精品解析：福建省宁德市福鼎第四中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题

福鼎四中2023-2024学年第二学期第一次月考 高一数学试题 （满分150分，120分钟完卷） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 设是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（    ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算法则求出复数即可判断. 【详解】由题意知，， 所以在复平面内所对应的点为，位于第二象限. 故选：B. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. 或1 D. 或3 【答案】C 【解析】 【分析】根据，可得，从而可得出答案. 【详解】解：因为，，， 所以，解得或. 故选：C. 3. 的三个内角，，的对边分别为，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，利用余弦定理求解. 【详解】因为，即 所以， 因为， 所以． 故选：B． 4. 在中，为边上的中线，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图形的几何性质，以及向量加减法、数乘运算的几何意义，即可得出答案. 【详解】 因为，所以 由已知可得，， 所以，， 所以，. 故选：A. 5. 在中，若，且，那么一定是（　　） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由两角和的正弦公式并结合正弦定理可得，即，又由化简可得，得，从而可求解. 【详解】，则， 因为，所以，则， 又因为，，则， 则，即， 即，又因为，则， 所以，即. 即一定是等边三角形，故D正确. 故选：D. 6. 在复数范围内方程的根为（ ） A. 和1 B. 和5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用根与系数关系求复数范围内方程的根即可. 【详解】由，则方程的根为. 故选：D 7. 为捍卫国家南海主权，我海军在南海海域进行例行巡逻.某天，一艘巡逻舰从海岛出发，沿南偏东的方向航行40海里后到达海岛，然后再从海岛出发，沿北偏东的方向航行了海里到达海岛，若巡逻舰从海岛出发沿直线到达海岛，则航行的方向和路程（单位：海里）分别为（ ） A. 北偏东 B. 北偏东 C. 北偏东 D. 北偏东 【答案】C 【解析】 【分析】根据方位角的概念结合正弦定理、余弦定理求解. 【详解】作出示意图如图所示， 根据题意，， 根据余弦定理， 因为， 所以 ， 因为，所以 ， 因为为锐角，所以， 所以从海岛出发沿直线到达海岛，航行的方向是北偏东， 航行的距离是海里， 故选:C. 8. 在中，点为边上的中点，点满足，点是直线，的交点，过点作一条直线交线段于点，交线段于点（其中点，均不与端点重合）设，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意作交于F，可推出，利用向量的线性运算推出，结合题意推出，根据三点共线可得，结合“1”的妙用，即得，展开后利用基本不等式，即可求得答案. 详解】作交于F，连接 ，则∽，故， 由于点为边上的中点，故， ，故，又∽，故， 故， 则 , 由于，，故， 因为三点共线，故， 所以， 当且仅当，结合，即时等号成立， 即的最小值为， 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数（为虚数单位），则下列结论正确的是（ ） A. B. 复数的虚部为1 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据复数的定义以及四则运算规则即可. 【详解】对于A， ，故A错误； 对于B，z的虚部为1，正确； 对于C， ，正确； 对于D， ， ， ， ，故D错误； 故选：BC. 10. 下列各组向量中，一定能推出的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据共线向量定理，即可判断选项. 【详解】A.，即，故A正确； B ，即，故B正确； C. ，，则，故C正确； D. ，，只有当或，此时，否则，所以向量不平行，故D错误. 故选：ABC 11. “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，则.设是内的一点，、、分别是的三个内角，以下命题正确的有（ ） A. 若，则 B. ，，，则 C. 若为内心，，则 D. 若为的重心，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用“奔驰定理”可判断A选项；求出，结合“奔驰定理”可判断B选项；利用“奔驰定理”可得出的值，结合勾股定理可判断C选项；利用重心的几何性质结合“奔驰定理”可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，由“奔驰定理”可知，A对； 对于B选项，由 ，，可知， 又，所以， 由可得，，， 所以，B错； 对于C选项，若为的内心，，则， 又（为内切圆半径）， 所以，，故，C对； 对于D选项，如下图所示， 因为为的重心，延长交于点，则为的中点， 所以，，，且，， 所以，，由“奔驰定理”可得，D对. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的内角，，的对边分别为，，．已知，，，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，由正弦定理代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 由正弦定理知，即，解得， 因为，则，所以一定是锐角， 所以. 故答案为：. 13. 已知，，，则在方向上的投影向量是__________. 【答案】 【解析】 【分析】设与方向相同的单位向量为， 则在方向上的投影向量与共线，可用表示,由已知表示单位向量，并求出可得所求向量. 【详解】设与方向相同的单位向量为，则， 则在方向上的投影向量为. 故答案为：. 14. 已知复数满足，则（为虚数单位）的最大值为_________． 【答案】6 【解析】 【分析】由复数的几何意义求解即可. 【详解】设(为实数)， 则复数满足的几何意义是以原点为圆心，以1为半径的圆上的点， 则表示的几何意义是圆上的点到的距离， 根据圆的性质可知，所求最大值为. 故答案为：6. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设复数． （1）若是实数，求； （2）若纯虚数，求． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用复数的加法及复数的分类求出，再利用复数乘法求解即得. （2）利用复数除法及复数的分类求出即得. 【小问1详解】 由，得，而是实数， 于是，解得， 所以． 【小问2详解】 依题意，是纯虚数， 因此，解得， 所以． 16. 已知向量，． （1）若，求； （2）若，，求与的夹角的余弦值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量坐标运算及向量共线的坐标表示求出，再利用向量模的坐标表示求解作答. （2）利用向量坐标运算及向量垂直的坐标表示求出，再利用向量夹角的坐标表示求解作答. 【小问1详解】 因为，，则，， 又，于是得，解得，即有，， 所以． 【小问2详解】 依题意，，而，则，解得， 于是有，， 所以与的夹角的余弦值. 17. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． （1）求； （2）若的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再借助和角的正弦公式求解作答. （2）由（1）的结论，利用三角形面积公式、余弦定理求出即可作答. 【小问1详解】 ，由正弦定理可得， 因， 所以，可得， 为三角形内角，，解得，； 【小问2详解】 ， ， 由余弦定理得， 即，解得， 的周长为. 18. 夏季来临，气温升高，是学生溺水事故的高发期．为有效预防学生溺水事件的发生，增强学生防溺水的安全防范意识，提高学生的自护自救能力，减少安全事故的发生，切实保护学生的生命安全，学校组织各班召开了防溺水安全教育主题班会．某地一河流的岸边观测站位于点处（离地面高度忽略不计），观察到位于点西南方向且距离为的点处有一名钓友，正目不转睛地盯着其东偏北方向上点处一个正在岸边玩耍的小孩子，突然小孩不慎落水．已知的距离为，假设三点在同一水平面上． （1）求此时钓友与小孩之间的距离． （2）若此时钓友到点处比到点处的距离更近，且在孩子落水的瞬间钓友跳进河里开始以的速度救援，与此同时孩子在水流的作用下以的速度沿北偏东方向移动，由于钓友平时缺乏锻炼受耐力限制，最多能持续游，试问钓友这次救援是否有成功的可能？若有可能，求钓友救援成功的最短时间；若不能，请说明原因． 【答案】（1）距离为100或200米； （2）钓友这次救援有成功的可能，救援成功的最短时间为. 【解析】 【分析】（1）作出图形，利用余弦定理即可得到答案； （2）根据（1）中的结论得，求出，设，根据余弦定理得到方程，解出即可. 【小问1详解】 由题意得，，， 在三角形中，根据余弦定理有， 即，解得或100， 故钓友与小孩之间距离为100或200米. 【小问2详解】 因为钓友到点处比到点处的距离更近，则， 设钓友在最短时间内救援到地点为点，， 则， 所以， 整理得，解得（负根舍去）， 因为，所以钓友这次救援有成功的可能， 且成功的最短时间为. 19. 在中，P为AB的中点，O在边AC上，BO交CP于R，且，设. （1）试用表示； （2）若，求的余弦值； （3）若H在BC上，且，设，若，求的范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，三点共线结合平面向量基本定理可得答案. （2）由（1）及已知条件，利用数量积的运算律及向量的夹角公式求解. （3）设，结合及数量积的运算律得，再列出不等式求出的范围即可. 【小问1详解】 由共线，得，则， 整理得， 由共线，得，则， 整理得，而不共线， 由平面向量基本定理，得，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）得，， 由，得， 则， ， ， 所以. 【小问3详解】 由（1）知，则， 由共线，设. 由，得，而，， 则，整理得， 即，显然，则， 由，得，则，解得， 所以的范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福鼎四中2023-2024学年第二学期第一次月考 高一数学试题 （满分150分，120分钟完卷） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 设是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（    ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. 或1 D. 或3 3. 的三个内角，，的对边分别为，，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，为边上的中线，，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，若，且，那么一定是（　　） A 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 6. 在复数范围内方程的根为（ ） A. 和1 B. 和5 C. D. 7. 为捍卫国家南海主权，我海军在南海海域进行例行巡逻.某天，一艘巡逻舰从海岛出发，沿南偏东方向航行40海里后到达海岛，然后再从海岛出发，沿北偏东的方向航行了海里到达海岛，若巡逻舰从海岛出发沿直线到达海岛，则航行的方向和路程（单位：海里）分别为（ ） A. 北偏东 B. 北偏东 C. 北偏东 D. 北偏东 8. 在中，点为边上的中点，点满足，点是直线，的交点，过点作一条直线交线段于点，交线段于点（其中点，均不与端点重合）设，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数（为虚数单位），则下列结论正确的是（ ） A. B. 复数的虚部为1 C. D. 10. 下列各组向量中，一定能推出是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 11. “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，则.设是内的一点，、、分别是的三个内角，以下命题正确的有（ ） A. 若，则 B. ，，，则 C. 若为的内心，，则 D. 若为重心，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的内角，，的对边分别为，，．已知，，，则______. 13. 已知，，，则在方向上的投影向量是__________. 14. 已知复数满足，则（为虚数单位）最大值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设复数． （1）若是实数，求； （2）若是纯虚数，求． 16. 已知向量，． （1）若，求； （2）若，，求与的夹角的余弦值． 17. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． （1）求； （2）若的面积为，求的周长． 18. 夏季来临，气温升高，是学生溺水事故的高发期．为有效预防学生溺水事件的发生，增强学生防溺水的安全防范意识，提高学生的自护自救能力，减少安全事故的发生，切实保护学生的生命安全，学校组织各班召开了防溺水安全教育主题班会．某地一河流的岸边观测站位于点处（离地面高度忽略不计），观察到位于点西南方向且距离为的点处有一名钓友，正目不转睛地盯着其东偏北方向上点处一个正在岸边玩耍的小孩子，突然小孩不慎落水．已知的距离为，假设三点在同一水平面上． （1）求此时钓友与小孩之间的距离． （2）若此时钓友到点处比到点处的距离更近，且在孩子落水的瞬间钓友跳进河里开始以的速度救援，与此同时孩子在水流的作用下以的速度沿北偏东方向移动，由于钓友平时缺乏锻炼受耐力限制，最多能持续游，试问钓友这次救援是否有成功的可能？若有可能，求钓友救援成功的最短时间；若不能，请说明原因． 19. 在中，P为AB的中点，O在边AC上，BO交CP于R，且，设. （1）试用表示； （2）若，求的余弦值； （3）若H在BC上，且，设，若，求的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $