7.4 二项分布与超几何分布 同步练习-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.4二项分布与超几何分布 同步练习-2023--2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册 一、选择题 1．袋子中有n个大小质地完全相同的球，其中4个为红球，其余均为黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，已知摸出的2个球都是红球的概率为，则两次摸到的球颜色不相同的概率为（　　） A． B． C． D． 2．已知随机变量，且，则（　　） A． B．12 C． D．24 3． 某盒子中有6个质地大小相同的小球，其中有2个红色，4个白色，从这个盒子中摸取2个球，记摸到红色球的个数为X，则为（　　） A． B． C． D． 4．下列说法中正确的是（　　） ①设随机变量，则； ②甲､乙､丙､丁四人到4个景点游玩，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“甲独自去一个景点”，则； ③已知变量，则. A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 5．如果随机变量，且，，则等于（　　） A． B． C． D． 6． 某柠檬园的柠檬单果的质量（单位：）服从正态分布，且，若从该柠檬园中随机选取200个柠檬，则质量在的柠檬个数的期望为（　　） A．120 B．140 C．160 D．180 7．已知，则（　　） A．12 B．9 C．6 D．4 8．从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，抽到的女生人数的均值为（　　） A． B． C． D．2 二、多项选择题 9．为普及航天知识，弘扬航天精神，某学校举办了一次航天知识竞赛．统计结果显示，学生成绩（满分100分），其中不低于60分为及格，不低于80分为优秀，且优秀率为．若从全校参与竞赛的学生中随机选取5人，记选取的5人中优秀的学生人数为，则（　　） A．估计知识竞赛的及格率为 B． C． D． 10．下列命题中正确的是（　　） A．设随机变量X～N（0，1），若P（X＞1）＝p，则 B．一个袋子中有大小相同的3个红球、2个白球，从中一次随机摸出3个球，记摸出红球的个数为X，则 C．已知随机变量X～B（n，p），若E（X）＝30，D（X）＝20，则 D．若随机变量X～B（10，0.9），则当X＝9时概率最大 11．某不透明的盒子里装有若干个形状、大小、材质完全相同的红色和黑色的小球，现从盒子里随机抽取小球，每次抽取一个，用随机变量表示事件“抽到的小球为红色”发生的次数，下列说法正确的有（　　） A．若盒子里有2个红色小球，4个黑色小球，从盒子里不放回地抽取小球，则第一次抽到红色小球且第二次抽到黑色小球的概率为 B．若盒子里有2个红色小球，4个黑色小球，从盒子里有放回地抽取6次小球，则且 C．若盒子里有个小球，其中红色小球有个，从盒子里不放回地随机抽取6个小球，且有红色球的数学期望为2，则盒子里黑色小球的个数是红色小球个数的2倍 D．若，，，，则 三、填空题 12．随机变量，则　 　． 13．泊松分布的概率分布列为，其中e为自然对数的底数，是泊松分布的均值．若随机变量X服从二项分布，当n很大且p很小时，二项分布近似于泊松分布，其中，即．现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100个该种元件，则次品率小于的概率约为　 　． 14．一只口袋装有形状､大小完全相同的3只小球，其中红球､黄球､黑球各1只.现从口装中先后有放回地取球次，且每次取1只球，表示次取球中取到红球的次数，，则的数学期望为　 　（用表示）. 四、解答题 15．民航招飞是指普通高校飞行技术专业（本科）通过高考招收飞行学生，报名的学生需参与预选初检、体检鉴定、飞行职业心理学检测、背景调查、高考选拔共5项流程，其中前4项流程选拔均通过，则被确认为有效招飞申请，然后参加高考，由招飞院校择优录取．据统计，某校高三在校学生有1000人，其中男生600人，女生400人，各有100名学生有民航招飞意向． 附：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 （1）完成以下列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为该校高三学生是否有民航招飞意向与学生性别有关？ 对民航招飞有意向 对民航招飞没有意向 合计 男生 　 　 　 　 女生 　 　 　 　 合计 　 　 　 　 （2）若每名报名学生通过前4项流程的概率依次约为，1，假设学生能否通过这4项流程相互独立，估计该校高三学生被认为有效招飞的人数． 16．是研发的一款聊天机器人程序，是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够基于在预训练阶段所见的模式和统计规律来生成回答，但它的回答可能会受到训练数据信息的影响，不一定完全正确某科技公司在使用对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为；如果出现语法错误，它回答正确的概率为假设每次输入的问题出现语法错误的概率为，且每次输入问题，的回答是否正确相互独立该公司科技人员小张想挑战一下，小张和各自从给定的个问题中随机抽取个作答，已知在这个问题中，小张能正确作答其中的个． （1）在小张和的这次挑战中，求小张答对的题数的分布列； （2）给输入一个问题，求该问题能被回答正确的概率； 17．某学校参加某项竞赛仅有一个名额，结合平时训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：设计6道题进行测试，若这6道题中，甲能正确解答其中的4道，乙能正确解答每道题目的概率均为，假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立、互不影响，现甲、乙从这6道测试题中分别随机抽取3题进行解答． （1）求甲、乙共答对2道题目的概率； （2）设甲答对的题数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差； （3）从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表学校参加竞赛． 18．某公司在一次年终总结合上举行抽奖活动，在一个不透明的箱子中放入3个红球和3个白球（球的取状和大小都相同），抽奖规则如下：从袋中一次性摸出3个球，把白球换成红球再全部放回袋中，设此时袋中红球个数为X，则每位员工颁发奖金X万元 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，． （1）求X的分布列与数学期望： （2）若企业有1000名员工，他们为企业贡献的利润近似服从正态分布，为各位员工贡献利润数额的均值，计算结果为100万元，为数据的方差，计算结果为225万元，为激励为企业做出突出贡献的员工，现决定该笔奖金只有贡献利润大于115万元的员工可以获得，且用于奖励的总奖金按抽奖方案所获奖金的数学期望值计算，求获奖员工的人数及每人可以获得奖金的平均数值（保留到整数）． 19．某校高三年级进行班级数学文化知识竞赛，每班选三人组成代表队，其中1班和2班进入最终的决赛．决赛第一轮要求两个班级的代表队队员每人回答一道必答题，答对则为本班得1分，答错或不答都得0分．已知1班的三名队员答对的概率分别为、、，班的三名队员答对的概率都是，每名队员回答正确与否相互之间没有影响．用、分别表示1班和2班的总得分． （1）求随机变量、的数学期望； （2）若，求2班比1班得分高的概率． 答案 1．【答案】C 2．【答案】A 3．【答案】C 【解析】【解答】解：随机变量的所有可能为0，1，2， ，，， 故. 故答案为：C 【分析】先找出随机变量的所有可能取值，再求出变量对应的概率，再利用离散型随机变量的期望计算公式可求出期望. 4．【答案】D 【解析】【解答】解：①随机变量，则，故 ① 正确； ②事件“4个人去的景点互不相同”，事件“甲独自去一个景点”，，，故，故 ② 正确； ③，故 ③ 正确. 故答案为：D. 【分析】根据二项分布求数学期望即可判断 ① ；根据条件概率公式求解即可判断 ② ；根据期望和方差的性质计算即可判断 ③ . 5．【答案】A 【解析】【解答】解：由二项分布的期望和方差公式得，解得. 故答案为：A. 【分析】本题考查二项分布的期望和方差计算公式.利用二项分布的期望和方差计算公式可列出关于和的方程组，解方程组可求出的值. 6．【答案】C 【解析】【解答】解：因为柠檬单果的质量服从正态分布，且， 所以， 则从该柠檬园中随机选取200个柠檬，则质量在的柠檬个数， 所以柠檬个数的数学期望． 故答案为：C. 【分析】根据题意，利用正态分布性质，求得，再由质量在的柠檬个数，结合二项分布的期望公式求解即可. 7．【答案】D 【解析】【解答】解：因为 所以 因此 故选：D 【分析】先利用二项分布的性质求出，再根据期望的性质可得，代入数据可求出答案. 8．【答案】A 【解析】【解答】解：记抽到的女生人数为，则服从超几何分布， 由超几何分布的均值公式 所以. 故答案为：A. 【分析】根据超几何分布均值公式直接计算即可. 9．【答案】A,C,D 10．【答案】A,B,D 【解析】【解答】解：对A，根据正态分布的对称性可知P(x>0)=P(x<0)=，P(x<-1)=P(x>1)=p故，故A正确； B选项，X的可能取值为3，2，1，对应的概率为P(X=3)=，P(X=2)=，P(X=1)=，故E(x)=，故B正确； C选项，X～B（n，p） ，E(x)=np=30，D(x)np(1-p)=20，得1-p=，故P=，故C错误； D选项，X～B（10，0.9） ，则期望E(x)=10×0.9=9，故x=9的时概率最大，故D正确； 故答案为：ABD. 【分析】对A直接根据正态分布的对称性可得结果，对B，分别计算X=3，2，1时的概率即可算出E（x），对C、D，由二项分布的期望与方差的计算公式即可验证. 11．【答案】A,C 【解析】【解答】对于A选项，第一次抽到红球且第二次抽到黄球的概率为P=，故 A正确； 对于B选项，有放回的抽取X~B(6，），D（x）=6××(1-)=，则D(2X+1)=，故B错误； 对于C，依题意得得3M=N，故黑色小球的数量为2M，故C正确； 对于D，由X~B(3，p），P(X=0）=0.343.于是得p=0.3，因此，故D错误； 故答案为：AC. 【分析】A直接计算即可，而B根据二项分布的方差及方差的特点可算出D(2X+1)=，C可直接计算求得，而D中可由二项分布计算得p，于是可求. 12．【答案】3 13．【答案】 14．【答案】 15．【答案】（1）列联表如下： 对民航招飞有意向 对民航招飞没有意向 合计 男生 100 500 600 女生 100 300 400 合计 200 800 1000 零假设：该校高三学生是否有民航招飞意向与学生性别无关联． 因为， 所以假设成立，所以根据小概率值的独立性检验，认为该校高三学生是否有民航招飞意向与学生性别无关． （2）因为每名报名学生通过前4项流程的概率依次约为，且能否通过相互独立， 所以估计每名报名学生被确认为有效招飞申请的概率． 因为该校有200名学生有民航招飞意向，所以估计有人被确认为有效招飞申请． 16．【答案】（1）设小张答对的题数为X，则X的可能取值是8，9， ， 所以小张答对题数的分布列为： X 8 9 P （2）设事件A表示“输入的问题没有语法错误”，事件B表示“一个问题能被ChatGPT正确回答”， 由题意知， 则， 17．【答案】（1）由题意得若甲乙共答对2道题目，则有2种可能情况：①甲答对2道，乙未答对；②甲、乙各答对1道，所以甲、乙两名学生共答对2道题目的概率： ． （2）设学生甲答对的题数为X，则X的所有可能取值为1，2，3． ，，． X的分布列为： X 1 2 3 P 所以，． （3）设学生乙答对的题数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3．则． 所以，． 则，，即甲、乙答对的题目数一样，但甲较稳定，所以应选拔甲学生代表学校参加竞赛． 18．【答案】（1）依题意可得X的可能取值为3，4，5，6， 则， 的分布列为： X 3 4 5 6 P ． （2）由（1）可知给员工颁发奖金的总数为（万元）， 设每位职工为企业的贡献利润数额为，则， 所以获得奖金的职工数约为（人），则获奖员工可以获得奖金的平均数值为（万元）． 19．【答案】（1） （2） 学科网（北京）股份有限公司 $$