专题3.1 列代数式表示数量关系（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题3.1 列代数式表示数量关系（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】代数式的概念 用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式.单独的一个数或字母也是代数式. 【要点提示】 （1） 单个数字与字母也是代数式; （2） 代数式与公式、等式的区别是代数式中不含等号，而公式和等式中都含有等号; （3） 代数式可按运算关系和运算结果两种情况理解. 【知识点二】代数式的书写规则 1.代数式中出现的乘号通常用“”表示或者省略不写; 数与字母相乘时，数应写在字母前面; 数与数相乘时，仍用“”号; 2.带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数后再与字母相乘; 3.在代数式中出现除法运算时，按分数的写法来写; 4.在一些实际问题中，有时表示数量的代数式有单位名称，如果代数式是积或商的形式，则单位直接写在式子后面; 如果代数式是和或差的形式，则必须先把代数式用括号括起来，再将单位名称写在式子的后面. 【知识点三】列代数式 1. 列代数式概念：用含有数、字母和运算符号的式子把问题中的数量表示出来就是列代数式. 2正确列出代数式，要掌握以下几点： （1） 列代数式的关键是理解和找出问题中的数量关系; （2） 要掌握一些常见的数量关系如行程问题、工程问题、浓度问题、数字问题等; （3） 要善于抓住问题中的关键词语，如和、差、积、商、大、小、几倍、平方、多、少等. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】代数式的概念 【例1】（23-24七年级上·全国·课堂例题）已知下列各式：①，②8，③，④，⑤，⑥， ⑦，⑧，⑨，⑩，其中代数式有 （填写序号）． 【变式1】（23-24七年级上·河南新乡·期中）下列各式： ，其中代数式的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式2】（22-23七年级上·广西桂林·阶段练习）下列式子：①；②；③；④⑤；⑥；⑦0．其中是代数式个数的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型2】代数式的书写规则 【例2】（23-24七年级上·全国·课堂例题）下列各式是一些不规范的书写，请将规范写法写在横线处： （1）；     （2）；    （3）；     （4）； (5)；    (6)米． 【变式1】（22-23七年级上·内蒙古通辽·开学考试）下面各式中，符合书写要求的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·福建泉州·期末）下列代数式符合书写要求的是（    ）． A． B． C． D． 【题型3】代数式的意义 【例3】（21-22六年级下·全国·单元测试）请你用实例解释下列代数式的意义． (1)； (2)． 【变式1】（23-24七年级上·河南郑州·期末）请你为代数式赋予一个实际意义 ． 【变式2】（23-24七年级上·河北邢台·期末）商店销售某种商品，第一天售出m件，第二天的销售量比第一天的两倍少3件，则代数式“”表示的意义是（    ） A．第二天售出的该商品数量 B．第二天比第一天多售出该商品数量 C．两天一共售出的该商品数量 D．第二天比第一天少售出的该商品数量 【题型4】用字母表示数 【例4】（2022七年级上·江苏·专题练习）用字母表示图中阴影部分的面积． 【变式1】（24-25七年级上·全国·假期作业）已知每个人做某项工作的效率相同，个人做d天可以完成，若增加人，则完成工作所需的天数为（ ）． A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·北京朝阳·期中）一种商品每件盈利为a元，售出60件，共盈利 元（用含a的式子表示） 【题型5】用代数式表示式 【例5】（24-25七年级上·全国·课后作业）赵叔叔准备买一套新房子，这套住房的建筑平面图（由四个长方形组成）如图所示： 用含的式子表示这套住房的总面积． 【变式1】（23-24七年级上·上海·阶段练习）某数的平方的5倍与1的差的一半，用代数式表示是（　　） A． B． C． D． 【变式2】 （2023·吉林松原·模拟预测）某种水果售价是每千克5元，小红按八折购买了千克，需付 元（用含的代数式表示）． 【题型6】用代数式表示数、图形的规律 【例6】（2023·安徽·模拟预测）如图，每个图形都由同样大小的小正方形按一定规律组成。 根据图形与等式的关系，解答下列问题： (1)猜想_______；（用含的等式表示，不用说明理由） (2)利用（1）的结论，计算：． 【变式1】（2024·云南楚雄·模拟预测）以下是一组按规律排列的多项式：，…，则第n个多项式是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24六年级下·山东泰安·期末）如图数字三角形被称为“杨辉三角”，图中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为…，第n个数记为，则 ． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·四川广安·中考真题）代数式的意义可以是（    ） A．与x的和 B．与x的差 C．与x的积 D．与x的商 【例2】（2024·四川雅安·中考真题）如图是1个纸杯和若干个叠放在一起的纸杯的示意图，在探究纸杯叠放在一起后的总高度H与杯子数量n的变化规律的活动中，我们可以获得以下数据（字母），请选用适当的字母表示 ． ①杯子底部到杯沿底边的高h；②杯口直径D；③杯底直径d；④杯沿高a． 2、拓展延伸 【例1】（23-24七年级上·河南洛阳·期末）列代数式，并化为最简形式． (1)一个三位数，它的个位数字是，十位数字比个位数字大1，百位数字比个位数字小2，则这个三位数可以用含的代数式表示为：______； (2)东方红电影院第一排有15个座位，后面每排比前一排多2个座位，则第排的座位数可以表示为：______； (3)如图，将长为的长方形沿图中虚线裁剪成四个形状、大小完全相同的小长方形，那么每个小长方形的周长用含的式子表示为______．    【例2】（23-24七年级上·安徽安庆·期中）今年春季，果园喜获丰收，某批发公司组织10辆汽车装运甲，乙两种水果去外地销售，按计划10辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种水果，且必须装满，设装运甲种水果的汽车有x辆，根据下表提供的信息，解答以下问题： 水果种类 甲 乙 每辆汽车运载量（吨） 4 3 每吨水果利润（元） 1400 1600 (1)求这10辆汽车共装运水果的数量（用含有x的式子表示）； (2)求销售完装运的这批水果后所获得的总利润（用含有x的式子表示）； (3)现为了促销，公司决定甲种水果每吨让利m元，乙种水果每吨利润不变，若无论装运甲种水果的汽车为多少辆，这10辆车装运的水果销售完后，总利润都保持不变，求m的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.1 列代数式表示数量关系（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】代数式的概念 用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式.单独的一个数或字母也是代数式. 【要点提示】 （1） 单个数字与字母也是代数式; （2） 代数式与公式、等式的区别是代数式中不含等号，而公式和等式中都含有等号; （3） 代数式可按运算关系和运算结果两种情况理解. 【知识点二】代数式的书写规则 1.代数式中出现的乘号通常用“”表示或者省略不写; 数与字母相乘时，数应写在字母前面; 数与数相乘时，仍用“”号; 2.带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数后再与字母相乘; 3.在代数式中出现除法运算时，按分数的写法来写; 4.在一些实际问题中，有时表示数量的代数式有单位名称，如果代数式是积或商的形式，则单位直接写在式子后面; 如果代数式是和或差的形式，则必须先把代数式用括号括起来，再将单位名称写在式子的后面. 【知识点三】列代数式 1. 列代数式概念：用含有数、字母和运算符号的式子把问题中的数量表示出来就是列代数式. 2正确列出代数式，要掌握以下几点： （1） 列代数式的关键是理解和找出问题中的数量关系; （2） 要掌握一些常见的数量关系如行程问题、工程问题、浓度问题、数字问题等; （3） 要善于抓住问题中的关键词语，如和、差、积、商、大、小、几倍、平方、多、少等. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】代数式的概念 【例1】（23-24七年级上·全国·课堂例题）已知下列各式：①，②8，③，④，⑤，⑥， ⑦，⑧，⑨，⑩，其中代数式有 （填写序号）． 【答案】①②③⑤⑦⑧ 【分析】根据代数式的定义，逐个进行判断即可． 解：①，是代数式，符合题意； ②8，是代数式，符合题意； ③，是代数式，符合题意； ④，不是代数式，不符合题意； ⑤，是代数式，符合题意； ⑥，不是代数式，不符合题意； ⑦，是代数式，符合题意； ⑧，是代数式，符合题意； ⑨，不是代数式，不符合题意； ⑩，不是代数式，不符合题意； 综上：是代数式的有①②③⑤⑦⑧． 故答案为：①②③⑤⑦⑧． 【点拨】本题主要考查了代数式的定义，解题的关键是掌握代数式定义：代数式是由数和表示数的字母经加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表达式称为代数式．注意事项：（1）单独的一个数或者一个字母也是代数式；（2）代数式不能带有“=、≈、≠、≥、≤、<、>”等表示大小关系的符号． 【变式1】（23-24七年级上·河南新乡·期中）下列各式： ，其中代数式的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了代数式，掌握代数式的概念是解题关键．根据代数式的概念：用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式，逐项判定即可． 解：题中的代数式有：， 故选：C． 【变式2】（22-23七年级上·广西桂林·阶段练习）下列式子：①；②；③；④⑤；⑥；⑦0．其中是代数式个数的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】此题考查了代数式，用加、减、乘、除、乘方、开方等运算连接起来的式子叫做代数式，单个的数字或字母也是代数式，根据代数式的定义进行判断即可． 解：①；②；③；④⑤；⑥；⑦0，代数式为①；②；④，⑦0，共4个， 故选：C 【题型2】代数式的书写规则 【例2】（23-24七年级上·全国·课堂例题）下列各式是一些不规范的书写，请将规范写法写在横线处： （1）；     （2）；    （3）；     （4）； (5)；    (6)米． 【答案】 米 【分析】根据代数式的书写格式解答即可 解：（1）应写作：；(数字与数字的乘法用“”) 故答案为：； （2）应写作：，(带分数要化成假分数) 故答案为：； （3）应写作：，(数字因式写在前面) 故答案为：； （4）应写作：，(除法写成分数形式) 故答案为：； (5)应写作：，(乘法中1省略不写) 故答案为：； (6)米应写作：米，(多项式后带单位要加括号) 故答案为：米． 【点拨】本题考查了代数式．解题的关键是掌握代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式，1通常省略不写；(4)多项式后带单位时，这个多项式要加括号． 【变式1】（22-23七年级上·内蒙古通辽·开学考试）下面各式中，符合书写要求的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式的书写．根据代数式的书写要求，逐项判断即可求解． 解：A、应该是，故本选项不符合题意； B、应该是，故本选项不符合题意； C、应该是，故本选项不符合题意； D、，书写正确，故本选项符合题意； 故选：D 【变式2】（23-24七年级上·福建泉州·期末）下列代数式符合书写要求的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的书写要求．注意：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“⋅”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．根据代数式的书写要求判断各项． 解：A、要写成，故本选项不符合题意； B、要写成，故本选项不符合题意； C、要写成，故本选项不符合题意； D、符合书写要求，故本选项符合题意； 故选：D． 【题型3】代数式的意义 【例3】（21-22六年级下·全国·单元测试）请你用实例解释下列代数式的意义． (1)； (2)． 【答案】(1)表示气温从5℃，下降4℃后的温度 (2)表示一辆车以的速度行驶3小时的路程 【分析】（1）可以用生活中温度的变化的实例来解释； （2）可以用生活中行程的实例来解释． （1）解： 可以表示气温从，下降后的温度． （2）表示一辆车以的速度行驶3小时的路程． 【点拨】本题考查了代数式的实际意义，注意一个代数式可以表示不同的实际意义． 【变式1】（23-24七年级上·河南郑州·期末）请你为代数式赋予一个实际意义 ． 【答案】一支钢笔x元，一支铅笔y元，小红买了6支钢笔和3支铅笔，共付的钱数.（答案不唯一） 【分析】本题考查了代数式，根据代数式的运算顺序赋予其实际意义即可． 解：代数式的意义可以是：一支钢笔x元，一支铅笔y元，小红买了6支钢笔和3支铅笔，共付了多少钱？ 故答案为：一支钢笔x元，一支铅笔y元，小红买了6支钢笔和3支铅笔，共付的钱数.（答案不唯一） 【变式2】（23-24七年级上·河北邢台·期末）商店销售某种商品，第一天售出m件，第二天的销售量比第一天的两倍少3件，则代数式“”表示的意义是（    ） A．第二天售出的该商品数量 B．第二天比第一天多售出该商品数量 C．两天一共售出的该商品数量 D．第二天比第一天少售出的该商品数量 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，根据代数式的方法，熟练掌握代数式的计算是解题的关键． 解：∵第一天售出m件，第二天的销售量比第一天的两倍少3件， ∴第二天售出的该商品数量是件， ∴两天一共售出的该商品数量为件， 故选：C． 【题型4】用字母表示数 【例4】（2022七年级上·江苏·专题练习）用字母表示图中阴影部分的面积． 【答案】（1）ab﹣bx；（2）R2πR2 【分析】（1）读图可得，阴影部分的面积＝大长方形的面积﹣小长方形的面积； （2）阴影部分的面积＝正方形的面积﹣扇形的面积． 解：（1）阴影部分的面积＝ab﹣bx； （2）阴影部分的面积＝R2πR2． 【点拨】本题考查代数式的应用，解决问题的关键是看懂图，找到所求的阴影部分的面积和各部分之间的等量关系． 【变式1】（24-25七年级上·全国·假期作业）已知每个人做某项工作的效率相同，个人做d天可以完成，若增加人，则完成工作所需的天数为（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用字母表示数，设每个人做某项工作的效率为1，则这项工作总量为，若增加r人，现在总人数是人，用工作总量除以总人数，即可求出完成工作所需的天数． 解：设每个人做某项工作的效率为1，则这项工作总量为，若增加r人， 则完成工作所需的天数为， 故选：D． 【变式2】（23-24七年级上·北京朝阳·期中）一种商品每件盈利为a元，售出60件，共盈利 元（用含a的式子表示） 【答案】 【分析】根据题意列式即可． 解：根据题意得，一种商品每件盈利为a元，售出60件，共盈利元． 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了列代数式，解题的关键是熟练掌握总利润=单件利润×件数． 【题型5】用代数式表示式 【例5】（24-25七年级上·全国·课后作业）赵叔叔准备买一套新房子，这套住房的建筑平面图（由四个长方形组成）如图所示： 用含的式子表示这套住房的总面积． 【答案】平方米 【分析】本题考查列代数式的应用，根据图形列代数式即可． 解：住房的总面积为：（平方米）， ∴住房的总面积为：平方米． 【变式1】（23-24七年级上·上海·阶段练习）某数的平方的5倍与1的差的一半，用代数式表示是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式．数的平方为，的5倍是，再表示与1的差，最后表示出差的一半，即可． 解：某数的平方的5倍与1的差的一半，用代数式表示是． 故选：D． 【变式2】 （2023·吉林松原·模拟预测）某种水果售价是每千克5元，小红按八折购买了千克，需付 元（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了代数式的运用，掌握运用代数式表示数或数量关系是的方法是解题的关键． 解：根据题意得，， 故答案为： ． 【题型6】用代数式表示数、图形的规律 【例6】（2023·安徽·模拟预测）如图，每个图形都由同样大小的小正方形按一定规律组成。 根据图形与等式的关系，解答下列问题： (1)猜想_______；（用含的等式表示，不用说明理由） (2)利用（1）的结论，计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查数字类规律探索： （1）根据已知图形、等式找出规律，利用规律求解即可；（2）利用（1）中结论进行简便运算． 解：（1）解：图1中， 图2中， 图3中， …… 以此类推，图中，， 故答案为：； （2）解：结合（1）中结论，可知： ． 【变式1】（2024·云南楚雄·模拟预测）以下是一组按规律排列的多项式：，…，则第n个多项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式项式的变化规律，正确理解多项式中各项的系数与次数的规律是解题的关键．根据题目所给多项式，总结出第n个多项式中各项的系数与次数，即可解答． 解：第1个多项式为， 第2个多项式为， 第3个多项式为， 第4个多项式为， ……， ∴第n个多项式是． 故选：D 【变式2】（23-24六年级下·山东泰安·期末）如图数字三角形被称为“杨辉三角”，图中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为…，第n个数记为，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了数字变化规律问题，通过归纳出第n个数记为，再进行求解即可． 解：根据题意知 ， ， ， 则， ， 故答案为：210． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·四川广安·中考真题）代数式的意义可以是（    ） A．与x的和 B．与x的差 C．与x的积 D．与x的商 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的意义，用语言表达代数式的意义，一定要理清代数式中含有的各种运算及其顺序．根据中的运算关系解答即可． 解：代数式的意义可以是与x的积． 故选C． 【例2】（2024·四川雅安·中考真题）如图是1个纸杯和若干个叠放在一起的纸杯的示意图，在探究纸杯叠放在一起后的总高度H与杯子数量n的变化规律的活动中，我们可以获得以下数据（字母），请选用适当的字母表示 ． ①杯子底部到杯沿底边的高h；②杯口直径D；③杯底直径d；④杯沿高a． 【答案】 【分析】本题考查的是列代数式，由总高度H等于杯子底部到杯沿底边的高h加上n个杯子的杯沿高即可得到答案； 解：由题意可得：， 故答案为：； 2、拓展延伸 【例1】（23-24七年级上·河南洛阳·期末）列代数式，并化为最简形式． (1)一个三位数，它的个位数字是，十位数字比个位数字大1，百位数字比个位数字小2，则这个三位数可以用含的代数式表示为：______； (2)东方红电影院第一排有15个座位，后面每排比前一排多2个座位，则第排的座位数可以表示为：______； (3)如图，将长为的长方形沿图中虚线裁剪成四个形状、大小完全相同的小长方形，那么每个小长方形的周长用含的式子表示为______．    【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查列代数式，根据题意找出题中各个量之间的关系是解题的关键． （1）这个三位数的十位数字是，百位数字是，根据三位数的表示方法即可得出答案； （2）由题知，第1排座位个数为：；第2排座位个数为：；第3排座位个数为：；根据规律即可得出答案； （3）先得出小长方形的宽是其长的一半，求出小长方形的长为，宽为m，即可得出答案． 解：（1）解：由题知， 这个三位数的十位数字是，百位数字是， 所以这个三位数可表示为：． 故答案为：； （2）由题知， 第1排座位个数为：； 第2排座位个数为：； 第3排座位个数为：； …， 所以第n排座位个数为个． 故答案为：． （3）因为四个小长方形完全相同， 所以小长方形的宽是其长的一半， 又因为1个长与2个宽的和为， 则小长方形的长为，宽为m， 所以小长方形的周长为：， 故答案为：． 【例2】（23-24七年级上·安徽安庆·期中）今年春季，果园喜获丰收，某批发公司组织10辆汽车装运甲，乙两种水果去外地销售，按计划10辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种水果，且必须装满，设装运甲种水果的汽车有x辆，根据下表提供的信息，解答以下问题： 水果种类 甲 乙 每辆汽车运载量（吨） 4 3 每吨水果利润（元） 1400 1600 (1)求这10辆汽车共装运水果的数量（用含有x的式子表示）； (2)求销售完装运的这批水果后所获得的总利润（用含有x的式子表示）； (3)现为了促销，公司决定甲种水果每吨让利m元，乙种水果每吨利润不变，若无论装运甲种水果的汽车为多少辆，这10辆车装运的水果销售完后，总利润都保持不变，求m的值． 【答案】(1)这10辆汽车共装运水果的数量为吨 (2)元 (3)m的值为200 【分析】本题主要考查根据题目所给条件列代数式． （1）由装运甲种水果的车有x辆，得出装运乙种水果的车有辆，再结合表格内的数据，可表示出10辆汽车装运水果的数量． （2）用装运甲、乙水果的量分别乘以它们每吨的利润即可． （3）先表示出总利润的表达式，再根据“无论装运甲的汽车为多少辆，这10辆车装运的水果销售完后，总利润都保持不变”可解决问题． 解：（1）因为装运甲种水果的汽车有x辆， 则装运乙种水果的车有辆， 所以装运的总量为：． 故这10辆汽车共装运水果的数量为吨． （2）令总利润为w， 则． 故销售完装运的这批水果后所获得的总利润为元． （3）由题知，， 又无论装运甲水果的汽车为多少辆，这10辆车装运的水果销售完后，总利润都保持不变， 即利润的表达式的取值与x的值无关， 所以，得． 故m的值为200． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$