2024年全国高中数学联合竞赛一试模拟测试(1)

2024年全国高中数学联合竞赛模拟测试(1) 含答案 一试 姓名：___________________ 成绩：___________________ （一试满分120分，答题时间80分钟，问答同卷，答题须答在规定的答题区域内） 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1． 已知M是集合A＝{1,2,…,100}的子集，且M中至少含有一个完全平方数．则这样的集合M的个数是_________． 2． 在锐角三角形ABC中，BC＝2，∠B＝2∠A，则AC的取值范围是_________． 3． 若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值集合为_________． 4． 从1,2,...,n中随机抽一个数记为X，再从1,2,...,X中随机抽一个数记为Y，则Y的数学期望E(Y)＝_________． 5． 在单位圆上随机选取三点，则该三点构成一个锐角三角形的概率为_________． 6． 已知定义在{z∈C||z|＜1}上的函数f(z)＝z2＋az＋a（a∈C）是单射，则|f(a)|的取值范围是_________． 7． 已知圆锥曲线过某三角形的内心和三个旁心，则该圆锥曲线的离心率是_________． 8． 已知a,b,c∈Q＋，a,b∈N，若a＋,b＋,c＋∈N，则a＋b＋c＝_________．/ 得分 阅卷人 填空题答题区： 1．_____________ 2．_____________ 3．_____________ 4．_____________ 5．_____________ 6．_____________ 7．_____________ 8．_____________ 得分 阅卷人 二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．已知α,β为第一象限角，sinα＋sinβ＝m，cosα＋cosβ＝n，求tanα＋tanβ．（16分） 【本页为第9题答题区】 得分 阅卷人 10．求最小的t＞0，使得存在正项数列{an}满足：对任意正整数n，都有a1＋a2＋…＋an+1≤tan．（20分） 【本页为第10题答题区】 得分 阅卷人 11．设互不相等的复数α,β,γ满足α＋β＋γ＝αβ＋βγ＋γα＝αβγ＝1，求|α－z|＋|β－z|＋|γ－z|（z∈C）的最小值．（20分） 【本页为第11题答题区】 2024年全国高中数学联合竞赛模拟测试(1) 一试 参考答案 一、填空题（每小题8分，满分64分）． 1．288(212－1) 2．(2, 2) 3．{1,2,3,4} 4． 5． 6．(10,＋∞) 7． 8．或 二、解答题（共3小题，满分56分）． 9．已知α,β为第一象限角，sinα＋sinβ＝m，cosα＋cosβ＝n，求tanα＋tanβ．（16分） 由(sinα＋sinβ)2＋(cosα＋cosβ)2＝2cos(α－β)＋2＝m2＋n2得cos(α－β)＝－1①，由二倍角公式cos(α－β)＝2cos()2－1，解得cos()＝， 再由和差化积得(cosα＋cosβ)＝cos()cos()，代入解得cos()＝，再由二倍角公式，cos(α＋β)＝2cos()2－1＝②， 而，得，所以tanαtanβ＝＝＝， 再由和差化积得tan()＝＝，由二倍角公式tan(α＋β)＝得tan(α＋β)＝， 由和角公式tan(α＋β)＝得tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)＝(1－)＝． 故tanα＋tanβ＝．（数值对即可 对化简不作要求） 10．求最小的t＞0，使得存在正项数列{an}满足：对任意正整数n，都有a1＋a2＋…＋an+1≤tan．（20分） t的最小值为4，理由如下： ①当t＝4时，构造{an}：an＝2n，则a1＋a2＋…＋an+1＝2n+2－2＜2n+2＝4an，符合题意． ②下证t≥4：令Sn＝a1＋a2＋…＋an，则Sn+1≤t(Sn－Sn-1)，n≥2，则Sn≥Sn-1＋Sn+1≥，即Sn2≥Sn-1Sn+1，即≤·．现假设0＜t＜4，则0＜＜1，则有 1＜≤·≤…≤()n-1· 而＝0，与上式矛盾，故0＜t＜4不成立，即t≥4． 综上所述，t的最小值为4． 11．设互不相等的复数α,β,γ满足α＋β＋γ＝αβ＋βγ＋γα＝αβγ＝1，求|α－z|＋|β－z|＋|γ－z|（z∈C）的最小值．（20分） 由αβγ＝1得αβ＝，则αβ＋βγ＋γα＝＋(α＋β)γ＝1，得α＋β＝，所以α＋β＋γ＝＋γ＝1，整理得γ3＋γ－2＝0，因式分解得(γ－1)(γ2＋γ＋2)＝0，由对称性，α,β也为该方程的解，又α,β,γ互不相等，故α,β,γ为该方程互不相等的三根．解得α＝1，β＝－＋i，γ＝－－i． 对z∈C，|α－z|＋|β－z|＋|γ－z|的几何意义为复平面中的动点Z到A,B,Γ的距离之和，考虑费马点模型，构造正△BΓW，其中W在实轴负半轴上，易求得w＝－－，将△BZΓ绕点B顺时针旋转得到△BZ’W，易证△BZZ’为正△，故|AZ|＋|BZ|＋|ΓZ|＝|AZ|＋|ZZ’|＋|WZ|≥|AW|＝＋，即原式最小值为＋． 故|α－z|＋|β－z|＋|γ－z|（z∈C）的最小值为＋． 高联模拟(1)一试 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$