专题18 双曲线及其标准方程8种常考题型归类（80题）-2024年考点通关新高二暑假数学素养提升讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

2024年考点通关新高二暑假数学素养提升讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 专题18 双曲线及其标准方程8种常考题型归类（80题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 双曲线定义的理解 （一）利用双曲线定义求方程 （二）双曲线定义的应用 题型二 双曲线标准方程的辨识 （一）判断方程是否表示双曲线 （二）根据双曲线方程求参数 题型三 求双曲线的标准方程 题型四 利用双曲线定义求点到焦点距离及最值 题型五 利用双曲线定义求双曲线中线段和差最值 题型六 双曲线的焦点三角形 题型七 双曲线的轨迹方程 题型八 双曲线的实际应用 知识点1：双曲线的定义 1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 2、集合语言表达式 双曲线就是下列点的集合:. 3、说明 若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小. (1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支; (2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支. 知识点2：双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， ， 的关系 两种双曲线 ， （）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种双曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同. 解题策略 1．双曲线的定义中一定要注意的几点 (1)前提条件“平面内”不能丢掉，否则就成了空间曲面，不是平面曲线了； (2)不可漏掉定义中的常数小于|F1F2|，否则，当2a＝|F1F2|时，||PF1|－|PF2||＝2a表示两条射线；当||PF1|－|PF2||>2a时，不表示任何图形； (3)不能丢掉绝对值符号，若丢掉绝对值符号，其余条件不变，则点的轨迹为双曲线的一支． 注：(1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF1|－|PF2||＝2a求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c－a)． 2．双曲线方程的辨识方法 (1)对于方程＋＝1，当mn<0时表示双曲线，进一步，当m>0，n<0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n>0时表示焦点在y轴上的双曲线． (2)对于方程－＝1，当mn>0时表示双曲线，且当m>0，n>0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n<0时表示焦点在y轴上的双曲线． 3．利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤 (1)定位置：根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，还是两种都有可能． (2)设方程：根据焦点位置，设方程为－＝1或－＝1(a>0，b>0)，焦点不定时，也可设为mx2＋ny2＝1(mn<0)． (3)寻关系：根据已知条件列出关于a，b，c(或m，n)的方程组． (4)得方程：解方程组，将a，b，c(或m，n)代入所设方程即为所求． 4．求双曲线的标准方程时应注意的两个问题 (1)正确判断焦点的位置； (2)设出标准方程后，再运用待定系数法求解．求双曲线的标准方程也是从“定形”“定式”和“定量”三个方面去考虑．“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”是根据“形”设双曲线标准方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a，b的值． 5．双曲线的焦点三角形 设双曲线－＝1(a>0，b>0)，F1，F2为其左、右焦点，P为双曲线上一点，如图所示，当点P，F1，F2不在同一条直线上时，构成的三角形称为焦点三角形，其中PF1，PF2，F1F2为三角形的三边，且||PF1|－|PF2||＝2a，|F1F2|＝2c.解决与焦点三角形有关的问题要充分利用双曲线的定义和三角形的边角关系、正弦定理、余弦定理．若∠F1PF2＝α，则S△PF1F2＝. 注：在双曲线上的点P与其两个焦点F1，F2连接而成的焦点三角形PF1F2中，令|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝θ，因为|F1F2|＝2c，所以有 ①定义：|r1－r2|＝2a； ②余弦公式：4c2＝r＋r－2r1r2cosθ； ③面积公式：S△PF1F2＝r1r2sinθ. 一般地，在△PF1F2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决． 6.用定义法求轨迹方程的一般步骤 (1)根据已知条件及曲线定义确定曲线的位置及形状(定形，定位)． (2)根据已知条件确定参数a，b的值(定参)． (3)写出标准方程并下结论(定论)． 7.双曲线的实际应用问题 解决应用问题时，应由题干抽象出数学问题即数学模型，先解决数学问题，再回归到实际应用中．本题由题意能得到所求界线是以A，B为焦点的双曲线，但由于|MA|>|MB|，故所求界线为双曲线的右支．由于没有坐标系，因此需先建立坐标系，并确定方程的形式，再用待定系数法求方程．此题极易忽略x和y的取值范围．因此在实际问题中，要注意由实际意义确定变量的取值范围． 注：利用双曲线解决实际问题的基本步骤如下： (1)建立适当的坐标系． (2)求出双曲线的标准方程． (3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义)． 题型一 双曲线定义的理解 （一）利用双曲线定义求方程 1．（2023秋·高二课时练习）到两定点、的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹（    ） A．椭圆 B．直线 C．双曲线 D．两条射线 2．（2023秋·高二课时练习）平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于的点的轨迹是（    ） A．双曲线 B．两条射线 C．一条线段 D．一条直线 3.（2024·全国·高三专题练习）若动点满足关系式，则点的轨迹是（    ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线一支 4．（2023秋·高二课时练习）已知动点满足，则动点P的轨迹是（　　） A．双曲线 B．双曲线左支 C．双曲线右支 D．一条射线 5．（2023秋·高二课时练习）与圆及圆都外切的圆P的圆心在（    ） A．一个椭圆上 B．一个圆上 C．一条直线上 D．双曲线的一支上 （二）双曲线定义的应用 6.（2024·安徽滁州·高二校考开学考试）若双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则（    ） A． B． C．或 D．或 7.（2023秋·北京石景山·高二统考期末）双曲线右支上一点A到右焦点的距离为3，则点A到左焦点的距离为（    ） A．5 B．6 C．9 D．11 8.（2023秋·辽宁锦州·高三统考期末）双曲线：的左右焦点分别为，，一条渐近线方程为，若点在双曲线上，且，则（    ） A．7 B．9 C．1或9 D．3或7 9．（2024·全国·高三专题练习）已知曲线C：，点M与曲线C的焦点不重合．已知M关于曲线C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在曲线C右支上，则的值为______． 题型二 双曲线标准方程的辨识 （一）判断方程是否表示双曲线 10．（2023秋·广东佛山·高三统考阶段练习）对于常数a，b，“”是“方程对应的曲线是双曲线”的（    ） A． 充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．（2024·全国·高二专题练习）设，则“方程表示双曲线”的必要不充分条件为（    ） A． B． C． D． 12．（2023秋·高二课时练习）“”是“为双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．（2023秋·北京·高二北京市第二十二中学校考期中）已知曲线C：，则下列说法不正确的是（    ） A．若，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B．若，则C是双曲线，其渐近线方程为 C．若，则C是圆，其半径是 D．若，则C是两条直线 14.【多选】（2024·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）对于曲线C：，则下列说法正确的有（    ） A．曲线C可能为圆 B．曲线C不可能为焦点在y轴上的双曲线 C．若，则曲线C为椭圆 D．若，则曲线C为双曲线 15.【多选】（2023秋·浙江湖州·高二统考期末）已知曲线的方程为，则（    ） A．曲线可以表示圆 B．曲线可以表示焦点在轴上的椭圆 C．曲线可以表示焦点在轴上的椭圆 D．曲线可以表示焦点在轴上的双曲线 （二）根据双曲线方程求参数 16．（2024·全国·高三对口高考）若曲线表示双曲线，那么实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17.（2024·内蒙古兴安盟·高二乌兰浩特市第四中学校考阶段练习）已知曲线是双曲线，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．（2023秋·高二课时练习）“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 19．（2023秋·高二课时练习）若，则“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 20．（2023秋·高二课时练习）已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 21.（2024·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）已知，则“”是“方程表示双曲线”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 22．（2024·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）已知表示焦点在轴上的双曲线有个，表示焦点在轴上的椭圆有个，则的值为（    ） A．10 B．14 C．18 D．22 23．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期末）设m为实数，若方程表示焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．（2024·上海徐汇·高二上海市徐汇中学校考期中）方程表示焦距为的双曲线，则实数λ的值为（    ） A．1 B．-4或1 C．-2或-4或1 D．-2或1 题型三 求双曲线的标准方程 25．（2024·全国·高三专题练习）已知P是平面上的动点，且点P与的距离之差的绝对值为．设点P的轨迹为曲线E．求曲线E的方程； 26．（2024·广西南宁·高二校联考开学考试）设椭圆的离心率为，焦点在轴上且长轴长为26，若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 27．（2023秋·高二课时练习）已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 28．（2024·全国·校联考三模）若双曲线与双曲线有相同的焦距，且过点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 29．（2023秋·浙江杭州·高二杭州市长河高级中学校考期末）已知双曲线经过点，且与椭圆有相同的焦点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 30．（2024·河南洛阳·高二校联考阶段练习）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，，点P在双曲线的右支上，若， 则双曲线C的方程为（    ） A． B． C． D． 31．（2024·河南安阳·统考二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，，P为C上一点，的中点为Q，为等边三角形，则双曲线C的方程为（    ）． A． B． C． D． 32.（2024·全国·高三专题练习）2023年3月27日，贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛总决赛火爆开赛，被网友称为“村BA”.从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，，视AD所在直线为x轴，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 题型四 利用双曲线定义求点到焦点距离及最值 33.（2024·高二课时练习）已知双曲线在左支上一点M到右焦点的距离为18，N是线段的中点，O为坐标原点，则等于（    ） A．4 B．2 C．1 D． 34.（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线的左焦点为，点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为（    ） A．5 B． C．7 D．8 35.（2024·湖南株洲·高二株洲二中校考阶段练习）双曲线的左､右焦点是、，点在双曲线上，若，则（    ） A． B． C．或 D．或 36.（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）已知是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，若，则（    ） A．1或9 B．3或7 C．9 D．7 37.（2024·高二课时练习）是双曲线=1的右支上一点，M、N分别是圆和=4上的点，则的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 38.（2024·高二课时练习）若点在曲线上，点在曲线上，点在曲线上，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 题型五 利用双曲线定义求双曲线中线段和差最值 39.（2024·高二课时练习）已知双曲线的左右焦点分别为､，为双曲线右支上一点，点的坐标为，则的最小值为 . 40．（2024·四川内江·高二威远中学校校考期中）已知F是双曲线C：的右焦点，P是C的左支上一点，，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 41．（2024·四川成都·高二校考阶段练习）已知，双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线左支上一点，则的最小值为（　　） A．5 B．7 C．9 D．11 42.（2024·全国·高三专题练习）已知点，双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上运动.当的周长最小时，（    ） A． B． C． D． 43．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线的左焦点为，点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为（    ） A．5 B． C．7 D．8 44.（2024·全国·高三专题练习）过双曲线的左焦点F作圆的一条切线（切点为T），交双曲线右支点于P，点M为线段FP的中点，连接MO，则的最大值为 ． 45．（2024·全国·高三专题练习）设，为双曲线C：的左、右焦点，Q为双曲线右支上一点，点P（0，2）．当取最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 46.（2024·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考阶段练习）已知，双曲线C：的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 47.（2023秋·湖北·高二统考期末）已知双曲线的左焦点为，M为双曲线C右支上任意一点，D点的坐标为，则的最大值为（    ） A．3 B．1 C． D． 48．（2024·陕西西安·西安一中校联考模拟预测）设点P是圆上的一动点，，，则的最小值为（    ）． A． B． C．6 D．12 49．（2024·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考阶段练习）已知，双曲线C：的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 50．（2024·青海西宁·统考二模）设双曲线的左焦点为，点为双曲线右支上的一点，且与圆相切于点，为线段的中点，为坐标原点，则（    ） A．- B．-1 C．- D．-2 51.（2024·山东泰安·统考二模）已知双曲线，其一条渐近线方程为，右顶点为A，左，右焦点分别为，，点P在其右支上，点，三角形的面积为，则当取得最大值时点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 52．（2024·青海玉树·统考模拟预测）已知，为双曲线的左、右焦点，点P是C的右支上的一点，则的最小值为（    ） A．16 B．18 C． D． 53．（2024·全国·高三专题练习）已知，分别是双曲线的左右焦点，且C上存在点P使得，则a的取值范围是________． 题型六 双曲线的焦点三角形 54．（2024·福建福州·高二校联考期中）设P是双曲线上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|=9，则|PF2|等于（    ） A．1 B．17 C．1或17 D．8 55．（2024·四川达州·统考二模）设，是双曲线C：的左、右焦点，过的直线与C的右支交于P，Q两点，则（    ） A．5 B．6 C．8 D．12 56．（2024·全国·高三对口高考）设，分别是双曲线的左、右焦点．若点P在双曲线上，且，则_________，_________； 57．（2024·四川遂宁·高二统考期末）设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，且，则的大小为__________． 58．（2023秋·高二课时练习）若是双曲线的左、右焦点，点在该双曲线上，且是等腰三角形，则的周长是________. 59.（2024·四川资阳·高二统考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线经过且与的右支相交于A，B两点，若，则的周长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 60．（2024·上海徐汇·高二上海市徐汇中学校考期中）已知双曲线，、是其两个焦点，点M在双曲线上，若，则的面积为______． 61.（2024·福建莆田·高二莆田一中校考阶段练习）设，分别是双曲线的左右焦点，过作轴的垂线与交于，两点，若为正三角形，则的面积为（    ） A． B．4 C． D．3 62．（2023秋·高二课时练习）已知点F1，F2分别是双曲线=1的左、右焦点，若点P是双曲线左支上的点，且，则△的面积为____. 63．（2024·江西·高二临川一中校联考阶段练习）已知点分别为双曲线的左､右焦点，过点的直线交双曲线的右支第一象限于点，若的内切圆的半径为1，则直线的斜率为（    ） A． B． C．1 D． 64．【多选】（2023秋·高二课时练习）双曲线的方程为，左、右焦点分别为，过点作直线与双曲线的右半支交于点，，使得，则（    ） A． B．点的横坐标为 C．直线的斜率为或 D．的内切圆半径是 65．【多选】（2023秋·高二校考课时练习）已知点在双曲线上，分别是左､右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（    ） A．点到轴的距离为 B． C．为钝角三角形 D． 66．【多选】（2023秋·云南·高三校联考阶段练习）已知，分别是双曲线C：的左、右焦点，P是C上一点，且位于第一象限，，则（    ） A．P的纵坐标为 B． C．的周长为 D．的面积为4 67.（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上一点，为的内切圆上一点，则取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型七 双曲线的轨迹方程 68.（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，设动点的轨迹为曲线.求曲线的方程； 69.（2024·高二课时练习）已知中的两个顶点是，边与边所在直线的斜率之积是，求顶点的轨迹． 70.（2024·全国·高三专题练习）如图，动点与两定点、构成，且直线的斜率之积为，设动点的轨迹为．求轨迹的方程； 71．（2023秋·高二课时练习）求下列动圆的圆心的轨迹方程： (1)与圆和圆都内切； (2)与圆内切，且与圆外切； (3)在中，，，直线，的斜率之积为，求顶点的轨迹方程. 72．（2024·全国·高三专题练习）已知圆M：上动点Q，若，线段QN的中垂线与直线QM交点为P．求交点P的轨迹C的方程； 73．（2023秋·湖北·高二赤壁一中校联考期末）已知圆，为圆心，为圆上任意一点，定点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 74．（2024·全国·高三对口高考）已知动圆P过点，且与圆外切，则动圆P圆心的轨迹方程为______. 75．（2024·全国·高三专题练习）已知圆：，圆：，圆与圆、圆外切，求圆心的轨迹方程 76．（2023秋·天津北辰·高二天津市第四十七中学校考阶段练习）已知的两个顶点A，B的坐标分别是、，且，所在直线的斜率之积等于2，则顶点C的轨迹方程是（    ） A．（） B． C． D．（） 77．（2024·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点．当点运动时，点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 题型八 双曲线的实际应用 78．（2024·北京海淀·高三101中学校考阶段练习）地震预警是指在破坏性地震发生以后，在某些区域可以利用“电磁波”抢在“地震波”之前发出避险警报信息，以减小相关预警区域的灾害损失.根据Rydelek和Pujol提出的双台子台阵方法，在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.在一次地震预警中，两地震台站和站相距.根据它们收到的信息，可知震中到站与震中到站的距离之差为.据此可以判断，震中到地震台站的距离至少为（    ） A． B． C． D． 79．（2024·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考期中）单叶双曲面是最受设计师青睐的结构之一，它可以用直的钢梁建造，既能减少风的阻力，又能用最少的材料来维持结构的完整.如图1，俗称小蛮腰的广州塔位于中国广州市，它的外形就是单叶双曲面，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.某市计划建造类似于广州塔的地标建筑，此地标建筑的平面图形是双曲线，如图2，最细处的直径为 ，楼底的直径为，楼顶直径为，最细处距楼底 ，则该地标建筑的高为（    ） A． B． C． D． 80．（2024·福建泉州·校联考模拟预测）费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质．例如，点P为双曲线（，为焦点）上一点，点P处的切线平分．已知双曲线C：，O为坐标原点，l是点处的切线，过左焦点作l的垂线，垂足为M，则______． $$2024年考点通关新高二暑假数学素养提升讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 专题18 双曲线及其标准方程8种常考题型归类（80题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 双曲线定义的理解 （一）利用双曲线定义求方程 （二）双曲线定义的应用 题型二 双曲线标准方程的辨识 （一）判断方程是否表示双曲线 （二）根据双曲线方程求参数 题型三 求双曲线的标准方程 题型四 利用双曲线定义求点到焦点距离及最值 题型五 利用双曲线定义求双曲线中线段和差最值 题型六 双曲线的焦点三角形 题型七 双曲线的轨迹方程 题型八 双曲线的实际应用 知识点1：双曲线的定义 1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 2、集合语言表达式 双曲线就是下列点的集合:. 3、说明 若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小. (1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支; (2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支. 知识点2：双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， ， 的关系 两种双曲线 ， （）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种双曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同. 解题策略 1．双曲线的定义中一定要注意的几点 (1)前提条件“平面内”不能丢掉，否则就成了空间曲面，不是平面曲线了； (2)不可漏掉定义中的常数小于|F1F2|，否则，当2a＝|F1F2|时，||PF1|－|PF2||＝2a表示两条射线；当||PF1|－|PF2||>2a时，不表示任何图形； (3)不能丢掉绝对值符号，若丢掉绝对值符号，其余条件不变，则点的轨迹为双曲线的一支． 注：(1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF1|－|PF2||＝2a求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c－a)． 2．双曲线方程的辨识方法 (1)对于方程＋＝1，当mn<0时表示双曲线，进一步，当m>0，n<0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n>0时表示焦点在y轴上的双曲线． (2)对于方程－＝1，当mn>0时表示双曲线，且当m>0，n>0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n<0时表示焦点在y轴上的双曲线． 3．利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤 (1)定位置：根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，还是两种都有可能． (2)设方程：根据焦点位置，设方程为－＝1或－＝1(a>0，b>0)，焦点不定时，也可设为mx2＋ny2＝1(mn<0)． (3)寻关系：根据已知条件列出关于a，b，c(或m，n)的方程组． (4)得方程：解方程组，将a，b，c(或m，n)代入所设方程即为所求． 4．求双曲线的标准方程时应注意的两个问题 (1)正确判断焦点的位置； (2)设出标准方程后，再运用待定系数法求解．求双曲线的标准方程也是从“定形”“定式”和“定量”三个方面去考虑．“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”是根据“形”设双曲线标准方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a，b的值． 5．双曲线的焦点三角形 设双曲线－＝1(a>0，b>0)，F1，F2为其左、右焦点，P为双曲线上一点，如图所示，当点P，F1，F2不在同一条直线上时，构成的三角形称为焦点三角形，其中PF1，PF2，F1F2为三角形的三边，且||PF1|－|PF2||＝2a，|F1F2|＝2c.解决与焦点三角形有关的问题要充分利用双曲线的定义和三角形的边角关系、正弦定理、余弦定理．若∠F1PF2＝α，则S△PF1F2＝. 注：在双曲线上的点P与其两个焦点F1，F2连接而成的焦点三角形PF1F2中，令|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝θ，因为|F1F2|＝2c，所以有 ①定义：|r1－r2|＝2a； ②余弦公式：4c2＝r＋r－2r1r2cosθ； ③面积公式：S△PF1F2＝r1r2sinθ. 一般地，在△PF1F2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决． 6.用定义法求轨迹方程的一般步骤 (1)根据已知条件及曲线定义确定曲线的位置及形状(定形，定位)． (2)根据已知条件确定参数a，b的值(定参)． (3)写出标准方程并下结论(定论)． 7.双曲线的实际应用问题 解决应用问题时，应由题干抽象出数学问题即数学模型，先解决数学问题，再回归到实际应用中．本题由题意能得到所求界线是以A，B为焦点的双曲线，但由于|MA|>|MB|，故所求界线为双曲线的右支．由于没有坐标系，因此需先建立坐标系，并确定方程的形式，再用待定系数法求方程．此题极易忽略x和y的取值范围．因此在实际问题中，要注意由实际意义确定变量的取值范围． 注：利用双曲线解决实际问题的基本步骤如下： (1)建立适当的坐标系． (2)求出双曲线的标准方程． (3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义)． 题型一 双曲线定义的理解 （一）利用双曲线定义求方程 1．（2023秋·高二课时练习）到两定点、的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹（    ） A．椭圆 B．直线 C．双曲线 D．两条射线 【答案】D 【分析】根据动点到两定点的距离和两定点的距离关系判断即可. 【详解】因为，， 故的轨迹是已、为端点的两条射线， 故选：D. 2．（2023秋·高二课时练习）平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于的点的轨迹是（    ） A．双曲线 B．两条射线 C．一条线段 D．一条直线 【答案】B 【分析】直接分析即可得结果. 【详解】如图： 设动点为，到两个定点的距离之差的绝对值为， 则若在线段（不包含两端点）上，有； 若在直线外，有； 若在线段的延长线上或线段的反向延长线上（均包含两端点）， 则有. 故选：B 3.（2024·全国·高三专题练习）若动点满足关系式，则点的轨迹是（    ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线一支 【答案】D 【详解】设，，则. 则由已知可得，，所以点的轨迹是双曲线的左支. 故选：D. 4．（2023秋·高二课时练习）已知动点满足，则动点P的轨迹是（　　） A．双曲线 B．双曲线左支 C．双曲线右支 D．一条射线 【答案】C 【分析】根据 表示动点到点与的距离之差为2，再结合双曲线的定义求解. 【详解】解：因为 的几何意义是动点到点与的距离之差为2， 又因为， 所以由双曲线的定义，知动点P的轨迹是双曲线右支． 故选：C 5．（2023秋·高二课时练习）与圆及圆都外切的圆P的圆心在（    ） A．一个椭圆上 B．一个圆上 C．一条直线上 D．双曲线的一支上 【答案】D 【分析】根据题意，分别画出两个圆的图形，然后结合图形和双曲线定义即可判断. 【详解】由，得， 画出圆与的图像如图，设圆P的半径为r，    ∵圆P与圆O和圆M都外切， ∴，， 则， ∴根据双曲线定义知点P在以O，M为焦点的双曲线的左支上. 故选：D （二）双曲线定义的应用 6.（2024·安徽滁州·高二校考开学考试）若双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】由双曲线标准方程得：， 由双曲线定义得: 即， 解得（舍去）或， 故选：A. 7.（2023秋·北京石景山·高二统考期末）双曲线右支上一点A到右焦点的距离为3，则点A到左焦点的距离为（    ） A．5 B．6 C．9 D．11 【答案】D 【详解】设双曲线的实轴长为，则， 由双曲线的定义知， ， 故选：D 8.（2023秋·辽宁锦州·高三统考期末）双曲线：的左右焦点分别为，，一条渐近线方程为，若点在双曲线上，且，则（    ） A．7 B．9 C．1或9 D．3或7 【答案】B 【详解】由，可得，则. 又因在双曲线，则由双曲线定义，有，可得. 故选：B 9．（2024·全国·高三专题练习）已知曲线C：，点M与曲线C的焦点不重合．已知M关于曲线C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在曲线C右支上，则的值为______． 【答案】12 【分析】根据已知条件，作出图形，MN的中点连接双曲线的两个焦点，便会得到三角形的中位线，根据中位线的性质及双曲线的定义，即可求得. 【详解】设双曲线的实半轴长为，则， 设双曲线的左右焦点分别为， 设的中点为，连接. ∵是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴. 同理， ∴， ∵P在双曲线上，根据双曲线的定义知：， ∴. 故答案为：12. 题型二 双曲线标准方程的辨识 （一）判断方程是否表示双曲线 10．（2023秋·广东佛山·高三统考阶段练习）对于常数a，b，“”是“方程对应的曲线是双曲线”的（    ） A． 充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据双曲线的方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可 【详解】解：可整理成， 当，则且或且，此时方程即表示的曲线为双曲线，则充分性成立； 若方程表示的曲线为双曲线，则即，则必要性成立， 故选：C 11．（2024·全国·高二专题练习）设，则“方程表示双曲线”的必要不充分条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出方程表示双曲线的必要不充分条件的范围可得答案. 【详解】由，方程表示双曲线， 则，所以， 根据选项，“方程表示双曲线”的必要不充分条件为B. 故选：B. 12．（2023秋·高二课时练习）“”是“为双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先求方程表示双曲线的条件，再根据两者相等关系确定充要关系. 【详解】因为方程表示双曲线，所以， 又当时，方程表示双曲线， 因此“”是“方程表示双曲线”的充要条件. 故选：C 13．（2023秋·北京·高二北京市第二十二中学校考期中）已知曲线C：，则下列说法不正确的是（    ） A．若，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B．若，则C是双曲线，其渐近线方程为 C．若，则C是圆，其半径是 D．若，则C是两条直线 【答案】C 【分析】把化成椭圆的标准方程并求其焦点所在轴，判断选项A的正误； 把化成双曲线的标准方程并求其渐近线，判断选项B的正误； 把化成圆的标准方程并求其半径，判断选项C的正误； 把化成直线的方程，判断选项D的正误. 【详解】选项A: 时，可化为， 此时，C是椭圆，其焦点在y轴上，判断正确； 选项B: 时分为两种情况： ① 时，可化为 此时，C是双曲线，其渐近线方程为，判断正确； ② 时，可化为 此时，C是双曲线，其渐近线方程为，判断正确； 选项C: 时，可化为 此时C是圆，其半径是，不是，判断错误； 选项D: 时，可化为 即或，此时C是两条直线，判断正确. 故选：C 14.【多选】（2024·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）对于曲线C：，则下列说法正确的有（    ） A．曲线C可能为圆 B．曲线C不可能为焦点在y轴上的双曲线 C．若，则曲线C为椭圆 D．若，则曲线C为双曲线 【答案】BCD 【详解】当曲线C为圆时，则，无解，故错误； 当曲线C为焦点在y轴上的双曲线时，则，无解，故正确； 若，则，，此时曲线C是椭圆，故正确； 若曲线C为双曲线，则，解得，故正确． 故选． 15.【多选】（2023秋·浙江湖州·高二统考期末）已知曲线的方程为，则（    ） A．曲线可以表示圆 B．曲线可以表示焦点在轴上的椭圆 C．曲线可以表示焦点在轴上的椭圆 D．曲线可以表示焦点在轴上的双曲线 【答案】CD 【详解】对A，若曲线表示圆，则有，无解，A错； 对BC，若曲线表示椭圆，则有，此时，则曲线表示焦点在轴上的椭圆，C对B错； 对D，若曲线表示双曲线，则有，此时，此时曲线表示焦点在轴上的双曲线，D对. 故选：CD. （二）根据双曲线方程求参数 16．（2024·全国·高三对口高考）若曲线表示双曲线，那么实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由方程表示双曲线求解实数k的取值范围即可. 【详解】曲线表示双曲线，所以即可. 解得或， 所以实数k的取值范围是：. 故选：B. 17.（2024·内蒙古兴安盟·高二乌兰浩特市第四中学校考阶段练习）已知曲线是双曲线，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为曲线是双曲线， 所以，解得：， 所以实数的取值范围是， 故选：. 18．（2023秋·高二课时练习）“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用方程为表示双曲线的条件，求得的取值范围，再根据充分条件和必要条件的定义判断条件和结论的关系. 【详解】因为方程表示双曲线， 所以， 解得或， 因为由可推出或，，但是由或，不能推出， 所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件， 故选：A. 19．（2023秋·高二课时练习）若，则“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用方程为表示双曲线的条件，求得的取值范围，再根据充分条件和必要条件的定义判断条件和结论的关系. 【详解】因为方程表示双曲线， 所以， 解得或， 因为由可推出或，但是由或不能推出， 所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件， 故选：A 20．（2023秋·高二课时练习）已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据焦点在轴上的双曲线方程的特征可得答案. 【详解】由题意得，解得，即. 故选：A. 21.（2024·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）已知，则“”是“方程表示双曲线”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若方程表示双曲线，则，即， 由能推出，必要性成立， 由不能推出，充分性不成立， 故“”是“方程表示双曲线”的必要不充分条件. 故选：B. 22．（2024·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）已知表示焦点在轴上的双曲线有个，表示焦点在轴上的椭圆有个，则的值为（    ） A．10 B．14 C．18 D．22 【答案】D 【分析】根据方程表示双曲线或椭圆的类型，确定参数的取值，确定m和n的值，即可得答案. 【详解】由题意表示焦点在轴上的双曲线，则， 故b的取值可取，a可取，故， 表示焦点在轴上的椭圆，则， 则可取， 即，故， 故选：D 23．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期末）设m为实数，若方程表示焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据焦点在x轴上的双曲线的方程特征列出不等式，从而可得答案. 【详解】因为方程表示焦点在x轴上的双曲线， 所以，解得. 故选：D. 24．（2024·上海徐汇·高二上海市徐汇中学校考期中）方程表示焦距为的双曲线，则实数λ的值为（    ） A．1 B．-4或1 C．-2或-4或1 D．-2或1 【答案】A 【分析】分类讨论和分别小于0时的情况，即可得到实数λ的值 【详解】解：由题意 在双曲线中，焦距即 当即时， 解得：（舍）或 当即时， 解得：（舍）或（舍） 综上， 故选：A. 题型三 求双曲线的标准方程 25．（2024·全国·高三专题练习）已知P是平面上的动点，且点P与的距离之差的绝对值为．设点P的轨迹为曲线E．求曲线E的方程； 【答案】 【分析】 根据题意得到，结合双曲线的定义，即可求解； 【详解】 依题意，P是平面上的动点，且点与的距离之差的绝对值为． 即， 根据双曲线的定义，可得点的轨迹E是以为焦点的双曲线， 其中，所以，则， 所以轨迹的方程为． 26．（2024·广西南宁·高二校联考开学考试）设椭圆的离心率为，焦点在轴上且长轴长为26，若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆和双曲线中的关系，结合双曲线定义可解. 【详解】在椭圆中，由题知，解得， 所以椭圆的焦点为，， 因为曲线上的点到，的距离的差的绝对值等于8，且， 所以曲线是以，为焦点，实轴长为8的双曲线， 所以曲线的虚半轴长为， 故的标准方程为：. 故选：A. 27．（2023秋·高二课时练习）已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求得，，得到，进而求得双曲线的标准方程. 【详解】由椭圆，可化为标准方程，可得， 因为双曲线与椭圆有公共的焦点，所以， 又因为双曲线过点，可得，则， 所以双曲线的标准方程为. 故选：B. 28．（2024·全国·校联考三模）若双曲线与双曲线有相同的焦距，且过点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】利用待定系数法，分焦点在轴上和焦点在轴上两种情况，分别设出双曲线的标准方程，再利用条件建立方程，即可求出结果. 【详解】因为和有相同的焦距，又双曲线的焦距为，所以双曲线的焦距，又过点， 当的焦点在x轴上，设双曲线的方程为， 若将点代入，得①， 又②，联立①②两式得，，所以双曲线的标准方程为. 当的焦点在y轴上，设双曲线的方程为，将点代入，得③，又④， 联立③④两式得，，所以双曲线的标准方程为， 综上所述，双曲线的标准方程为或. 故选：C. 29．（2023秋·浙江杭州·高二杭州市长河高级中学校考期末）已知双曲线经过点，且与椭圆有相同的焦点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆方程可求出焦点，将代入双曲线，结合，解方程即可求解. 【详解】椭圆焦点为， 双曲线焦点为，且， 将代入双曲线， 得， 又， 解得，， 故双曲线的方程为， 故选：D. 30．（2024·河南洛阳·高二校联考阶段练习）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，，点P在双曲线的右支上，若， 则双曲线C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合双曲线的焦距的概念和双曲线的定义列方程求，可得双曲线方程. 【详解】设双曲线的半焦距为， 因为，所以， 由双曲线定义可得，又， 所以， 所以， 所以，， 双曲线的方程为 故选：D. 31．（2024·河南安阳·统考二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，，P为C上一点，的中点为Q，为等边三角形，则双曲线C的方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出，利用题干条件得到，，由双曲线定义得到方程，求出，进而得到，，求出双曲线方程. 【详解】设双曲线C的半焦距为．由题可知，即． 因为的中点为Q，为等边三角形， 所以，所以，， 故，所以，， 所以，所以，所以，． 所以双曲线C的方程为． 故选：A 32.（2024·全国·高三专题练习）2023年3月27日，贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛总决赛火爆开赛，被网友称为“村BA”.从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，，视AD所在直线为x轴，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：依题意，设双曲线方程为， 因为，则， 显然圆O的半径为3， 又因为坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分， 双曲线与圆O交于第一象限内的点为， 于是，解得， 所以双曲线的方程为. 故选：A 题型四 利用双曲线定义求点到焦点距离及最值 33.（2024·高二课时练习）已知双曲线在左支上一点M到右焦点的距离为18，N是线段的中点，O为坐标原点，则等于（    ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】A 【详解】因为双曲线左支上的点M到右焦点的距离为18， 所以M到左焦点的距离， N是的中点，O是的中点，所以. 故选：A. 34.（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线的左焦点为，点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为（    ） A．5 B． C．7 D．8 【答案】C 【详解】记双曲线的右焦点为，所以， 当且仅当点为线段与双曲线的交点时，取到最小值． 故选：C． 35.（2024·湖南株洲·高二株洲二中校考阶段练习）双曲线的左､右焦点是、，点在双曲线上，若，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】在双曲线中，，，，设点，易知， 若点在双曲线的右支上，则， ， 由双曲线的定义可得，可得，不合乎题意； 若点在双曲线的左支上，则， ， 由双曲线的定义可得，可得，合乎题意. 综上所述，. 故选：A. 36.（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）已知是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，若，则（    ） A．1或9 B．3或7 C．9 D．7 【答案】C 【详解】解：由题知，， 因为在双曲线上，且， 所以，点在双曲线靠近的那支上，由双曲线定义知，故； 所以， 故选：C 37.（2024·高二课时练习）是双曲线=1的右支上一点，M、N分别是圆和=4上的点，则的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【详解】   则 故双曲线的两个焦点为, ,也分别是两个圆的圆心,半径分别为, 则的最大值为 故选：D 38.（2024·高二课时练习）若点在曲线上，点在曲线上，点在曲线上，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在双曲线中，，，，易知两圆圆心分别为双曲线的两个焦点， 记点、，当取最大值时，在双曲线的左支上， 所以，. 故选：B. 题型五 利用双曲线定义求双曲线中线段和差最值 39.（2024·高二课时练习）已知双曲线的左右焦点分别为､，为双曲线右支上一点，点的坐标为，则的最小值为 . 【答案】/ 【详解】   由双曲线方程知：，，，则，， 由双曲线定义知：， （当且仅当在线段上时取等号）， 又，. 故答案为：. 40．（2024·四川内江·高二威远中学校校考期中）已知F是双曲线C：的右焦点，P是C的左支上一点，，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义得，利用平面几何的知识，两点间线段最短，即可求出最值. 【详解】由双曲线方程可知，，，故右焦点，左焦点， 当点在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知，所以， 从而，又为定值， 所以，此时点在线段与双曲线的交点处（三点共线距离最短）， 故选：B. 41．（2024·四川成都·高二校考阶段练习）已知，双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线左支上一点，则的最小值为（　　） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】C 【分析】根据双曲线的方程，求得焦点坐标，由双曲线的性质，整理，利用三角形三边关系，可得答案. 【详解】由双曲线，则，即，且， 由题意， ， 当且仅当共线时，等号成立. 故选：C. 42.（2024·全国·高三专题练习）已知点，双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上运动.当的周长最小时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由双曲线得到,,，左焦点， 设右焦点.当的周长最小时，取到最小值，所以只需求出的最小值即可. ===. 故选：C. 43．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线的左焦点为，点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为（    ） A．5 B． C．7 D．8 【答案】C 【分析】由双曲线定义等于到右焦点的距离，而的最小值是（是圆半径），由此可得结论． 【详解】记双曲线的右焦点为，所以， 当且仅当点为线段与双曲线的交点时，取到最小值． 故选：C． 44.（2024·全国·高三专题练习）过双曲线的左焦点F作圆的一条切线（切点为T），交双曲线右支点于P，点M为线段FP的中点，连接MO，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】如图所示，连接,设双曲线的右焦点为，连接，则， 由， 因为，所以， 设，则，． 可得函数在上单调递减，所以，即， 故的最大值为． 故答案为：． 45．（2024·全国·高三专题练习）设，为双曲线C：的左、右焦点，Q为双曲线右支上一点，点P（0，2）．当取最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合双曲线定义数形结合判断取最小值时，三点共线，联立直线及双曲线方程解出Q的坐标为，即可求解的值. 【详解】由双曲线定义得, 故 如图示，当三点共线，即Q在M位置时，取最小值， ，故方程为， 联立，解得点Q的坐标为 (Q为第一象限上的一点)， 故 故选：A 46.（2024·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考阶段练习）已知，双曲线C：的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若C为双曲线右焦点C(3,0)，则，|AC|=5, 而，仅当共线且在之间时等号成立， 所以，当共线且在之间时等号成立. 故选：D 47.（2023秋·湖北·高二统考期末）已知双曲线的左焦点为，M为双曲线C右支上任意一点，D点的坐标为，则的最大值为（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】设双曲线C的实半轴长为，右焦点为， 所以， 当且仅当M为的延长线与双曲线交点时取等号. 故选：C． 48．（2024·陕西西安·西安一中校联考模拟预测）设点P是圆上的一动点，，，则的最小值为（    ）． A． B． C．6 D．12 【答案】B 【分析】设，根据双曲线的定义，将题意转化为双曲线与圆有公共点，再联立双曲线与圆的方程，根据二次方程有解结合判别式求解即可. 【详解】设， 则点P的轨迹为以A，B为焦点，为实轴长的双曲线的上支， ∴点P的轨迹方程为，依题意，双曲线与圆有公共点， 将圆的方程代入双曲线方程得， 即， 判别式，解得， 当时，，且， ∴等号能成立．∴． 故选：B 49．（2024·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考阶段练习）已知，双曲线C：的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线定义及三角形三边关系判断最大时的位置关系，即可得结果. 【详解】若C为双曲线右焦点C(3,0)，则，|AC|=5, 而，仅当共线且在之间时等号成立， 所以，当共线且在之间时等号成立. 故选：D 50．（2024·青海西宁·统考二模）设双曲线的左焦点为，点为双曲线右支上的一点，且与圆相切于点，为线段的中点，为坐标原点，则（    ） A．- B．-1 C．- D．-2 【答案】B 【分析】依题意作出曲线图形，点P在双曲线右支上，由双曲线定义，即可得解. 【详解】由题意可知：双曲线焦点在x轴上，a=3，b=4，c=5， 设双曲线的右焦点F2（5，0），左焦点F（﹣5，0）， 由OM为△PFF1中位线，则丨OM丨=丨PF2丨， 由PF与圆x2+y2=9相切于点N，则△ONF为直角三角形， ∴丨NF丨2=丨OF丨2﹣丨ON丨2=25﹣9=16， 则丨NF丨=4，∴丨MN丨=丨MF丨﹣丨NF丨=丨MF丨﹣4， 由丨MF丨=丨PF丨， ∴|MN|﹣|MO|=丨PF丨﹣4﹣丨PF2丨=（丨PF丨﹣丨PF2丨）﹣4=×2a﹣4=-1， ∴|MN|﹣|MO|=-1， 故选：B． 51.（2024·山东泰安·统考二模）已知双曲线，其一条渐近线方程为，右顶点为A，左，右焦点分别为，，点P在其右支上，点，三角形的面积为，则当取得最大值时点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则由三角形的面积为可得，即，又双曲线一条渐近线方程为，故，即，故，故，解得，故，双曲线. 又由双曲线的定义可得，当且仅当共线且在中间时取得等号. 此时直线的方程为，即，联立可得，解得，由题意可得在中间可得，代入可得，故. 故选：B 52．（2024·青海玉树·统考模拟预测）已知，为双曲线的左、右焦点，点P是C的右支上的一点，则的最小值为（    ） A．16 B．18 C． D． 【答案】A 【分析】利用双曲线的定义表示，结合基本不等式求解最小值. 【详解】因为，为双曲线的左、右焦点，P是C的右支上的一点， 所以， 所以 ，当且仅当，即时，等号成立； 因为，所以，所以成立，的最小值为16. 故选：A. 53．（2024·全国·高三专题练习）已知，分别是双曲线的左右焦点，且C上存在点P使得，则a的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据双曲线的定义结合条件可得，，进而可得，即得. 【详解】因为，双曲线， 又， 所以，， 又， 解得， 即a的取值范围是. 故答案为：. 题型六 双曲线的焦点三角形 54．（2024·福建福州·高二校联考期中）设P是双曲线上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|=9，则|PF2|等于（    ） A．1 B．17 C．1或17 D．8 【答案】B 【分析】先求出P点的位置，再根据双曲线的定义求解. 【详解】对于 ， ，所以P点在双曲线的左支，则有 ； 故选：B. 55．（2024·四川达州·统考二模）设，是双曲线C：的左、右焦点，过的直线与C的右支交于P，Q两点，则（    ） A．5 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】由双曲线的定义知，，则，即可得出答案. 【详解】双曲线C：，则，， 由双曲线的定义知：，， ， 所以 . 故选：C. 56．（2024·全国·高三对口高考）设，分别是双曲线的左、右焦点．若点P在双曲线上，且，则_________，_________； 【答案】 【分析】由得为直角三角形，由可求出；根据双曲线的定义以及勾股定理可求出. 【详解】因为，所以，则为直角三角形， 所以(为原点)， 又，，所以，， 所以. 不妨设点在双曲线的右支上，则，① 又，② 联立①②解得，， 所以. 故答案为：；. 57．（2024·四川遂宁·高二统考期末）设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，且，则的大小为__________． 【答案】/ 【分析】根据双曲线方程求出、、，再由双曲线的定义求出、，最后由余弦定理计算可得. 【详解】因为双曲线，则，，所以， 因为为双曲线右支上一点，所以，又， 所以，，， 由余弦定理， 即，解得，又， 所以. 故答案为： 58．（2023秋·高二课时练习）若是双曲线的左、右焦点，点在该双曲线上，且是等腰三角形，则的周长是________. 【答案】16 【分析】根据条件首先可得，然后可得，即可求出周长. 【详解】双曲线的标准方程为，所以， 因为是等腰三角形，不设在双曲线的右支上，则， 所以，所以的周长为6+6+10=16 故答案为：. 59.（2024·四川资阳·高二统考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线经过且与的右支相交于A，B两点，若，则的周长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【详解】双曲线的实半轴长， 由双曲线的定义，可得 所以， 则三角形的周长为. 故选：B 60．（2024·上海徐汇·高二上海市徐汇中学校考期中）已知双曲线，、是其两个焦点，点M在双曲线上，若，则的面积为______． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用双曲线定义、余弦定理求出，再利用三角形面积公式计算作答. 【详解】双曲线的实半轴长，半焦距，有， 在中，由余弦定理得， 即有， 因此，解得， 所以的面积为. 故答案为：    61.（2024·福建莆田·高二莆田一中校考阶段练习）设，分别是双曲线的左右焦点，过作轴的垂线与交于，两点，若为正三角形，则的面积为（    ） A． B．4 C． D．3 【答案】A 【详解】∵为正三角形， 设，则，，又双曲线， 则根据双曲线定义得， ∴，即等边三角形的边长为4， 故的面积为. 故选：A. 62．（2023秋·高二课时练习）已知点F1，F2分别是双曲线=1的左、右焦点，若点P是双曲线左支上的点，且，则△的面积为____. 【答案】16 【分析】由双曲线的定义可知，，再在△中利用由余弦定理可求出，从而求出△的面积． 【详解】双曲线，所以，，所以，，    是双曲线左支上的点，，， 在△中，由余弦定理得， ， △的面积为. 故答案为：. 63．（2024·江西·高二临川一中校联考阶段练习）已知点分别为双曲线的左､右焦点，过点的直线交双曲线的右支第一象限于点，若的内切圆的半径为1，则直线的斜率为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】利用双曲线的焦点三角形的内切圆的性质，圆心在实轴上的射影点就是双曲线对应的顶点，从而构造直角三角形，结合正切的二倍角公式求解. 【详解】如图，设的内切圆的圆心为，内切圆与三边相切于，    ， 所以，即的内切圆与轴相切于右顶点，即双曲线的右顶点为， 设直线的倾斜角为，即，则由内切圆的性质可知轴， 所以在中，， 所以， 故选：B. 64．【多选】（2023秋·高二课时练习）双曲线的方程为，左、右焦点分别为，过点作直线与双曲线的右半支交于点，，使得，则（    ） A． B．点的横坐标为 C．直线的斜率为或 D．的内切圆半径是 【答案】BCD 【分析】根据双曲线的定义得到方程组，求出、，即可判断A，再由等面积法求出，代入双曲线方程求出，即可判断B，再求出直线的斜率，即可判断C，利用等面积法求出内切圆的半径，即可判断D； 【详解】解：如图所示，由题意知，解得，故A不正确； 在中，由等面积法知，解得， 代入双曲线方程得，又因为点在双曲右支上，故，故B正确； 由图知，， 由对称性可知，若点在第四象限，则，故C正确； 的内切圆半径 ，故D正确． 故选：BCD． 65．【多选】（2023秋·高二校考课时练习）已知点在双曲线上，分别是左､右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（    ） A．点到轴的距离为 B． C．为钝角三角形 D． 【答案】BC 【分析】根据双曲线的方程、定义与性质，结合三角形的面积求出P的坐标，结合两点的距离公式、斜率公式以及余弦定理，对选项逐一判断即可． 【详解】设点．因为双曲线，所以． 又，所以，故A错误． 将代入得，得． 由双曲线的对称性，不妨取点P的坐标为，得． 由双曲线的定义得，所以，故B正确． 在中，，且， 则为钝角，所以为钝角三角形，故C正确． 由余弦定理得，所以，故D错误． 故选：BC． 66．【多选】（2023秋·云南·高三校联考阶段练习）已知，分别是双曲线C：的左、右焦点，P是C上一点，且位于第一象限，，则（    ） A．P的纵坐标为 B． C．的周长为 D．的面积为4 【答案】ABD 【分析】结合、双曲线的定义、三角形的面积和周长等知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意， 因为，所以. 由双曲线的定义可得①，两边平方得， 即，解得， 故的面积为，D正确. 设P的纵坐标为h，的面积，解得，A正确. ，解得②， 的周长为，C错误. ①＋②可得，B正确. 故选：ABD 67.（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上一点，为的内切圆上一点，则取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设的内切圆与相切于,圆心为, 由切线长的性质以及双曲线定义可得， 又，因此，所以, 设角,且为锐角，由于， 所以， 为内切圆的半径，不妨设， 故在中，， , 当共线时，此时， 当方向相同时，，当方向相反时，， 因此, 故选：C 题型七 双曲线的轨迹方程 68.（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，设动点的轨迹为曲线.求曲线的方程； 【答案】 【详解】 由题设得， 即， 整理得. 所以曲线的方程为. 69.（2024·高二课时练习）已知中的两个顶点是，边与边所在直线的斜率之积是，求顶点的轨迹． 【答案】去掉顶点的双曲线 【详解】解：设点，因为中的两个顶点是， 所以，， 因为边与边所在直线的斜率之积是， 所以，整理得 所以，顶点的轨迹方程为， 所以，顶点的轨迹是以为焦点，实轴为，且去掉顶点的双曲线. 70.（2024·全国·高三专题练习）如图，动点与两定点、构成，且直线的斜率之积为，设动点的轨迹为．求轨迹的方程； 【答案】（） 【分析】 设，当时，直线的斜率不存在； 当时，直线的斜率不存在． 于是且.此时，的斜率为，的斜率为. 由题意，有，化简可得， 故动点的轨迹的方程为（） 71．（2023秋·高二课时练习）求下列动圆的圆心的轨迹方程： (1)与圆和圆都内切； (2)与圆内切，且与圆外切； (3)在中，，，直线，的斜率之积为，求顶点的轨迹方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）依题意可得，根据双曲线的定义可知圆心的轨迹是以点、分别为上、下焦点的双曲线的下支，即可求出其轨迹方程； （2）依题意可得，根据双曲线的定义可知圆心的轨迹是以点、分别为左、右焦点的双曲线的左支，即可求出其轨迹方程； （3）设根据斜率公式得到方程，整理可得. 【详解】（1）圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 因为，则圆与圆外离， 设圆的半径为，由题意可得，所以， 所以圆心的轨迹是以点、分别为上、下焦点的双曲线的下支， 设圆心的轨迹方程为， 由题意可得，则，， 因此圆心的轨迹方程为.    （2）圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 因为，则圆与圆外离， 设圆的半径为，由题意可得，所以， 所以圆心的轨迹是以点、分别为左、右焦点的双曲线的左支， 设圆心的轨迹方程为， 由题意可得，则，， 因此圆心的轨迹方程为.    （3）设，则，， 根据题意有， 化简得 ∴顶点的轨迹方程为.    72．（2024·全国·高三专题练习）已知圆M：上动点Q，若，线段QN的中垂线与直线QM交点为P．求交点P的轨迹C的方程； 【答案】 【分析】数形结合，由双曲线定义可得. 【详解】 由题知，所以 由双曲线定义可知点P的轨迹为双曲线，其中，得曲线C的方程 73．（2023秋·湖北·高二赤壁一中校联考期末）已知圆，为圆心，为圆上任意一点，定点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆的性质，线段垂直平分线的性质，结合双曲线的定义进行求解即可． 【详解】解：因为线段的垂直平分线与直线相交于点， 所以有，由圆，得，该圆的半径， 因为点在圆上运动时， 所以有，于是有， 所以点的轨迹是以，为焦点的双曲线， 所以，，可得，所以， 所以点的轨迹方程为. 故选：B． 74．（2024·全国·高三对口高考）已知动圆P过点，且与圆外切，则动圆P圆心的轨迹方程为______. 【答案】， 【分析】设动圆的半径为，则有，再由两圆外切得到，进而得到，再利用双曲线的定义求解. 【详解】定圆的圆心为，与关于原点对称， 设动圆的半径为，则有，因为与圆外切， 所以，即， 所以点的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的左支， 则，，， 所以轨迹方程为，，即，. 故答案为：， 75．（2024·全国·高三专题练习）已知圆：，圆：，圆与圆、圆外切，求圆心的轨迹方程 【答案】 【分析】 根据圆C与圆A、圆B外切，得到，再利用双曲线的定义求解. 【详解】 因为圆C与圆A、圆B外切，设C点坐标，圆C半径为， 则，，所以， 所以点的轨迹是双曲线的一支， 又，，， 所以其轨迹方程为. 76．（2023秋·天津北辰·高二天津市第四十七中学校考阶段练习）已知的两个顶点A，B的坐标分别是、，且，所在直线的斜率之积等于2，则顶点C的轨迹方程是（    ） A．（） B． C． D．（） 【答案】A 【分析】首先设点，根据条件列式，再化简求解. 【详解】设，， 所以，整理为：，， 故选：A 77．（2024·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点．当点运动时，点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线与双曲线相切，推出，，再求出,消去可得结果. 【详解】因为双曲线与直线有唯一的公共点， 所以直线与双曲线相切， 联立，消去并整理得， 所以，即， 将代入，得， 得，因为，，所以， 所以，，即， 由可知， 所以过点且与垂直的直线为， 令，得，令，得， 则，， 由，得，， 代入，得，即， 故选：D 题型八 双曲线的实际应用 78．（2024·北京海淀·高三101中学校考阶段练习）地震预警是指在破坏性地震发生以后，在某些区域可以利用“电磁波”抢在“地震波”之前发出避险警报信息，以减小相关预警区域的灾害损失.根据Rydelek和Pujol提出的双台子台阵方法，在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.在一次地震预警中，两地震台站和站相距.根据它们收到的信息，可知震中到站与震中到站的距离之差为.据此可以判断，震中到地震台站的距离至少为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设震中为，根据双曲线的定义以及可求出结果. 【详解】设震中为，依题意有，所以点的轨迹是以为焦点的双曲线靠近的一支， 因为，当且仅当三点共线时，取等号， 所以,所以， 所以震中到地震台站的距离至少为. 故选：A 79．（2024·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考期中）单叶双曲面是最受设计师青睐的结构之一，它可以用直的钢梁建造，既能减少风的阻力，又能用最少的材料来维持结构的完整.如图1，俗称小蛮腰的广州塔位于中国广州市，它的外形就是单叶双曲面，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.某市计划建造类似于广州塔的地标建筑，此地标建筑的平面图形是双曲线，如图2，最细处的直径为 ，楼底的直径为，楼顶直径为，最细处距楼底 ，则该地标建筑的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，设双曲线的方程是， 由已知可得 ，将点坐标代入解得 的值，从而得到双曲线的方程，最后利用双曲线的方程 解得 的坐标即可求得地标建筑的高. 【详解】解：以地标建筑的最细处所在直线为 轴，双曲线的虚轴为 轴，建立平面直角坐标系如图所示. 由题意可得：，， 设，双曲线的方程是， 则，解得 ， 所以双曲线的方程是：， 将点代入得， 解得， 所以该地标建筑的高为： . 故选： . 80．（2024·福建泉州·校联考模拟预测）费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质．例如，点P为双曲线（，为焦点）上一点，点P处的切线平分．已知双曲线C：，O为坐标原点，l是点处的切线，过左焦点作l的垂线，垂足为M，则______． 【答案】2 【分析】延长交延长线于点，结合题意得点为的中点，，从而得到，再结合双曲线的定义即可求解． 【详解】如图，延长交延长线于点， 因为点是的角平分线上的一点，且， 所以点为的中点，所以， 又点为的中点，且， 所以． 故答案为：2． $$