拓展1-2 空间向量与立体几何的六个易错点分析-2024-2025学年高二第一学期数学重难点突破及易错点分析（人教A版）

拓展1-2空间向量与立体几何的六个易错点分析 一、涉及向量夹角忽略方向 四、混淆异面直线夹角与向量夹角 二、忽略题意导致建系错误 五、混淆线面夹角与向量夹角 三、证明平行、垂直关系时出现混乱 六、混淆两个平面的夹角与二面角 一、涉及向量夹角忽略方向 易错分析：向量夹角，需两个向量起点相同 例1．已知正四面体，底面边长为2，侧棱中点为E，则 ． 变式1-1．若空间向量，，向量、夹角为锐角，则的取值范围是 变式1-2．在三棱锥中，和都是等边三角形，，，为棱上一点，则的最小值是 ． 变式1-3．如图，在空间四边形ABCD中，，，，，. (1)求； (2)求CD的长. 二、忽略题意导致建系错误 易错分析：一定要满足轴，轴，轴两两垂直，要根据题意进行找条件，切勿凭感觉建系 例2．在三棱锥中，平面平面是的中点.，则直线与平面所成角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 变式2-1．如图1，在边长为2的正方形中，为的中点，分别将，沿，所在直线折叠，使、两点重合于点，如图2.在三棱锥中，为的中点. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 变式2-2．如图，在四棱锥中，平面平面.    (1)证明：平面； (2)若到的距离为，点为线段的中点，设平面与平面的交线为，求直线与平面所成角的正弦值. 变式2-3．如图，在四棱台中，，，，，. (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 三、证明平行、垂直关系时出现混乱 易错分析：设分别是直线l的方向向量,分别是平面的法向量． ①证明线面平行：；②证明线面垂直：使得 ③证明面面平行：使得；④证明面面垂直： 例3．如图，在正方体中，，则下列结论中正确的是（    ） A．平面 B．平面平面 C．平面 D．平面内存在与平行的直线 变式3-1．（多选）如图，平行六面体的棱长均相等，，则（    ）    A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 变式3-2．如图，在直三棱柱中，，，，点E在线段上，且，分别为、、的中点.求证：    (1)平面平面； (2)平面平面. 变式3-3．如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为的中点，为中点．求证：平面． 四、混淆异面直线夹角与向量夹角 例4．如图所示，正四面体的高VD的中点为O，VC的中点为M． (1)求证：AO、BO、CO两两垂直； (2)求异面直线DM与AO所成角的大小． 变式4-1．如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，G在棱CD上，且，H是的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题： (1)求证：； (2)求异面直线EF与所成角的余弦值. 变式4-2．四面体ABCD体积为6，，，，求异面直线AD与BC的夹角 变式4-3．已知直三棱柱，各棱长均为，为的中点，为的中点. (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 五、混淆线面夹角与向量夹角 易错分析：若直线与平面所成的角为,直线的方向向量为,平面的法向量为,则。 容易出错的是：①误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角;②误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦,而忘了加绝对值③不清楚线面角的范围。 例5．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，点在棱上，且平面． (1)求证：为中点； (2)求二面角的余弦值； (3)在棱上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值：若不存在，说明理由． 变式5-1．如图，在多面体中，侧面四边形，，是三个全等且两两垂直的正方形，平面平面，E是棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 变式5-2．已知底面是平行四边形，平面，，，，且. (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是.若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 变式5-3．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，平面，，为侧棱的中点.    (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成的角的大小. 六、混淆两个平面的夹角与二面角 易错分析：若两个平面的法向量分别为,若两个平面所成的锐二面角为,则;若两个平面所成二面角为钝角,则 两个平面的夹角范围：，二面角的夹角范围： 例6．如图，点，，分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，已知，，垂足，为两个不同的点，且，设直线与所成的角为，二面角的大小为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 变式6-1．已知是圆锥的底面直径，是底面圆周上的一点，，则二面角的余弦值为 ． 变式6-2．如图，过二面角内一点作于于，若，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 变式6-3．正方体的棱长为4，，分别为棱，的中点，过，，做该正方体的截面，则截面形状为 ，二面角的平面角的余弦值为 . 一、单选题 1．在正方体中，是的中点，是棱上一点，且平面平面，则（    ） A． B． C． D．1 2．在平行六面体中，已知，，则下列选项中错误的一项是（    ） A．直线与BD所成的角为90° B．线段的长度为 C．直线与所成的角为90° D．直线与平面ABCD所成角的正弦值为 3．已知向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．如图，在平行六面体中，已知，，，，则下列说法正确的是 （    ）    A． B． C． D．为钝角三角形 5．已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（    ） A．平面 B．直线与直线为异面直线 C．直线与直线所成的角为 D．平面 三、填空题 6．如图，已知是圆柱下底面圆的圆心，为圆柱的一条母线，为圆柱下底面圆周上一点，，，为等腰直角三角形，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 7．在棱长为的正四面体中，点为平面内的动点，且满足，则直线与直线的所成角的余弦值的取值范围为 . 四、解答题 8．如图，在四棱锥中，底面，，，，，点E为棱PC的中点．证明： (1)平面； (2)平面平面． 9．如图，已知四边形ABCD为矩形，，E为DC的中点，将沿AE进行翻折，使点D与点P重合，且．    (1)证明：； (2)求平面与平面所成角的正弦值． 10．如图，为正方体． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 11．如图，在四棱锥中，平面平面，，四边形为梯形，，，，，，，交于点，点在线段上，且. (1)证明：平面. (2)求二面角的正弦值. 12．如图，在棱长为1的正方体中，E为的中点，F为AB的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 13．如图，矩形所在平面与所在平面垂直，，    (1)证明：平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值是，求异面直线与所成角的余弦值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 拓展1-2空间向量与立体几何的六个易错点分析 一、涉及向量夹角忽略方向 四、混淆异面直线夹角与向量夹角 二、忽略题意导致建系错误 五、混淆线面夹角与向量夹角 三、证明平行、垂直关系时出现混乱 六、混淆两个平面的夹角与二面角 一、涉及向量夹角忽略方向 易错分析：向量夹角，需两个向量起点相同 例1．已知正四面体，底面边长为2，侧棱中点为E，则 ． 【答案】 【详解】因为正四面体，底面边长为2，侧棱PB中点为E， 所以 . 故答案为：. 变式1-1．若空间向量，，向量、夹角为锐角，则的取值范围是 【答案】 【详解】因为向量，，且、夹角为锐角， 所以且与不同向， 当时，则，解得， 当与同向时，则，即，解得， 综上可得或，即的取值范围是. 故答案为： 变式1-2．在三棱锥中，和都是等边三角形，，，为棱上一点，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】如图，设，， 在中，， ，当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 变式1-3．如图，在空间四边形ABCD中，，，，，. (1)求； (2)求CD的长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，，， 所以； （2）因为， 所以 ， 所以. 二、忽略题意导致建系错误 易错分析：一定要满足轴，轴，轴两两垂直，要根据题意进行找条件，切勿凭感觉建系 例2．在三棱锥中，平面平面是的中点.，则直线与平面所成角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于平面平面且交线为，平面，， 所以平面，由于平面，所以， 由于，平面， 所以平面，由此以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 由于，所以， ， 所以， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设直线与平面所成角为， 则. 故选：B    变式2-1．如图1，在边长为2的正方形中，为的中点，分别将，沿，所在直线折叠，使、两点重合于点，如图2.在三棱锥中，为的中点. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【详解】（1）由条件易知，所以， 而平面，所以平面， 又平面，所以； （2） 取的中点，连接，过O作的平行线， 易知，则， 由上可以以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以， 即, 设平面的一个法向量， 有，令，则， 所以， 设直线与平面所成角为， 则. 变式2-2．如图，在四棱锥中，平面平面.    (1)证明：平面； (2)若到的距离为，点为线段的中点，设平面与平面的交线为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：取的中点， 因为，所以， 又平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 又平面，所以， 因为， 所以， 因为，即， 又平面， 所以平面. （2）如图，取的中点， 又为的中点，所以，又， 所以， 所以平面即为平面， 平面平面， 取的中点，连接， 由（1）可知，两两垂直，， 如图建立空间直角坐标系，    则， 设平面的法向量为， 则，即， 取，可得， 设直线与平面夹角为， 直线的方向向量为， ， ， 所以， 则， 故直线与平面夹角的正弦值为. 变式2-3．如图，在四棱台中，，，，，. (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1），，， 在中，， 由余弦定理得， 故，则， 因为棱台，故交于一点，即共面， 又，即，，平面， 所以平面， 因为面，所以， 又，即，， 平面，所以平面，又因为平面， 所以平面平面； 解法二：由棱台的定义，把四棱台的侧棱延长交于点， 得到四棱锥，， 同解法一，可得， 以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系如图， 则，设， 由，则有 所以，即，所以平面，因为平面， 故平面平面，即平面平面； （2）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系如图， ，由， 得，由，得， 所以， 设平面的法向量为， 则， 取， 设直线与平面所成的角为， 则. 三、证明平行、垂直关系时出现混乱 易错分析：设分别是直线l的方向向量,分别是平面的法向量． ①证明线面平行：；②证明线面垂直：使得 ③证明面面平行：使得；④证明面面垂直： 例3．如图，在正方体中，，则下列结论中正确的是（    ） A．平面 B．平面平面 C．平面 D．平面内存在与平行的直线 【答案】C 【详解】因为为正方体，设正方体边长为2， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 同理解得平面的法向量， ，故A不正确； ，故B不正确； ， ，所以， 又，所以平面，C正确； 平面的一个法向量为， ，故D不正确； 故选：C 变式3-1．（多选）如图，平行六面体的棱长均相等，，则（    ）    A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】AC 【详解】对于A，因为，且，所以四边形为平行四边形， 则，平面，平面，所以平面，故A正确； 对于B，因为平行六面体的棱长均相等，所以四边形为菱形，且， 因为， 所以， 所以与不垂直，则与平面不垂直，故B错误； 对于C，因为平行六面体的棱长均相等，所以四边形为菱形，且， 所以，因为， 所以， 所以，因为，平面，所以平面，故C正确； 对于D，因为，平面，且平面，所以与平面不平行，故D错误； 故选：AC 变式3-2．如图，在直三棱柱中，，，，点E在线段上，且，分别为、、的中点.求证：    (1)平面平面； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明：以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系.    则，，，，，. 设，则，，. 因为，，， 所以，. 所以，，即，. 又平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. （2）因为，，， 所以，. 所以，. 因为平面，所以平面. 又由（1）知平面，所以平面平面. 变式3-3．如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为的中点，为中点．求证：平面． 【答案】证明见解析 【详解】如图以为原点，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 所以，则，即， ，则，即， 又，平面， 所以平面． 四、混淆异面直线夹角与向量夹角 例4．如图所示，正四面体的高VD的中点为O，VC的中点为M． (1)求证：AO、BO、CO两两垂直； (2)求异面直线DM与AO所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1） 如图，设，，，连接,延长交于点, 依题意，点为的中心，点为的中点，则, 不妨令正四面体的棱长为1，则有，． 因,则 ，即得， 则 同理可得，， 所以 ． ，即．同理，． 所以AO、BO、CO两两垂直． （2） 因， 故， ， 又． 所以． 故异面直线DM与AO所成角的大小为． 变式4-1．如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，G在棱CD上，且，H是的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题： (1)求证：； (2)求异面直线EF与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图，以D为原点，以射线DA、DC、分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，， 所以，， 所以， 所以，故． （2）因为，所以． 因为，且， 所以． 变式4-2．四面体ABCD体积为6，，，，求异面直线AD与BC的夹角 【答案】或 【详解】建立空间直角坐标系，不妨设，，， 又，所以可设，则，解得，， 此时， ， 因此，， ， 则或， 则或， 所以异面直线AD与BC的夹角为或.    变式4-3．已知直三棱柱，各棱长均为，为的中点，为的中点. (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）如图： 连接与交于点，连接，， 又因为为的中点，所以，， 因为为的中点.所以，， 故，，则四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 所以平面. （2）依题意，以为原点，以为轴，以在平面内垂直于的直线为轴，如图所示， 则， 故， 记异面直线与所成角为，则， 所以， 故异面直线与所成角的余弦值为. 五、混淆线面夹角与向量夹角 易错分析：若直线与平面所成的角为,直线的方向向量为,平面的法向量为,则。 容易出错的是：①误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角;②误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦,而忘了加绝对值③不清楚线面角的范围。 例5．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，点在棱上，且平面． (1)求证：为中点； (2)求二面角的余弦值； (3)在棱上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值：若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在； 【详解】（1）连结交于点，连结，      因为底面是矩形，所以为中点， 因为平面，平面，平面平面, 所以， 又因为为中点，所以为中点. （2）取的中点，连结，， 因为底面为矩形，所以， 因为，为中点，所以，, 所以， 又因为平面平面，平面平面，平面，， 所以平面，所以，所以，，两两垂直， 如图，建立空间直角坐标系，则由题意可得 ，，，，，， 则，，， 由上可知为平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 所以，即， 令，则，，所以， 所以， 如图可知二面角为钝角， 所以二面角的余弦值为， （3）假设在棱上存在点满足题意， 由（2），， 设，则， ， 设与平面所成角为，则， 解得或，因为，故， 所以存在点满足题意，此时. 变式5-1．如图，在多面体中，侧面四边形，，是三个全等且两两垂直的正方形，平面平面，E是棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由多面体中，侧面四边形，，是三个全等且两两垂直的正方形，平面平面， 可把该几何体补成一个正方体，设该正方体的棱长为，如图所示， 以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 可得， 可得， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设直线与平面所成角为，其中， 则， 则，即直线与平面所成角的余弦值为. 故选：B.    变式5-2．已知底面是平行四边形，平面，，，，且. (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是.若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，或. 【详解】（1）证明：在中，，，， 则，可得， 所以，所以. 因为平面，平面，所以， 又因为，平面，平面，所以平面， 因为，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2） 是平行四边形，平面，，，，且. 假设线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是， 以为原点，所在直线分别为x轴、y轴、轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 可得，， 设， 则，所以， 设平面的一个法向量为，则， 令，可得，所以， 设直线与平面所成角的大小为， 故， 整理得，解得或，所以或. 变式5-3．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，平面，，为侧棱的中点.    (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成的角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 又平面， 所以平面，又平面，所以， 因为点M为中点，， 所以，又平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面； （2）以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知可得， 因为平面， 所以，即为平面PCD的一条法向量， ， 设直线与平面所成角为， 则， 又，所以， 即直线与平面所成角的大小为.    六、混淆两个平面的夹角与二面角 易错分析：若两个平面的法向量分别为,若两个平面所成的锐二面角为,则;若两个平面所成二面角为钝角,则 两个平面的夹角范围：，二面角的夹角范围： 例6．如图，点，，分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，已知，，垂足，为两个不同的点，且，设直线与所成的角为，二面角的大小为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】由题意可知，， . 且由图可知二面角为锐角，. 故选：A 变式6-1．已知是圆锥的底面直径，是底面圆周上的一点，，则二面角的余弦值为 ． 【答案】/ 【详解】如图，以点为坐标原点，分别为轴，过点垂直为轴，建立空间直角坐标系， 点为底面圆周上一点，则，又，， ，， ，，，， ，， 设平面的一个法向量为，则， 即，令，得，，， 又易知平面的一个法向量为， ， 如图，锐二面角的余弦值为. 故答案为：.    变式6-2．如图，过二面角内一点作于于，若，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则且， 因为，解得， 可得， 且，所以， 所以二面角的大小为． 故选：C. 变式6-3．正方体的棱长为4，，分别为棱，的中点，过，，做该正方体的截面，则截面形状为 ，二面角的平面角的余弦值为 . 【答案】 五边形； /. 【详解】记上靠近点的三等分点为，上靠近点的三等分点为， 以为原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， ， 因为，所以四点共面，且四点共面， 又两平面有不共线的三个公共点，所以两平面重合， 即过，，做该正方体的截面为五边形. 设平面的法向量为， 则，取，得， 易知平面的一个法向量为， 所以， 记二面角的平面角为，由图可知为钝角， 所以. 故答案为：五边形；. 一、单选题 1．在正方体中，是的中点，是棱上一点，且平面平面，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【详解】如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ， 设，平面的法向量为， 则， 解得，令得， 则， 设平面的法向量为， 则， 令，则，， 故， 由题意得， 解得，故 故选：D 2．在平行六面体中，已知，，则下列选项中错误的一项是（    ） A．直线与BD所成的角为90° B．线段的长度为 C．直线与所成的角为90° D．直线与平面ABCD所成角的正弦值为 【答案】D 【详解】在平行六面体中，令，，， 由，， 得，， 对于，显然，， 则，即， 因此直线与所成的角为，A正确； 对于B，，即，B正确； 对于C，，即， 因此直线与所成的角为，C正确； 对于D，在平行六面体中，四边形是菱形，即， 又，，平面，于是平面， 又平面，则平面平面， 连接交于点，在平面内过点作于点，如图， 由平面平面，因此平面，即直线与平面所成角为， ，则，即， 由及选项C知，，则，D错误. 故选：D 3．已知向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 由，得， 当时，，即，得，解得， ∴当向量的夹角为钝角时，的取值范围为． 故选：D. 二、多选题 4．如图，在平行六面体中，已知，，，，则下列说法正确的是 （    ）    A． B． C． D．为钝角三角形 【答案】ABD 【详解】对于选项A：，故A正确； 对于选项B： , , , ,故B正确； 对于选项C：, 则， ， ， ，故C错误； 对于选项D： ， ， , 故为钝角，故为钝角三角形，故D正确； 故选：ABD. 5．已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（    ） A．平面 B．直线与直线为异面直线 C．直线与直线所成的角为 D．平面 【答案】AD 【详解】对A，连接，因为，所以四边形为平行四边形， 所以，又因为平面，平面，所以平面，故A正确； 对BC，由A知，则两直线共面，则直线与直线不是异面直线，且直线与直线所成的角不是故BC错误； 对D，以为坐标原点，建立如图所示直角坐标系， 则， 则， 则， 则，又因为平面，所以平面. 故选：AD. 三、填空题 6．如图，已知是圆柱下底面圆的圆心，为圆柱的一条母线，为圆柱下底面圆周上一点，，，为等腰直角三角形，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 【答案】 【详解】方法一 ： 如图，过点作交圆柱的上底面于点，连接，， 则由圆柱的性质易证四边形为矩形，所以， 所以或其补角即异面直线与所成的角， 在中，，所以， 因为为等腰直角三角形，且，所以， 所以，又， 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为. 方法二 ： 在中，， 所以，， 因为为等腰直角三角形，且，所以， 易知，所以，，， 所以， 所以， 则异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 7．在棱长为的正四面体中，点为平面内的动点，且满足，则直线与直线的所成角的余弦值的取值范围为 . 【答案】 【详解】记在底面内的投影为，则底面， 又、平面，故、， 则，， 又，则， 所以的轨迹是以为圆心半径为的圆， 建立如下图所示的空间直角坐标系： 设，，， 所以， 所以， 设直线与直线的所成角为， 所以. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. 四、解答题 8．如图，在四棱锥中，底面，，，，，点E为棱PC的中点．证明： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）因为平面ABCD，且平面ABCD，所以， 又因为，且，平面，所以平面， 依题意，以点A为原点，以，，分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 由为棱的中点，得，则， 所以为平面的一个法向量， 又，所以， 又平面，所以平面． （2）由（1）知平面的一个法向量，，， 设平面PCD的一个法向量为，则， 令，可得，所以， 又， 所以，所以平面平面. 9．如图，已知四边形ABCD为矩形，，E为DC的中点，将沿AE进行翻折，使点D与点P重合，且．    (1)证明：； (2)求平面与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：由题知， 所以， 所以为直角三角形，， 因为，， 所以， 所以为直角三角形，， 因为平面， 所以平面，因为平面， 所以； （2）由题知以B为原点建立如图空间直角坐标系，    取AE中点M，由题知，所以， 由（1）知平面，所以， 因为，所以平面， ， ， 设平面PCE的一个法向量为， 则， 由（1）知平面， 所以是平面PAE的一个法向量，， 设平面PAE与平面PCE所成角为θ， 所以， 因此. 10．如图，为正方体． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明详见解析 (2) 【详解】（1）解：如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1， 则 因为 ， 且， 所以 ， 又，平面， 所以 平面； （2）由（1）可知，为平面AB1C的一个法向量， 又， 所以 所以直线B1C1与平面AB1C所成角的正弦值为， 故直线B1C1与平面AB1C所成角的余弦值为 11．如图，在四棱锥中，平面平面，，四边形为梯形，，，，，，，交于点，点在线段上，且. (1)证明：平面. (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）平面平面，且两平面交于，又， 平面. 在中，，，. 且，是等腰直角三角形， ，. ，， 又，为等腰直角三角形，. ，， 又，所以，平面,平面， 平面. （2）由（1）得平面，且，所以建立如图所示空间直角坐标系. 可得，，， 即，. 设平面的法向量为，则， 解得. 平面的法向量为. 设二面角为，所以， 则. 12．如图，在棱长为1的正方体中，E为的中点，F为AB的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【详解】（1）以为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，，，，， 所以，，， ，，． 因为，所以， 又平面，平面， 所以平面． （2）设平面的法向量为， 则，取，则，． 所以，是平面的一个法向量， 又因为平面， 所以为平面的一个法向量， 则， 设平面与平面的夹角为， 则，即平面与平面的夹角的余弦值为． 13．如图，矩形所在平面与所在平面垂直，，    (1)证明：平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值是，求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为四边形为矩形， 所以， 因为，即， 又， 所以， 因为平面平面， 所以平面. （2）由题意可知，平面平面,平面平面, 且, 所以平面, 所以. 因为, 所以平面, 又因为平面，所以. 所以. 如图所示以分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设，且， 则， 所以， 设为平面的法向量， 则，取， 则. 因为平面,则为平面的法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 解得. 即,,, 所以异面直线与夹角余弦值为 .    2 学科网（北京）股份有限公司 $$