线对称． 跟踪训练4 1．下列函数中，是偶函数且其图象关于对称的是（    ） A． B． C． D． 2．[多选题]已知函数的最小正周期为，则该函数的图象（    ） A．关于点对称 B．关于直线对称 C．关于点对称 D．关于直线对称 3．函数的对称中心为 . 题型五 正余弦函数单调性 例5．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练5 1．函数，的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 2．下列区间中，是函数单调递减的区间是（    ） A． B． C． D． 3．函数的单调递增区间是 ． 题型六 已知单调性求参数（较难） 例6．已知函数，若为偶函数，在区间内单调，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 跟踪训练6 1．若函数在区间单调递增，在区间上单调递减，则＝（    ） A．3 B．2 C． D． 2．已知函数，若在上为增函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型七 比较大小 例7．下列不等式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 跟踪训练7 1．设，则　　 A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．已知是锐角三角形，则（    ） A． B． C． D． 题型八 正余弦函数的值域与最值 例8．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练8 1．函数y=2cos(2x+)，x[-，]的值域是 （    ） A． B． C． D． 2．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 3．（1）函数，的值域为 ； （2）函数的最大值是 . 题型九 正余弦函数性质的综合 例9．已知函数,下列结论中正确的是（    ） A．函数的周期是 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的最小值是 D．函数的图象关于点对称 跟踪训练9 1．（多选）已知函数（），下列结论正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数是偶函数 C．函数的图象关于直线对称 D．函数在区间上是增函数 2．已知函数. (1)求的最小正周期以及对称轴方程； (2)设函数，求在上的值域. 3．已知函数，． (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间； (2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值． 质量检测评价 一、单选题 1．下列函数中，最小正周期为π的函数是（    ） A．y＝sin x B．y＝cos x C．y＝sin D．y＝cos 2．若函数的最小正周期为，则 A．24 B．18 C．12 D．6 3．函数是（    ） A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 4．下列区间中，函数单调递减的是（    ） A． B． C． D． 5．函数的最小值为（    ） A．2 B．0 C． D．6 6．若函数在上单调递减，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 7．若是锐角的两个内角，则有（    ） A． B． C． D． 8．已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．设函数，则下列结论正确的是（    ） A．的一个周期为 B．的图像关于直线对称 C． 的一个零点为 D．在单调递减 10．已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．点是图象的一个对称中心 C．当时，的最小值为2 D．直线是图象的一条对称轴 三、填空题 11．若是奇函数，则 . 12．函数图象的对称轴方程是 ． 13．函数的单调增区间是 . 四、解答题 14．求下列函数的最大值、最小值以及对应的x值的集合： (1)； (2)； (3)． 15．已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的严格减区间； (3)若时，的最小值为–2，求a的值. 16．已知函数的图象过点，且其图象上相邻两个最高点之间的距离为． (1)求的解析式； (2)求函数的单调递减区间． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.4.2正弦函数、余弦函数的性质 明确学习目标 课标要求 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义； 2掌握函数y=sinx，y=cosx的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性； 3.掌握正（余）弦函数的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值； 4.会求函数y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)的周期、单调区间. 重点难点 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义； 2掌握函数y=sinx，y=cosx的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性； 3.掌握正（余）弦函数的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值； 4.会求函数y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)的周期、单调区间. 知晓结构体系 夯实必备知识 知识点1 正弦函数、余弦函数的周期 1.函数的周期性 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期． 【注意】定义是对I中的每一个值来说的，只有个别的值满足或只差个别的值不满足都不能说T是的一个周期. 2.最小正周期 对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期. 3.求三角函数周期的方法 (1)定义法：利用周期函数的定义求解． (2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝. (3)图象法：画出函数图象，通过图象直接观察即可． 知识点2 正弦函数、余弦函数的性质 图象 定义域 值域 [-1,1] [-1,1] 最值 周期性 奇偶性 奇 偶 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 在上单调递减 对称性 对称轴方程： 对称中心， 对称轴方程： 对称中心， 知识点3 正弦型及与余弦型函数的性质 y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)(A≠0)的性质 函数 定义域 值域 单调性 当，时，将视为整体，代入或相应的单调区间求解；当或时，注意单调区间的变化. 奇偶性 当时为奇函数； 当时为偶函数 当时为偶函数； 当时为奇函数 周期性 图象对称性 将视为整体，代入或相应的对称轴或对称中心的横坐标满足的方程求解. 知识点4 正余弦函数的值域 常见的三角函数求值域或最值的类型有： (1)三角函数型：形如y＝sin(ωx＋φ)的三角函数，令t＝ωx＋φ，根据题中x的取值范围，求出t的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出y＝sin t的最值(值域)． (2)二次型：形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)的三角函数，可先设t＝sin x，将函数y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)化为关于t的二次函数y＝at2＋bt＋c(a≠0)，根据二次函数的单调性求值域(最值)． (3)对于形如y＝asin x(或y＝acos x)的函数的最值还要注意对a的讨论． 提升学科能力 题型一 正余弦函数的周期 例1．函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦型函数的最小正周期，进而即得. 【详解】由题可知最小正周期. 故选：B. 跟踪训练1 1．下列函数中，最小正周期为π的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的周期公式即可判断AC；作出函数的图象，结合周期的定义即可判断BD. 【详解】对于A，函数的最小正周期为，故A不符合题意； 对于B，作出函数的图象，    由图可知，函数的最小正周期为，故B符合题意； 对于C，函数的最小正周期为，故C不符合题意； 对于D，函数，其图象如图，    由图可知，函数不是周期函数，故D不符合题意. 故选：B. 2．函数的最小正周期为 . 【答案】1 【分析】根据求最小正周期公式即可得解 【详解】因为，所以， 所以函数的最小正周期， 故答案为：1. 3．设函数，则（    ） A． B． － C．0 D． 【答案】A 【解析】求出的周期，直接利用函数的周期性，结合特殊角的三角函数化简求值即可． 【详解】的周期， 所以 ． 故选：A． 题型二 已知周期求参数 例2．已知函数的最小正周期为，则 . 【答案】 【分析】根据正弦函数周期公式求参即可. 【详解】已知函数的最小正周期为, 所以. 故答案为：. 跟踪训练2 1．已知函数的最小正周期为，则实数的值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦型函数周期公式计算即可. 【详解】∵函数的最小正周期为， ∴， ∴. 故选：B 2．的最小正周期为π，则ω＝ . 【答案】或 【分析】直接利用三角函数的周期公式求解即可 【详解】解：因为的最小正周期为π， 所以，解得 故答案为：或 【点睛】此题考查余弦型函数的周期，属于基础题. 3．若函数，则满足且的函数可以是 .（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一）. 【分析】先分析得到函数奇偶性以及周期性，由此联想到三角函数，写出符合条件的一个函数解析式即可. 【详解】因为，所以为偶函数， 又因为，所以， 所以是周期函数且一个周期为， 此处可想到余弦型函数，，所以可取， 所以满足题意的一个函数可以是：， 故答案为：（答案不唯一）. 题型三 正余弦函数奇偶性 例3．函数，则下列结论正确的是（ ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】C 【分析】根据函数奇偶性的定义逐项分析即得. 【详解】选项A: 因为的定义域为R， 又， 所以是奇函数，故A错误； 选项B: 因为的定义域为R， 又， 所以是偶函数，故B错误； 选项C: 因为的定义域为R， 又， 所以是奇函数，故C正确； 选项D: 因为的定义域为R， 又， 所以是偶函数，故D错误. 故选：C. 跟踪训练3 1．函数（    ） A．是奇函数，但不是偶函数 B．是偶函数，但不是奇函数 C．既是奇函数，又是偶函数 D．既不是奇函数，又不是偶函数 【答案】A 【分析】根据奇偶性的定义即可判断. 【详解】由可知是奇函数． 故选:A 2．设函数为定义在上的奇函数，当时，（m为常数），则等于（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【解析】首先利用，求出得值，再计算的值，由即可求解. 【详解】因为函数为定义在上的奇函数， 当时，， 所以，解得：， 所以时，， ， 所以， 故选：D. 3．若函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】正余弦型函数为奇函数，必可以化简为或形式，结合诱导公式分析即可. 【详解】由函数是奇函数， 可知或， 由诱导公式，得. 故选：D 【点睛】此题考查根据函数的奇偶性求参数的取值，关键在于熟练掌握三角函数的图像和性质，结合诱导公式化简求解. 题型四 正余弦函数对称性 例4．函数的图象关于（    ）． A．y轴对称； B．直线对称； C．原点对称； D．直线对称． 【答案】C 【分析】由正弦型函数的图象与性质可直接判断. 【详解】是奇函数，图象关于原点对称，A错误，C正确； 而，则直线都不是的图象的对称轴，CD错误. 故选：C． 跟踪训练4 1．下列函数中，是偶函数且其图象关于对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式逐一化简可判断奇偶性，然后代入验证判断对称性即可. 【详解】对于A，为奇函数，A错误； 对于B，为偶函数， 因为，所以的图象关于点对称，B正确； 对于C，为偶函数， 因为，所以不是的对称中心，C错误； 对于D，为奇函数，D错误. 故选：B 2．[多选题]已知函数的最小正周期为，则该函数的图象（    ） A．关于点对称 B．关于直线对称 C．关于点对称 D．关于直线对称 【答案】AD 【分析】根据周期可计算出的值，然后根据余弦型函数的对称中心和对称轴对应的函数值的特点判断各选项的正误． 【详解】由已知可得，所以． 因为，所以是对称中心，A正确． 因为，所以直线不是对称轴，B错误． 因为，所以不是对称中心，C错误． 因为，所以直线是对称轴，D正确， 故选AD． 3．函数的对称中心为 . 【答案】，. 【分析】利用整体代换法求解对称中心. 【详解】令， 解得 故函数的对称中心为，. 故答案为：，. 题型五 正余弦函数单调性 例5．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦函数的性质、复合函数的单调性以及整体代换技巧进行求解. 【详解】因为，由有： ，故B，C，D错误. 故选：A. 跟踪训练5 1．函数，的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据正弦函数的单调区间求的单调递增区间，再结合题意分析判断． 【详解】令，解得， ∵， 当时，，即函数的单调递增区间是． 故选：B. 2．下列区间中，是函数单调递减的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，求出函数的单调减区间，从而可求得答案. 【详解】由，得， 则的减区间为， 因为， 所以是函数的一个单调减区间， 故选：B. 3．函数的单调递增区间是 ． 【答案】， 【分析】结合函数函数的单调递增区间得到，进而可求出结果. 【详解】因为函数的单调递增区间为， 所以，即， 所以函数的单调递增区间是，， 故答案为：，. 题型六 已知单调性求参数（较难） 例6．已知函数，若为偶函数，在区间内单调，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据为偶函数，可得直线为函数图像的一条对称轴，进而可得，根据在区间内单调，可得，进而可求解. 【详解】由于函数为偶函数，故直线为函数图像的一条对称轴， 所以，，则，， 又，即，解得， 又，，所以的最大值为4， 当时，在单调递增，满足要求， 故的最大值为4. 故选：B 跟踪训练6 1．若函数在区间单调递增，在区间上单调递减，则＝（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】先根据求出，，再根据函数在区间单调递增，得到，求出，从而得到. 【详解】由题意得，故，， 解得，， 又因为函数在区间单调递增，所以，解得， 因为，所以， 故，解得， 故，解得， 又，故，所以 故选：C 2．已知函数，若在上为增函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可得，然后结合条件可建立不等式求得，然后可分析出答案. 【详解】令，整理得， 故，解得，， ∵，∴k＝0时，；k＝1时，； 时，∵，故不符合题意．综上所述，． 故选：D． 3．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由周期大于等于单调区间的长度的2倍，求得的初步范围，然后结合余弦函数的单调性进一步确定的范围，得到答案. 【详解】由题意有，可得，又由，必有，可得. 故选：A 题型七 比较大小 例7．下列不等式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦函数在上为增函数、在上为减函数，余弦函数在上为减函数，结合诱导公式对各个选项中的函数值大小关系加以判断，可得本题答案． 【详解】解：∵，， ∴由余弦函数的单调性，得，即，因此A不正确； ∵，， ∴由正弦函数的单调性，得，即，因此B不正确； ∵，， ∴由正弦函数的单调性，得，即，因此C正确； ∵，∴由正弦函数的单调性，得，因此D不正确. 故选：C． 跟踪训练7 1．设，则　　 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角函数的诱导公式进行化简，结合余弦函数的单调性进行比较大小即可． 【详解】解：， ， 在上是减函数， ， 即， 故选：． 【点睛】本题主要考查三角函数值的大小比较，结合三角函数的诱导公式以及余弦函数的单调性是解决本题的关键，属于基础题． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式将a、b、c对应角转化到正弦函数的一个单调区间内，进而比较函数值的大小即可. 【详解】，， 而，则， 所以. 故选：C 3．已知是锐角三角形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题得，再利用余弦函数的单调性得解. 【详解】因为三角形是锐角三角形， 所以, 因为,余弦函数在单调递减， 所以, 故选：D 题型八 正余弦函数的值域与最值 例8．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦函数的值域，结合不等式的基本性质可求函数的值域． 【详解】函数的定义域为， 当时，由正弦函数性质可得， 所以， 所以，即， 当时，即时，， 当时，即时，， 故函数的值域为. 故选：D． 跟踪训练8 1．函数y=2cos(2x+)，x[-，]的值域是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，由x[-，]可得，再由函数的单调性即可解出． 【详解】令，因为x[-，]，所以，而函数在上单调递增，在上单调递减，所以，，即函数的值域是． 故选：A． 2．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角三角函数关系式变形，可得函数是关于的二次函数，利用换元法可得值域. 【详解】函数， 因为， 所以当时，函数取得最小值， 当时，函数取得最大值， 故函数的值域为， 故选：A． 3．（1）函数，的值域为 ； （2）函数的最大值是 . 【答案】 【分析】（1）由的范围可得的范围，结合余弦函数性质可求得结果； （2）令，将问题转化为关于的二次函数最大值的求解问题，结合的范围可求得结果. 【详解】（1）当时，，， ，即的值域为； （2），； 令，则，， 则当时，，即的最大值为. 故答案为：；. 题型九 正余弦函数性质的综合 例9．已知函数,下列结论中正确的是（    ） A．函数的周期是 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的最小值是 D．函数的图象关于点对称 【答案】AC 【分析】根据的解析式,由可求其周期,令即可求对称轴,根据,即可求最值,根据对称中心是令,即可判断选项D正误. 【详解】解:由题知, , 故选项A正确; 令, 解得: , 令, 令, 故选项B错误; 因为, 所以, 故选项C正确; 因为对称中心纵坐标为1, 故选项D错误. 故选:AC 跟踪训练9 1．（多选）已知函数（），下列结论正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数是偶函数 C．函数的图象关于直线对称 D．函数在区间上是增函数 【答案】ABD 【分析】利用诱导公式化简，结合余弦函数的周期公式可判断A；根据余弦函数的奇偶性判断B；根据余弦函数的对称性以及单调性可判断C，D. 【详解】由题意知，其最小正周期为，故A正确； 函数是偶函数，故B正确； 当时，，故不是函数的对称轴，C错误， 当时，，由于在上单调递减， 故在区间上是增函数，D正确． 故选：ABD 2．已知函数. (1)求的最小正周期以及对称轴方程； (2)设函数，求在上的值域. 【答案】(1)最小正周期为，对称轴为 (2) 【分析】（1）根据三角函数的最小正周期、对称轴的求法求得正确答案. （2）先求得，然后根据三角函数值域的求法求得正确答案. 【详解】（1）因为，所以的最小正周期. 令，得对称轴方程为. （2）由题意可知， 因为，所以， 故，所以， 即在上的值域为. 3．已知函数，． (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间； (2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值． 【答案】(1)最小正周期为，单调递减区间是，. (2)，此时；，此时. 【分析】（1）由余弦函数的周期公式即可求得答案，再利用整体法即可得到单调减区间； （2），利用余弦函数的单调性即可求得其最小值和最大值及取得最值时的值. 【详解】（1）的最小正周期， 当，即，时，单调递减， ∴的单调递减区间是，. （2）∵，则， 故， ∴，此时，即， ，此时，即． 质量检测评价 一、单选题 1．下列函数中，最小正周期为π的函数是（    ） A．y＝sin x B．y＝cos x C．y＝sin D．y＝cos 【答案】D 【分析】利用三角函数的周期公式求解判断. 【详解】A. y＝sin x的最小正周期为，故错误； B. y＝cos x的最小正周期为，故错误； C. y＝sin的最小正周期为，故错误； D. y＝cos，故正确； 故选：D 2．若函数的最小正周期为，则 A．24 B．18 C．12 D．6 【答案】C 【分析】依题意，根据三角函数的最小正周期的公式，列出方程，即可求解. 【详解】依题意，根据三角函数的最小正周期的公式，可知，故，故选C. 【点睛】本题主要考查了三角函数的最小正周期应用，其中解答中熟记三角函数的最小正周期的公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 3．函数是（    ） A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】D 【分析】因为函数，由奇偶函数的定义结合求周期的公式即可得出答案. 【详解】解析：函数， 故该函数为偶函数，且它的最小正周期为. 故选：D. 4．下列区间中，函数单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用代入检验的方式，分别得到的范围，结合正弦函数的单调性可得结论. 【详解】对于A，当时，，此时单调递减，A正确； 对于B，当时，，此时先增后减，B错误； 对于C，当时，，此时先减后增，C错误； 对于D，当时，，此时先增后减，D错误. 故选：A. 5．函数的最小值为（    ） A．2 B．0 C． D．6 【答案】B 【分析】设，则，结合二次函数性质求其最小值即可. 【详解】因为，设，则，由二次函数性质可得当上单调递减，所以当，取最小值，最小值为0，故当时，函数取最小值，最小值为0， 故选：B. 6．若函数在上单调递减，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】由题知，再根据函数在上单调递减可得，进而解不等式求解即可. 【详解】解：因为函数在上单调递减， 所以，解得， 因为，所以， 因为函数在上单调递减， 所以，函数在上单调递减，则有，解得， 所以的取值范围是，即的最大值为. 故选：A 7．若是锐角的两个内角，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据锐角三角形的性质，得到，结合在区间上的单调性以及诱导公式，求得正确结论. 【详解】∵是锐角的两个内角，∴，， 又当时，是增函数， ∴. 故选：C. 【点睛】本小题主要考查三角函数值比较大小，考查三角函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 8．已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的图象可确定的解析式，然后利用函数的周期性求解的值. 【详解】由的图象可知，，，故， 又且，则可得出，故. 又根据函数的对称性可知， ， 所以， 所以 . 故选：C. 【点睛】本题考查根据三角函数的图象确定三角函数的解析式，考查利用三角函数的周期性求函数值问题，难度一般. 二、多选题 9．设函数，则下列结论正确的是（    ） A．的一个周期为 B．的图像关于直线对称 C． 的一个零点为 D．在单调递减 【答案】ABC 【分析】 对于选项A，通过计算函数的周期； 对于选项B，将代入函数，若所得结果为或，则B选项正确； 对于选项C，计算，将代入函数，若结果为0，则选项C正确； 对于选项D，当，则，然后分析在上的单调性. 【详解】 因为函数，所以它的一个周期为，故A正确； 令，求得为最小值，故的图像关于直线对称，故B正确； 对于，令，可得， 故的一个零点为，故C正确； 当，，函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数在上没有单调性，故D错误． 故选：ABC 10．已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．点是图象的一个对称中心 C．当时，的最小值为2 D．直线是图象的一条对称轴 【答案】AB 【分析】根据正弦函数的性质逐一判断即可. 【详解】对于A，函数的最小正周期，故A正确； 对于B，因为， 所以点是图象的一个对称中心，故B正确； 对于C，当时，，故， ， 当且仅当，即，等号成立， 又，所以，故C错误； 对于D，因为， 所以直线不是图象的一条对称轴，故D错误. 故选：AB. 三、填空题 11．若是奇函数，则 . 【答案】/ 【分析】由余弦型函数的奇偶性得且，即可求参数. 【详解】由题设且，故，， 又，故有. 故答案为： 12．函数图象的对称轴方程是 ． 【答案】 【分析】根据正弦函数的对称轴结合整体代换法计算即可. 【详解】令，解得 则图象的对称轴方程是. 故答案为：. 13．函数的单调增区间是 . 【答案】， 【分析】根据三角函数的性质可得解. 【详解】由， 令，， 解得，， 即函数的单调递增区间为，， 故答案为：，. 四、解答题 14．求下列函数的最大值、最小值以及对应的x值的集合： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 (3)答案见详解 【分析】（1）结合正弦函数的最值分析求解； （2）结合余弦函数的最值分析求解； （3）以为整体，结合正弦函数的最值分析求解 【详解】（1）当取到最大值1时， 所以取到最大值，此时对应的x值的集合； 当取到最小值时， 所以取到最小值，此时对应的x值的集合. （2）当取到最小值时， 则取到最大值，此时对应的x值的集合； 当取到最大值1时， 则取到最小值，此时对应的x值的集合. （3）令，解得， 所以的最大值为3，此时对应的x值的集合； 令，解得， 所以的最大值为，此时对应的x值的集合. 15．已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的严格减区间； (3)若时，的最小值为–2，求a的值. 【答案】(1)； (2)（）； (3). 【分析】（1）直接利用周期公式求解； （2）对函数变形后，由可求出函数的减区间； （3）由求出的范围，再利用正弦函数的性质求出其最小值，从而可求出a的值. 【详解】（1）函数的最小正周期为. （2）. 由（）， 得（）， 所以的严格减区间为（）. （3）由，得， 所以， 所以， 所以， 所以的最小值为， 所以. 16．已知函数的图象过点，且其图象上相邻两个最高点之间的距离为． (1)求的解析式； (2)求函数的单调递减区间． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意结合周期性和特值求即可； （2）根据题意可得，结合正弦函数单调性分析求解. 【详解】（1）因为函数的图象上相邻两个最高点之间的距离为， 可知，且，所以， 又因为函数的图象过点，则， 且，可知，所以． （2）由（1）可知． 令，因为的单调递减区间为， 且由，解得． 故函数的单调递减区间为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$