第03讲 解一元二次方程-2024-2025学年人教版九年级数学上册点拨训练

人教版九年级数学上 点拨*训练 第03讲 解一元二次方程 1、 学习目标： 1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程。 2.运用开平方法解形如x2=p或（x+n)2=p (p≥0)的方程。 二、老师告诉你 直接开平方法解一元二次方程的“三步法” 1. 变形：将方程化为（mx+n）2=p（p≥0）的形式； 2. 开方：利用平方根，将方程转化为两个一元一次方程； 3. 求解：解一元一次方程，得出方程的根。 三、知识点拨 1.知识导航 2.知识点梳理 知识点1：形如x2=p（p≥0）的解法 ①将方程化为 ②直接开平方化为两个一元一次方程； ③解两个一元一次方程得到原方程的解。 【新知导学】 例1-1．方程x2=8的解是（　　） A. x=4 B. x= C. D. 例1-2．方程x2=0的实数根的个数是（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无法确定 【对应导练】 1．若x1，x2是方程x2=16的两根，则x1+x2的值是（　　） A. 16 B. 8 C. 4 D. 0 2．如果x=4是方程ax2+c=0的一个根，这个方程的另一个根为 _____． 3．方程x2-49=0的根是 _____． 知识点2：形如（mx+n）2=p（p≥0）的解法 ①将方程化为的形式； ②直接开平方化为两个一元一次方程； ③解两个一元一次方程得到原方程的解。 直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±。 达到降次转化之目的． 【新知导学】 例2-1 .解方程：6（x-1）2-54=0． 例2-2 .若关于x的一元二次方程（x-b）2=a的两根为1和3，则a,b的值分别为（　　） A. 1，2 B. 4，1 C. 1，-2 D. 4，-1 【对应导练】 1．一元二次方程（x+6）2=9可以转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程为x+6=3，则另一个一元一次方程为（　　） A. x-6=-3 B. x+6=-9 C. x+6=9 D. x+6=-3 2．已知关于x的方程a（x+m）2+b=0（a、b、m为常数，a≠0）的解是x1=2，x2=-1，那么方程a（x+m+2）2+b=0的解_____． 3．解方程：． 知识点3：.直接开平方法解一元二次方程的应用 1. 判定方程解的情况 对于可化为方程 x2 =p的解的情况 (1)当p>0 时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根 (2)当p=0 时，方程有两个相等的实数根x1=x2=0. (3)当p<0 时,因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程无实数根. 2.其他应用 【新知导学】 例3-1．若关于x的方程（x+5）2=m-1有两个实数根，则m的取值范围是（　　） A. m＞0 B. m≥1 C. m＞1 D. m≠1 例3-2．若方程（x-1）2=m+1有解，则m的取值范围是（　　） A. m≤-1 B. m≥-1 C. m为任意实数 D. m＞0 【对应导练】 1．若方程（x-2）2=a-4有实数根，则a的取值范围是 _____． 2．将4个数a,b,c,d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，规定=ad-bc,上述记号就叫做2阶行列式．若=6，求x的值． 3．在实数范围内定义运算“⊕”，其法则为：a⊕b=a2-b2，求方程（4⊕3）⊕x=24的解． 4、 题型训练 题型1直接开平方法在解方程中的应用 1．直接开平方法解方程：60（1+x）2=72.6 2．解方程：6（x-1）2-54=0． 3．在实数范围内定义运算“⊕”，其法则为：a⊕b=a2-b2，求方程（4⊕3）⊕x=24的解． 题型2 直接开平方法在求三角形周长的应用 1．已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程（x-3）2=4的根，则此三角形的周长为（　　） A. 17 B. 11 C. 15 D. 11或15 2．若制作的一个长方体底面积为24，长、宽、高的比为4：2：1，则此长方体的体积为（　　） A. 216 B. C. D. 3．一元二次方程是我们初中阶段学习的最难的一种方程，它的解法有很多种，其中有一种方法是可以利用完全平方公式来求解，例如： x2-4x-5=0                   x（x+10）=24 解：x2+4x+22-22-5=0        解：x2+10x=24 （x-2）2-4-5=0                      x2+10x+52-52=24 （x-2）2=9                          （x+5）2-25=24 x-2=±                             （x+5）2=24+25 x-2=±3                               （x+5）2=49 x=±3+2                                x+5=± x1=+3+2=5                            x+5=±7 x2=-3+2=-1                             x=±7-5 x1=+7-5=2 x2=-7-5=-12 （1）仿照提示中的步骤，试解方程x2-12x-64=0； （2）已知某公园内一块长方形草地的面积为600平方米，且它的长比宽多10米，求这个长方形的周长． ． 5、 牛刀小试 一、单选题（每小题4分，共32分） 1．方程的根是（ ） A. B. C. D.3 2．用直接降次的方法解方程，做法正确的是（ ） A. B. C. D. 3．一元二次方程的根是( ) A. B. C. D. 4．若a为方程的一根，b为方程的一根，且都是正数.则的值为( ) A.5 B.6 C. D. 5．对形如的方程，下列说法正确的是( ) A.直接开平方得 B.直接开平方得 C.当时，直接开平方得 D.当时，直接开平方得 6．方程的解为( ) A. B. C. D. 7．如果多项式的值为9,则x的值为( ) A.2 B.2或-2 C.-1 D.2或-1 8．如果是一元二次方程的一个根,那么该方程的另一个根是( ) A.3 B.-3 C.0 D.1 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．一元二次方程的解是 . 10．一元二次方程可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是 . 11．方程的解为 . 12．若一元二次方程的两个根分别是与，则 . 13．用直接开平方法解一元二次方程:. 小明的解答如下: 解:移项，得.① 直接开平方.得.② 所以.③ 小明的解答有无错误?若有，错在第 步，原因是 ，写出正确的解答过程. 三、解答题（共6小题，48分） 14.（12分）用直接开平方法解下列方程: (1)； (2)； (3)； (4). 15.（8分）以下是圆圆解一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的过程： 解：移项得：x2﹣2x＝4 配方：x2﹣2x+1＝4 （x﹣1）2＝4 开平方得：x﹣1＝±2 移项：x＝±2+1 所以：x1＝3，x2＝3 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． 16．（6分）若，求的值. 17．（6分）在实数范围内定义运算，其法则为:，求方程的解. 18.（8分）在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程x（x+8）＝4 解：原方程可变形，得[（x+4）﹣4][（x+4）+4]＝4 （x+4）2﹣42＝4 （x+4）2＝20 直接开平方，得x1＝﹣4+2，x2＝﹣4﹣2． 我们称这种解法为“平均数法”． （1）下面是小明用“平均数法”解方程（x+2）（x+8）＝40时写的解题过程： 解：原方程可变形，得[（x+a）﹣b][（x+a）+b]＝40 （x+a）2﹣b2＝40 （x+a）2＝40+b2 直接开平方，得x1＝c，x2＝d． 上述解题过程中的a，b，c，d所表示的数分别是　 　，　 　，　 　，　 　． （2）请用“平均数法”解方程：（x﹣2）（x+6）＝4． 19．（8分）一元二次方程是我们初中阶段学习的最难的一种方程，它的解法有很多种，其中有一种方法是可以利用完全平方公式来求解，例如： x2-4x-5=0                   x（x+10）=24 解：x2+4x+22-22-5=0        解：x2+10x=24 （x-2）2-4-5=0                      x2+10x+52-52=24 （x-2）2=9                          （x+5）2-25=24 x-2=±                             （x+5）2=24+25 x-2=±3                               （x+5）2=49 x=±3+2                                x+5=± x1=+3+2=5                            x+5=±7 x2=-3+2=-1                             x=±7-5 x1=+7-5=2 x2=-7-5=-12 （1）仿照提示中的步骤，试解方程x2-12x-64=0； （2）已知某公园内一块长方形草地的面积为600平方米，且它的长比宽多10米，求这个长方形的周长． 学科网（北京）股份有限公司 $$