7.5 正态分布 同步练习-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.5正态分布 同步练习-2023--2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册 一、选择题 1．已知随机变量服从正态分布，且，则（　　） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.8 2．下列说法正确的是（　　） A．线性回归分析中决定系数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好 B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C．正态分布的图象越瘦高，越大 D．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1 3． 富岗苹果作为河北内丘县特产、中国国家地理标志产品，生产基地位于海拔500-1200米的太行山深处岗底村，是太行山上新愚公-李保国教授根据岗底村独待的自然条件，培育出来的绿色食品、有机食品．据统计，富岗苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：mm）服从正态分布，则直径在内的概率为（　　） 附：若，则， A．0.6827 B．0.8413 C．0.8186 D．0.9545 4．已知随机变量，且，则（　　） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 5． 下列说法不正确的是（　　） A．一组数据1，4，14，6，13，10，17，19的25％分位数为5 B．一组数据，3，2，5，7的中位数为3，则的取值范围是 C．若随机变量，则方差 D．若随机变量，且，则 6．若随机变量，且，则（　　） A．0.4 B．0.5 C．0.2 D．0.3 7．已知随机变量服从正态分布，鄀，则（　　） A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.6 8．已知某中学高二年级学生某次考试的数学成绩X（单位：分）服从正态分布，且，从这些学生中任选一位，其数学成绩落在区间（90，105）内的概率为（　　） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 二、多项选择题 9． 为了解推动出口后的亩收入情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（　　）（参考：若随机变量Z服从正态分布，） A． B． C． D． 10．已知，且，则（　　） A． B． C． D． 11．某次数学考试满分150分，记X，Y分别表示甲、乙两班学生在这次考试中的成绩，且，，则（　　） A．甲班的平均分低于乙班的平均分 B．甲班的极差大于乙班的极差 C．成绩在[100，110]的人数占比乙班更高 D．成绩在[90，100]的人数占比甲班更高 三、填空题 12．已知随机变量服从正态分布，且，则　 　. 13．若随机变量，随机变量，则　 　. 14．随机变量X服从正态分布，若，则　 　． 四、解答题 15．为了解人们对环保的认知程度，某市为不同年龄和不同职业的人举办了一次环保知识竞赛，满分100分．随机抽取的8人的得分为84，78，81，84，85，84，85，91． （1）计算样本平均数和样本方差； （2）若这次环保知识竞赛的得分X服从正态分布，其中和的估计值分别为样本平均数和样本方差，若按照，，，的比例将参赛者的竞赛成绩从低分到高分依次划分为参与奖、二等奖、一等奖、特等奖四个等级，试确定各等级的分数线．（结果保留两位小数）（参考数据：） 附：若随机变量X服从正态分布，则，，． 16． 某企业生产一种零部件，其质量指标介于的为优品.技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布. 附：若，取，. （1）求该企业生产的这种零部件技术改造后的优品率与技术改造前的优品率之差； （2）若该零件生产的控制系统中每个元件正常工作的概率都是，各个元件能否正常工作相互独立，如果系统中有超过一半的元件正常工作，系统就能正常工作. 系统正常工作的概率称为系统的可靠性. ①若控制系统原有个元件，计算该系统的可靠性，并判断若给该系统增加一个元件，可靠性是否提高？ ②假设该系统配置有个元件，若再增加一个元件，是否一定会提高系统的可靠性？请给出你的结论并证明. 17． 统计学中有如下结论：若，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量．据传德国数学家希尔伯特喜欢吃披萨．他每天都会到同一家披萨店购买一份披萨．该披萨店的老板声称自己所出售的披萨的平均质量是，上下浮动不超过，这句话用数学语言来表达就是：每个披萨的质量服从期望为，标准差为的正态分布． （1）假设老板的说法是真实的，随机购买25份披萨，记这25份披萨的平均值为，利用上述结论求； （2）希尔伯特每天都会将买来的披萨称重并记录，25天后，得到的数据都落在上，并经计算得到25份披萨质量的平均值为，希尔伯特通过分析举报了该老板．试从概率角度说明希尔伯特举报该老板的理由． 附：①随机变量服从正态分布，则，，； ②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生． 答案 1．【答案】A 【解析】【解答】解：由正态分布，，即图象的对称轴为，又由，则，则，则. 故答案为：A. 【分析】根据随机变量服从正态分布，求得其图象的对称轴，再根据曲线的对称性，即可求解答案． 2．【答案】B 3．【答案】C 【解析】【解答】解： . 故答案为：C 【分析】根据正态分布的对称性可得：，代入数据可求出答案. 4．【答案】C 【解析】【解答】解：因为随机变量，且，所以， 所以. 故答案为：C. 【分析】根据正态分布的对称性求解即可. 5．【答案】C 【解析】【解答】解：A，该组数据共8个，且，所以25％分位数为从小到大排列后第2个数和第3个数的平均数，即为，A正确； B，若，则这组数据由小到大排列依次为2，3，5，，7或2，3，5，7，，中位数为5，不合题意； 若，则这组数据由小到大排列依次为2，3，，5，7，中位数为，不合题意； 若，则这组数据由小到大排列依次为2，，3，5，7或，2，3，5，7，中位数为3，故实数的取值范围是，B正确； C，若随机变量，则，所以，C错误； D，若随机变量，且，则，D正确． 故答案为：C． 【分析】先把数据从小到大排列，利用百分位定义先求出数位，进而求出25％分位数，判断A选项；根据中位数的定义分三种情况：；；；将数据从小到大进行排列，据此可求出中位数，进而求出的取值范围，判断B选项；利用二项分布的方差公式计算先求出，再利用方差的性质公式进行计算可判断C选项；根据正态分布的对称性可得，代入数据可求出答案，判断D选项. 6．【答案】C 【解析】【解答】解：因为随机变量，且，所以. 故答案为：C. 【分析】由题意，根据正态分布曲线特点求解即可. 7．【答案】B 【解析】【解答】解： 随机变量服从正态分布，因为，所以， 所以. 故答案为：B. 【分析】根据正态分布曲线特征求解即可. 8．【答案】A 【解析】【解答】解：因为，所以． 又，所以． 由正态分布的密度曲线的对称性可得． 故答案为：A. 【分析】本题考查正态分布的密度曲线的对称性.根据正态分布的对称性可得：，再结合已知条件可推出，利用正态分布的密度曲线的对称性可求出答案. 9．【答案】B,C 10．【答案】B,C 11．【答案】A,C 【解析】【解答】解：A，甲班的平均分为90分，乙班的平均分为100分，甲班平均分低于乙班，A正确； B，甲班的方差大于乙班，但不能认为甲班的极差一定大于乙班，B错误；C和D，甲班的平均分为90分，乙班的平均分为100分， 且乙班方差小，成绩分布更集中， 故甲班成绩在区间的人数占比低于乙班，且低于乙班成绩在区间的人数占比，C正确，D错误． 故答案为：AC. 【分析】先根据题意中的正态分布求出甲班和乙班的平均分，据此可判断A选项；再求出方差，根据方差越小，数据越集中，据此可判断C和D选项；根据极差的定义，据此可判断B选项. 12．【答案】0.2 13．【答案】 14．【答案】0.1/ 15．【答案】（1）解：， ． （2）解：该市所有参赛者的成绩X近似服从正态分布． 设竞赛成绩达到a以上为特等奖，成绩达到b以上但小于或等于a为一等奖，成绩达到c以上但小于或等于b为二等奖，成绩小于或等于c为参与奖，则，，，． 因为，所以． 因为，所以． 因为，所以． 综上，分数小于或等于80.54的为参与奖，分数大于80.54且小于或等于87.46的为二等奖，分数大于87.46且小于或等于90.92的为一等奖，分数大于90.92的为特等奖． 【解析】【分析】（1）利用已知条件结合平均数公式和方差公式，进而得出样本平均数和样本方差. （2）利用已知条件结合随机变量服从正态分布，从而由正态分布对应的函数图象的对称性和概率之和等于1，再根据得出确定各等级的分数线. 16．【答案】（1）解：技术改造前，易知，，则其优品率为； 技术改造后，，，则其优品率为， 所以优品率之差为. （2）解：①记为原系统中正常工作元件个数，为增加一个元件后正常工作元件个数. 由条件知，，. ，. 因为，所以可靠性提高. ②根据上一问的假设，易知，. 当为奇数时，设，原系统的可靠性为，新系统的可靠性为，由题意可知， . 所以，，这说明可靠性降低. 当为偶数时，设，原系统的可靠性为，新系统的可靠性为，由题意可知， . 所以，，这说明可靠性提高. 综上，当为奇数时，增加一个元件后系统的可靠性会下降；当为偶数时，增加一个元件后系统的可靠性会提高. 【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合正态分布数据求解即可； （2）利用二项分布的概率性质求解可靠性，并比较不同的取值下可靠性的大小关系即可. 17．【答案】（1）解：依题意，又， 所以， ，且， 所以． （2）解：由（1）可得，又希尔伯特计算25份披萨质量的平均值为，而， 所以25份披萨质量的平均值为为小概率事件，小概率事件基本不会发生， 所以希尔伯特认为老板的说法不真实，这就是他举报该老板的理由． 【解析】【分析】本题考查正态分布的对称性. （1）依题意可得，据此可得，利用正态分布的对称性可求出答案； （2）由（1）可得：，结合小概率事件的定义可对说法进行判断. 学科网（北京）股份有限公司 $$